1-5 既約集合と既約成分
前提知識：Zariski位相
交差する二直線は一つの図形か
$$
X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
は連結です。二本の座標軸は原点で交わるため、二つの互いに離れた開集合へ分けられません。しかし代数幾何では
$$
V(xy)=V(x)\cup V(y)
$$
と、二つの真の閉部分集合へ分解できます。
一方、放物線 $V(y-x^2)$ はそのようには分かれません。違いは座標環に現れます。
$$
k[V(xy)]\cong k[x,y]/(xy)
$$
には非零元 $\overline x,\overline y$ があり、その積が0です。放物線の座標環 $k[t]$ は整域です。本章では、この対応を定理として証明します。
irreducible topological space
位相空間 $X$ が空でなく、閉集合 $A,B\subseteq X$ について
$$
X=A\cup B
$$
なら必ず $X=A$ または $X=B$ となるとき、$X$ をirreducible topological space|既約位相空間という。既約でない空間をreducibleという。
空集合を既約から除く規約を採用します。「二つの真の閉集合の和に分解できない」と言い換えても同じです。
空でない位相空間 $X$ について、次は同値である。
- $X$ は既約である。
- 任意の二つの非空開集合 $U,V$ は交わる。
- 任意の非空開集合 $U$ は $X$ で稠密である。
$1\Rightarrow2$ を示します。非空開集合 $U,V$ が $U\cap V=\varnothing$ を満たすと仮定します。補集合 $A=X\setminus U$、$B=X\setminus V$ は真の閉集合であり、De Morgan則から
$$
X\setminus(A\cup B)=U\cap V=\varnothing.
$$
従って $X=A\cup B$ となり既約性に反します。
$2\Rightarrow3$ を示します。非空開集合 $U$ が稠密でないとすると、$X\setminus\overline U$ は非空開集合です。これは $U$ と交わらないため2に反します。
$3\Rightarrow1$ を示します。$X=A\cup B$ を閉集合の和とし、$A,B$ がともに真であると仮定します。$U=X\setminus A$、$V=X\setminus B$ はともに非空開集合です。3から $U$ は稠密ですが
$$
U\subseteq B
$$
です。$B$ は閉じているので $\overline U\subseteq B\ne X$ となり、稠密性に反します。従って $A=X$ または $B=X$ です。□
これをirreducibility open-set criterion|既約性の開集合判定と呼びます。Zariski topologyでは開集合が大きく重なるため、既約性は自然に現れます。
irreducible algebraic set
相対Zariski topologyについて既約なaffine代数的集合をirreducible affine algebraic set|既約affine代数的集合という。古典的な用語では、既約affine代数的集合をaffine varietyと呼ぶ場合がある。
文献によってvarietyがreduced scheme、integral scheme、あるいは有限型schemeを意味することがあります。本書では曖昧さを避け、「affine代数的集合」「既約affine代数的集合」「affine scheme」を明記します。
既約性とzero divisor
空でないaffine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ について、次は同値である。
- $X$ は既約である。
- $I(X)$ はprime idealである。
- 座標環 $k[X]$ はintegral domainである。
$2\Longleftrightarrow3$ は商環のprime ideal判定
$$
R/I(X)\text{ is a domain}
\quad\Longleftrightarrow\quad
I(X)\text{ is prime}
$$
そのものです。従って $1\Longleftrightarrow3$ を示します。
$X$ がreducibleとします。真の相対閉集合 $A,B\subsetneq X$ があり
$$
X=A\cup B
$$
です。$A$ は真なので、$A=V_X(J)$ と書いたとき $X\setminus A$ に点 $a$ を取れます。$a\notin V_X(J)$ だから、ある $f\in J$ が $f(a)\ne0$ を満たします。従って $f$ は $A$ 上で0ですが $X$ 上の零関数ではなく、$0\ne f\in k[X]$ です。同様に、$B$ 上で消える非零元 $g\in k[X]$ を取れます。
任意の $x\in X=A\cup B$ について、$x\in A$ なら $f(x)=0$、$x\in B$ なら $g(x)=0$ です。従って
$$
(fg)(x)=0
$$
が全ての $x\in X$ で成立し、$fg=0$ in $k[X]$ です。非零元の積が0なので座標環は整域ではありません。
逆に $k[X]$ が整域でないとします。非零元 $f,g\in k[X]$ で $fg=0$ となるものを取ります。すると各点 $x\in X$ で
$$
f(x)g(x)=0.
