3-3 環付き空間と局所環付き空間
前提知識：局所環とgerm、前層と層、stalkと層化
位相空間だけでは図形を区別できない
algebraic geometryでは、同じunderlying topological spaceの上に異なるfunctionsを載せた対象を区別する必要があります。たとえば一点だけのspaceでも、その点の上にfield $k$ を置くかdual numbers $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ を置くかで、infinitesimal informationは異なります。topologyだけを見ると両者は同じ一点ですが、functionsのringは違います。
そこでspace $X$ と、各open set $U$ 上で許されるfunctionsのring $\mathcal O_X(U)$ をpairにします。さらに一点 $x$ の近くのfunctionsを集めたstalk $\mathcal O_{X,x}$ がlocal ringであることを要求すると、「その点で消えるgerms」という唯一のmaximal idealが定まり、幾何学的な一点と代数的な局所情報が結びつきます。
環付き空間
ringed space|環付き空間とは、topological space $X$ とsheaf of rings $\mathcal O_X$ のpair
$$
(X,\mathcal O_X)
$$
である。$\mathcal O_X$ をstructure sheaf|structure sheafという。
環付き空間の定義だけではstalksがlocal ringsであるとは限りません。まず広いcategoryを作り、その中からgeometryに適した対象を選びます。
基本例
- 任意のtopological space $X$ とcontinuous real-valued functionsのsheaf $\mathcal C_X^0$。
- smooth manifold $M$ とsmooth functionsのsheaf $\mathcal C_M^\infty$。
- complex manifold $M$ とholomorphic functionsのsheaf $\mathcal O_M$。
- affine algebraic set $X$ とregular functionsのsheaf $\mathcal O_X$。
- 一点space $\{*\}$ と任意のring $A$。唯一のnonempty open set上のsectionsを $A$ とすれば環付き空間になる。
最後の例は、環付き空間がtopologyよりはるかに多くの情報を持つことを示します。
continuous functionsのstalkはlocal ringである
local ringのunit判定を具体例で確認します。
$X$ をtopological space、$x\in X$ とする。continuous real-valued functionsのstalk $\mathcal C^0_{X,x}$ はlocal ringであり、そのunique maximal idealは
$$
\mathfrak m_x=\{f_x\mid f(x)=0\}
$$
である。
evaluation
$$
\operatorname{ev}_x:\mathcal C^0_{X,x}\longrightarrow\mathbb R,
\qquad f_x\longmapsto f(x)
$$
はrepresentativeによらずwell-definedなsurjective ring homomorphismです。そのkernelが $\mathfrak m_x$ なので、quotientは $\mathbb R$ と同型であり $\mathfrak m_x$ はmaximalです。
$f_x\notin\mathfrak m_x$、すなわち $f(x)\ne0$ とします。continuityにより、あるneighborhood $U$ of $x$ 上で $f$ はzeroになりません。従って $1/f$ は $U$ 上continuousで
$$
f_x(1/f)_x=1.
$$
よって $\mathfrak m_x$ の外の全elementsはunitsです。ringで一つのproper idealの外が全てunitsなら、そのidealは唯一のmaximal idealです。実際、任意のmaximal idealはunitsを含まないため $\mathfrak m_x$ に含まれ、maximalityから等しくなります。□
これはcontinuous function germ local ring|連続関数germの局所環という最も身近な模型です。同じ証明でsmooth function germs、holomorphic function germs、regular function germsもlocal ring|local ringsになります。最後の場合は「局所環とgerm」で
$$
\mathcal O_{X,x}\cong k[X]_{\mathfrak m_x}
$$
を証明しました。
局所環付き空間
環付き空間 $(X,\mathcal O_X)$ がlocally ringed space|局所環付き空間であるとは、全 $x\in X$ でstalk $\mathcal O_{X,x}$ がlocal ringであることをいう。
