8-4 射影射とSegre・Veronese写像

1　同次数の斉次式が定める写像

$X\subseteq\mathbf P_k^n$ を射影代数的集合とする。同じ正次数 $d$ の斉次式 $F_0,\ldots,F_m$ が $X$ 上で同時に0にならないとき
$$\varphi:X\to\mathbf P_k^m,\qquad[x]\mapsto[F_0(x):\cdots:F_m(x)]\tag{1}$$
を射影正則写像と呼ぶ。代表を $x$ から $\lambda x$ に替えると全出力が同じ $\lambda^d$ 倍となり、零ベクトルにはならないので式 (1) は定義できる。標準図 $Y_i\ne0$ 上の目標座標は $F_j/F_i$ で、$F_i\ne0$ の開集合で正則である。次数 $e$ の斉次式 $G_j$ が定める次の写像と合成すると、出力は $G_j(F_0,\ldots,F_m)$ という次数 $de$ の斉次式で、共通零点を持たない。
共通零点集合 $\operatorname{Bs}(F_0,\ldots,F_m)=X\cap V_+(F_0,\ldots,F_m)$ をこの表示の基点集合という。そこを除いた開集合では式 (1) が使える。例えば $[X:Y:Z]\dashrightarrow[YZ:ZX:XY]$ は三つの座標点で定義されない。有理写像は稠密開集合上の正則写像として扱い、同じ有理写像の表示には余分な共通因子が付くこともある。
以下で使う閉埋め込みは、像が射影閉集合であり、各標準図で正則な逆写像が得られる単射をいう。これはここで必要な座標版の定義で、スキーム論の閉埋入へ後で接続する。

2　Segre写像と階数1の行列

$$\sigma:\mathbf P^m\times\mathbf P^n\to\mathbf P^{(m+1)(n+1)-1}, \qquad([x_i],[y_j])\mapsto[z_{ij}],\quad z_{ij}=x_iy_j\tag{2}$$
をSegre写像という。両代表を $\lambda x,\mu y$ に替えると全成分が $\lambda\mu$ 倍となる。両ベクトルに非零成分があるから積にも非零成分がある。従って定義できる。
出力を行列 $Z=(z_{ij})$ と見れば、像の全ての $2\times2$ 小行列式
$$z_{ij}z_{k\ell}-z_{i\ell}z_{kj}\tag{3}$$
は0である。逆に全小行列式が0の非零行列で $z_{i_0j_0}\ne0$ を選び、$x_i=z_{ij_0}$、$y_j=z_{i_0j}/z_{i_0j_0}$ と置く。式 (3) から $z_{ij}=x_iy_j$。よって像は式 (3) の全零点集合で、射影閉である。さらに $z_{i_0j_0}\ne0$ の図では
$$[x_i]=[z_{ij_0}]_i,\qquad[y_j]=[z_{i_0j}]_j$$
と一意に復元できる。アフィン座標は $z_{ij_0}/z_{i_0j_0}$ と $z_{i_0j}/z_{i_0j_0}$ で、図上の正則関数である。ゆえに $\sigma$ は閉埋め込みである。
最小例は $\mathbf P^1\times\mathbf P^1\to\mathbf P^3$、$([s:t],[u:v])\mapsto[su:sv:tu:tv]$。像は $[A:B:C:D]$ に対して $AD-BC=0$ という二次曲面である。一方の射影点を固定して他方を動かすと直線になり、二組の直線族を得る。

