3-2 stalkと層化
前提知識：局所環とgerm、前層と層
一点で値を取るだけでは足りない
関数の一点 $x$ での値は、その関数が $x$ の近くでどう振る舞うかをほとんど覚えていません。たとえば実関数 $t$ と $t^2$ は $0$ で同じ値を持ちますが、どのneighborhoodでも同じ関数ではありません。代数幾何で必要なのは値ではなく、十分小さいneighborhoodへrestrictしたときに同じになるsectionsを同一視した情報です。
「局所環とgerm」ではregular function germsを扱いました。本章では任意のpresheafに対して同じ構成を行い、さらにpresheafから最も近いsheafを作ります。一般のcolimitとadjunctionは、圏論とホモロジー代数で扱いますが、ここでは同値類を用いて全てを直接構成します。
germの同値関係
$X$ をtopological space、$\mathcal F$ をsets、groups、ringsのいずれかのpresheaf、$x\in X$ とします。$x$ を含むopen neighborhood $U$ とsection $s\in\mathcal F(U)$ のpair $(U,s)$ を考えます。
二pairs $(U,s)$、$(V,t)$ に対し
$$
(U,s)\sim_x(V,t)
$$
であるとは、あるopen neighborhood $W$ of $x$ with $W\subseteq U\cap V$ が存在して
$$
s|_W=t|_W
$$
となることをいう。この同値類を $s$ の $x$ におけるgerm of a section|germといい $s_x$ と書く。
$\sim_x$ はequivalence relationである。
reflexivityは $W=U$、symmetryは等号のsymmetryから従います。transitivityを示します。$(U,s)\sim_x(V,t)$ と $(V,t)\sim_x(Z,u)$ なら、$x$ のneighborhoods $W_1\subseteq U\cap V$、$W_2\subseteq V\cap Z$ があり
$$
s|_{W_1}=t|_{W_1},
\qquad
t|_{W_2}=u|_{W_2}.
$$
$W=W_1\cap W_2$ は $x$ のopen neighborhoodで、restrictionの合成則により
$$
s|_W=t|_W=u|_W.
$$
従って $(U,s)\sim_x(Z,u)$ です。□
stalk
全pairs $(U,s)$ with $x\in U$ の $\sim_x$ による同値類全体を $\mathcal F$ の $x$ におけるstalk of a presheaf|stalkといい
$$
\mathcal F_x
$$
と書く。canonical map
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow\mathcal F_x,
\qquad s\longmapsto s_x
$$
をgerm mapという。
$\mathcal F$ がpresheaf of ringsなら、$s_x,t_x$ のrepresentativesが異なるopens上にあっても、intersectionへrestrictして加法と乗法を行えます。
presheaf of rings $\mathcal F$ のstalk $\mathcal F_x$ には
$$
s_x+t_x:=(s|_{U\cap V}+t|_{U\cap V})_x,
$$
$$
s_xt_x:=(s|_{U\cap V}\,t|_{U\cap V})_x
$$
によりwell-definedなring structureが入り、各germ mapはring homomorphismとなる。
$s_x=s'_x$、$t_x=t'_x$ とします。あるneighborhoods $W_s,W_t$ of $x$ 上で $s=s'$、$t=t'$ です。それらと全representative domainsのintersectionへrestrictすれば
$$
s+t=s'+t',
\qquad st=s't'
$$
です。従ってoperationsはrepresentativesによらずwell-definedです。associativity、commutativity、distributivityは全て有限個のrepresentativesを共通neighborhoodへrestrictし、そこでのring axiomsを使えば従います。$0_x,1_x$ がzeroとunitです。germ mapがoperationsを保つことは定義から直ちに従います。□
neighborhoodsをreverse inclusionでordered setと見れば、restriction mapsは小さいneighborhoodの方向へ進みます。従って
$$
\mathcal F_x\cong\varinjlim_{x\in U}\mathcal F(U).
