5-2 schemeの射と局所表示

前提知識：affine schemeの反変同値、schemeの貼り合わせ

一般schemeの射もring mapsで記述できるか

affine schemesの間では
$$ \operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}A) \cong\operatorname{Hom}(A,B) $$
でした。source $X$ がnon-affineでも、targetがaffineなら驚くほど似たstatementが成立します。
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Sch}}(X,\operatorname{Spec}A) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{Ring}}(A,\Gamma(X,\mathcal O_X)). $$
この定理により、一般scheme上のglobal functionsからaffine targetsへのmorphismsを直接作れます。まずglobal sectionがunitになるpointsの集合を調べます。

sectionのunit locus

$X$ をscheme、$s\in\Gamma(X,\mathcal O_X)$ とします。

affine scheme $X=\operatorname{Spec}B$ と $s=b\in B$ では
$$ X_s=D(b). $$
従ってunit locusはprincipal openの一般scheme版です。

ring mapからpoint mapを作る

ring homomorphism
$$ \alpha:A\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$
を固定します。各 $x\in X$ でglobal germ mapとcomposeして
$$ A\xrightarrow{\alpha}\Gamma(X,\mathcal O_X) \longrightarrow\mathcal O_{X,x} $$
を得ます。$\mathcal O_{X,x}$ のmaximal idealを $\mathfrak m_x$ とし
$$ f_\alpha(x):={a\in A\mid\alpha(a)_x\in\mathfrak m_x\} $$ と置きます。これはmaximal idealのinverse imageなのでprime ideal of $A$ です。 &&&prop continuity of the point map from global sections [32-prop-global-map-continuity] map $$ f_\alpha:X\longrightarrow\operatorname{Spec}A, \qquad x\longmapsto f_\alpha(x) $$ はcontinuousで、全 $a\in A$ に対し $$ f_\alpha^{-1}(D(a))=X_{\alpha(a)}. $$ &&& &&&prf [32-prf-global-map-continuity] $x\in f_\alpha^{-1}(D(a))$ であることは $$ a\notin f_\alpha(x), $$ すなわち $\alpha(a)_x\notin\mathfrak m_x$ と同値です。local ringではmaximal idealの外のelementsがexactly unitsなので、これは $x\in X_{\alpha(a)}$ と同値です。unit locusはopenで、principal opensが $\operatorname{Spec}A$ のbasisをなすため $f_\alpha$ はcontinuousです。□ &&& ## principal opens上のsheaf map $D(a)\subseteq\operatorname{Spec}A$ のinverse imageは $X_{\alpha(a)}$ です。このopen上では $\alpha(a)$ がunitなので、localizationのuniversal propertyからunique ring map $$ \alpha_a:A_a\longrightarrow \Gamma(X_{\alpha(a)},\mathcal O_X) $$ があり $$ \frac{r}{a^n}\longmapsto \alpha(r)\,\alpha(a)^{-n}. $$ &&&prop compatibility of localized global-section maps [32-prop-localized-global-compatibility] maps $\alpha_a$ はprincipal opensのrestrictionsとcompatibleであり、unique sheaf morphism $$ f_\alpha^\#:\mathcal O_{\operatorname{Spec}A}\longrightarrow (f_\alpha)_*\mathcal O_X $$ を定める。 &&& &&&prf [32-prf-localized-global-compatibility] $D(b)\subseteq D(a)$ とします。restriction $A_a\to A_b$ とsection restriction $$ \Gamma(X_{\alpha(a)},\mathcal O_X)\to \Gamma(X_{\alpha(b)},\mathcal O_X) $$ を考えます。両経路は $r/a^n$ を $\alpha(r)\alpha(a)^{-n}$ のrestrictionへ送るのでcommuteします。 任意のopen $V\subseteq\operatorname{Spec}A$ をprincipal opens $V=\bigcup_iD(a_i)$ でcoverします。$s\in\mathcal O(V)$ を各 $D(a_i)$ へrestrictし、$\alpha_{a_i}$ を適用します。