8-2 分裂拡大と半直積
短完全列の商写像 $\pi:G\to Q$ に対し、各商元の代表を積と両立する形で選べるなら、$Q$ を $G$ の部分群として取り戻せます。そのとき拡大は半直積です。
分裂
短完全列
$$
1\to N\xrightarrow{\iota}G
\xrightarrow{\pi}Q\to1
$$
に対し、準同型
$$
s:Q\to G
$$
で
$$\pi\circ s=\operatorname{id}_Q$$
を満たすものが存在するとき、列は分裂完全列|分裂するといい $s$ を切断という。
$s$ は単射です。$s(q)=e$ なら $q=\pi(s(q))=e$。従って $s(Q)$ を $Q$ と同一視できます。また
$$
N\cap s(Q)=\{e\},
$$
なぜなら $s(q)\in N=\ker\pi$ なら $q=\pi(s(q))=e$ だからです。
短完全列
$$
1\to N\to G\to Q\to1
$$
が分裂することと、ある作用 $\alpha:Q\to\operatorname{Aut}(N)$ により
$$
G\cong N\rtimes_\alpha Q
$$
となることは同値である。
切断 $s$ があるとする。$q\in Q$ に対し
$$
\alpha(q)(n)=s(q)ns(q)^{-1}
$$
と置く。$N\trianglelefteq G$ なのでこれは $N$ の自己同型。$s$ が準同型だから $\alpha$ も準同型。
任意の $g\in G$ に対し $q=\pi(g)$ と置くと
$$
\pi(gs(q)^{-1})=qq^{-1}=e,
$$
よって $n=gs(q)^{-1}\in N$ で $g=ns(q)$。この表示は一意です。$ns(q)=n'ts(q')$ なら商へ写して $q=q'$、従って $n=n'$。
写像
$$
\Phi:N\rtimes_\alpha Q\to G,\qquad
(n,q)\mapsto ns(q)
$$
は全単射。積について
$$
ns(q)n's(q')
=n\{s(q)n's(q)^{-1}\}s(qq')
=n\alpha(q)(n')s(qq'),
$$
で半直積の積と一致するため同型。
逆に $G=N\rtimes_\alpha Q$ なら
$$
\pi(n,q)=q,\qquad s(q)=(e,q)
$$
と置けば $\pi s=\operatorname{id}_Q$ で短完全列が分裂する。□
分裂する例・しない例
$$
1\to C_n\to D_n\to C_2\to1
$$
は反転部分群 $\langle s\rangle$ が切断を与えるため分裂し
$$D_n\cong C_n\rtimes C_2.$$
一方
$$
1\to C_2\to C_4\to C_2\to1
$$
は分裂しません。分裂すれば $C_4$ 内に核と交わらない位数2の部分群が必要ですが、$C_4$ の位数2部分群は核そのものだけです。
$$
1\to C_4\to Q_8\to C_2\to1
$$
も分裂しません。核の外の元はすべて位数4なので、$C_2$ の像となる位数2の補部分群が存在しません。
$N\trianglelefteq G$ とする。商列
$$
1\to N\to G\to G/N\to1
$$
が分裂することと、ある $H\le G$ が
$$
N\cap H=\{e\},\qquad NH=G
$$
を満たすことは同値である。この $H$ を $N$ の補部分群という。
切断 $s$ があれば $H=s(G/N)$ が直前の定理の証明で二条件を満たす。
逆に $H$ が二条件を満たせば、商写像の制限
$$
\pi|_H:H\to G/N
$$
は、$NH=G$ から全射、核 $H\cap N$ が自明なので単射。逆同型
$$
s=(\pi|_H)^{-1}:G/N\to H\subset G
$$
は切断。□
$$
1\to A_3\to S_3\to C_2\to1
$$
が分裂する切断を一つ書き、対応する作用を求めよ。
$C_2=\langle\bar1\rangle$ とし
$$s(\bar1)=(12)$$
と置く。$(12)^2=e$ なので準同型で、符号は非自明元へ写るため切断。$A_3=\langle r=(123)\rangle$ への作用は
$$
\alpha(\bar1)(r)
=(12)(123)(12)=r^{-1}.
$$
従って
$$S_3\cong C_3\rtimes_{\text{反転}}C_2.$$
□
分裂拡大で切断像 $s(Q)$ が $N$ の全元と可換するなら $G\cong N\times Q$ を示せ。
誘導作用は
$$
\alpha(q)(n)=s(q)ns(q)^{-1}=n
$$
で自明。自明作用による半直積の積は
$$
(n,q)(n',q')=(nn',qq'),
$$
すなわち直積の演算。分裂拡大定理から $G\cong N\times Q$。□
参考文献
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