9-1 総合問題と翻訳

1　可約図形の成分・座標環・接空間

問題。 $X=V(xy,xz)\subseteq\mathbf A_k^3$ の既約成分、座標環の被約性、特異点を求めよ。
解答。 多項式環で $(xy,xz)=(x)\cap(y,z)$。右辺に属する多項式は $x$ で割れ、その商も $(y,z)$ に入るからである。従って $X$ は平面 $x=0$ と $x$ 軸の和集合で、二つの素イデアルは互いに包含されず、成分次元は2と1。素イデアルの交わりは根基的なので $k[X]$ は被約である。Jacobi行列は
$$J=\begin{pmatrix}y&x&0\\z&0&x\end{pmatrix}.$$
平面成分の原点以外では階数1で接空間次元2、直線成分の原点以外では階数2で接空間次元1。原点では階数0で接空間次元3だが局所次元は2なので、特異点は原点だけである。成分次元が揃うことは代数的集合の定義には含まれない。

2　穴のある平面の大域関数

問題。 $U=\mathbf A_k^2\setminus\{(0,0)\}$ がアフィンスキームでないことを、大域関数環から示せ。
解答。 $U=D(x)\cup D(y)$。二図の関数が重なりで一致する条件は、分数体内の交わり $k[x,y]_x\cap k[x,y]_y$ に等しい。$a/x^m=b/y^n$ なら $y^na=x^mb$。UFD性と $x,y$ の互いに素性から $x^m\mid a$ で、共通の関数は $k[x,y]$ に入る。ゆえに $\Gamma(U,\mathcal O_U)=k[x,y]$。もし $U$ がアフィンなら標準写像 $U\to\operatorname{Spec}\Gamma(U,\mathcal O_U)=\mathbf A^2$ は同型になる。この写像は座標 $x,y$ の引き戻しから元の開埋入そのものだが、原点を欠くので全射でない。矛盾する。余次元2の穴は大域正則関数だけでは検出できない。

3　放物線の射影閉包

問題。 $C=V(y-x^2)$ の射影閉包と無限遠点を求め、$\mathbf P^1$ との同型を構成せよ。$\operatorname{char}k\ne2$ とする。
解答。 斉次化は $F=YZ-X^2$。無限遠直線 $Z=0$ では $X=0$ なので点は $[0:1:0]$ だけ。勾配 $(-2X,Z,Y)$ は射影点で同時に0にならず、閉包は滑らかである。写像
$$[s:t]\longmapsto[st:s^2:t^2]$$
は $YZ=X^2$ を満たし、$t\ne0$ では $u=s/t$ により $[u:u^2:1]$ となる。逆写像は $Z\ne0$ で $[X:Y:Z]\mapsto[X:Z]$、$Y\ne0$ で $[X:Y:Z]\mapsto[Y:X]$。重なりでは $YZ=X^2$ により一致し、二図で閉包を覆う。$[1:0]$ は無限遠点へ移る。第8章の閉包補論の具体例である。

4　複素点の実数上での基底変換

問題。 $\operatorname{Spec}\mathbf C\times_{\operatorname{Spec}\mathbf R}\operatorname{Spec}\mathbf C$ を計算せよ。
解答。 環は $\mathbf C\otimes_{\mathbf R}\mathbf C\cong\mathbf C[T]/(T^2+1)$。$T^2+1=(T-i)(T+i)$ の二因子は互いに素なので中国剰余定理から $\mathbf C\times\mathbf C$ となる。具体的な環同型は
$$a\otimes b\longmapsto(ab,a\overline b).$$
従ってファイバー積は二つの $\operatorname{Spec}\mathbf C$ の非交和である。第二因子の二つの $\mathbf R$ 埋め込み、恒等と複素共役が二点に対応する。

5　二重原点と分離性

問題。 二つの $\mathbf A^1$ を $D(t)$ 上で同一視し、原点 $0_1,0_2$ を別々に残したスキーム $X$ が分離的でないことを、対角と付値環の両方で示せ。
解答。 $U_1\times U_2\cong\mathbf A^2$ の座標を $(s,t)$ とすると、対角はこの図で $s=t\ne0$ に当たる。その閉包には $(0,0)$、すなわち $(0_1,0_2)$ が入るが、二つの原点は異なるから対角上にはない。従って対角は閉でない。また $K=k((t))$ の点 $t\in D(t)(K)$ は $R=k\llbracket t\rrbracket$ からそれぞれの図へ延長でき、閉点の像は $0_1$ と $0_2$ で異なる。同じ一般点写像の延長が一意でなく、分離性の付値判定にも反する。

