5-1 schemeの貼り合わせ
前提知識：射影空間、前層と層、Specの構造層、affine schemeの反変同値
一つのSpecだけでは足りない
affine scheme $\operatorname{Spec}A$ はring一個から完全に記述できます。しかしprojective space、complete curves、多くのmoduli spacesは一つのaffine schemeではありません。それでもsmall open piecesはaffineです。
manifoldをcoordinate chartsから作るのと同様に、affine schemes $X_i$ のopen partsをisomorphismsで同一視してglobal objectを作ります。ただしschemeでは次の三層を同時にglueする必要があります。
- underlying topological spaces。
- sheaves of rings。
- stalksのlocal-ring structures。
overlaps上のidentificationsがtriple overlapsで矛盾しないというcocycle conditionが、この三層を一つにまとめます。
位相空間のgluing datum
topological spaces $X_i$ indexed by $i\in I$ に対するgluing datum for topological spaces|位相空間の貼り合わせdataとは、次からなる。
- 各 $i,j$ に対するopen subset $U_{ij}\subseteq X_i$。
- homeomorphism
$$ \varphi_{ij}:U_{ij}\xrightarrow{\sim}U_{ji}. $$ - $U_{ii}=X_i$、$\varphi_{ii}=\operatorname{id}_{X_i}$。
- $\varphi_{ji}=\varphi_{ij}^{-1}$。
- 全 $i,j,k$ について
$$ \varphi_{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk} $$
であり、このopen set上で
$$ \varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ik}. $$
最後の条件をcocycle conditionという。
indicesの向きは、$X_i$ のpointを $X_j$ の対応するpointへ送るように取っています。
quotient spaceの構成
disjoint union
$$
\coprod_{i\in I}X_i
$$
上で、$x\in U_{ij}$ と $\varphi_{ij}(x)\in U_{ji}$ を同一視します。
relation
$$
(i,x)\sim(j,y)
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\in U_{ij}\text{ and }y=\varphi_{ij}(x)
$$
はequivalence relationである。
$U_{ii}=X_i$ と $\varphi_{ii}=\operatorname{id}$ からreflexiveです。$\varphi_{ji}=\varphi_{ij}^{-1}$ からsymmetricです。
transitivityを示します。$(i,x)\sim(j,y)$、$(j,y)\sim(k,z)$ とします。すると
$$
x\in U_{ij},\quad y=\varphi_{ij}(x)\in U_{jk},
\quad z=\varphi_{jk}(y).
$$
cocycle conditionのdomain equalityから $x\in U_{ij}\cap U_{ik}$ であり
$$
z=\varphi_{jk}(\varphi_{ij}(x))=\varphi_{ik}(x).
$$
従って $(i,x)\sim(k,z)$ です。□
quotient setを
$$
X:=\left(\coprod_iX_i\right)/\!\sim
$$
とし、quotient topologyを入れます。canonical mapを $\iota_i:X_i\to X$ と書きます。
各 $\iota_i$ はhomeomorphism from $X_i$ onto an open subset of $X$ であり、imagesは $X$ をcoverする。また
$$
\iota_i(U_{ij})=\iota_i(X_i)\cap\iota_j(X_j),
$$
かつoverlap上で
$$
\iota_j\circ\varphi_{ij}=\iota_i.
