8-1 直積と半直積
二つの群を組み合わせる最も素直な方法は、各成分を独立に計算する直積です。しかし二面体群では、反転が回転の向きを逆にします。一方が他方へ作用する「ねじれ」を記録するのが半直積です。
外部直積
群 $G,H$ に対し、集合 $G\times H$ に
$$
(g_1,h_1)(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)
$$
と演算を入れた群を群の直積|直積という。
結合律は各成分の結合律から従います。単位元は $(e_G,e_H)$、逆元は
$$
(g,h)^{-1}=(g^{-1},h^{-1}).
$$
$\gcd(m,n)=1$ なら
$$
C_m\times C_n\cong C_{mn}.
$$
逆に $\gcd(m,n)>1$ なら $C_m\times C_n$ は位数 $mn$ の巡回群ではない。
$a,b$ をそれぞれ $C_m,C_n$ の生成元とする。$(a,b)^k=(e,e)$ であることは
$$m\mid k,\qquad n\mid k$$
と同値。従って $(a,b)$ の位数は $\operatorname{lcm}(m,n)$。互いに素ならこれは $mn$ で、群全体を生成する。
$d=\gcd(m,n)>1$ なら任意の $(a^i,b^j)$ の位数は $m$ の約数と $n$ の約数の最小公倍数であり、$\operatorname{lcm}(m,n)=mn/d< mn$ 以下。従って位数 $mn$ の元がなく、巡回群ではない。□
内部直積
$N,H\trianglelefteq G$ が
$$
N\cap H=\{e\},\qquad NH=G
$$
を満たすなら、写像
$$
N\times H\to G,\qquad(n,h)\mapsto nh
$$
は同型である。
まず $n\in N,h\in H$ に対し交換子
$$
nhn^{-1}h^{-1}
$$
は、$N$ の正規性から $N$ に入り、$H$ の正規性からも $H$ に入る。共通部分が自明なので交換子は $e$、従って $nh=hn$。
よって
$$
(n_1h_1)(n_2h_2)
=n_1n_2h_1h_2,
$$
なので写像は準同型。$NH=G$ から全射。$nh=e$ なら $n=h^{-1}\in N\cap H$ なので $n=h=e$。核が自明だから単射。□
正規性を片方だけに弱めると、二成分は交換せず半直積になります。
外部半直積
群 $N,H$ と準同型
$$
\alpha:H\to\operatorname{Aut}(N)
$$
に対し、集合 $N\times H$ に
$$
(n_1,h_1)(n_2,h_2)
=\bigl(n_1\alpha(h_1)(n_2),h_1h_2\bigr)
$$
と演算を入れた群を半直積といい、$N\rtimes_\alpha H$ と書く。
上の演算は結合的で、単位元は $(e_N,e_H)$、逆元は
$$
(n,h)^{-1}
=\bigl(\alpha(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1}\bigr).
$$
三元の積の左括弧は第一成分が
$$
n_1\alpha(h_1)(n_2)
\alpha(h_1h_2)(n_3),
$$
右括弧は
$$
n_1\alpha(h_1)\bigl(n_2\alpha(h_2)(n_3)\bigr).
$$
$\alpha(h_1)$ が自己同型で、$\alpha(h_1h_2)=\alpha(h_1)\alpha(h_2)$ だから両者は等しい。第二成分は $H$ の結合律で等しい。
単位元の式は直接確認できる。逆元候補との積の第一成分は
$$
n\alpha(h)\alpha(h^{-1})(n^{-1})=e_N,
$$
第二成分は $e_H$。逆順も同様。□
二面体群は半直積
$C_n=\langle r\rangle$ に $C_2=\langle s\rangle$ を
$$
\alpha(s)(r)=r^{-1}
$$
で作用させます。すると
$$
C_n\rtimes_\alpha C_2
=\langle r,s\mid r^n=s^2=e,\ srs^{-1}=r^{-1}\rangle
=D_n.
$$
直積なら $sr=rs$ ですが、半直積では $sr=r^{-1}s$。この一行が長方形や正多角形の「反転すると回転方向が逆になる」幾何を記録します。
$C_3\times C_2$ と、反転作用による $C_3\rtimes C_2$ を比較し、前者は可換で $C_6$ と同型、後者は非可換で $S_3$ と同型であることを示せ。
$\gcd(3,2)=1$ なので前者は $C_6$。後者は表示
$$
\langle r,s\mid r^3=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle
$$
をもち、$sr\ne rs$ なので非可換。$S_3$ の $r=(123),s=(12)$ は同じ関係を満たし、六元
$$e,r,r^2,s,rs,r^2s$$
をすべて与える。よって対応は全単射準同型で同型。□
$N\trianglelefteq G$、$H\le G$、$N\cap H=\{e\}$、$NH=G$ とする。各 $g\in G$ がただ一通り $g=nh$ と書けることを示せ。
存在は $NH=G$。$n_1h_1=n_2h_2$ なら
$$
n_2^{-1}n_1=h_2h_1^{-1}.
$$
左辺は $N$、右辺は $H$ に入り、共通部分は $\{e\}$。従って両辺は $e$、よって $n_1=n_2,h_1=h_2$。共役 $hnh^{-1}$ が $N$ に入るため、$H$ の $N$ への作用が生じ、$G\cong N\rtimes H$。□
参考文献
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