4-3 affine schemeの反変同値
前提知識：正則写像と座標環、SpecとZariski位相、Specの構造層
なぜarrowが逆向きになるのか
map of spaces
$$
f:X\longrightarrow Y
$$
があれば、$Y$ 上のfunction $a$ はcomposition $a\circ f$ により $X$ 上のfunctionになります。従ってfunctionsのarrowは
$$
f^\#:\Gamma(Y,\mathcal O_Y)\longrightarrow\Gamma(X,\mathcal O_X)
$$
と逆向きです。
affine schemesでは、このpullback of functionsが射の全情報を持ちます。本章の中心定理は
$$
\operatorname{Hom}_{\mathrm{AffSch}}
(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}A)
\cong
\operatorname{Hom}_{\mathrm{CRing}}(A,B)
$$
です。単なるset bijectionではなく、identityとcompositionにcompatibleなnatural bijectionを証明します。
環準同型が各点で作るlocal map
ring homomorphism
$$
\varphi:A\longrightarrow B
$$
を固定します。前の頁までにunderlying continuous map
$$
f=\varphi^*:\operatorname{Spec}B\longrightarrow\operatorname{Spec}A,
\qquad
\mathfrak q\longmapsto\varphi^{-1}(\mathfrak q)
$$
を得ています。
$\mathfrak q\in\operatorname{Spec}B$ と
$$
\mathfrak p=f(\mathfrak q)=\varphi^{-1}(\mathfrak q)
$$
を取ります。$s\notin\mathfrak p$ なら $\varphi(s)\notin\mathfrak q$ なので、$\varphi(s)$ は $B_\mathfrak q$ でunitです。localizationのuniversal propertyからunique map
$$
\varphi_\mathfrak q:A_\mathfrak p\longrightarrow B_\mathfrak q,
\qquad
\frac{a}{s}\longmapsto\frac{\varphi(a)}{\varphi(s)}
$$
を得ます。
$\varphi_\mathfrak q:A_\mathfrak p\to B_\mathfrak q$ はlocal homomorphismである。
$A_\mathfrak p$ と $B_\mathfrak q$ のmaximal idealsはそれぞれ $\mathfrak pA_\mathfrak p$、$\mathfrak qB_\mathfrak q$ です。$a/s\in A_\mathfrak p$ に対し
$$
\varphi_\mathfrak q(a/s)\in\mathfrak qB_\mathfrak q
\quad\Longleftrightarrow\quad
\varphi(a)\in\mathfrak q.
$$
denominator $\varphi(s)$ は $\mathfrak q$ に入らないためです。右辺は $a\in\varphi^{-1}(\mathfrak q)=\mathfrak p$ と同値で、さらに $a/s\in\mathfrak pA_\mathfrak p$ と同値です。従って
$$
\varphi_\mathfrak q^{-1}(\mathfrak qB_\mathfrak q)
=\mathfrak pA_\mathfrak p.
$$
これはlocal homomorphismの定義です。□
このmapをlocalized homomorphism at a prime|素イデアルにおける局所化準同型と呼びます。
local fractionsをpull backする
$X=\operatorname{Spec}A$、$Y=\operatorname{Spec}B$ と置きます。open $U\subseteq X$ とsection $s\in\mathcal O_X(U)$ に対し、$f^{-1}(U)$ 上のsectionをpointwiseに
$$
(f_U^\#s)(\mathfrak q)
:=\varphi_\mathfrak q\bigl(s(f(\mathfrak q))\bigr)
\in B_\mathfrak q
$$
と定めます。
$f_U^\#s$ は $f^{-1}(U)$ 上のlocally fractional sectionであり、maps $f_U^\#$ はrestrictionsとring operationsにcompatibleである。
$\mathfrak q\in f^{-1}(U)$、$\mathfrak p=f(\mathfrak q)$ とします。$s$ は $\mathfrak p$ のあるneighborhood $V\subseteq U$ 上で
$$
s(\mathfrak r)=\frac{a}{b}
$$
と書け、$V\subseteq D_A(b)$ です。前の頁のspectrum map formulaから
$$
f^{-1}(V)\subseteq f^{-1}(D_A(b))=D_B(\varphi(b)).