$$
さらに、この性質を持つspaceはunique up to unique homeomorphismである。
同じ $X_i$ 内の二pointsがequivalentなら、定義と $\varphi_{ii}=\operatorname{id}$ から等しいので $\iota_i$ はinjectiveです。
$V\subseteq X_i$ をopenとします。quotient map $q:\coprod X_i\to X$ に対し、$q^{-1}(\iota_i(V))$ の $X_j$-componentは
$$
\varphi_{ij}(V\cap U_{ij})\subseteq X_j
$$
です。これはopenなので $q^{-1}(\iota_i(V))$ はdisjoint unionでopen。quotient topologyから $\iota_i(V)$ はopen in $X$ です。特に $\iota_i(X_i)$ はopenで、$\iota_i$ はopen continuous bijection onto its image、従ってhomeomorphismです。imagesがcoverすることはquotient constructionから明らかです。
pointが両imagesに入ることは、ある $x\in X_i$ と $y\in X_j$ がequivalentであること、すなわち $x\in U_{ij}$、$y=\varphi_{ij}(x)$ と同値です。従ってoverlap formulaとcommutative formulaが従います。
別のspace $X'$ とopen embeddings $\iota_i'$ が同じidentificationsを満たすとします。map $\coprod X_i\to X'$ はequivalent pointsを同じpointへ送るのでunique set map $X\to X'$ を誘導します。各open cover piece上でhomeomorphismであり、inverseも同様に作れるためunique homeomorphismです。□
これがtopological gluing theorem|位相空間の貼り合わせ定理です。
sheavesのgluing datum
各 $X_i$ 上にsheaf of rings $\mathcal O_i$ があるとします。overlap homeomorphismだけではfunctionsを同一視できないので、sectionsのidentificationも指定します。
上のtopological gluing datumに対するgluing datum for sheaves|層の貼り合わせdataとは、各open $V\subseteq U_{ij}$ にrestriction-compatibleなring isomorphism
$$
\theta_{ij,V}:\mathcal O_i(V)
\xrightarrow{\sim}
\mathcal O_j(\varphi_{ij}(V))
$$
を与え、次を満たすものである。
- $\theta_{ii}=\operatorname{id}$。
- $\theta_{ji}=\theta_{ij}^{-1}$ after transport by $\varphi_{ij}$。
- triple overlaps上で
$$ \theta_{ik}=\theta_{jk}\circ\theta_{ij}. $$
これは通常
$$
\mathcal O_i|_{U_{ij}}
\cong
\varphi_{ij}^{-1}(\mathcal O_j|_{U_{ji}})
$$
というsheaf isomorphismで表します。本章ではsections上のmapsとして具体的に使います。
compatible familiesからglued sheafを作る
topological gluingで得た $X$ のopen set $W$ に対し
$$
W_i:=\iota_i^{-1}(W\cap\iota_i(X_i))
$$
と置きます。
$\mathcal O_X(W)$ をfamilies
$$
(s_i)_{i\in I},
\qquad s_i\in\mathcal O_i(W_i),
$$
であって、全 $i,j$ について
$$
\theta_{ij}\bigl(s_i|_{W_i\cap U_{ij}}\bigr)
=s_j|_{\varphi_{ij}(W_i\cap U_{ij})}
$$
を満たすもの全体とする。operationsとrestrictionsはcomponentwiseに定める。これをglued sheaf|貼り合わせ層という。
$W\mapsto\mathcal O_X(W)$ はsheaf of ringsであり、各open subspace $\iota_i(X_i)$ へのrestrictionは $\mathcal O_i$ とcanonically isomorphicである。このsheafは指定されたoverlap identificationsを実現するものとしてunique up to unique isomorphismである。
まずpresheafであることはcomponentwise restrictionsがoverlap compatibilityを保つことから従います。
