8-0 章の見取り図

$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{ind}[0]{\operatorname{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\mathrm{rank}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この章の問い

方向を「点」とみなしてアフィン空間を閉じるとき、方程式と図形の対応はどう変わるか。

道筋

  • 射影空間と斉次座標:方向を点にする、標準アフィン図、射影変換、有限体上の点数。
  • 斉次イデアルと射影零点集合:斉次イデアルと射影代数的集合の対応。
  • 射影閉包と飽和:斉次化と飽和で正しいイデアルを回収する。
  • 射影射とSegre・Veronese写像:射影空間への写像と埋め込み。

読み方

最初の頁で射影直線・射影平面を押さえ、補論は必要に応じて参照する。

章末で言えること

射影空間は標準アフィン図の貼り合わせであり、斉次イデアルが射影代数的集合を決める。

前の章から持ち込むもの

スキームの貼り合わせ、Specと斉次座標の類似。

参考文献

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