2-3 第二・第三同型定理
第一同型定理は準同型の像を核による商として表しました。第二・第三同型定理は、部分群と正規部分群を組み合わせたとき、どの商群が同じになるかを教えます。線形代数の部分空間公式に似ていますが、積 $HN$ が部分群になる条件に正規性が現れます。
第二同型定理
$H\le G$、$N\trianglelefteq G$ とする。このとき
$$
HN=\{hn\mid h\in H,n\in N\}
$$
は $G$ の部分群で、$N\trianglelefteq HN$、$H\cap N\trianglelefteq H$ であり
$$
H/(H\cap N)\cong HN/N.
$$
$h_1n_1,h_2n_2\in HN$ とする。逆元を含む積は
$$
(h_1n_1)(h_2n_2)^{-1}
=h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}.
$$
$N$ の正規性から
$$
h_2(n_1n_2^{-1})h_2^{-1}\in N,
$$
従ってある $n\in N$ で
$$
h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}
=h_1h_2^{-1}n\in HN.
$$
部分群判定法から $HN\le G$。
$N$ は $G$ で正規なので $HN$ でも正規。$h\in H,x\in H\cap N$ なら $hxh^{-1}$ は $H$ と $N$ の両方に入り、$H\cap N\trianglelefteq H$。
準同型
$$
\varphi:H\to HN/N,\qquad h\mapsto hN
$$
を考える。像は任意の $hnN=hN$ を含むので全射。核は
$$
\{h\in H\mid hN=N\}=H\cap N.
$$
第一同型定理から結論を得る。□
有限群なら位数について
$$
|HN|=\frac{|H||N|}{|H\cap N|}
$$
も従います。第二同型定理の両辺の位数を比較すればよい。
第三同型定理
$N\trianglelefteq K\trianglelefteq G$ とし、さらに $N\trianglelefteq G$ とする。このとき $K/N\trianglelefteq G/N$ で
$$
(G/N)/(K/N)\cong G/K.
$$
写像
$$
\psi:G/N\to G/K,\qquad gN\mapsto gK
$$
を考える。$gN=hN$ なら $h^{-1}g\in N\subset K$ なので $gK=hK$、従ってwell-defined。積を保つことは
$$
\psi((gN)(hN))=\psi(ghN)=ghK
=(gK)(hK)
$$
から分かる。全射であり、核は
$$
\{gN\mid gK=K\}
=\{gN\mid g\in K\}=K/N.
$$
核なので $K/N$ は正規部分群。第一同型定理から
$$
(G/N)/(K/N)\cong G/K.
$$
□
「まず $N$ を潰し、次に $K/N$ を潰す」ことと、「最初から $K$ を潰す」ことが同じだと述べています。
具体例
$G=\mathbb Z$、$N=12\mathbb Z$、$K=4\mathbb Z$ とします。第三同型定理から
$$
(\mathbb Z/12\mathbb Z)/(4\mathbb Z/12\mathbb Z)
\cong\mathbb Z/4\mathbb Z.
$$
左辺では12個の剰余類を、差が4の倍数である三元ずつの塊へまとめ、4個の元を得ます。
$G=S_3$、$H=\langle(12)\rangle$、$N=A_3$ とする。$HN$ と $H\cap N$ を求め、第二同型定理を具体的に確認せよ。
$|H|=2,|N|=3$ で共通部分は $\{e\}$。積集合の位数公式から
$$
|HN|=\frac{2\cdot3}{1}=6,
$$
従って $HN=S_3$。第二同型定理は
$$
H/\{e\}\cong S_3/A_3.
$$
両辺とも位数2の巡回群であり、写像 $(12)\mapsto(12)A_3$ が具体的な同型。□
$N=8\mathbb Z\subset K=2\mathbb Z\subset G=\mathbb Z$ に第三同型定理を適用し、左辺と右辺をそれぞれ巡回群として同定せよ。
$G/N\cong\mathbb Z/8\mathbb Z$、$K/N$ は
$$
\{\bar0,\bar2,\bar4,\bar6\}
$$
で位数4。従って左辺の位数は2。第三同型定理から
$$
(\mathbb Z/8\mathbb Z)/(2\mathbb Z/8\mathbb Z)
\cong\mathbb Z/2\mathbb Z,
$$
右辺 $G/K$ も $\mathbb Z/2\mathbb Z$。□
参考文献
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