名称の「locally」はopen coverの意味ではなく、各pointのstalkがlocal ringであることを指します。
一点spaceにring $A$ を載せた環付き空間は、$A$ がlocal ringであるとき、かつそのときに限り局所環付き空間である。
従ってfields、discrete valuation rings、dual numbers $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ は一点の局所環付き空間を与えます。一方 $k\times k$ は二つのmaximal idealsを持つので、一点spaceに載せても局所環付き空間にはなりません。
sheafを写像の向こうへ送る
異なるspaces上のsheavesを比較するには、まず同じspace上へ移す必要があります。continuous map
$$
f:X\longrightarrow Y
$$
を固定します。
$X$ 上のsheaf $\mathcal F$ に対し、$Y$ のopen set $V$ 上で
$$
(f_*\mathcal F)(V):=\mathcal F(f^{-1}(V))
$$
と置く。restriction mapsも $\mathcal F$ のものを使う。このsheafをdirect image sheaf|direct image sheafという。
$\mathcal F$ がsheafなら $f_*\mathcal F$ もsheafである。
$V=\bigcup_iV_i$ を $Y$ のopen coverとすると
$$
f^{-1}(V)=\bigcup_i f^{-1}(V_i)
$$
です。$(f_*\mathcal F)(V_i)=\mathcal F(f^{-1}(V_i))$ 上のlocalityとgluingは、このinverse-image coverに対する $\mathcal F$ のsheaf axiomsそのものです。□
この事実をdirect image sheaf is a sheaf|層のdirect imageの層性として用います。direct imageはopen coverをinverse image coverへ移すだけなので、追加の層化を必要としません。
環付き空間の射
functionsはpointsと逆向きにpull backします。$f:X\to Y$ に対し、$Y$ 上のfunction $s$ はcomposition $s\circ f$ により $X$ 上のfunctionになります。この反変性を定義へ組み込みます。
環付き空間のmorphism of ringed spaces|射
$$
(f,f^\#):(X,\mathcal O_X)\longrightarrow(Y,\mathcal O_Y)
$$
とは、次のdataである。
- continuous map $f:X\to Y$。
- $Y$ 上のsheaves of ringsのmorphism
$$ f^\#:\mathcal O_Y\longrightarrow f_*\mathcal O_X. $$
すなわち各open $V\subseteq Y$ にring homomorphism
$$ f_V^\#:\mathcal O_Y(V)\longrightarrow\mathcal O_X(f^{-1}(V)) $$
があり、restrictionsとcommuteする。
$f^\#$ はpullback of functionsです。arrow of spacesは $X\to Y$ ですが、arrow of function ringsは逆向きになります。
continuous map $f:X\to Y$ に対し
$$
f_V^\#(s):=s\circ f|_{f^{-1}(V)}
$$
と置けば、continuous functionsの環付き空間の射
$$
(X,\mathcal C_X^0)\longrightarrow(Y,\mathcal C_Y^0)
$$
を得る。
compositionがcontinuousで、open setを小さくしてからcomposeしても、先にcomposeしてからrestrictしても同じなのでsheaf morphismです。
射がstalkに誘導する準同型
環付き空間の射 $(f,f^\#)$ と $x\in X$ に対し、$f(x)$ の近くのfunctionをpull backして $x$ でgermを取ります。
$$
f_x^\#:\mathcal O_{Y,f(x)}\longrightarrow\mathcal O_{X,x},
\qquad
s_{f(x)}\longmapsto(f_V^\#s)_x
$$
をstalk homomorphism of a ringed-space morphism|環付き空間の射がstalkに誘導する準同型という。ここで $s\in\mathcal O_Y(V)$、$f(x)\in V$ である。
$f_x^\#$ はrepresentativeによらずwell-definedなring homomorphismである。
$s_{f(x)}=t_{f(x)}$ なら、あるneighborhood $W$ of $f(x)$ 上で $s|_W=t|_W$ です。restriction compatibilityにより
$$
f_V^\#(s)|_{f^{-1}(W)}
=f_W^\#(s|_W)
=f_W^\#(t|_W)
=f_{V'}^\#(t)|_{f^{-1}(W)}.