6　滑らかな全空間と特異ファイバー

問題。 $X=\operatorname{Spec}k[t,x,y]/(xy-t)\to\mathbf A_k^1$ のファイバー、全空間、滑らかさ、平坦性を調べよ。
解答。 $t=a$ のファイバーは $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy-a)$。$a\ne0$ では滑らかな双曲線、$a=0$ では二座標軸の交わりで原点が特異。$t=xy$ を消去すると全空間は $\mathbf A_k^2$ で、$k$ 上滑らかである。相対微分の関係式は $y\,dx+x\,dy=0$。$(x,y)\ne(0,0)$ では係数の一方が局所単元なので相対次元1の滑らかな射、原点では接空間次元が2となり滑らかでない。$k[t]$ 加群としての $k[x,y]$ は $t\mapsto xy$ により捩れを持たない。PID上の捩れのない加群は平坦なので、射は全体で平坦である。

7　尖点の正規化と付値

問題。 $A=k[x,y]/(y^2-x^3)=k[t^2,t^3]$、$\operatorname{char}k\ne2,3$ の正規化を求め、尖点上の位数を計算せよ。
解答。 $t$ は $T^2-t^2=0$ を満たして $A$ 上整で、$k[t]=A+At$ は有限。共通分数体は $t=t^3/t^2$ により $k(t)$、$k[t]$ はPIDで整閉だから正規化である。正規化の $t=0$ では離散付値により $\operatorname{ord}_0(x)=2$、$\operatorname{ord}_0(y)=3$、$\operatorname{ord}_0(y/x)=1$。代数閉体上で点への写像 $t\mapsto(t^2,t^3)$ は全単射だが、$t$ は尖点の局所環に属さない。実際その局所環の非零元の $t$ 位数は0または2以上で、位数1にはなれない。よって同型ではない。

8　射影直線上の因子と切断

問題。 $k$ を代数閉体、$D=d[\infty]$ として $H^0(\mathbf P^1,\mathcal O(D))$ を全整数 $d$ について求め、$\mathcal O([a])\cong\mathcal O([\infty])$ を示せ。
解答。 有限点に極を持たない $k(t)$ の元は多項式であり、次数 $e$ の多項式の無限遠での位数は $-e$。従って $d\ge0$ なら切断は次数 $\le d$ の多項式全体で、基底 $1,t,\ldots,t^d$、次元 $d+1$。$d<0$ なら非零切断はない。また $\operatorname{div}(t-a)=[a]-[\infty]$ なので二因子は線形同値で、対応する因子層は同型。

9　楕円曲線から有限群へ

問題。 $E:y^2=x^3-x$ の有理2捩れ点、$(0,0)+(1,0)$、$p>3$ での滑らかな還元、$\#E(\mathbf F_5)$ を求めよ。
解答。 判別式は $-16(4(-1)^3)=64\ne0$ で、射影閉包は無限遠点 $O$ を持つ滑らかな三次曲線。$y=0$ の解は $x=0,1,-1$ なので $E(\mathbf Q)[2]=\{O,(0,0),(1,0),(-1,0)\}$。二点を結ぶ直線 $y=0$ の第三交点は $(-1,0)$ で、自身が反転で固定されるから和も $(-1,0)$。$p>3$ では $p\nmid64$ なので判別式は法 $p$ でも非零で、還元は滑らかである。法5で $x=0,1,2,3,4$ に対する $x^3-x$ は $0,0,1,4,0$、各 $y$ の個数は $1,1,2,2,1$。$O$ を加えて8点である。

10　平方写像の有限性・ファイバー・分岐

問題。 $\operatorname{char}k\ne2$ で、座標環の写像 $k[s]\to k[t]$、$s\mapsto t^2$ に対応する $f:\mathbf A^1_t\to\mathbf A^1_s$ を調べよ。
解答。 環写像 $k[s]\to k[t]$、$s\mapsto t^2$ に対し、任意の $p(t)$ は一意に $a(t^2)+t b(t^2)$ と書ける。従って $k[t]$ は基底 $1,t$ の自由 $k[s]$ 加群で、射は次数2の有限平坦射。$a\in k$ 上のファイバーは $\operatorname{Spec}k[t]/(t^2-a)$。代数閉体上で $a\ne0$ なら二つの被約点、$a=0$ なら二重点である。相対微分は
$$\Omega_{k[t]/k[s]}\cong k[t]dt/(2t\,dt).$$
$t\ne0$ で微分は0、有限平坦かつこの範囲で非分岐だからエタール。$t=0$ は非被約ファイバーを持つ分岐点である。ゆえにエタール部分は $D(t)$、分岐部分は $V(t)$。