compatibilityにより得られたsectionsは $f_\alpha^{-1}(D(a_i)\cap D(a_j))$ 上で一致するので、$\mathcal O_X$ のgluingからunique section on $f_\alpha^{-1}(V)$ を得ます。coverやrepresentationsによらないことはcommon refinementとlocalityから従います。これが $f_\alpha^\#$ です。operationsとrestrictionsを保つこともprincipal cover上で確認しlocalityを使えば従います。uniquenessはprincipal opensがbasisであることから従います。□ &&& ## stalk mapの局所性 &&&prop localness of the induced stalk maps [32-prop-induced-stalk-local] 各 $x\in X$、$\mathfrak p=f_\alpha(x)$ に対し、induced stalk map $$ A_\mathfrak p\longrightarrow\mathcal O_{X,x} $$ はlocal homomorphismである。 &&& &&&prf [32-prf-induced-stalk-local] mapは $$ \frac{a}{s}\longmapsto\alpha(a)_x\alpha(s)_x^{-1} $$ です。$s\notin\mathfrak p$ なので $\alpha(s)_x\notin\mathfrak m_x$、従ってdenominatorはunitです。imageが $\mathfrak m_x$ に入ることは $\alpha(a)_x\in\mathfrak m_x$ と同値で、$a\in\mathfrak p$、すなわち $a/s\in\mathfrak pA_\mathfrak p$ と同値です。従ってmaximal idealのpreimageは $\mathfrak pA_\mathfrak p$ です。□ &&& よって $(f_\alpha,f_\alpha^\#)$ はscheme morphismです。 ## affine target theorem &&&thm morphisms into an affine scheme [32-thm-morphisms-to-affine] 任意のscheme $X$ とcommutative ring $A$ に対し、global pullbackはcanonical bijection $$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,\operatorname{Spec}A) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}} (A,\Gamma(X,\mathcal O_X)) $$ を与える。 &&& &&&prf [32-prf-morphisms-to-affine] ring map $\alpha$ から上のconstructionでscheme morphism $f_\alpha$ を得ました。$D(1)=\operatorname{Spec}A$ 上のsheaf mapは $$ A=A_1\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ として元の $\alpha$ なので、construction後にglobal pullbackを取れば $\alpha$ に戻ります。 逆にscheme morphism $f:X\to\operatorname{Spec}A$ を取り、global pullbackを $\alpha:A\to\Gamma(X,\mathcal O_X)$ とします。各 $x\in X$ でstalk map $$ A_{f(x)}\longrightarrow\mathcal O_{X,x} $$ はlocalです。「affine schemeの反変同値」と同じmaximal-ideal argumentにより $$ f(x)=\{a\in A\mid\alpha(a)_x\in\mathfrak m_x\}=f_\alpha(x). $$ 従ってunderlying mapsは一致します。 principal open $D(a)$ 上のsheaf mapはglobal squareとcommuteし、$\alpha(a)$ が $X_{\alpha(a)}$ 上でunitなので、localizationのuniversal propertyによりunique map $$ A_a\to\Gamma(X_{\alpha(a)},\mathcal O_X) $$ です。これはconstructed $\alpha_a$ と一致します。principal opensはbasisなのでsheaf mapsも一致し、$f=f_\alpha$。従って二構成はinverseです。□ &&& これは[[morphisms into an affine scheme|affine targetへの射の普遍性]]です。sourceがaffineである必要はありません。 ## useful consequences: functions are morphisms $\mathbb A^1_\mathbb Z=\operatorname{Spec}\mathbb Z[t]$ と置きます。unital ring map $$ \mathbb Z[t]\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ は $t$ のimage一つで決まります。 &&&cor the affine line represents global functions [32-cor-a1-represents-functions] canonical bijection $$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,\mathbb A^1_\mathbb Z) \cong\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ がある。 &&& &&&prf [32-prf-a1-represents-functions] affine target theoremとpolynomial ringのuniversal propertyにより $$ \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Spec}\mathbb Z[t]) \cong \operatorname{Hom}(\mathbb Z[t],\Gamma(X,\mathcal O_X)) \cong\Gamma(X,\mathcal O_X). $$ 対応はmorphism $f$ をglobal function $f^\#(t)$ へ送ります。□ &&& これは[[affine line represents global functions|affine lineによる大域関数の表現]]です。global functionは単なるring elementではなく、affine lineへのgeometric mapと同じものです。 同様に $\mathbb A^n_\mathbb Z=\operatorname{Spec}\mathbb Z[t_1,\dots,t_n]$ から次を得ます。 &&&cor affine space represents tuples of global functions [32-cor-an-represents-tuples] $$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,\mathbb A^n_\mathbb Z) \cong\Gamma(X,\mathcal O_X)^n. $$ &&& &&&prf [32-prf-an-represents-tuples] ring homomorphism from $\mathbb Z[t_1,\dots,t_n]$ は各generator $t_i$ のimage $s_i\in\Gamma(X,\mathcal O_X)$ を任意に指定することと同値です。affine target theoremを適用すれば結論を得ます。□ &&& これは[[affine space represents tuples of global functions|affine空間による大域関数tupleの表現]]です。 ## global units are maps to the multiplicative group $$ \mathbb G_{m,\mathbb Z}:=\operatorname{Spec}\mathbb Z[t,t^{-1}] $$ と置きます。 &&&cor the multiplicative group represents global units [32-cor-gm-represents-units] $$ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Sch}}(X,\mathbb G_{m,\mathbb Z}) \cong\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times. $$ &&& &&&prf [32-prf-gm-represents-units] ring homomorphism $$ \mathbb Z[t,t^{-1}]\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ では $t$ のimageがinvertibleでなければならず、逆に任意のunit $u$ を指定すれば $t\mapsto u$、$t^{-1}\mapsto u^{-1}$ によりunique ring mapができます。affine target theoremから結論を得ます。□ &&& これは[[multiplicative group represents global units|乗法群schemeによる大域unitの表現]]です。 ## morphismのaffine-local representation 一般のmorphism $f:X\to Y$ を取ります。targetのaffine open $V=\operatorname{Spec}A\subseteq Y$ を選ぶと、restriction $$ f^{-1}(V)\longrightarrow V $$ はaffine target theoremによりring map $$ A\longrightarrow\Gamma(f^{-1}(V),\mathcal O_X) $$ と同じ情報です。ただし $f^{-1}(V)$ はaffineとは限りません。 さらに $f^{-1}(V)$ をaffine opens $$ f^{-1}(V)=\bigcup_iU_i, \qquad U_i=\operatorname{Spec}B_i $$ でcoverすると、restriction $U_i\to V$ はring maps $$ \alpha_i:A\longrightarrow B_i $$ で表されます。 &&&thm affine-chart description of a scheme morphism [32-thm-affine-chart-description] schemes $X,Y$ のmorphismは、次のcompatible dataと同値である。 1. affine open cover $Y=\bigcup_jV_j$ with $V_j=\operatorname{Spec}A_j$。 2. $X$ のaffine open cover $X=\bigcup_{j,i}U_{ji}$ with $U_{ji}=\operatorname{Spec}B_{ji}$。index $j$ は $U_{ji}$ をtarget chart $V_j$ へ送ることを指定する。 3. ring homomorphisms $$ A_j\longrightarrow B_{ji} $$ が誘導するmorphisms $U_{ji}\to V_j\hookrightarrow Y$ が、全source-chart overlaps $U_{ji}\cap U_{\ell h}$ 上で一致するもの。 &&& &&&prf [32-prf-affine-chart-description] scheme morphism $f$ からtarget affine cover $\{V_j\}$ を選び、各open $f^{-1}(V_j)$ をaffine opens $U_{ji}$ でcoverします。各restriction $U_{ji}\to V_j$ はaffine Hom correspondenceによりring map $A_j\to B_{ji}$ を与えます。同じglobal morphismのrestrictionsなので、全source overlapsでinduced maps to $Y$ はcompatibleです。 逆にcompatible ring mapsからaffine scheme morphisms $U_{ji}\to V_j\hookrightarrow Y$ を作ります。これらは仮定により全 $U_{ji}\cap U_{\ell h}$ 上で一致します。morphism gluing lemmaをcover $X=\bigcup_{j,i}U_{ji}$ に適用してunique $f:X\to Y$ を得ます。二constructionがinverseであることはrestrictionsのuniquenessから従います。□ &&& これは[[affine-chart description of scheme morphisms|scheme射のaffine chart表示]]です。実計算ではoverlapをさらにprincipal affine opensでcoverし、localized ring mapsの一致として検査します。 ## equality of morphisms is local on the source &&&prop local equality criterion for scheme morphisms [32-prop-local-equality] morphisms $f,g:X\to Y$ とopen cover $X=\bigcup_iU_i$ に対し $$ f=g \quad\Longleftrightarrow\quad f|_{U_i}=g|_{U_i}\text{ for all }i. $$ &&& &&&prf [32-prf-local-equality] forward implicationは明らかです。reverse implicationではunderlying point mapsがcover上で一致するので全体で一致します。各open $V\subseteq Y$ とsection $s\in\mathcal O_Y(V)$ に対し、pullbacks $f^\#s,g^\#s$ はopen cover $$ f^{-1}(V)=g^{-1}(V) =\bigcup_i(U_i\cap f^{-1}(V)) $$ 上で一致します。$\mathcal O_X$ のlocalityからglobalにも一致するためsheaf mapsも同じです。□ &&& これは[[local equality criterion for scheme morphisms|scheme射の局所一致判定]]です。affine cover上でformulaが一致すればglobal morphismsも一致します。 ## isomorphism is local on the target &&&prop local criterion for a scheme isomorphism [32-prop-local-isomorphism] morphism $f:X\to Y$ とopen cover $Y=\bigcup_iV_i$ に対し、各restriction $$ f^{-1}(V_i)\longrightarrow V_i $$ がisomorphismなら $f$ はisomorphismである。 &&& &&&prf [32-prf-local-isomorphism] 各restrictionのinverseを $$ g_i:V_i\longrightarrow f^{-1}(V_i)\hookrightarrow X $$ とします。$V_i\cap V_j$ 上で $g_i,g_j$ はともに $f$ のinverseです。実際 $$ f\circ g_i=\operatorname{id}=f\circ g_j, $$ かつ $g_i\circ f$、$g_j\circ f$ はcorresponding preimages上でidentityです。従ってoverlap上で $g_i=g_j$。morphism gluing lemmaによりunique $g:Y\to X$ へglueします。 $f\circ g$ は各 $V_i$ 上でidentityなのでlocal equality criterionから $f\circ g=\operatorname{id}_Y$。同様に $g\circ f=\operatorname{id}_X$。従って $f$ はisomorphismです。□ &&& これを[[local criterion for scheme isomorphisms|scheme同型のtarget-local判定]]と呼びます。 ## base schemes and relative language geometryでは全objectsを共通のbase $S$ 上で比較します。 &&&def scheme over a base [32-def-s-scheme] scheme $S$ 上の[[scheme over a base|$S$-scheme]]とは、scheme $X$ とmorphism $$ p_X:X\longrightarrow S $$ のpairである。$p_X$ をstructure morphismという。 &&& &&&def morphism over a base [32-def-s-morphism] $S$-schemes $p_X:X\to S$、$p_Y:Y\to S$ の間の[[morphism over a base|$S$-morphism]] $f:X\to Y$ とは $$ p_Y\circ f=p_X $$ を満たすscheme morphismである。