open cover $W=\bigcup_\alpha W^\alpha$ を取ります。compatible families $s^\alpha=(s_i^\alpha)$ が各 $W^\alpha$ 上にあるとします。固定した$i$について、opens
$$
W_i^\alpha=\iota_i^{-1}(W^\alpha\cap\iota_i(X_i))
$$
は $W_i$ をcoverし、$s_i^\alpha$ はoverlapsで一致します。$\mathcal O_i$ のsheaf axiomによりunique $s_i\in\mathcal O_i(W_i)$ へglueします。
このfamily $(s_i)$ がchart overlapsでcompatibleであることは、各 $W_i^\alpha\cap U_{ij}$ 上で成立し、それらが $W_i\cap U_{ij}$ をcoverするため、$\mathcal O_j$ のlocalityから従います。従って $(s_i)\in\mathcal O_X(W)$ です。uniquenessも各componentのlocalityから従います。よって $\mathcal O_X$ はsheafです。
次に $W\subseteq\iota_i(X_i)$ とします。section $s_i\in\mathcal O_i(W_i)$ から、各$j$で
$$
W_j=\varphi_{ij}(W_i\cap U_{ij})
$$
上のsection $s_j:=\theta_{ij}(s_i|_{W_i\cap U_{ij}})$ を作れます。cocycle conditionにより $(s_j)$ はcompatibleです。従ってrestriction $\mathcal O_X|_{\iota_i(X_i)}\to\mathcal O_i$ はbijective on every open setで、sheaf isomorphismです。
最後に、別のsheafが同じchart restrictionsとtransition isomorphismsを実現するとします。そのsectionを各chartへrestrictすればcompatible familyを得ます。逆にcompatible familyはsheaf gluingによりunique global sectionとなるので、両sheavesはuniqueにisomorphicです。□
これがsheaf gluing theorem|層の貼り合わせ定理です。constructionそのものがsheaf axiomの大域版になっています。
局所環付き空間の貼り合わせ
各 $(X_i,\mathcal O_i)$ がlocally ringed spaceで、各overlap identification $(\varphi_{ij},\theta_{ij})$ がisomorphism of locally ringed spacesであるとします。
topological space $X$ とglued sheaf $\mathcal O_X$ のpairはlocally ringed spaceであり、各
$$
\iota_i:(X_i,\mathcal O_i)\longrightarrow(X,\mathcal O_X)
$$
はopen subspaceへのisomorphismである。このpairはgluing dataを実現するものとしてunique up to unique isomorphism of locally ringed spacesである。
任意の $x\in X$ を取り、$x\in\iota_i(X_i)$ を選びます。sheaf restriction isomorphismはstalk isomorphism
$$
\mathcal O_{X,x}\cong\mathcal O_{i,\iota_i^{-1}(x)}
$$
を誘導します。右辺はlocal ringなので左辺もlocal ringです。従って $(X,\mathcal O_X)$ はlocally ringed spaceです。
各 $\iota_i$ はunderlying open subspaceへのhomeomorphismで、structure sheavesもisomorphicです。stalk mapsはisomorphisms of local ringsなのでopen subspaceへのlocally ringed-space isomorphismです。uniquenessはtopological gluing theoremとsheaf gluing theoremのunique mapsを組み合わせれば従います。□
これはgluing theorem for locally ringed spaces|局所環付き空間の貼り合わせ定理です。
schemeの定義
局所環付き空間 $(X,\mathcal O_X)$ がschemeであるとは、open cover
$$
X=\bigcup_{i\in I}U_i
$$
が存在して、各restricted locally ringed space $(U_i,\mathcal O_X|_{U_i})$ がaffine schemeとisomorphicになることをいう。このような $U_i$ をaffine open subscheme|affine open subscheme、coverをaffine open coverという。
定義はlocalです。一つのglobal ringから作れなくても、各pointの近くがある $\operatorname{Spec}A$ ならschemeです。
