1-4 自己同型群
図形の対称性を群にした後、その群自体にも「演算を保つ並べ替え」があります。群の自己同型全体は再び群をなし、内部の共役から生じる自己同型と、それだけでは説明できない外部自己同型を分けます。
自己同型
群 $G$ から自身への同型写像を自己同型という。自己同型群|自己同型全体は写像の合成について群をなし
$$
\operatorname{Aut}(G)
$$
と書く。
単位元は恒等写像、逆元は逆写像です。自己同型の合成も積を保つ全単射なので群になります。
自己同型は元の位数を保ちます。実際 $\varphi(g)^n=e$ と
$$
\varphi(g^n)=e
$$
は同値で、$\varphi$ は単射だから $g^n=e$ と同値です。従って中心、交換子部分群、位数ごとの元集合など、群の言葉だけで定義される集合を保ちます。
内部自己同型
各 $g\in G$ に対し
$$
c_g:G\to G,\qquad x\mapsto gxg^{-1}
$$
は自己同型です。
写像
$$
c:G\to\operatorname{Aut}(G),\qquad g\mapsto c_g
$$
は準同型で、核は $Z(G)$。像
$$
\operatorname{Inn}(G)=\{c_g\mid g\in G\}
$$
は $\operatorname{Aut}(G)$ の正規部分群で
$$
\operatorname{Inn}(G)\cong G/Z(G).
$$
$$
c_{gh}(x)=ghx(gh)^{-1}
=g(hxh^{-1})g^{-1}
=(c_g\circ c_h)(x),
$$
なので準同型。$c_g$ が恒等写像であることは $gx=xg$ が全 $x$ で成り立つこと、すなわち $g\in Z(G)$ と同値。第一同型定理から像は $G/Z(G)$ と同型。
正規性を示す。$\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$ に対し
$$
\alpha c_g\alpha^{-1}(x)
=\alpha(g\alpha^{-1}(x)g^{-1})
=\alpha(g)x\alpha(g)^{-1}
=c_{\alpha(g)}(x).
$$
従って自己同型で共役しても内部自己同型に留まる。□
商
$$
\operatorname{Out}(G)
=\operatorname{Aut}(G)/\operatorname{Inn}(G)
$$
を外部自己同型群といいます。
特性部分群
$H\le G$ が全 $\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$ に対し
$$\alpha(H)=H$$
を満たすとき、$H$ を $G$ の特性部分群といい $H\char G$ と書く。
$H\char G$ なら $H\trianglelefteq G$。さらに $K\char H$ かつ $H\char G$ なら $K\char G$。
内部自己同型は自己同型なので、特性部分群は全共役で不変、従って正規。
$\alpha\in\operatorname{Aut}(G)$ とする。$H\char G$ だから $\alpha(H)=H$ で、制限 $\alpha|_H$ は $H$ の自己同型。$K\char H$ だから $\alpha(K)=K$。全 $\alpha$ で成り立つので $K\char G$。□
$Z(G)$、$[G,G]$、導来列の各項は特性部分群です。たとえば自己同型は可換する元を可換する元へ送り、交換子を
$$
\alpha([x,y])=[\alpha(x),\alpha(y)]
$$
へ送るからです。
例：$Q_8$
$Q_8$ の位数4の部分群
$$
\langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle
$$
は自己同型で置換されます。さらに各生成元を符号付きで選べるため $\operatorname{Aut}(Q_8)$ はこれら三軸の対称性を記録し、位数24になります。完全な同定 $\operatorname{Aut}(Q_8)\cong S_4$ は第8章の二面体群と四元数群のページで計算します。
$Z(G)=\{e\}$ なら $\operatorname{Inn}(G)\cong G$ を示せ。さらに全自己同型が内部自己同型なら $\operatorname{Aut}(G)\cong G$ を示せ。
一般に $\operatorname{Inn}(G)\cong G/Z(G)$。中心が自明なら右辺は $G$。さらに
$$
\operatorname{Aut}(G)=\operatorname{Inn}(G)
$$
なら二つの同型を合成して $\operatorname{Aut}(G)\cong G$。この二条件を満たす群を完全群という。□
可換群 $A$ の捩れ部分群
$$
T(A)=\{a\in A\mid na=0\text{ for some }n\ge1\}
$$
が特性部分群であることを示せ。
$a\in T(A)$ ならある $n$ で $na=0$。自己同型 $\alpha$ に対し
$$
n\alpha(a)=\alpha(na)=0,
$$
よって $\alpha(a)\in T(A)$。従って $\alpha(T(A))\subset T(A)$。$\alpha^{-1}$ にも同じ議論を適用して逆包含を得るので等号。□
参考文献
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