$S$-schemesと$S$-morphismsのcategoryを[[category of schemes over a base|$\mathbf{Sch}/S$]] と書く。 &&& $S=\operatorname{Spec}R$ がaffineなら、affine target theoremにより $S$-scheme structure on $X$ はring map $$ R\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ と同じ情報です。 &&&prop schemes over an affine base [32-prop-affine-base-structure] canonical bijection $$ \{\text{$\operatorname{Spec}R$-scheme structures on $X$}\} \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(R,\Gamma(X,\mathcal O_X)) $$ がある。 &&& &&&prf [32-prf-affine-base-structure] $\operatorname{Spec}R$-scheme structureとはmorphism $X\to\operatorname{Spec}R$ のchoiceです。affine target theoremを $A=R$ に適用すればexactly右辺を得ます。□ &&& これは[[schemes over an affine base|affine base上のscheme構造]]をglobal ring mapとして読む公式です。 特に全schemeにはunique map $$ X\longrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z $$ があります。なぜならunital ring map $\mathbb Z\to\Gamma(X,\mathcal O_X)$ は $n\mapsto n1$ に限るからです。これを[[absolute structure morphism|absolute structure morphism]]と呼びます。 $k$ がfieldなら、$k$-schemeとは通常 $\operatorname{Spec}k$-schemeを意味します。$k$-scheme structureはglobal section ringにcompatible $k$-algebra structureを入れることと同値です。 ## relative affine space $S=\operatorname{Spec}R$ とし $$ \mathbb A_S^n :=\operatorname{Spec}R[t_1,\dots,t_n] $$ をcanonical map to $S$ とともに考えます。 &&&prop relative affine space represents global sections [32-prop-relative-affine-space] $S$-scheme $X$ に対しcanonical bijection $$ \operatorname{Hom}_S(X,\mathbb A_S^n) \cong\Gamma(X,\mathcal O_X)^n $$ がある。 &&& &&&prf [32-prf-relative-affine-space] ordinary scheme morphism $X\to\mathbb A_S^n$ はring map $$ R[t_1,\dots,t_n]\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ と同じです。$S$-morphism conditionは、このmapのrestriction to $R$ がgiven structure map $R\to\Gamma(X,\mathcal O_X)$ と一致することです。その条件下ではring mapは $t_i$ のimages $s_i\in\Gamma(X,\mathcal O_X)$ を任意に選ぶことでuniqueに定まります。□ &&& これは[[relative affine space represents global sections|相対affine空間による大域切断の表現]]です。 ## preimage of an affine open need not be affine 一般morphismで $V\subseteq Y$ がaffineでも $f^{-1}(V)$ がaffineとは限りません。たとえばstructure morphism $$ \mathbb P_k^1\longrightarrow\operatorname{Spec}k $$ ではtarget全体がaffineですがinverse imageは $\mathbb P_k^1$ で、「schemeの貼り合わせ」によりnon-affineです。 このためgeneral morphismをring map一個で記述することはできず、source側にもaffine coverが必要です。逆に全affine opensのinverse imagesがaffineになるmorphismsをaffine morphismsと呼びますが、そのsystematic theoryとlocal-on-target criterionは後続章でquasi-coherent algebrasと合わせて扱います。 ## 演習 &&&exercise [32-exercise-1] $X$ をscheme、$s\in\Gamma(X,\mathcal O_X)$ とする。morphism $f_s:X\to\mathbb A^1_\mathbb Z$ corresponding to $s$ について $$ f_s^{-1}(D(t))=X_s $$ を示せ。 &&& &&&solution [32-solution-1] $f_s$ はring map $\mathbb Z[t]\to\Gamma(X,\mathcal O_X)$ with $t\mapsto s$ に対応します。