$$
これをstalk as a direct limit|stalkのdirect limit表示と呼びます。ただし本章の議論は上の同値類構成だけで読めます。
germsの等しさは近傍での等しさ
$s\in\mathcal F(U)$、$t\in\mathcal F(V)$ と $x\in U\cap V$ に対し、次は同値である。
- $s_x=t_x$ in $\mathcal F_x$。
- あるopen neighborhood $W$ of $x$ with $W\subseteq U\cap V$ で $s|_W=t|_W$。
これはgerm equivalenceの定義そのものです。重要なのは、stalkでの等号が一点だけの等号ではなく、あるneighborhood全体での等号を意味することです。□
$\mathcal F$ がsheaf、$s,t\in\mathcal F(U)$ とする。全 $x\in U$ で $s_x=t_x$ なら $s=t$ である。
各 $x\in U$ でgermsが等しいので、あるopen neighborhood $W_x\subseteq U$ 上で $s|_{W_x}=t|_{W_x}$ です。$\{W_x\}_{x\in U}$ は $U$ のopen coverです。sheaf localityを適用して $s=t$ を得ます。□
presheafではこの命題は一般に偽です。constant presheaf上のdisconnected open setでは、germsが局所的に同じでもglobal sectionの配置を表せない場合があります。stalksはlocal dataを完全に捉えますが、presheafがそれらを正しくglueするとは限りません。
morphismがstalkに誘導するmap
presheaf morphism $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ と $x\in X$ に対し
$$
\varphi_x:\mathcal F_x\longrightarrow\mathcal G_x,
\qquad
\varphi_x(s_x):=(\varphi_U(s))_x
$$
をinduced morphism on stalks|stalkに誘導される射という。
$\varphi_x$ はwell-definedであり、identityとcompositionを保つ。
$s_x=t_x$ なら、ある $W$ 上で $s|_W=t|_W$ です。presheaf morphismのrestriction compatibilityにより
$$
\varphi_U(s)|_W
=\varphi_W(s|_W)
=\varphi_W(t|_W)
=\varphi_V(t)|_W.
$$
従ってimagesのgermsは等しく、well-definedです。identity morphismがidentity stalk mapを誘導すること、$(\psi\circ\varphi)_x=\psi_x\circ\varphi_x$ はrepresentativeへ適用すれば直ちに分かります。□
sheaf morphismはstalkで判定できる
sheaves of sets、groupsまたはringsのmorphism
$$
\varphi:\mathcal F\longrightarrow\mathcal G
$$
がisomorphismであることと、全 $x\in X$ で
$$
\varphi_x:\mathcal F_x\longrightarrow\mathcal G_x
$$
がisomorphismであることは同値である。
sheaf isomorphismならinverse morphismが各stalkでもinverseを誘導するので必要性は明らかです。逆を示します。
まず $\varphi_U$ のinjectivityを示します。$s,t\in\mathcal F(U)$ が $\varphi_U(s)=\varphi_U(t)$ を満たすとします。各 $x\in U$ で
$$
\varphi_x(s_x)=\varphi_x(t_x).
$$
$\varphi_x$ はinjectiveなので $s_x=t_x$。前命題により $s=t$ です。
次にsurjectivityを示します。$g\in\mathcal G(U)$ を取ります。各 $x\in U$ で $\varphi_x$ はsurjectiveなので、あるneighborhood $V_x\subseteq U$ と $f_x\in\mathcal F(V_x)$ があり
$$
\varphi_x((f_x)_x)=g_x.
$$
germの等しさから、$V_x$ をさらに小さくすれば
$$
\varphi_{V_x}(f_x)=g|_{V_x}
$$
としてよいです。overlap $V_x\cap V_y$ 上で $\varphi(f_x)=g=\varphi(f_y)$ です。すでに示したinjectivityをopen set $V_x\cap V_y$ に適用すると
$$
f_x|_{V_x\cap V_y}=f_y|_{V_x\cap V_y}.
