1-10 消去とGröbner基底への入口

どちらも異なるmulti-indexを必ず比較でき、比較の反対称性と推移性は整数の辞書式比較から従うので全順序です。multi-indexの両辺に同じ $\gamma$ を加えても、最初に異なる座標とその大小は変わりません。total degreeの差も
$$ |\alpha+\gamma|-|\beta+\gamma|=|\alpha|-|\beta| $$
なので、積との両立性も成り立ちます。零multi-indexが最小なので $1$ は最小です。
well-order性を示します。lexicographic orderのmonomialからなる非空集合 $S$ に対し、第1座標の最小値を選び、その値を持つ元の中で第2座標の最小値を選び、以下有限個の座標について繰り返します。得られたmulti-indexは $S$ の最小元です。
graded lexicographic orderでは、まず $S$ に現れるtotal degreeの最小値 $d$ を選びます。次数 $d$ のmulti-indexは有限個しかないので、その中にlexicographic orderで最小の元があります。これが $S$ の最小元です。従って両順序はwell-orderです。□

初め $p=f$、$q_i=0$、$r=0$ とします。$p\ne0$ の間、次を行います。
$\operatorname{LM}(g_i)$ が $\operatorname{LM}(p)$ を割る最初の $i$ があれば
$$ t=\frac{\operatorname{LT}(p)}{\operatorname{LT}(g_i)} $$
と置き、$q_i$ を $q_i+t$ に、$p$ を $p-tg_i$ に置き換えます。leading termは打ち消され、新しい $p$ のleading monomialは真に小さくなります。
そのような $i$ がなければ、$\operatorname{LT}(p)$ を $r$ へ移し、$p$ から引きます。この場合も新しい $p$ のleading monomialは真に小さくなります。
各操作で恒等式
$$ f=q_1g_1+\cdots+q_sg_s+p+r $$
が保たれます。monomial orderには真の無限下降列がないので操作は停止します。停止時に $p=0$ であり、$r$ へ移した各monomialはどの $\operatorname{LM}(g_i)$ でも割り切れません。従って求める表示を得ます。□

除法により
$$ f=\sum_i q_ig_i+r $$
と書きます。$r=0$ なら $f=\sum_iq_ig_i$ であり、各 $g_i\in I$ とidealの加法・環倍に関する閉性から $f\in I$ です。
逆に $f\in I$ とします。すると $r=f-\sum_iq_ig_i\in I$ です。もし $r\ne0$ ならGröbner基底の定義から $\operatorname{LM}(r)$ はある $\operatorname{LM}(g_i)$ で割り切れます。これは余りの条件に反します。従って $r=0$ です。
一意性を示します。$r,r'$ が二つの余りなら
$$ r-r'\in I. $$
$r-r'\ne0$ なら、そのleading monomialは $r$ または $r'$ に現れたmonomialですから、どの $\operatorname{LM}(g_i)$ でも割り切れません。一方 $r-r'\in I$ なのでGröbner基底の定義からいずれかで割り切れ、矛盾です。ゆえに $r=r'$ です。□

$u_i=\operatorname{LM}(h_i)$、$a_i=\operatorname{LC}(h_i)$、$m_i=\operatorname{LM}(g_i)$、$b_i=\operatorname{LC}(g_i)$ と置きます。仮定から $u_im_i=M$ であり、leading termの相殺から
$$ \sum_{i=1}^t a_ib_i=0. $$
$h_i=a_iu_i+h_i'$ と分けると、$h_i'g_i$ のleading monomialは全て $M$ より小さいです。従ってleading部分
$$ \sum_i a_iu_ig_i $$
だけを書き換えれば十分です。
$$ P_i=\frac{M}{b_im_i}g_i $$
と置けば各 $P_i$ のleading termは $M$ で、$a_iu_ig_i=a_ib_iP_i$ です。$e_i=a_ib_i$ と書くと $\sum e_i=0$ なので
$$ \sum_{i=1}^t e_iP_i =\sum_{i=2}^t e_i(P_i-P_1). $$
$L_i=\operatorname{lcm}(m_1,m_i)$ とすれば
$$ P_1-P_i=\frac{M}{L_i}S(g_1,g_i). $$
従ってleading部分はmonomial倍したS-polynomialの線形結合です。
もし各S-polynomialの除法の余りが0なら、除法の各段階では現在のleading monomialを割る $\operatorname{LM}(g_j)$ を使います。S-polynomialのleading monomialは $L_i$ より小さいので、その表示に現れる各倍数のleading monomialも $L_i$ より小さいです。これに $M/L_i$ を掛けても全て $M$ より小さいままです。先に分離した $h_i'g_i$ も同様なので、主張を得ます。□