point-map continuity formulaを $a=t$ に適用すると $$ f_s^{-1}(D(t))=X_{f_s^\#(t)}=X_s. $$ 従ってglobal functionがnonvanishing、より正確にはstalkwise unitとなるlocusは $D(t)$ のinverse imageです。□ &&& &&&exercise [32-exercise-2] $\mathbb P_k^1$ から $\mathbb A_k^1$ への全 $k$-scheme morphismsがconstantであることを示せ。 &&& &&&solution [32-solution-2] $k$-morphism $\mathbb P_k^1\to\mathbb A_k^1$ はrelative affine-space representationによりglobal section $$ s\in\Gamma(\mathbb P_k^1,\mathcal O)=k $$ と同じです。従って $s=c\in k$ はconstantで、対応するring map $k[t]\to k$ は $t\mapsto c$。誘導されるmorphismはclosed point $c$ を通るconstant morphismです。□ &&& &&&exercise [32-exercise-3] $X$ をconnected schemeとする。morphism $X\to\operatorname{Spec}(\mathbb Z\times\mathbb Z)$ が二つのcomponentsの一方だけを通ることを示せ。 &&& &&&solution [32-solution-3] affine target theoremによりmorphismはring map $$ \mathbb Z\times\mathbb Z\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ に対応します。idempotent $e=(1,0)$ のimageを $\epsilon$ とすると $\epsilon^2=\epsilon$。unit loci $X_\epsilon$ と $X_{1-\epsilon}$ はdisjoint open setsで、各stalkではlocal ringのidempotentが $0$ または $1$ なので両者は $X$ をcoverします。従って両者はclopen decompositionです。$X$ がconnectedなので一方はempty、他方はwhole $X$。underlying mapは対応するcomponent of $\operatorname{Spec}(\mathbb Z\times\mathbb Z)$ だけを通ります。□ &&& &&&exercise [32-exercise-4] $S=\operatorname{Spec}R$、$X$ を $S$-schemeとする。$S$-morphisms $X\to\mathbb G_{m,S}:=\operatorname{Spec}R[t,t^{-1}]$ が $\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times$ とbijectionすることを示せ。 &&& &&&solution [32-solution-4] $S$-morphismはring map $$ R[t,t^{-1}]\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X) $$ で、restriction to $R$ がgiven structure mapと一致するものです。残るchoiceはinvertible generator $t$ のimageで、これは任意のunit $u\in\Gamma(X,\mathcal O_X)^\times$ に取れます。逆元は必ず $t^{-1}\mapsto u^{-1}$。従ってbijectionです。□ &&& &&&exercise [32-exercise-5] morphisms $f,g:X\to Y$ がaffine open cover $X=\bigcup_iU_i$ 上で同じring mapsを誘導するとする。より正確に、各 $U_i=\operatorname{Spec}B_i$ のimageを含むaffine open $V_i=\operatorname{Spec}A_i\subseteq Y$ があり、restrictions $U_i\to V_i$ が同じmap $A_i\to B_i$ に対応するとする。このとき $f=g$ を示せ。 &&& &&&solution [32-solution-5] affine Hom correspondenceにより、同じring map $A_i\to B_i$ に対応するrestrictions $f|_{U_i},g|_{U_i}:U_i\to V_i\hookrightarrow Y$ は等しいです。従って全 $i$ で $f|_{U_i}=g|_{U_i}$。local equality criterionをopen cover $\{U_i\}$ に適用して $f=g$ を得ます。□ &&& ## この章で得た橋 affine targetへのmorphismは、sourceがnon-affineでもglobal section ringへのring mapだけで完全に記述できます。そのためglobal functionsは $\mathbb A^1$ へのmaps、global unitsは $\mathbb G_m$ へのmapsとして幾何学化されます。一般targetへのmorphismはtargetとsourceのaffine charts上のring mapsをoverlapsでglueすることで記述され、morphism equalityとisomorphismもopen covers上で検査できます。 base scheme $S$ とcategory $\mathbf{Sch}/S$ を導入したことで、次の頁では二つの $S$-schemesを同じbase上で組み合わせるfiber productとbase changeを構成できます。