$$
体は整域なので、各 $x$ は $V_X(f)$ または $V_X(g)$ に属します。従って
$$
X=V_X(f)\cup V_X(g).
$$
$f,g$ は座標環で非零、すなわち $X$ 全体では消えないので、$V_X(f),V_X(g)$ はともに真の閉部分集合です。ゆえに $X$ はreducibleです。対偶を取れば同値が従います。□
これはirreducible domain correspondence|既約集合と整域の対応です。位相的な「分解できない」と環論的な「zero divisorがない」が一致しました。
標準例
$k$ を無限体とする。
- $\mathbb A_k^n$ は既約である。座標環 $k[x_1,\ldots,x_n]$ が整域だからである。
- 放物線 $V(y-x^2)$ は既約である。座標環が $k[t]$ と同型だからである。
- 双曲線 $V(xy-1)$ は既約である。座標環が $k[t,t^{-1}]$ と同型だからである。
- $V(xy)$ はreducibleである。実際 $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ であり、座標環にzero divisor $\overline x\,\overline y=0$ がある。
これらをbasic irreducible affine examples|affine既約集合の標準例として繰り返し使います。無限体という仮定は、点集合から定義した $k[\mathbb A_k^n]$ を多項式環と同一視するために必要です。有限体 $k$ では点集合 $k^n$ のZariski topologyはdiscreteで、二点以上あればreducibleです。schemeへ移ると $\operatorname{Spec}k[x_1,\ldots,x_n]$ は任意の体上で既約になります。
開部分集合は既約性を保つ
$X$ を既約空間、$U\subseteq X$ を非空開集合とする。このとき
- $U$ はsubspace topologyで既約である。
- $U$ は $X$ で稠密である。
- $U$ の任意の非空開部分集合も $X$ で稠密である。
2は既約性の開集合判定です。
1を示します。$U_1,U_2$ を $U$ の非空開集合とします。ある $X$ の開集合 $V_1,V_2$ により
$$
U_i=U\cap V_i
$$
と書けます。$U_i$ は $X$ の開集合でもあります。$X$ の既約性から $U_1\cap U_2\ne\varnothing$ なので、開集合判定により $U$ は既約です。
3では、$W\subseteq U$ を非空開とすると上の議論から $W$ は $X$ の非空開集合です。再び開集合判定から $W$ は $X$ で稠密です。□
これはirreducible open subset density|既約空間の非空開部分の既約性と稠密性です。例えば既約曲線から有限個の点を除いても、残りは既約で元の曲線に稠密です。このため有理関数を「ある非空開集合上で定義された関数」として比較できます。
既約成分
位相空間 $X$ の既約な閉部分集合 $Z\subseteq X$ が、包含関係について極大であるとき、$Z$ を $X$ のirreducible component|既約成分という。
「極大」は最大とは違います。複数の既約成分が互いに包含されず並ぶことがあります。
$$
X=Z_1\cup\cdots\cup Z_r
$$
を既約閉集合の有限和とし、$i\ne j$ なら $Z_i\not\subseteq Z_j$ とする。このとき $Z_1,\ldots,Z_r$ はちょうど $X$ の既約成分である。
まず既約閉集合 $Y\subseteq X$ を取ります。
$$
Y=Y\cap X
=\bigcup_{i=1}^r(Y\cap Z_i)
$$
です。各 $Y\cap Z_i$ は $Y$ の閉集合です。既約性を二集合の場合から帰納的に適用すると、有限個の閉集合の和が $Y$ 全体なら、ある $i$ について
$$
Y=Y\cap Z_i,
$$
すなわち $Y\subseteq Z_i$ です。
$Z_i$ を含む既約閉集合 $Y$ を取れば、上の結論により $Y\subseteq Z_j$ となる $j$ があります。すると
$$
Z_i\subseteq Y\subseteq Z_j.
