8-7 位数8の群

$G$ が可換なら有限生成可換群の構造定理と $8=2^3$ の分割
$$3,\qquad2+1,\qquad1+1+1$$
から、最初の三群に限られる。
$G$ を非可換とする。もし全非単位元の位数が2なら、任意の $x,y$ について
$$ (xy)^{-1}=xy. $$
一方 $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx$ なので $xy=yx$ となり矛盾。従って位数4以上の元がある。位数8の元があれば群は巡回で可換だから、位数4の元 $r$ が存在する。
$H=\langle r\rangle$ は位数4、指数2なので正規。$s\notin H$ を取る。共役 $srs^{-1}$ は $H$ の生成元なので $r$ または $r^{-1}$。前者なら $r,s$ が可換し、$G=H\cup sH$ の全元が可換するので矛盾。従って
$$srs^{-1}=r^{-1}.$$
$G/H$ は位数2なので $s^2\in H$。$s^2=r^k$ と書く。$s$ は $s^2$ と可換する一方、
$$ sr^ks^{-1}=r^{-k}. $$
従って $r^k=r^{-k}$、すなわち $2k\equiv0\pmod4$。よって $s^2=e$ または $s^2=r^2$。
$s^2=e$ なら表示は $D_4$。$s^2=r^2$ なら
$$ r^4=e,\quad s^2=r^2,\quad srs^{-1}=r^{-1} $$
で、$r\mapsto i,s\mapsto j$ とすれば $Q_8$ の関係式になり、八つの正規形 $r^a s^b$（$0\le a<4,0\le b<2$）が対応する。従って $Q_8$。□

$\pm1$ は全元と可換する。$i$ は $j$ と可換せず、同様に $\pm i,\pm j,\pm k$ は中心に入らない。従って
$$Z(Q_8)=\{\pm1\}.$$
商 $Q_8/\{\pm1\}$ は $C_2\times C_2$ で可換なので
$$[Q_8,Q_8]\subset\{\pm1\}.$$
一方
$$ [i,j]=iji^{-1}j^{-1}=-1, $$
したがって
$$[Q_8,Q_8]=\{\pm1\}.$$
□

$$ [s,r]=srs^{-1}r^{-1} =r^{-1}r^{-1}=r^2. $$
よって $\langle r^2\rangle\subset[D_4,D_4]$。一方 $D_4/\langle r^2\rangle\cong C_2\times C_2$ は可換なので、可換化の普遍性から逆包含。□