3　Veronese写像と像の方程式

$d\ge1$ とする。$|\alpha|=d$ を満たす単項式 $X^\alpha$ は $\binom{n+d}{d}$ 個ある。$N=\binom{n+d}{d}-1$ と置き
$$\nu_d:\mathbf P^n\to\mathbf P^N,\qquad[x_0:\cdots:x_n]\mapsto[x^\alpha]_{|\alpha|=d}\tag{4}$$
をVeronese写像という。全成分は同次数で、$x_i\ne0$ なら純単項式 $x_i^d\ne0$。したがって基点を持たない。
$T=k[Z_\alpha:|\alpha|=d]$ から $k[X_0,\ldots,X_n]$ への写像 $\Phi:Z_\alpha\mapsto X^\alpha$ の核 $I_{n,d}$ をVeroneseイデアルという。積が同じ単項式になる $Z_\alpha$ の二項関係を記録する斉次イデアルである。像は $V_+(I_{n,d})$ に等しい。包含の一方向は代入で直ちに従う。逆方向を示すため、$z=[z_\alpha]\in V_+(I_{n,d})$ を取る。各 $\alpha$ に対して
$$Z_\alpha^d-\prod_jZ_{de_j}^{\alpha_j}\in I_{n,d}$$
だから、純単項式座標 $z_{de_i}$ の少なくとも一つは非零である。それを一つ固定し、$x_i=1$、$x_j=z_{(d-1)e_i+e_j}/z_{de_i}$ と置く。さらに
$$Z_\alpha Z_{de_i}^{d-1}-\prod_jZ_{(d-1)e_i+e_j}^{\alpha_j}\in I_{n,d}$$
を $z$ で評価して $z_{de_i}^d$ で割ると $z_\alpha/z_{de_i}=x^\alpha$。従って $z=\nu_d([x])$。この構成は代数閉体を仮定せず、任意の体の有理点についても成り立つ。
同じ式から、$z_{de_i}\ne0$ の図で元の座標 $x_j/x_i=z_{(d-1)e_i+e_j}/z_{de_i}$ が正則に復元できる。よって $\nu_d$ は閉埋め込みである。$\nu_2:\mathbf P^2\to\mathbf P^5$ は $[X:Y:Z]\mapsto[X^2:XY:XZ:Y^2:YZ:Z^2]$ で、その対称行列
$$\begin{pmatrix}X^2&XY&XZ\\XY&Y^2&YZ\\XZ&YZ&Z^2\end{pmatrix}$$
は階数1だから全 $2\times2$ 小行列式が0である。$n=1$ では $[s:t]\mapsto[s^d:s^{d-1}t:\cdots:t^d]$ という有理正規曲線を得る。$d=3$ は前補論の三次曲線の射影閉包である。
次数 $d$ の斉次式 $F=\sum c_\alpha X^\alpha$ はVeronese座標では一次式 $\sum c_\alpha Z_\alpha$ になる。従って $V_+(F)$ はVeronese像と一つの超平面の交わりとして表される。高次方程式を線形化できる代わりに、周囲の次元とVeroneseイデアルの関係式が増える。

4　演習と解答

演習1。 $[X:Y]\mapsto[X^2:XY:Y^2]$ の単射性を図で確かめよ。
解答。 $X\ne0$ なら $XY/X^2=Y/X$、$Y\ne0$ なら $XY/Y^2=X/Y$ から元のアフィン座標を復元できる。全成分は2次なので代表によらない。
演習2。 $[2:3:4:6]\in\mathbf P^3$ のSegre写像による原像を求めよ。ただし標数 $2,3$ を除く。
解答。 $2\cdot6-3\cdot4=0$ であり、$([1:2],[2:3])\mapsto[2:3:4:6]$。
演習3。 $[X^2:XY:XZ]$ の基点集合を求めよ。
解答。 三成分は $X$ を共通因子に持ち、$X\ne0$ なら第一成分が非零。従って基点集合は直線 $V_+(X)$。その補集合では恒等写像と同じである。
演習4。 三次有理正規曲線 $[A:B:C:D]=[s^3:s^2t:st^2:t^3]$ について $AC-B^2=AD-BC=BD-C^2=0$ を示せ。
解答。 各式に代入すると順に $s^4t^2-s^4t^2$、$s^3t^3-s^3t^3$、$s^2t^4-s^2t^4$ となる。
演習5。 次数 $d$ の超曲面がVeronese像の超平面切断になることを示せ。
解答。 $F=\sum c_\alpha X^\alpha$ に対して目標空間で $H=V_+(\sum c_\alpha Z_\alpha)$ と置く。式 (4) に代入すれば $\nu_d(V_+(F))=\nu_d(\mathbf P^n)\cap H$。