$$
$f^{-1}(W)$ は $x$ のneighborhoodなので、pullbacksのgermsは等しいです。ring operationsの保存はrepresentatives上の $f_V^\#$ がring homomorphismであることから従います。□
local homomorphism
local rings $(A,\mathfrak m_A)$、$(B,\mathfrak m_B)$ のhomomorphism $\varphi:A\to B$ が幾何学的なpointsを保つためには、$A$ でnonunitなgermと $B$ でnonunitなgermの関係を正確に保つ必要があります。
local ringsのhomomorphism $\varphi:A\to B$ が
$$
\varphi^{-1}(\mathfrak m_B)=\mathfrak m_A
$$
を満たすとき、$\varphi$ をlocal homomorphism|局所準同型という。
local ringsのhomomorphism $\varphi:A\to B$ に対し、次は同値である。
- $\varphi$ はlocal homomorphismである。
- $\varphi(\mathfrak m_A)\subseteq\mathfrak m_B$。
- $\varphi(a)$ がunit in $B$ なら $a$ はunit in $A$。
local ringではnonunits全体がunique maximal idealです。
$(1)\Rightarrow(2)$ はpreimage equalityから明らかです。
$(2)\Rightarrow(3)$ を示します。$a$ がnonunitなら $a\in\mathfrak m_A$ なので $\varphi(a)\in\mathfrak m_B$、従って $\varphi(a)$ もnonunitです。contrapositiveを取れば $(3)$ です。
$(3)\Rightarrow(1)$ を示します。ring homomorphismはunitsをunitsへ送るので、$a\notin\mathfrak m_A$ なら $a$ はunit、従って $\varphi(a)$ もunitで $\varphi(a)\notin\mathfrak m_B$。これは
$$
\varphi^{-1}(\mathfrak m_B)\subseteq\mathfrak m_A
$$
を意味します。逆に $a\in\mathfrak m_A$ ならnonunitです。もし $\varphi(a)$ がunitなら $(3)$ により $a$ もunitとなり矛盾するので、$\varphi(a)\in\mathfrak m_B$。従って逆包含も成立します。□
これらをlocal homomorphism criteria|局所準同型の同値判定と呼びます。この命題の $(2)\Rightarrow(1)$ はlocal ringsの間に限って成立します。targetだけがlocalでも、maximal idealへの包含だけからpreimage equalityを結論するにはsourceがlocalであることが必要です。
局所環付き空間の射
局所環付き空間のmorphism of locally ringed spaces|射とは、環付き空間の射
$$
(f,f^\#):(X,\mathcal O_X)\longrightarrow(Y,\mathcal O_Y)
$$
であって、全 $x\in X$ でstalk homomorphism
$$
f_x^\#:\mathcal O_{Y,f(x)}\longrightarrow\mathcal O_{X,x}
$$
がlocal homomorphismとなるものである。
locality conditionがなければ、spaceのpoint $x$ がtargetのpoint $f(x)$ に対応するという意味をring mapsが反映しない可能性があります。
regular mapは局所環付き空間の射を与える
affine algebraic setsのregular map
$$
f:X\longrightarrow Y
$$
はcanonicalに局所環付き空間の射
$$
(f,f^\#):(X,\mathcal O_X)\longrightarrow(Y,\mathcal O_Y)
$$
を誘導する。
regular mapはZariski continuousです。open $V\subseteq Y$ とregular function $s\in\mathcal O_Y(V)$ に対し
$$
f_V^\#(s):=s\circ f
$$
と置きます。任意の $x\in f^{-1}(V)$ の近くで、$s=a/b$ with $b\ne0$ と書けます。すると
$$
s\circ f=\frac{a\circ f}{b\circ f},
$$
かつ $b\circ f$ は $x$ の近くでnonzeroなのでregularです。従って $f_V^\#$ はwell-definedです。composition、加法、乗法、restrictionを保つことはfunctionsのcompositionから従い、環付き空間の射を得ます。
stalk mapがlocalであることを示します。$\mathcal O_{Y,f(x)}$ のmaximal idealは $f(x)$ でzeroとなるgerms、$\mathcal O_{X,x}$ のmaximal idealは $x$ でzeroとなるgermsです。従って
$$
(s\circ f)(x)=s(f(x))
$$
より
$$
(f_x^\#)^{-1}(\mathfrak m_x)=\mathfrak m_{f(x)}.
$$
よって $f_x^\#$ はlocal homomorphismです。□
これはregular map as a locally ringed-space morphism|正則写像の局所環付き空間化です。この構成により、古典的なalgebraic varietiesは局所環付き空間として扱えます。schemeは、各pointがopen neighborhood上で $\operatorname{Spec}A$ という標準模型に見える局所環付き空間として定義されます。
identityとcomposition
環付き空間の射
$$
(X,\mathcal O_X)\xrightarrow{(f,f^\#)}(Y,\mathcal O_Y)
\xrightarrow{(g,g^\#)}(Z,\mathcal O_Z)
$$
に対し、compositeのsheaf mapを各open $W\subseteq Z$ 上で
$$
(g\circ f)_W^\#
:=f_{g^{-1}(W)}^\#\circ g_W^\#
$$
と定めると環付き空間の射になる。stalk mapsは
$$
(g\circ f)_x^\#=f_x^\#\circ g_{f(x)}^\#
$$
を満たす。
$g_W^\#$ は $\mathcal O_Z(W)$ を $\mathcal O_Y(g^{-1}(W))$ へ送り、$f_{g^{-1}(W)}^\#$ はそれを
$$
\mathcal O_X(f^{-1}(g^{-1}(W)))
=\mathcal O_X((g\circ f)^{-1}(W))
$$
へ送ります。両mapsがrestrictionsとcommuteするのでcompositeもcommuteします。germ $s_{g(f(x))}$ をrepresentative $s$ で追えば、先に $g^\#$、次に $f^\#$ を適用したgermとなり、stalk formulaを得ます。□
このformulaをcomposition of ringed-space morphisms|環付き空間の射の合成として記録します。function pullbackの順序がspacesの合成と逆になる点が本質です。
局所環付き空間の射のcompositeは局所環付き空間の射であり、identity mapsと合わせてcategoryをなす。
local homomorphisms $A\to B$、$B\to C$ のcompositeはlocalです。実際、maximal idealsのpreimagesを二回取れば
$$
(\psi\circ\varphi)^{-1}(\mathfrak m_C)
=\varphi^{-1}(\psi^{-1}(\mathfrak m_C))
=\varphi^{-1}(\mathfrak m_B)
=\mathfrak m_A.