$$
$\mathcal F$ のgluingにより、unique $f\in\mathcal F(U)$ with $f|_{V_x}=f_x$ を得ます。$\varphi_U(f)$ と $g$ はcover $\{V_x\}$ 上で一致するため、$\mathcal G$ のlocalityから $\varphi_U(f)=g$ です。従って全 $U$ で $\varphi_U$ はbijectiveです。「前層と層」のopenwise criterionにより $\varphi$ はisomorphismです。□
これはstalkwise isomorphism criterion for sheaves|層射のstalkwise同型判定です。局所的な計算だけで層全体の同型を証明できるため、scheme theoryで繰り返し使います。
germsを点の上へ並べる
任意のpresheaf $\mathcal F$ からsheafを作ります。open set $U$ 上で各点 $x$ にgerm $\sigma(x)\in\mathcal F_x$ を割り当てるだけでは、点ごとにばらばらなassignmentが多すぎます。「各点の近くで一つのsectionから来る」というlocal representabilityを課します。
open $U\subseteq X$ に対し $\mathcal F^+(U)$ を、assignments
$$
\sigma:x\longmapsto\sigma(x)\in\mathcal F_x
$$
であって、任意の $x\in U$ に対しopen neighborhood $V\subseteq U$ とsection $s\in\mathcal F(V)$ が存在し
$$
\sigma(y)=s_y
\qquad(y\in V)
$$
となるもの全体とする。restrictionはassignmentのdomain restrictionで定める。このpresheaf $\mathcal F^+$ を $\mathcal F$ のsheafification|層化という。
setsの場合はsets、ringsの場合はpointwise ring operationsを使います。operationsがlocally representableであることは、representativesを共通neighborhoodへrestrictして和や積を取れば分かります。
層化は本当にsheafである
$U\mapsto\mathcal F^+(U)$ はsheafである。
localityから示します。$\sigma,\tau\in\mathcal F^+(U)$ がopen cover $U=\bigcup_iU_i$ の各 $U_i$ 上で等しいなら、任意の $x\in U$ を含む $U_i$ を選ぶことで $\sigma(x)=\tau(x)$。従ってassignmentsとして $\sigma=\tau$ です。
次にcompatible $\sigma_i\in\mathcal F^+(U_i)$ を取ります。$x\in U$ を含む $U_i$ を選び
$$
\sigma(x):=\sigma_i(x)
$$
と置きます。別の $U_j$ も $x$ を含めばcompatibilityにより $U_i\cap U_j$ 上で $\sigma_i=\sigma_j$ なのでwell-definedです。
$\sigma$ のlocal representabilityを確かめます。$x\in U_i$ を選ぶと、$\sigma_i$ の定義から $x$ のneighborhood $V\subseteq U_i$ と $s\in\mathcal F(V)$ があり、全 $y\in V$ で $\sigma_i(y)=s_y$ です。$\sigma|_V=\sigma_i|_V$ だから $\sigma(y)=s_y$。従って $\sigma\in\mathcal F^+(U)$ であり、各restrictionは $\sigma_i$ です。□
canonical mapから層化へ
各open $U$ で
$$
\eta_U:\mathcal F(U)\longrightarrow\mathcal F^+(U),
\qquad
\eta_U(s)(x):=s_x
$$
と置く。これをcanonical morphism to sheafification|層化へのcanonical morphism
$$
\eta:\mathcal F\longrightarrow\mathcal F^+
$$
という。
各 $\eta_U(s)$ は $U$ 全体でsection $s$ によりrepresentされるので確かに $\mathcal F^+(U)$ の元です。restriction compatibilityも $(s|_V)_x=s_x$ から従います。
全 $x\in X$ でcanonical map
$$
\eta_x:\mathcal F_x\longrightarrow(\mathcal F^+)_x
$$
はisomorphismである。
injectivityを示します。$s_x,t_x\in\mathcal F_x$ のimagesが等しいなら、あるneighborhood $W$ of $x$ 上で
$$
\eta(s)|_W=\eta(t)|_W
$$
です。特に全 $y\in W$ で $s_y=t_y$。$y=x$ とすれば $s_x=t_x$ です。
surjectivityを示します。$(\mathcal F^+)_x$ のelementを $\sigma_x$ と書きます。$\sigma$ はlocally representableなので、あるneighborhood $V$ of $x$ と $s\in\mathcal F(V)$ があり、全 $y\in V$ で $\sigma(y)=s_y$ です。従って $\sigma_x=\eta_x(s_x)$ です。operationsとのcompatibilityはcanonical constructionから従います。□
層化の普遍性
層化はstalksを変えないだけでなく、$\mathcal F$ からsheafへ向かう全てのmorphismsを一意に通します。
$\mathcal G$ をsheafとする。任意のpresheaf morphism
$$
f:\mathcal F\longrightarrow\mathcal G
$$
に対し、unique sheaf morphism
$$
f^+:\mathcal F^+\longrightarrow\mathcal G
$$
が存在して
$$
f=f^+\circ\eta
$$
となる。
$\sigma\in\mathcal F^+(U)$ を取ります。local representabilityにより、open cover $U=\bigcup_iU_i$ とsections $s_i\in\mathcal F(U_i)$ を選び
$$
\sigma(x)=(s_i)_x
\qquad(x\in U_i)
$$
とできます。
overlap $U_i\cap U_j$ の各point $x$ で $(s_i)_x=(s_j)_x$ です。よって $f(s_i)_x=f(s_j)_x$。$\mathcal G$ はsheafなのでsections are determined by germsとなり
$$
f_{U_i}(s_i)|_{U_i\cap U_j}
=f_{U_j}(s_j)|_{U_i\cap U_j}.