affine schemesをopen subschemes上のisomorphismsでcocycle-compatibleにglueして得るlocally ringed spaceはschemeである。
glued spaceは各original affine schemeのimageによってopen coverされ、各imageは元のaffine schemeとisomorphicです。これはschemeの定義を満たします。□
morphismsもlocalにglueできる
scheme $X$ のopen cover $X=\bigcup_iU_i$ とscheme $Y$ を取る。morphisms
$$
f_i:U_i\longrightarrow Y
$$
が全overlaps $U_i\cap U_j$ 上で一致するなら、unique morphism
$$
f:X\longrightarrow Y
$$
が存在して $f|_{U_i}=f_i$ となる。
underlying continuous mapsはopen cover上で一致するため、pointwiseにunique map $f:X\to Y$ へglueします。continuityは、open $V\subseteq Y$ に対し
$$
f^{-1}(V)\cap U_i=f_i^{-1}(V)
$$
が各 $U_i$ でopenであり、$U_i$ 自身がopen in $X$ なので $f^{-1}(V)$ がopenとなることから従います。
sheaf mapsをglueします。open $V\subseteq Y$ とsection $s\in\mathcal O_Y(V)$ に対し、各 $i$ で
$$
f_i^\#(s)\in\mathcal O_X(f^{-1}(V)\cap U_i)
$$
を得ます。overlapsでmorphismsが一致するためこれらのsectionsはcompatibleです。$\mathcal O_X$ のgluingによりunique section
$$
f^\#(s)\in\mathcal O_X(f^{-1}(V))
$$
を得ます。operationsとrestrictionsとのcompatibilityは各 $U_i$ 上で成立し、localityによりglobalにも成立します。
各point $x\in U_i$ におけるstalk mapは $(f_i)_x^\#$ と同じでlocalです。従って $f$ はlocally ringed-space morphism、すなわちscheme morphismです。uniquenessはcontinuous mapとsheaf sectionsのlocalityから従います。□
これはgluing lemma for scheme morphisms|scheme射の貼り合わせ補題です。schemeの射を定義・比較する問題もaffine opensへ局所化できます。
projective lineを二つのaffine linesから作る
$k$ をfieldとします。二つのaffine lines
$$
X_0=\operatorname{Spec}k[t],
\qquad
X_1=\operatorname{Spec}k[u]
$$
を取ります。overlapsを
$$
U_{01}=D(t)\subseteq X_0,
\qquad
U_{10}=D(u)\subseteq X_1
$$
とします。section ringsは
$$
k[t,t^{-1}],
\qquad
k[u,u^{-1}].
$$
ring isomorphism
$$
k[u,u^{-1}]\longrightarrow k[t,t^{-1}],
\qquad
u\longmapsto t^{-1}
$$
は反変にaffine scheme isomorphism
$$
\varphi_{01}:D(t)\xrightarrow{\sim}D(u)
$$
を与えます。二chartなのでtriple cocycleはinverse condition以外にありません。
$X_0$ と $X_1$ をtransition $u=t^{-1}$ でglueして得るschemeをprojective line as a scheme|schemeとしてのprojective lineといい
$$
\mathbb P_k^1
$$
と書く。
$X_0$ はhomogeneous coordinate $[1:t]$ のchart、$X_1$ は $[u:1]$ のchartに対応します。overlapで
$$
[1:t]=[t^{-1}:1]=[u:1]
$$
なのでclassical projective lineのtransitionと一致します。$X_1$ のorigin $u=0$ が $X_0$ から見えないpoint at infinityです。
projective lineのglobal functions
$$ \Gamma(\mathbb P_k^1,\mathcal O_{\mathbb P^1})\cong k. $$
global sectionはpair
$$
p(t)\in k[t],
\qquad q(u)\in k[u]
$$
で、overlap上で
$$
p(t)=q(t^{-1})
$$