$G$ がGröbner基底なら $S(g_i,g_j)\in I$ なので、membership criterionから余りは0です。
逆を示します。全てのS-polynomialの余りが0だと仮定し、$0\ne f\in I$ を取ります。表示
$$ f=h_1g_1+\cdots+h_sg_s $$
のうち、非零項 $h_ig_i$ のleading monomialの最大値
$$ M=\max_i\operatorname{LM}(h_ig_i) $$
が最小になるものを選びます。この最小値はmonomialのwell-order性から存在します。
$\operatorname{LM}(f)=M$ なら、ある $i$ について
$$ M=\operatorname{LM}(h_i)\operatorname{LM}(g_i), $$
従って $\operatorname{LM}(g_i)$ は $\operatorname{LM}(f)$ を割り、目的を得ます。
$\operatorname{LM}(f)\prec M$ と仮定します。このときleading monomialが $M$ である項のleading termsは総和で打ち消し合っています。leading cancellation lemmaをそれらの項へ適用します。仮定により全てのS-polynomialは $G$ で余り0まで割れるので、$M$ を持つ全項の和を、leading monomialが全て $M$ より小さい $g_i$ の倍数だけで書き換えられます。元から $M$ より小さかった項と合わせると、$f$ を表す新しい表示の最大値は $M$ より小さくなります。これは $M$ の最小性に反します。
従って $\operatorname{LM}(f)=M$ でなければならず、全ての非零 $f\in I$ のleading monomialがいずれかの $\operatorname{LM}(g_i)$ で割り切れます。ゆえに $G$ はGröbner基底です。□

非零余り $r$ を加えると、その定義から $\operatorname{LM}(r)$ は従来の $\operatorname{LM}(g)$ のどれでも割り切れません。従ってmonomial idealは真に増大します。
$$ (\operatorname{LM}(g)\mid g\in G) \subsetneq (\operatorname{LM}(g)\mid g\in G\cup\{r\}). $$
多項式環はHilbert基底定理によりNoetherianなので、idealの真の昇鎖は無限に続きません。従って追加操作は有限回で停止します。停止時には全てのS-polynomialの余りが0なので、Buchberger criterionにより得られた $G$ はGröbner基底です。追加した余りは全て元のidealの要素なので、生成するidealは初めの $I$ と変わりません。□

$0\ne f\in I_\ell$ を取ります。$G$ は $I$ のGröbner基底なので、ある $g\in G$ について
$$ \operatorname{LM}(g)\mid\operatorname{LM}(f). $$
$f$ は $x_1,\ldots,x_\ell$ を含まないので、$\operatorname{LM}(g)$ もそれらを含みません。
lexicographic orderでは、もし $g$ の他のtermが $x_1,\ldots,x_\ell$ のいずれかを含めば、そのtermは消去変数を含まない $\operatorname{LM}(g)$ より大きくなります。これはleading monomialの定義に反します。従って $g$ 自身が $k[x_{\ell+1},\ldots,x_n]$ に属し、$g\in G_\ell$ です。
よって $I_\ell$ の任意の非零元のleading monomialは $G_\ell$ のある元のleading monomialで割り切れます。従って $G_\ell$ は $I_\ell$ のGröbner基底です。□

$y$ の多項式が射影像上で消えることは、同じ多項式を全変数の多項式と見て $V(I)$ 上で消えることと同値です。従って
$$ I(\pi(V(I)))=I(V(I))\cap k[y_1,\ldots,y_m]. $$
零点定理により $I(V(I))=\sqrt I$ です。またradicalは部分環へのcontractionと可換なので
$$ \sqrt I\cap k[y_1,\ldots,y_m] =\sqrt{I\cap k[y_1,\ldots,y_m]} =\sqrt{I_\ell}. $$
最初の等号を確認すると、$f^N\in I$ であることと、$f\in k[y]$ に対して $f^N\in I\cap k[y]$ であることが同値だからです。
集合のZariski closureは、その集合上で消える全多項式の零点集合なので
$$ \overline{\pi(V(I))} =V(I(\pi(V(I)))) =V(\sqrt{I_\ell}) =V(I_\ell). $$
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