1-8 Zariski補題と弱零点定理

まず一元 $b$ の場合を考えます。$b$ が次数 $d$ のmonic relation
$$ b^d+c_{d-1}b^{d-1}+\cdots+c_0=0 $$
を満たすなら、
$$ b^d=-c_{d-1}b^{d-1}-\cdots-c_0 $$
です。これを繰り返し使えば $b^m$ は全て $1,b,\ldots,b^{d-1}$ の$A$-linear combinationに下げられます。従って $A[b]$ はこの $d$ 元で生成されます。
一般の場合は生成元を一つずつ加えます。$b_i$ が $A$ 上integralなら、同じmonic relationは係数を大きい環に移しても有効なので、$b_i$ は $A[b_1,\ldots,b_{i-1}]$ 上もintegralです。各段階が有限moduleであり、有限生成moduleの有限生成moduleは有限生成です。具体的には各 $b_i$ のrelationの次数を $d_i$ とすれば、
$$ b_1^{e_1}\cdots b_s^{e_s} \qquad(0\le e_i< d_i) $$
という有限個のmonomialが全体を生成します。□

$0\ne a\in A$ を取ります。$B$ は体なので $a^{-1}\in B$ です。写像
$$ T:B\longrightarrow B,\qquad z\longmapsto a^{-1}z $$
は$A$-linearです。
$B$ の$A$-module生成元を $v_1,\ldots,v_m$ とします。各 $T(v_j)$ を生成元で表すと
$$ T(v_j)=\sum_{i=1}^m c_{ij}v_i\qquad(c_{ij}\in A) $$
です。行列 $C=(c_{ij})$ を用いれば $(TI_m-C)v=0$ です。adjugate matrixを左から掛けると
$$ \det(TI_m-C)v_j=0 $$
が全ての $j$ について従います。$1$ も $v_j$ の$A$-linear combinationなので
$$ T^m+d_{m-1}T^{m-1}+\cdots+d_0 $$
を $1$ に作用させた結果は0です。従って
$$ (a^{-1})^m+d_{m-1}(a^{-1})^{m-1}+\cdots+d_0=0. $$
両辺に $a^{m-1}$ を掛ければ
$$ a^{-1}=-(d_{m-1}+d_{m-2}a+\cdots+d_0a^{m-1})\in A. $$
任意の非零元が $A$ 内に逆元を持つので、$A$ は体です。□

$$ K=k[a_1,\ldots,a_n] $$
とします。生成元のうち極大なalgebraically independent部分集合を取り、添字を並べ替えて
$$ t_1=a_1,\ldots,t_r=a_r $$
と書きます。極大性により残りの $a_{r+1},\ldots,a_n$ は
$$ F=k(t_1,\ldots,t_r) $$
上algebraicです。
各 $a_i$ は $F$ 係数のmonic polynomialを満たします。現れる有限個の係数の分母を全て掛け合わせた非零多項式を
$$ f\in k[t_1,\ldots,t_r] $$
とすれば、全ての $a_i$ は
$$ R=k[t_1,\ldots,t_r,1/f] $$
上integralです。さらに $1/f\in K$ であり、元の全生成元を含むので
$$ K=R[a_{r+1},\ldots,a_n]. $$
integralな有限個の生成元に関する命題から、$K$ は有限生成$R$-moduleです。直前の命題により $R$ は体でなければなりません。
$r\ge1$ と仮定して矛盾を導きます。$k[t_1]$ にはmonic irreducible polynomialが無限個あります。実際、有限個 $p_1,\ldots,p_s$ しかないなら、
$$ p_1\cdots p_s+1 $$
のirreducible factorはどの $p_i$ とも異なり矛盾します。
$f$ を $t_2,\ldots,t_r$ の多項式と見たとき、その係数は有限個の $k[t_1]$ の元です。従って、それらの非零係数を全て割るようなirreducible polynomialも有限個しかありません。$f$ を割らないmonic irreducible polynomial $g(t_1)$ を一つ選べます。
$g$ が $R$ のunitなら、ある $h\in k[t_1,\ldots,t_r]$ と $N\ge0$ により
$$ g h=f^N $$
となります。$(g)$ で割った商
$$ (k[t_1]/(g))[t_2,\ldots,t_r] $$
はdomainです。上の等式をこの商へ移すと $f^N=0$ なので $f=0$ となり、$g$ が $f$ を割らないことに反します。従って $g$ は $R$ の非零非unitで、$R$ が体であることに反します。
よって $r=0$ です。すなわち全ての $a_i$ は $k$ 上algebraicです。有限生成代数拡大の有限性から $K/k$ は有限です。□

$\alpha\in K$ を取ります。$\alpha$ は $k$ 上algebraicなのでminimal polynomial $m_\alpha(T)\in k[T]$ を持ちます。$k$ はalgebraically closedだから $m_\alpha$ は一次式の積に分解します。一方minimal polynomialはirreducibleなので一次であり、$\alpha\in k$ です。任意の $\alpha$ について成り立つので $K=k$ です。□

商
$$ K=k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak m $$
は体であり、$x_i$ の剰余類 $\overline{x_i}$ で有限生成される $k$-algebraです。Zariski補題により $K/k$ は有限代数拡大です。$k$ はalgebraically closedなので直前の命題から $K=k$ です。
$\overline{x_i}$ に対応する $k$ の元を $a_i$ とします。商で $\overline{x_i}=a_i$ なので
$$ x_i-a_i\in\mathfrak m. $$
従って
$$ (x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)\subseteq\mathfrak m. $$
左辺は既にmaximal idealなので等号です。
一意性を示します。同じidealが $a,b\in k^n$ から得られたなら、$x_i-a_i$ を点 $b$ で評価して
$$ b_i-a_i=0 $$
です。全ての $i$ で $a_i=b_i$ なので $a=b$ です。□

$I$ を含むproper ideal全体を包含関係で順序づけます。空でないchain $\mathcal C$ に対し
$$ J=\bigcup_{L\in\mathcal C}L $$
と置きます。chainなので二元はどちらか大きい方のidealに同時に入り、$J$ はidealです。もし $1\in J$ なら、ある $L\in\mathcal C$ が $1$ を含んでproperでないことになり矛盾します。従って $J$ はproperで、chainの上界です。Zorn's lemmaにより極大元が存在し、それが $I$ を含むmaximal idealです。□

$V(I)$ に点 $a$ があれば、$I\subseteq\mathfrak m_a$ なので $1\notin I$、従って $I$ はproperです。
逆に $I$ がproperなら、maximal ideal $\mathfrak m\supseteq I$ を取れます。弱零点定理により $\mathfrak m=\mathfrak m_a$ となる $a\in k^n$ があります。全ての $f\in I$ は $\mathfrak m_a$ に属するので $f(a)=0$、従って $a\in V(I)$ です。□

$f$ が $V(I)$ 上零点を持たないなら
$$ V(I+(f))=V(I)\cap V(f)=\varnothing. $$
proper idealの共通零点定理により $I+(f)$ はproperでなく、$1\in I+(f)$ です。従ってある $h\in I$ と $g\in k[x_1,\ldots,x_n]$ により
$$ 1=h+gf. $$
商環では $\overline g\,\overline f=1$ なので $\overline f$ はunitです。
逆に $\overline g\,\overline f=1$ なら、$a\in V(I)$ で評価して $g(a)f(a)=1$ です。従って $f(a)\ne0$ です。□