$$
全 $\mathfrak q'\in f^{-1}(V)$ で
$$
(f_U^\#s)(\mathfrak q')
=\frac{\varphi(a)}{\varphi(b)}\in B_{\mathfrak q'}.
$$
従ってpullbackはlocally fractionalです。
各 $\varphi_\mathfrak q$ がring homomorphismなのでpointwiseにsum、product、unitを保ちます。open setをrestrictしても同じpointwise formulaであるためrestrictionsともcommuteします。□
continuous map $f=\varphi^*$ と上のsheaf morphism
$$
f^\#:\mathcal O_{\operatorname{Spec}A}\longrightarrow
f_*\mathcal O_{\operatorname{Spec}B}
$$
のpairを、$\varphi$ が誘導するaffine-scheme morphism induced by a ring homomorphism|affine schemeの射
$$
\operatorname{Spec}(\varphi):
\operatorname{Spec}B\longrightarrow\operatorname{Spec}A
$$
という。
induced mapは局所環付き空間の射である
上で構成した $\operatorname{Spec}(\varphi)$ はmorphism of locally ringed spacesである。その $\mathfrak q$ におけるstalk mapは
$$
A_{\varphi^{-1}(\mathfrak q)}\longrightarrow B_\mathfrak q,
\qquad
\frac{a}{s}\longmapsto\frac{\varphi(a)}{\varphi(s)}
$$
である。
前命題により $f^\#$ はsheaf of ringsのmorphismなので $(f,f^\#)$ はringed-space morphismです。germ of a local fraction $a/s$ をpull backすると $\varphi(a)/\varphi(s)$ のgermになるため、induced stalk mapは表示されたlocalized mapです。最初の命題でこのmapがlocal homomorphismであることを証明したので、$(f,f^\#)$ はlocally ringed-space morphismです。□
これはfunctorial structure sheaf pullback on Spec|Specの構造層のfunctorial pullbackです。topological mapだけでなく、全open sets上のfunctionsと全stalksが同時に運ばれます。
principal opens上でのformula
$a\in A$ に対し
$$
f^{-1}(D_A(a))=D_B(\varphi(a)).
$$
principal-open section theoremの同定
$$
\mathcal O_X(D_A(a))\cong A_a,
\qquad
\mathcal O_Y(D_B(\varphi(a)))\cong B_{\varphi(a)}
$$
の下で、$f^\#$ はexactly
$$
A_a\longrightarrow B_{\varphi(a)},
\qquad
\frac{r}{a^n}\longmapsto\frac{\varphi(r)}{\varphi(a)^n}
$$
です。
ring homomorphismから誘導されたaffine scheme morphismのsheaf mapは、principal opens上でlocalized ring homomorphismsに一致する。
$r/a^n$ が定めるsectionは $\mathfrak p\in D_A(a)$ で $r/a^n\in A_\mathfrak p$ を値に持ちます。pullbackのpointwise definitionにより、$\mathfrak q\in D_B(\varphi(a))$ での値は
$$
\frac{\varphi(r)}{\varphi(a)^n}\in B_\mathfrak q.
$$
これは $B_{\varphi(a)}$ のelement $\varphi(r)/\varphi(a)^n$ が定めるsectionそのものです。□
このprincipal-open pullback formula|主開集合上のpullback公式により、sheaf morphismの計算は通常のlocalization計算へ還元されます。
identityとcomposition
ring homomorphisms
$$
A\xrightarrow{\varphi}B\xrightarrow{\psi}C
$$
に対し
$$
\operatorname{Spec}(\operatorname{id}_A)
=\operatorname{id}_{\operatorname{Spec}A},
$$
$$
\operatorname{Spec}(\psi\circ\varphi)
=\operatorname{Spec}(\varphi)\circ\operatorname{Spec}(\psi)
$$
がlocally ringed-space morphismsとして成立する。
underlying pointsについてはcontraction of prime idealsのidentityとcompositionから前の頁ですでに証明しました。structure sheavesについて、local fraction $a/s$ を追います。composite ring mapから直接pull backすると
$$
\frac{a}{s}\longmapsto
\frac{\psi(\varphi(a))}{\psi(\varphi(s))}.