$$
従って $\mathcal G$ のgluingによりunique section $g\in\mathcal G(U)$ が得られます。これを
$$
f^+_U(\sigma):=g
$$
と定めます。
別のlocal representativesを選んでも、共通refinement上でgermsが等しく、上と同じ議論でtheir imagesは一致します。$\mathcal G$ のlocalityによりglued sectionも同じなのでwell-definedです。restriction compatibilityとoperationsの保存はlocal representatives上で確認できるため、$f^+$ はsheaf morphismです。
$s\in\mathcal F(U)$ に対し $\eta_U(s)$ は $s$ 自身で全 $U$ 上representされるので
$$
f^+_U(\eta_U(s))=f_U(s).
$$
従って $f=f^+\circ\eta$ です。
最後に $h:\mathcal F^+\to\mathcal G$ も $f=h\circ\eta$ を満たすとします。任意の $\sigma$ はcover $\{U_i\}$ 上で $\eta(s_i)$ に等しいので
$$
h(\sigma)|_{U_i}=h(\eta(s_i))=f(s_i)=f^+(\sigma)|_{U_i}.
$$
localityから $h(\sigma)=f^+(\sigma)$。従ってfactorizationはuniqueです。□
これはuniversal property of sheafification|層化の普遍性です。categoricalにはsheafificationがinclusion of sheaves into presheavesのleft adjointであることを表します。
すでにsheafなら何も変わらない
$\mathcal F$ がsheafならcanonical morphism
$$
\eta:\mathcal F\longrightarrow\mathcal F^+
$$
はisomorphismである。
sheafification preserves stalksにより全 $\eta_x$ はisomorphismです。stalkwise isomorphism criterionを適用すれば $\eta$ はsheaf isomorphismです。□
constant presheafを層化する
fixed setまたはring $A$ のconstant presheaf $\underline A^{\mathrm{pre}}$ を考えます。そのgermは各点で $A$ のelement一つにより表されます。層化のsection $\sigma$ は各点へ $A$ のelementを割り当て、各点の近くで一つのconstant sectionから来ます。これはちょうどlocally constant functionです。
constant presheafのsheafificationはlocally constant functionsのsheaf
$$
U\longmapsto\{f:U\to A\mid f\text{ is locally constant}\}
$$
とcanonically isomorphicである。
constant presheafの各stalkはcanonically $A$ です。従って $\mathcal F^+(U)$ のassignmentはfunction $U\to A$ と見なせます。local representabilityは、各 $x$ のneighborhood $V$ 上で一つの $a\in A$ が全germsをrepresentすることです。これはfunctionが $V$ 上constantであることと同値です。restrictionとoperationsもpointwiseに一致するためcanonical sheaf isomorphismを得ます。□
connected open $U$ 上ではlocally constant functionはconstantですが、disconnected openではconnected componentsごとに異なるvaluesを持てます。層化はconstant presheafが失っていたgluingだけを補っています。
regular functionsのstalkを再確認する
$X$ をaffine algebraic set、$p\in X$ とします。「局所環とgerm」で構成したlocal ring $\mathcal O_{X,p}$ は、「前層と層」のstructure sheafのstalk
$$
(\mathcal O_X)_p
$$
そのものです。また
$$
(\mathcal O_X)_p\cong k[X]_{\mathfrak m_p}.