$$
前命題のstalk formulaにより局所環付き空間の射のcompositeもstalkwise localです。identityのstalk mapsはidentity local homomorphismsです。associativityとidentity lawsはcontinuous mapsとring homomorphismsのそれらから従います。□
従ってcategory of locally ringed spaces|局所環付き空間の圏が得られます。schemesのcategoryは、objectsをschemesに制限し、同じ局所環付き空間の射を採用して得られるfull subcategoryです。
global sectionsは反変に動く
環付き空間の射 $(f,f^\#):X\to Y$ は $V=Y$ で
$$
\Gamma(Y,\mathcal O_Y)\longrightarrow
\Gamma(X,\mathcal O_X)
$$
を誘導します。composition formulaから、global sectionsは環付き空間に対してcontravariantです。
この反変な対応をglobal sections of a ringed space|環付き空間の大域切断と呼びます。特にaffine algebraic setsでは、これは「正則写像と座標環」のcoordinate-ring pullback
$$
f^*:k[Y]\longrightarrow k[X]
$$
を回収します。ただし一般の環付き空間ではglobal section ringだけでは空間を復元できません。open setsごとのsectionsと全stalksを保持するstructure sheafが必要です。
inverse image sheafによる同値な書き方
direct imageを用いた定義は計算しやすい一方、source $X$ 上でsheavesを比較したい場合もあります。
$Y$ 上のsheaf $\mathcal G$ とcontinuous map $f:X\to Y$ に対し、$X$ のopen $U$ 上のpresheaf
$$
U\longmapsto
\varinjlim_{U\subseteq f^{-1}(V)}\mathcal G(V)
$$
を層化して得るsheafをinverse image sheaf|inverse image sheaf $f^{-1}\mathcal G$ という。colimitは $Y$ のopen sets $V$ with $f(U)\subseteq V$ にわたる。
直感的には、$f(U)$ の周りで定義されたsectionsを $U$ へ運ぶためのsheafです。
全 $x\in X$ でcanonical isomorphism
$$
(f^{-1}\mathcal G)_x\cong\mathcal G_{f(x)}
$$
がある。
左辺のgermは、$x$ のneighborhood $U$、$f(U)$ を含むopen $V\subseteq Y$、section $s\in\mathcal G(V)$ により局所的にrepresentされます。これを $s_{f(x)}$ へ送ります。representativesを小さくした関係は同じgermを与えるのでwell-definedです。
逆に $s_{f(x)}$ を $s\in\mathcal G(V)$ でrepresentします。$U=f^{-1}(V)$ は $x$ のneighborhoodであり、$s$ はinverse-image presheaf上のsection、従って層化後のgermを与えます。二構成はneighborhoodを共通に小さくすれば互いにinverseです。□
このcanonical identificationはstalks of an inverse image sheaf|inverse image sheafのstalk公式です。
環付き空間の射のsheaf map
$$
f^\#:\mathcal O_Y\to f_*\mathcal O_X
$$
は、同値に $X$ 上のsheaf morphism
$$
f^{-1}\mathcal O_Y\longrightarrow\mathcal O_X
$$
として書けます。この対応の一般的なadjunctionは圏論で扱います。stalk上ではどちらの記述も同じmap
$$
\mathcal O_{Y,f(x)}\to\mathcal O_{X,x}
$$
になります。
一点spaceで射の向きを確かめる
local rings $A,B$ をそれぞれ一点spaceに載せます。underlying continuous mapは唯一です。局所環付き空間の射
$$
(\{*\},B)\longrightarrow(\{*\},A)
$$
は、ちょうどlocal ring homomorphism
$$
A\longrightarrow B
$$
に対応します。spacesのarrowとringsのarrowが逆向きであることが、最小の例ですでに現れています。
後のaffine schemesではこの現象が
$$
\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sch}}(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}A)
\cong
\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ring}}(A,B)
$$
へ拡張されます。
演習