$$
二段階でpull backしても
$$
\frac{a}{s}
\longmapsto\frac{\varphi(a)}{\varphi(s)}
\longmapsto\frac{\psi(\varphi(a))}{\psi(\varphi(s))}
$$
となり同じです。identity mapも全fractionsを固定します。locally fractional sectionsはlocal fractionsでcoverされるため、sheaf maps全体が一致します。□
従って
$$
\operatorname{Spec}:\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}\longrightarrow\mathbf{AffSch}
$$
はaffine spectrum functor|affine spectrum functorです。
任意のaffine scheme射からring mapを取り出す
逆向きを証明します。任意のlocally ringed-space morphism
$$
g:\operatorname{Spec}B\longrightarrow\operatorname{Spec}A
$$
を取ります。global sectionsへのpullbackと前の頁のcanonical identificationsからring homomorphism
$$
\Gamma(g):A
\cong\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal O)
\longrightarrow
\Gamma(\operatorname{Spec}B,\mathcal O)
\cong B
$$
を得ます。これを $\varphi:A\to B$ と書きます。
重要なのは、$g$ のunderlying continuous mapも全sheaf mapsも $\varphi$ だけで強制されることです。
underlying point mapの復元
$\mathfrak q\in\operatorname{Spec}B$ に対し
$$
g(\mathfrak q)=\varphi^{-1}(\mathfrak q).
$$
$\mathfrak p=g(\mathfrak q)$ と置きます。locally ringed-space morphismなのでstalk map
$$
g_\mathfrak q^\#:A_\mathfrak p\longrightarrow B_\mathfrak q
$$
はlocalです。$a\in A$ に対し、global section $a$ のgerm $a/1$ のimageは、global pullback $\varphi(a)$ のgerm $\varphi(a)/1$ です。従ってlocalityから
$$
a/1\in\mathfrak pA_\mathfrak p
\quad\Longleftrightarrow\quad
\varphi(a)/1\in\mathfrak qB_\mathfrak q.
$$
左辺は $a\in\mathfrak p$、右辺は $\varphi(a)\in\mathfrak q$ と同値です。よって全 $a\in A$ について
$$
a\in\mathfrak p
\quad\Longleftrightarrow\quad
a\in\varphi^{-1}(\mathfrak q),
$$
すなわち $\mathfrak p=\varphi^{-1}(\mathfrak q)$ です。□
local homomorphism conditionがここで本質的です。ringed-space morphismだけではmaximal idealsのpreimage equalityがなく、point mapをglobal ring mapから回収できません。
sheaf mapの復元
$g$ のsheaf morphismは、ring homomorphism $\varphi=\Gamma(g)$ から構成した $\operatorname{Spec}(\varphi)$ のsheaf morphismに一致する。
前補題によりunderlying continuous mapsは一致します。principal open $D_A(a)$ を取ると
$$
g^{-1}(D_A(a))=D_B(\varphi(a)).