in $k[t,t^{-1}]$ を満たすものです。左辺はnonnegative powers of $t$ だけ、右辺はnonpositive powers of $t$ だけを持ちます。Laurent polynomial表示の一意性から両者はconstantです。逆に任意の $c\in k$ は両charts上のconstant sectionsとしてglueします。□
これはglobal functions on the projective line|射影直線上の大域正則関数です。
$\mathbb P_k^1$ はaffine schemeではない。
もしaffineなら、affine scheme recovery theoremにより
$$
\mathbb P_k^1
\cong
\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb P_k^1,\mathcal O)
\cong\operatorname{Spec}k
$$
となります。しかし $\operatorname{Spec}k$ はone-point spaceで、$\mathbb P_k^1$ は少なくともchart $\operatorname{Spec}k[t]$ に含まれるdistinct points $(0)$ と $(t)$ を持ちます。矛盾です。□
このnon-affineness of the projective line|射影直線の非affine性は、一般schemeが必要になる最初の決定的な例です。
projective n-spaceのchart gluing
各 $i=0,\dots,n$ に対し
$$
X_i
=\operatorname{Spec}
k\left[x_0/x_i,\dots,\widehat{x_i/x_i},\dots,x_n/x_i\right]
\cong\mathbb A_k^n
$$
を取ります。$X_i$ と $X_j$ のoverlapでは $x_j/x_i$ をinvertし、transitionを
$$
\frac{x_\ell}{x_j}
=\frac{x_\ell/x_i}{x_j/x_i}
$$
で定めます。
上のtransition mapsはpairwise inversesであり、triple overlaps上でcocycle conditionを満たす。
$i$-chartから$j$-chartへ移るとき
$$
\frac{x_i}{x_j}=\left(\frac{x_j}{x_i}\right)^{-1}
$$
なのでreverse transitionはinverseです。さらに $i,j,k$ が全てnonzeroなoverlapで
$$
\frac{x_\ell/x_j}{x_k/x_j}
=\frac{x_\ell}{x_k}
$$
です。すなわち $i$-coordinatesから$j$-coordinates、さらに$k$-coordinatesへ変換した結果は、直接$i$から$k$へ変換した結果と同じです。coordinate ringsのgenerators全てで一致するのでring mapsが一致し、反変にscheme transition mapsもcocycleを満たします。□
affine charts $X_0,\dots,X_n$ を上のtransition mapsでglueして得るschemeをprojective space as a scheme|schemeとしてのprojective space
$$
\mathbb P_k^n
$$
という。
「射影空間と斉次座標」でhomogeneous coordinatesから作ったclassical projective spaceのstandard chartsと同じtransitionsを持つため、underlying closed-point geometryを回収します。同時にgeneric points、nonclosed primes、structure sheafも加わっています。
原点を二重化した直線
gluingはprojective objectsだけでなくpathological examplesも作ります。二つのaffine lines
$$
X_1=\operatorname{Spec}k[t],
\qquad
X_2=\operatorname{Spec}k[t]
$$
を、両方の $D(t)$ 上でidentityによりglueします。
上のgluingで得るschemeをaffine line with doubled origin|原点を二重化したaffine lineという。
$t\ne0$ の全pointsは二charts間で同一視されますが、origins
$$
0_1=(t)\in X_1,
\qquad
0_2=(t)\in X_2
$$
はoverlapに入らないためdistinctです。
二つのorigins $0_1,0_2$ の任意のopen neighborhoodsは交わる。
$V_i\subseteq X_i$ を $0_i$ のopen neighborhoodとします。principal opens are a basisなので、ある $f_i\notin(t)$、すなわち $f_i(0)\ne0$ に対し
$$
0_i\in D(f_i)\subseteq V_i
$$
とできます。polynomial $tf_1f_2$ はzero polynomialでないので $D(tf_1f_2)$ はnonemptyで、
$$
D(tf_1f_2)\subseteq D(t)\cap D(f_1)\cap D(f_2).