$$
仮定から $i=j$ なので $Y=Z_i$ です。従って各 $Z_i$ は極大既約閉集合です。
逆に任意の既約成分 $C$ は上の議論である $Z_i$ に含まれます。$C$ の極大性と $Z_i$ の既約性から $C=Z_i$ です。□
これはfinite irreducible component criterion|有限既約分解から成分を読む判定です。
包含で冗長な項を持たない二つの有限既約閉分解
$$
X=Z_1\cup\cdots\cup Z_r
=W_1\cup\cdots\cup W_s
$$
があれば、$r=s$ であり、添字を並べ替えると $Z_i=W_i$ となる。
前命題により、$Z_i$ も $W_j$ も全て $X$ の既約成分であり、逆に全既約成分は各一覧に現れます。従って二つの有限集合
$$
\{Z_1,\ldots,Z_r\},
\qquad
\{W_1,\ldots,W_s\}
$$
はともに $X$ の既約成分全体で、集合として等しいです。ゆえに項数が等しく、並べ替えにより対応します。□
これがirreducible decomposition uniqueness|有限既約分解の一意性です。存在には「閉集合の真の下降列が無限に続かない」という条件が必要です。
Noetherian spaceと有限分解
閉集合の任意の下降列
$$
F_1\supseteq F_2\supseteq F_3\supseteq\cdots
$$
が有限段階で停止する位相空間をNoetherian topological space|Noetherian位相空間という。
Noetherian位相空間の任意の非空閉集合は、有限個の既約閉集合の和に分解する。冗長な成分を除けば、その既約成分表示は一意である。
有限既約分解を持たない非空閉集合が存在すると仮定します。そのような閉集合から $F_0$ を一つ選びます。$F_0$ は既約ではないので、真の閉部分集合 $F_1,G_1\subsetneq F_0$ により
$$
F_0=F_1\cup G_1
$$
と書けます。もし $F_1,G_1$ がともに有限既約分解を持てば、それらを合わせて $F_0$ も有限既約分解を持つので矛盾です。従って少なくとも一方、名前を $F_1$ として、有限既約分解を持ちません。
同じ操作を繰り返すと、有限既約分解を持たない閉集合の真の下降列
$$
F_0\supsetneq F_1\supsetneq F_2\supsetneq\cdots
$$
を得ます。これはNoetherian性に反します。従って全ての非空閉集合が有限既約分解を持ちます。一意性は前定理から従います。□
これはNoetherian finite irreducible decomposition|Noetherian空間の有限既約分解定理です。「Hilbert基底定理」ではHilbert基底定理を証明し、$k[x_1,\ldots,x_n]$ のイデアル昇鎖が停止することを示します。$V$ が包含を逆転するため、そこからaffine代数的集合の閉集合下降列が停止し、全てのaffine代数的集合が有限個の既約成分を持つことを導きます。この段階では、上のtopological theorem自体の証明は完結しています。
例：三本の直線
$k$ を無限体とし
$$
X=V(xy(x-y))\subseteq\mathbb A_k^2
$$
とします。積の零点公式から
$$
X=V(x)\cup V(y)\cup V(x-y).
$$
各直線の座標環は $k[t]$ と同型なので既約です。三本の異なる直線は互いを含みません。従って前命題から、この三本が $X$ の既約成分です。
座標環側では
$$
k[X]\cong k[x,y]/(xy(x-y))
$$
にzero divisorがあり、全体はreducibleです。一方、各成分に対応するprime idealは
$$
(x),
\qquad
(y),
\qquad
(x-y).