$$
principal-open section theoremの下で $g^\#$ のcomponentはring map
$$
g_{D(a)}^\#:A_a\longrightarrow B_{\varphi(a)}
$$
です。
sheaf morphismはrestrictionsとcommuteするため、global sectionsとのsquare
$$
\begin{array}{ccc}
A&\xrightarrow{\varphi}&B\\
\downarrow&&\downarrow\\
A_a&\xrightarrow{g_{D(a)}^\#}&B_{\varphi(a)}
\end{array}
$$
がcommuteします。$\varphi(a)$ はtargetでunitなので、localizationのuniversal propertyによりbottom mapはuniqueであり
$$
\frac{r}{a^n}\longmapsto
\frac{\varphi(r)}{\varphi(a)^n}
$$
でなければなりません。これは $\operatorname{Spec}(\varphi)$ のprincipal-open formulaと同じです。
principal opensはbasisです。二つのsheaf morphismsがbasisの全elements上で一致すれば、任意のopen setのsectionをbasis coverへrestrictしたimagesが一致し、target sheafのlocalityから元のopen set上でも一致します。従ってsheaf morphisms全体が一致します。□
これはrecovery of an affine morphism from global sections|大域切断によるaffine scheme射の復元です。
Hom集合の基本定理
commutative rings $A,B$ に対しcanonical bijection
$$
\operatorname{Hom}_{\mathbf{AffSch}}
(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}A)
\xrightarrow{\sim}
\operatorname{Hom}_{\mathbf{CRing}}(A,B)
$$
がある。左から右へはglobal sectionsのpullback、右から左へは $\varphi\mapsto\operatorname{Spec}(\varphi)$ である。
$\varphi:A\to B$ から構成したscheme morphismのglobal section mapは、principal-open formulaを $a=1$ に適用すると元の $\varphi$ です。従ってring mapsからscheme mapsへ進みglobal sectionsを取るcompositeはidentityです。
逆にscheme morphism $g$ から $\varphi=\Gamma(g)$ を作ると、前二補題によりunderlying point mapとsheaf mapの両方が $\operatorname{Spec}(\varphi)$ と一致します。従って
$$
g=\operatorname{Spec}(\Gamma(g)).
$$
よって二構成は互いにinverseです。identityとcompositionとのcompatibilityは前のfunctoriality propositionとglobal pullbackのcomposition lawから従います。□
これをaffine scheme Hom correspondence|affine schemeのHom対応と呼びます。affine geometryでmorphismを調べる問題は、反対向きのring homomorphismを調べる問題へ完全に翻訳されます。
反変同値
affine schemesのcategoryとcommutative ringsのcategoryのoppositeはequivalentである。
$$
\mathbf{AffSch}\simeq\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}.
$$
quasi-inverse functorsは $\operatorname{Spec}$ とglobal sections $\Gamma$ である。
$\operatorname{Spec}:\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{AffSch}$ はfunctoriality propositionによりfunctorです。Hom correspondenceによりfull and faithfulです。
任意のaffine schemeはdefinitionによりある $\operatorname{Spec}A$ とisomorphicなので、$\operatorname{Spec}$ はessentially surjectiveです。従ってcategory equivalenceです。
より具体的には、前の頁のglobal-section theoremが各ring $A$ にcanonical isomorphism
$$
A\xrightarrow{\sim}\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal O)
$$
を与えます。逆にaffine scheme $X\cong\operatorname{Spec}A$ にHom correspondenceを適用すると、identity of $\Gamma(X,\mathcal O_X)$ に対応するcanonical morphism
$$
X\longrightarrow
\operatorname{Spec}\Gamma(X,\mathcal O_X)
$$
は、chosen presentationの下で $\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}A$ のidentityとなるためisomorphismです。これらがunitとcounitのnatural isomorphismsを与えます。□
これはanti-equivalence of affine schemes and commutative rings|affine schemesと可換環の反変同値です。「affine schemeはringを幾何学の言葉で言い換えたもの」という主張が、objectsだけでなくmorphismsまで含めて正確になりました。
isomorphism criterion
$$
\operatorname{Spec}A\cong\operatorname{Spec}B
$$
as schemesであることと、$A\cong B$ as ringsであることは同値である。
ring isomorphismはSpec functorにより逆向きのscheme isomorphismを与えます。逆にscheme isomorphismへglobal sections functorを適用すればring isomorphism
$$
\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal O)\cong
\Gamma(\operatorname{Spec}B,\mathcal O)
$$
を得ます。前の頁のglobal-section theoremで両辺を $A,B$ と同定すれば $A\cong B$ です。□
これはaffine scheme isomorphism criterion|affine schemeの同型判定です。underlying topological spacesのhomeomorphismだけでは不十分で、structure sheavesを含む同型がring同型に対応します。
quotient mapの幾何学
surjective ring homomorphism
$$
\pi:A\longrightarrow A/I
$$
はscheme morphism
$$
\operatorname{Spec}(A/I)\longrightarrow\operatorname{Spec}A
$$
を誘導します。underlying spaceは前の頁で $V(I)$ とhomeomorphicでした。principal open $D_A(f)$ 上のring mapは
$$
A_f\longrightarrow(A/I)_{\bar f}\cong A_f/IA_f.