$$
$D(t)$ 上では二chartsがidentityで同一視されるため、このnonempty open subsetは $V_1$ と $V_2$ のimagesのintersectionに入ります。従ってoriginsをdisjoint neighborhoodsで分離できません。□
この例はHausdorff性に似たschemeのseparatednessがautomaticでないことを示します。後続の巻でdiagonal morphismを用いて正確に測ります。
gluingのuniquenessをどう使うか
projective spaceを別のcoordinatesや別のchart orderで作っても、overlap identificationsが同じならunique isomorphismがあります。このuniquenessは「constructionのchoicesに依存しない」を保証します。
また、glued schemeからtarget $Y$ へのmorphismを作るには、各chart上のmapsを書き、overlapsで一致することを確認すれば十分です。逆に二morphismsの一致もopen cover上で確認できます。これがlocal calculationsをglobal geometryへ運ぶ基本手段です。
演習
二spaces $X_1,X_2$ をopen subsets $U_{12}\subseteq X_1$、$U_{21}\subseteq X_2$ のhomeomorphismでglueする場合、cocycle conditionがinverse conditionだけに帰着することを説明せよ。
indicesは $1,2$ しかありません。三つのdistinct indicesからなるtriple overlapは存在しません。同じindexを含むcocycleは $\varphi_{ii}=\operatorname{id}$ または
$$
\varphi_{21}\circ\varphi_{12}=\operatorname{id}_{U_{12}},
\qquad
\varphi_{12}\circ\varphi_{21}=\operatorname{id}_{U_{21}}
$$
となり、これは $\varphi_{21}=\varphi_{12}^{-1}$ そのものです。□
$\mathbb P_k^1$ の二standard chartsのoriginsがそれぞれhomogeneous points $[1:0]$、$[0:1]$ のどちらに対応するか求めよ。
$X_0$ chartではcoordinate $t=x_1/x_0$ なので $t=0$ は $[1:0]$。$X_1$ chartでは $u=x_0/x_1$ なので $u=0$ は $[0:1]$ です。overlap relation $u=t^{-1}$ により、どちらのoriginもoverlapには入らずdistinctです。□
原点を二重化した直線 $X$ のglobal section ringが $k[t]$ とisomorphicであることを示せ。
global sectionはpair $(f_1,f_2)\in k[t]\times k[t]$ で、overlap $D(t)$ 上で同じimageを持つものです。すなわち
$$
f_1=f_2\quad\text{in }k[t,t^{-1}].
$$
canonical map $k[t]\to k[t,t^{-1}]$ はinjectiveなので $f_1=f_2$ in $k[t]$。従ってcompatible pairsはexactly $(f,f)$ で、global section ringは $k[t]$ とisomorphicです。□
原点を二重化した直線がaffineでないことを、global sectionsとpointsを用いて示せ。
もし $X$ がaffineならaffine recovery theoremから
$$
X\cong\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal O_X)
\cong\operatorname{Spec}k[t].
$$
前問のidentificationでは、global polynomial $f$ の各chartへのrestrictionは両方とも同じpolynomial $f$ です。従ってcanonical recovery morphism
$$
X\longrightarrow\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal O_X)
=\operatorname{Spec}k[t]
$$
は各chart上でidentity ring map $k[t]\to k[t]$ から誘導され、二つのorigins $0_1,0_2$ をともにprime $(t)$ へ送ります。このmapはinjectiveでないためisomorphismではありません。しかしaffine schemeならcanonical recovery morphismはisomorphismでなければならず、矛盾です。従って $X$ はaffineではありません。□
scheme $X=U\cup V$ とtarget scheme $Y$ に対し、morphisms $f_U:U\to Y$、$f_V:V\to Y$ が $U\cap V$ 上で一致するとき、glued morphismのstalk mapが各chartのstalk mapと一致することを示せ。
$x\in X$ を取ります。$x\in U$ なら、glued sheaf mapは $U$ 上で $f_U^\#$ にrestrictするよう構成されています。stalkはneighborhoodsのdirect limitなので、$x$ におけるinduced mapも
$$
f_x^\#=(f_U)_x^\#
$$
です。$x\in V$ でも同様です。$x\in U\cap V$ の場合、二morphismsがoverlap上で一致するため両stalk mapsも一致し、choice of chartに依存しません。□
この章で得た橋
topological spacesのopen gluing、sheavesのcompatible-family gluing、local-ring stalksの継承を順に証明し、affine schemesから一般schemeを作れるようになりました。projective lineとprojective spaceはstandard affine chartsのcoordinate transitionsから構成され、原点を二重化した直線はgluingが非分離なschemeも生むことを示します。
次の頁ではscheme morphismsの性質をaffine opens上のring mapsへ翻訳し、局所表示、open・closed immersions、dominanceなどを体系的に扱う準備をします。
参考文献
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