8-9 二面体群と四元数群

自己同型は特性部分群 $\langle r\rangle$ を保ち、生成元を生成元へ送るので $r\mapsto r^a$、$\gcd(a,n)=1$。商 $D_n/\langle r\rangle\cong C_2$ の非自明元を保つため、$s$ の像は回転部分群の外にあり $r^bs$ と書ける。
逆にこの像は関係式を満たす。
$$ (r^a)^n=e,\qquad(r^bs)^2=e, $$
$$ (r^bs)r^a(r^bs)^{-1} =r^b(sr^as)r^{-b} =r^br^{-a}r^{-b}=r^{-a}. $$
表示の普遍性から準同型が存在する。$r^a$ は $\langle r\rangle$ を生成し、$r^bs$ と合わせて $s=r^{-b}(r^bs)$ も得られるので全射。有限群上の全射は自己同型。
合成すると
$$ (a,b)(a',b')=(aa',\,b+ab') $$
となり、これは表示した半直積の演算。選択数は $\varphi(n)n$。□

$i$ の像は $\pm i,\pm j,\pm k$ の6通り。像を $u$ と決めた後、$j$ の像は $\langle u\rangle$ の外の位数4元4通りから選べる。選んだ $u,v$ は反可換し、$k=ij$ の像は $uv$ と強制されます。これらは
$$ u^2=v^2=-1,\qquad vu=-uv $$
を満たすので $Q_8$ の表示を保ち、生成元 $u,v$ が $Q_8$ を生成するため自己同型。従って
$$|\operatorname{Aut}(Q_8)|=6\cdot4=24.$$
三つの部分群 $\langle i\rangle,\langle j\rangle,\langle k\rangle$ への作用は全射
$$ \rho:\operatorname{Aut}(Q_8)\to S_3 $$
を与える。核は各部分群を保つ符号変更で、$i,j$ の符号を独立に選び $k=ij$ の符号が決まるため位数4、各非単位元の位数2で $C_2\times C_2$。
$S_3$ はこの核の三つの非単位元を置換するので
$$ \operatorname{Aut}(Q_8)\cong (C_2\times C_2)\rtimes S_3. $$
一方 $S_4$ の二重互換からなる正規部分群
$$ V=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} $$
は $C_2\times C_2$ で、$S_4/V\cong S_3$、共役作用は三非単位元の全置換を与える。点 $4$ の安定化群 $S_3$ と $V$ は共通部分が自明で積が $S_4$ なので
$$S_4\cong V\rtimes S_3.$$
二つの半直積で作用が同じため同型。□

定理から位数は
$$4\varphi(4)=4\cdot2=8.$$
単元群 $(\mathbb Z/4\mathbb Z)^\times=\{\pm1\}$ が $\mathbb Z/4\mathbb Z$ に符号反転で作用するので
$$ \operatorname{Aut}(D_4) \cong C_4\rtimes_{\text{反転}}C_2 \cong D_4. $$
□

$$ \operatorname{Inn}(Q_8) \cong Q_8/Z(Q_8) =Q_8/\{\pm1\} \cong C_2\times C_2. $$
従って位数4。$\operatorname{Aut}(Q_8)$ の位数は24なので
$$ |\operatorname{Out}(Q_8)|=24/4=6. $$
□