$$
従ってclosed subset $V(I)$ には、単なるsubspace topologyだけでなくquotient ringsから来るfunctionsが載ります。これを後にclosed subschemeと呼びます。
nilpotent ideal $I$ の場合、$\operatorname{Spec}(A/I)\to\operatorname{Spec}A$ はunderlying spacesではhomeomorphismですが、sheavesは一般に異なります。たとえば
$$
\operatorname{Spec}k
\longrightarrow
\operatorname{Spec}k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)
$$
は一点から一点へのhomeomorphismでもscheme isomorphismではありません。global section ringsが異なるからです。これはclosed subscheme from a quotient ring|商環が定める閉部分schemeの最小例です。
localization mapの幾何学
localization map
$$
A\longrightarrow A_f
$$
はscheme morphism
$$
\operatorname{Spec}A_f\longrightarrow\operatorname{Spec}A
$$
を誘導します。underlying spaceは $D(f)$ とhomeomorphicです。さらに $D(fg)\subseteq D(f)$ 上では
$$
(A_f)_g\cong A_{fg}
$$
なのでstructure sheavesもrestriction of $\mathcal O_{\operatorname{Spec}A}$ と一致します。従って $\operatorname{Spec}A_f$ はopen part $D(f)$ そのものとして扱えます。これはopen subscheme from a localization|局所化が定める開部分schemeです。
polynomial mapをscheme mapとして計算する
$k$ をfieldとし
$$
\varphi:k[y]\longrightarrow k[x],
\qquad y\longmapsto x^2
$$
を考えます。誘導されるscheme morphismは
$$
f:\mathbb A_k^1=\operatorname{Spec}k[x]
\longrightarrow
\mathbb A_k^1=\operatorname{Spec}k[y].
$$
closed point $(x-a)$ はcontraction
$$
\varphi^{-1}((x-a))=(y-a^2)
$$
へ送られます。generic point $(0)$ は $(0)$ へ送られます。principal open $D(y)$ のinverse imageは $D(x^2)=D(x)$ で、sectionsのpullbackは
$$
k[y,y^{-1}]\longrightarrow k[x,x^{-1}],
\qquad y\longmapsto x^2.
$$
点 $(x-a)$ でのstalk mapは
$$
k[y]_{(y-a^2)}\longrightarrow k[x]_{(x-a)},
\qquad y\longmapsto x^2,
$$
residue fields上では $k\to k$ です。topology、open-set functions、local ringsが一つのring homomorphismから同時に決まっています。
古典的affine algebraic setsとの接続
$k$ をalgebraically closed field、$A$ をfinitely generated reduced $k$-algebraとします。classical affine algebraic setはclosed maximal ideals、すなわち $k$-rational pointsを主に見ます。affine scheme $\operatorname{Spec}A$ はそれに加えてnonclosed prime idealsとgeneric pointsを含みます。
$k$-algebra homomorphism $A\to B$ はaffine scheme morphism $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ を与え、そのclosed pointsへのrestrictionは「正則写像と座標環」のpolynomial regular mapです。従ってclassical contravariant coordinate-ring correspondenceはaffine scheme Hom correspondenceのclosed-point部分として回収されます。
scheme languageの利点は、non-algebraically closed fields、arithmetic rings、nilpotents、familiesを同じformalismで扱えることです。
演習
ring homomorphism $\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ が誘導するscheme morphismのunderlying imageを求めよ。またglobal sections上のmapを書け。
mapはquotient by $(6)$ です。underlying imageは
$$
V((6))=\{(2),(3)\}\subseteq\operatorname{Spec}\mathbb Z.