$$
左辺はneighborhoods上のfunctionsのgerms、右辺はdenominatorが $p$ でnonzeroなfractionsです。この同型によりtopological local dataとcommutative algebraのlocalizationが一致します。
stalkだけで忘れてしまうもの
全stalksのisomorphism typesを知るだけではsheafは復元できません。どのgermがどのneighborhood上のsectionから同時に来るかというgluing dataが必要です。stalkwise criterionが使えるのは、すでに与えられたsheaf morphismがある場合です。「stalksが抽象的に同型」からsheavesの同型が自動的に出るわけではありません。
同様に、canonical map $\mathcal F\to\mathcal F^+$ は各stalkでisomorphismでも、各open set上でbijectiveとは限りません。constant presheafのdisconnected openにおけるfailureがその例です。層化はlocal informationを保存しつつglobal gluing ruleを修復します。
演習
presheaf $\mathcal F$ と $s\in\mathcal F(U)$ に対し、$s_x=0$ が全 $x\in U$ で成立しても、$\mathcal F$ がsheafでなければ $s=0$ とは限らない理由を説明せよ。またsheafなら $s=0$ を証明せよ。
各 $s_x=0$ なら各 $x$ のあるneighborhood $V_x$ 上で $s|_{V_x}=0$ です。sheafなら $\{V_x\}$ が $U$ をcoverするためlocalityから $s=0$ です。presheafではlocality axiomを仮定していないので、全small opensへのrestrictionsがzeroでも元のsectionがzeroとは限りません。従って最後の推論だけが失敗します。□
$X=\mathbb R$ 上のcontinuous functionsのsheaf $\mathcal C^0$ に対し、functions $f(t)=t$ と $g(t)=|t|$ の $0$ におけるgermsは異なることを示せ。
もし $f_0=g_0$ なら、あるopen neighborhood $W$ of $0$ で $t=|t|$ が全ての $t\in W$ について成立します。しかし $W$ はnegative number $t<0$ を含み、その点で $t\ne|t|=-t$ です。矛盾。従って値はともに $0$ でもgermsは異なります。□
presheaf morphisms $\mathcal F\xrightarrow{\varphi}\mathcal G\xrightarrow{\psi}\mathcal H$ に対し
$$
(\psi\circ\varphi)_x=\psi_x\circ\varphi_x
$$
をrepresentativesから直接示せ。
$s_x\in\mathcal F_x$ を $s\in\mathcal F(U)$ でrepresentします。すると
$$
(\psi\circ\varphi)_x(s_x)
=((\psi_U\circ\varphi_U)(s))_x
=(\psi_U(\varphi_U(s)))_x.
$$
一方
$$
(\psi_x\circ\varphi_x)(s_x)
=\psi_x((\varphi_U(s))_x)
=(\psi_U(\varphi_U(s)))_x.
$$
両者は等しいです。□
constant presheaf with value $A$ の各stalkが $A$ とcanonically isomorphicであることを示せ。
nonempty neighborhood $U$ 上のsection $a\in A$ をgerm $a_x$ へ送ります。restriction mapsがidentityなので、neighborhoodのchoiceによらず同じgermを与えます。任意のgermはある $(U,a)$ でrepresentされるためsurjectiveです。$a_x=b_x$ ならあるnonempty neighborhood上でidentity restrictions of $a,b$ が等しいので $a=b$。従ってbijectiveで、ringsの場合はoperationsも保ちます。□
$\eta:\mathcal F\to\mathcal F^+$ とsheaf $\mathcal G$ に対し、二つのsheaf morphisms $u,v:\mathcal F^+\to\mathcal G$ が
$$
u\circ\eta=v\circ\eta
$$
を満たすなら $u=v$ であることを、local representativesを用いて証明せよ。
$\sigma\in\mathcal F^+(U)$ を取ります。あるopen cover $U=\bigcup_iU_i$ と $s_i\in\mathcal F(U_i)$ があり
$$
\sigma|_{U_i}=\eta(s_i)
$$
です。従って
$$
u(\sigma)|_{U_i}
=u(\eta(s_i))
=(u\circ\eta)(s_i)
=(v\circ\eta)(s_i)
=v(\eta(s_i))
=v(\sigma)|_{U_i}.
$$
$\mathcal G$ のlocalityから $u(\sigma)=v(\sigma)$。全 $U,\sigma$ について成立するので $u=v$ です。□
この章で得た橋
stalk $\mathcal F_x$ は一点の十分小さいneighborhood上のsectionsをgermsとして集め、presheaf morphismをpointwiseなmapsへ送ります。sheaf morphismは全stalks上の同型だけで同型と判定できます。一方、locally representable germsから作る $\mathcal F^+$ は常にsheafで、元のpresheafと同じstalksを持ち、全てのsheafへのmorphismsを一意にfactorします。
次の頁ではtopological spaceとsheaf of ringsをpairにし、さらに各stalkがlocal ringであるという条件を加えます。これによりalgebraic varietiesとschemesを同じ言葉で扱えるようになります。
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
