5-2 A5 の単純性

$x=(123)$ とする。$S_5$ で $x$ と可換する置換は $\langle(123)\rangle$ と残り二文字の交換 $(45)$ からなり、位数6。そのうち偶置換は $\langle(123)\rangle$ の3個だけなので
$$ |C_{A_5}(x)|=3. $$
従って $A_5$ 内の共役類サイズは $60/3=20$。すべての3-cycleを尽くす。
$y=(12)(34)$ とする。$S_5$ での中心化群は、各組内の交換と二組の交換からなる位数8の群で、たとえば $(12)$ という奇置換を含む。符号写像を中心化群へ制限すると全射なので、偶置換部分は半分の4個。従って
$$ |C_{A_5}(y)|=4,\qquad |\operatorname{Cl}_{A_5}(y)|=60/4=15. $$
二重互換15個を尽くす。
$z=(12345)$ とする。$S_5$ で $z$ と可換する置換は $\langle z\rangle$ だけで位数5。5-cycleは偶置換なので、この中心化群は全て $A_5$ に入る。従って
$$ |C_{A_5}(z)|=5,\qquad |\operatorname{Cl}_{A_5}(z)|=60/5=12. $$
5-cycleは24個あるため、一つの類では尽くさず、同じ計算により12個ずつの二共役類へ分かれる。□

正規部分群 $N\trianglelefteq A_5$ は単位元を含む共役類の和集合。従って $|N|$ は
$$ 1 $$
に $15,20,12,12$ の一部を加えた数です。またLagrangeの定理から $|N|$ は60の約数。
部分和を調べる。単独追加では
$$13,16,21.$$
二つ追加では
$$ 1+12+12=25,\quad 1+12+15=28,\quad 1+12+20=33,\quad 1+15+20=36. $$
三つ追加では
$$ 1+12+12+15=40,\quad 1+12+12+20=45,\quad 1+12+15+20=48. $$
四つ全部なら60。上の数のうち60を割るものはなく、可能なのは1と60だけ。従って $N=\{e\}$ または $A_5$。非可換性はたとえば $(123)$ と $(345)$ が可換しないことから分かる。□

$S_5$ では、$z$ を $z^{-1}$ へ送る共役元は五角形の向きを反転する置換である。たとえば
$$ (25)(34)z(25)(34)=z^{-1}. $$
この置換は二重互換で偶置換なので、実は $z$ と $z^{-1}$ は $A_5$ でも共役で同じ12元類に入る。残る類には $z^2,z^3$ 型が入る。分裂は「逆元」ではなく、指数が平方剰余かどうかで起こる。□

$A_5$ は単純なので準同型は自明または単射。単射なら $A_5$ が $H$ の部分群となり、Lagrangeの定理から
$$60=|A_5|\mid|H|.$$
しかし $|H|<60$ では不可能。従って自明。□