$$
sourceのpoints $(2)/(6)$、$(3)/(6)$ はそれぞれ $(2),(3)$ へ送られます。global sections上のpullbackは元のquotient map
$$
\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Z/6\mathbb Z,
\qquad n\longmapsto\bar n.
$$
です。□
localization $A\to A_f$ によるmap $j:\operatorname{Spec}A_f\to\operatorname{Spec}A$ について、$g\in A$ に対する $D_A(g)$ のinverse imageとsection ring mapを求めよ。
inverse-image formulaから
$$
j^{-1}(D_A(g))
=D_{A_f}(g/1).
$$
これは $D_A(f)\cap D_A(g)=D_A(fg)$ に対応します。section rings上では
$$
A_g\longrightarrow(A_f)_{g/1}\cong A_{fg},
\qquad
\frac{a}{g^n}\longmapsto\frac{a}{g^n}
$$
という追加のlocalization mapです。□
scheme morphisms $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ がexactly oneであることを示せ。
Hom correspondenceにより
$$
\operatorname{Hom}_{\mathrm{AffSch}}
(\operatorname{Spec}B,\operatorname{Spec}\mathbb Z)
\cong
\operatorname{Hom}_{\mathrm{CRing}}(\mathbb Z,B).
$$
unital ring homomorphism $\mathbb Z\to B$ は $n\mapsto n1_B$ に限るので右辺はone-point setです。従ってscheme morphismもuniqueです。これは $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ がaffine schemesのterminal objectであることを意味します。□
scheme morphisms $\operatorname{Spec}k\to\operatorname{Spec}A$ と、prime ideal $\mathfrak p\subseteq A$ およびfield embedding $\kappa(\mathfrak p)\to k$ のpairsとの対応を示せ。
Hom correspondenceによりscheme morphismはring homomorphism $\varphi:A\to k$ と同じです。そのkernel $\mathfrak p$ はprime idealです。$\varphi$ はinjective map $A/\mathfrak p\to k$ を誘導し、field $k$ では全nonzero elementsがinvertibleなのでunique extension
$$
\kappa(\mathfrak p)=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)\longrightarrow k
$$
を与えます。
逆にprime $\mathfrak p$ とfield embedding $\kappa(\mathfrak p)\to k$ があれば
$$
A\to A/\mathfrak p\to\kappa(\mathfrak p)\to k
$$
をcomposeしてring homomorphismを得ます。二構成は互いにinverseです。□
affine schemes $X,Y$ に対し、二morphisms $f,g:X\to Y$ がglobal sections上で同じpullbackを誘導するなら $f=g$ であることを示せ。
$X\cong\operatorname{Spec}B$、$Y\cong\operatorname{Spec}A$ とpresentationを選びます。$f,g$ が誘導するglobal ring maps
$$
A\longrightarrow B
$$
は仮定により同じです。affine scheme Hom correspondenceはscheme morphismsとring homomorphismsのbijectionなので、同じring mapに対応するmorphismはuniqueです。従って $f=g$ です。□
この章で得た橋
ring homomorphism $A\to B$ はprime contraction、local fraction pullback、localized stalk mapsを通してaffine scheme morphism
$$
\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A
$$
を与えます。逆に任意のaffine scheme morphismはglobal section map $A\to B$ からunderlying pointsもsheaf mapsも一意に復元されます。従って
$$
\mathbf{AffSch}\simeq\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}}.
$$
次の頁では複数のaffine schemesを共通open subschemes上でglueします。affine ring一個では表せないprojective spacesや一般schemesを、局所的なSpecから構成できるようになります。
参考文献
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