topological space $X$ とconstant sheaf $\underline A$ を考える。各stalkが $A$ とisomorphicであることを用い、$(X,\underline A)$ が局所環付き空間であることと $A$ がlocal ringであることが同値であると示せ。
「stalkと層化」のconstant sheafの構成から、各 $x\in X$ で $(\underline A)_x\cong A$ です。局所環付き空間であることは全stalkがlocal ringであることなので、$X$ がnonemptyならこれは $A$ がlocal ringであることと同値です。$X=\varnothing$ ではstalk条件は空虚に成立するため、nonemptyという仮定が必要です。□
local rings $A,B,C$ とlocal homomorphisms $A\xrightarrow{\varphi}B\xrightarrow{\psi}C$ に対し、$\psi\circ\varphi$ がlocal homomorphismであることをunitsの判定からも示せ。
$(\psi\circ\varphi)(a)$ がunit in $C$ とします。$\psi$ がlocalなので、local homomorphismのunit criterionから $\varphi(a)$ はunit in $B$。さらに $\varphi$ がlocalなので $a$ はunit in $A$ です。従ってcompositeも「imageがunitなら元がunit」を満たし、local homomorphismです。□
continuous map $f:X\to Y$ とsheaf $\mathcal F$ on $X$ に対し、direct imageのrestriction mapを明記し、presheaf axiomsを確認せよ。
$W\subseteq V\subseteq Y$ に対し $f^{-1}(W)\subseteq f^{-1}(V)$ なので
$$
(f_*\mathcal F)(V)=\mathcal F(f^{-1}(V))
\longrightarrow
\mathcal F(f^{-1}(W))=(f_*\mathcal F)(W)
$$
を $\mathcal F$ のrestriction mapで定めます。$f^{-1}(V)=f^{-1}(V)$ に対するrestrictionはidentityで、三つのnested opensに対するcomposition lawも $\mathcal F$ のpresheaf axiomから従います。□
polynomial map $f:\mathbb A^1\to\mathbb A^1$、$f(t)=t^2$ が $a\in\mathbb A^1$ で誘導するlocal homomorphism
$$
k[y]_{(y-a^2)}\longrightarrow k[t]_{(t-a)}
$$
を具体的に書き、maximal idealのpreimageを計算せよ。
coordinate pullbackは $y\mapsto t^2$ です。denominator $q(y)$ with $q(a^2)\ne0$ は $q(t^2)$ へ移り、$q(a^2)\ne0$ なので $k[t]_{(t-a)}$ でunitです。従って
$$
\frac{p(y)}{q(y)}\longmapsto\frac{p(t^2)}{q(t^2)}
$$
というlocalized mapを得ます。そのimageがmaximal ideal $(t-a)$ に入ることは
$$
p(a^2)=0
$$
と同値で、これは元が $(y-a^2)$ に入ることと同値です。従ってmaximal idealのpreimageは $(y-a^2)$ です。□
一点の局所環付き空間に関する対応
$$
\operatorname{Hom}_{\mathrm{LRS}}((*,B),(*,A))
\cong
\operatorname{Hom}_{\mathrm{LocalRing}}(A,B)
$$
を定義から証明せよ。
一点space間のcontinuous mapは唯一です。structure sheafの唯一のnonempty open上のmapはring homomorphism $A\to B$ であり、restriction compatibilityには追加条件がありません。唯一のpointにおけるstalksも $A,B$ 自身なので、局所環付き空間の射であるための条件はこのring homomorphismがlocalであることです。compositionとidentitiesもring mapsの逆向きのcompositionに一致します。□
この章で得た橋
環付き空間はtopological spaceとopen sets上のfunction ringsを一体化し、局所環付き空間は各pointで「消えるgerms」のunique maximal idealを指定します。射はcontinuous mapと逆向きのfunction pullbackからなり、局所環付き空間では全stalk mapsがlocalであることを要求します。regular mapsはこの意味で自然に局所環付き空間の射となります。
次の頁では任意のcommutative ring $A$ からprime idealsのspace $\operatorname{Spec}A$ を作り、Zariski topologyを入れます。「Specの構造層」でstructure sheafを載せると、$\operatorname{Spec}A$ は局所環付き空間となり、affine schemeの標準模型が完成します。
参考文献
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