$$
既約成分は、$I(X)$ を含むminimal prime ideal|minimal prime idealsとして「Hilbert基底定理」以後に再解釈します。
空集合と一点
空集合は規約により既約ではありません。その座標環は
$$
k[\varnothing]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(\varnothing)=0
$$
であり、零環をintegral domainに含めない規約と一致します。
一点集合は既約です。閉部分集合は空集合と自分自身だけだからです。座標環は体 $k$ で、特に整域です。
演習
既約空間 $X$ の有限個の非空開集合 $U_1,\ldots,U_r$ の交叉が非空であることを証明せよ。また無限個の交叉では失敗し得る例を、$\mathbb A_k^1$ のcofinite topologyで示せ。
$k$ を無限体とし、$X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2$ の既約成分が $V(x)$ と $V(y)$ であることを、位相的分解と座標環の両方から示せ。
$k$ を無限体、$f\in k[x]$ とする。graph
$$
\Gamma_f=V(y-f(x))\subseteq\mathbb A_k^2
$$
が既約であり、任意の非空主開集合が $\Gamma_f$ で稠密であることを示せ。
$X=V(xy(x-y))$ の既約成分を求め、どの二成分の交叉も原点であることを確認せよ。$X$ は連結だがreducibleであることも説明せよ。
既約閉集合 $Y$ が有限個の閉集合 $F_1\cup\cdots\cup F_r$ に含まれるなら、ある $i$ について $Y\subseteq F_i$ であることを証明せよ。この補題だけを使って有限既約分解の一意性をもう一度証明せよ。
完全解答
$r=2$ は既約性の開集合判定です。$r-1$ 個まで示したと仮定すると
$$
W=U_1\cap\cdots\cap U_{r-1}
$$
は非空開集合です。従って $W\cap U_r\ne\varnothing$ で、帰納法が閉じます。
無限交叉について、$k$ を無限体とし各 $a\in k$ に対して
$$
U_a=\mathbb A_k^1\setminus\{a\}
$$
と置きます。各 $U_a$ は非空Zariski開集合ですが
$$
\bigcap_{a\in k}U_a=\varnothing.
$$
従って有限交叉性を無限交叉へ強めることはできません。□
$$
X=V(x)\cup V(y)
$$
であり、各axisは $X$ の真の閉部分集合です。各axisの座標環は
$$
k[x,y]/(x)\cong k[y],
\qquad
k[x,y]/(y)\cong k[x]
$$
で整域なので既約です。二本は互いを含まないため、有限分解の命題から既約成分です。
全体の座標環は $k[x,y]/(xy)$ で、非零class $\overline x,\overline y$ の積が0です。従って整域でなく、対応定理から $X$ はreducibleです。□
準同型
$$
k[x,y]\to k[t],
\qquad
x\mapsto t,\qquad y\mapsto f(t)
$$
のkernelは $(y-f(x))$ であり、座標環は $k[t]$ と同型です。$k[t]$ は整域なので $\Gamma_f$ は既約です。
非空主開集合 $D_{\Gamma_f}(h)$ は既約空間の非空開集合です。既約性の開集合判定から任意の非空開集合は稠密なので
$$
\overline{D_{\Gamma_f}(h)}=\Gamma_f.
$$
□
積の零点公式から
$$
X=V(x)\cup V(y)\cup V(x-y).
$$
各集合はaffine直線と同型なので既約で、異なる二本の直線は互いを含みません。従って三本が既約成分です。
交叉は
$$
V(x)\cap V(y)=V(x,y)=\{(0,0)\},
$$
$$
V(x)\cap V(x-y)=V(x,y)=\{(0,0)\},
$$
$$
V(y)\cap V(x-y)=V(x,y)=\{(0,0)\}.
$$
各成分は連結で、全成分が共通点を持つので全体も連結です。しかし三つの真の閉集合へ分解するためreducibleです。これはconnected but reducible algebraic set|連結だが可約な代数的集合の具体例です。□
$$
Y\subseteq F_1\cup\cdots\cup F_r
$$
なら
$$
Y=(Y\cap F_1)\cup\cdots\cup(Y\cap F_r).
$$
右辺は $Y$ の閉集合の有限和です。既約性を帰納的に使うと、ある $i$ で $Y=Y\cap F_i$、従って $Y\subseteq F_i$ です。
二つの冗長でない有限既約分解 $X=\bigcup_iZ_i=\bigcup_jW_j$ を取ります。固定した $Z_i$ は $\bigcup_jW_j$ に含まれるので、補題から $Z_i\subseteq W_j$ となる $j$ があります。同様にその $W_j$ はある $Z_\ell$ に含まれます。従って
$$
Z_i\subseteq W_j\subseteq Z_\ell.
$$
冗長性がないので $i=\ell$、全て等号です。よって各 $Z_i$ はある $W_j$ と一致します。逆向きも同様で、二つの成分集合は一致します。□
参考文献
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