5-1 単純群

$G$ を非自明な可換単純群とし $g\ne e$ を取る。可換群では全部分群が正規なので、非自明な $\langle g\rangle$ は $G$ 全体。従って $G$ は巡回群。
$g$ の位数が無限なら $\langle g^2\rangle$ は非自明な真部分群で矛盾。有限合成数 $n=ab$（$1< a< n$）なら $\langle g^a\rangle$ が非自明な真部分群で矛盾。従って位数は素数。
逆に $C_p$ の部分群の位数は $p$ の約数なので1または $p$。従って単純。□

$\ker\varphi\trianglelefteq G$ なので、単純性から
$$ \ker\varphi=\{e\}\quad\text{または}\quad G. $$
前者なら単射判定により $\varphi$ は単射。後者なら全元を $e_H$ へ送る自明写像。□

$N\trianglelefteq G$ と $x\in N$ に対し、全 $g\in G$ で $gxg^{-1}\in N$。従って $x$ の共役類全体が $N$ に入る。よって $N$ は含む元の共役類の和集合。
有限群ではLagrangeの定理から $|N|\mid|G|$。可能な共役類サイズの和で、単位元を含み、かつ $|G|$ を割るものが1と $|G|$ だけなら、正規部分群の位数は1または $|G|$。従って自明または全体。□

$[G,G]$ は正規部分群。$G$ が非可換なので交換子のうち非単位元があり、$[G,G]\ne\{e\}$。単純性から $[G,G]=G$。
すると導来列は
$$ G^{(1)}=G,\quad G^{(2)}=G,\ldots $$
と変化せず、自明群へ到達しない。従って非可解。□

符号写像の核 $A_3$ は位数3の非自明な真の正規部分群。
共役類は
$$ \{e\},\quad\{(12),(13),(23)\},\quad \{(123),(132)\}. $$
単位元の類と3-cycleの類の和集合は $A_3$ で、共役類の和集合として正規。□

$Z(G)$ は特性部分群なので正規。単純性から $\{e\}$ または $G$。もし $Z(G)=G$ なら $G$ は可換で仮定に反する。従って自明。□