1-2 部分群と生成元
整数の中の偶数、正三角形の全対称性の中の回転だけ。大きな群の一部が、それ自身で群になるとき部分群と呼びます。部分群判定は三つの公理を毎回確認する手間を一つの条件へ圧縮します。
部分群
群 $G$ の部分集合 $H$ が $G$ と同じ演算について群になるとき、$H$ を $G$ の部分群といい $H\le G$ と書く。
任意の群で $\{e\}$ と $G$ 自身は部分群です。$\mathbb Z$ の加法群では $n\mathbb Z=\{nk\mid k\in\mathbb Z\}$ が部分群です。奇数全体は $1+1=2$ を含まないので部分群ではありません。
$H$ を群 $G$ の空でない部分集合とする。このとき
$$
H\le G
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{任意の }x,y\in H\text{ に対し }xy^{-1}\in H.
$$
$H$ が部分群なら、逆元と積について閉じるので $xy^{-1}\in H$。
逆に右の条件を仮定する。$h\in H$ を一つ取る。$x=y=h$ とすれば
$$e=hh^{-1}\in H.$$
$x=e,y=h$ とすれば $h^{-1}\in H$。さらに $x,h\in H$ なら、既に $h^{-1}\in H$ なので条件へ $x$ と $h^{-1}$ を入れて
$$x(h^{-1})^{-1}=xh\in H.$$
結合律は $G$ から継承する。従って $H$ は群である。□
加法記法では条件は $x-y\in H$ です。たとえば $n\mathbb Z$ は空でなく、$na-nb=n(a-b)$ も $n\mathbb Z$ に入ります。
部分群族 $(H_i)_{i\in I}$ の共通部分 $\bigcap_{i\in I}H_i$ は部分群である。
単位元はすべての $H_i$ に入るので共通部分は空でない。$x,y$ が共通部分に入れば各 $i$ で $x,y\in H_i$、従って $xy^{-1}\in H_i$。よって $xy^{-1}$ は共通部分に入り、部分群判定法を使える。□
生成部分群
$S\subset G$ に対し、$S$ を含むすべての部分群の共通部分を $\langle S\rangle$ と書き、$S$ が生成部分群|生成する部分群という。$G=\langle S\rangle$ のとき $S$ を生成系という。
共通部分命題により、これは $S$ を含む最小の部分群です。具体的には
$$
\langle S\rangle
=\{s_1^{\varepsilon_1}\cdots s_k^{\varepsilon_k}
\mid k\ge0,\ s_i\in S,\ \varepsilon_i=\pm1\}.
$$
$k=0$ の空積は $e$。右辺は部分群で $S$ を含み、$S$ を含むどの部分群もこれらの有限積を含むため、定義と一致します。
$$
\langle g\rangle=\{g^k\mid k\in\mathbb Z\}.
$$
$|g|=n<\infty$ なら $e,g,\ldots,g^{n-1}$ は相異なり、以後は周期 $n$ で繰り返します。$g^i=g^j$ なら $g^{i-j}=e$ であり、除法算法から $n\mid(i-j)$ が従うからです。
巡回群の任意の部分群は巡回群である。特に $\mathbb Z$ の部分群は、ただ一つの非負整数 $d$ により $d\mathbb Z$ と書ける。
まず $\mathbb Z$ の部分群 $H$ を考える。$H=\{0\}$ なら $H=0\mathbb Z$。そうでなければ正の元をもち、その最小値を $d$ とする。任意の $h\in H$ を
$$h=qd+r,\qquad0\le r< d$$
と書く。$r=h-qd\in H$ なので $d$ の最小性から $r=0$。従って $H\subset d\mathbb Z$。逆に $d\in H$ だから全整数倍が入り、$H=d\mathbb Z$。$d$ は正の最小元なので一意。
一般に $G=\langle g\rangle$ と $H\le G$ に対し
$$
K=\{k\in\mathbb Z\mid g^k\in H\}
$$
と置く。$K$ は $\mathbb Z$ の部分群なので $K=d\mathbb Z$。従って
$$
H=\{g^{dq}\mid q\in\mathbb Z\}=\langle g^d\rangle.
$$
□
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ の部分群
加法群 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ では
$$
\langle\bar0\rangle=\{\bar0\},\quad
\langle\bar6\rangle=\{\bar0,\bar6\},
$$
$$
\langle\bar4\rangle=\{\bar0,\bar4,\bar8\},\quad
\langle\bar3\rangle=\{\bar0,\bar3,\bar6,\bar9\},
$$
$$
\langle\bar2\rangle=\{\bar0,\bar2,\bar4,\bar6,\bar8,\bar{10}\},
\quad
\langle\bar1\rangle=\mathbb Z/12\mathbb Z.
$$
これらがすべてです。有限巡回群の部分群と位数の約数との対応は、第2章のLagrangeの定理で体系化します。
$\mathbb Z/12\mathbb Z$ の生成元をすべて求めよ。
$\bar k$ の位数が12となるのは $\gcd(k,12)=1$ のときだけ。$0\le k<12$ で12と互いに素なのは
$$1,5,7,11.$$
従って生成元は $\bar1,\bar5,\bar7,\bar{11}$。□
$m\mathbb Z+n\mathbb Z=\{ma+nb\mid a,b\in\mathbb Z\}$ が部分群で
$$
m\mathbb Z+n\mathbb Z=\gcd(m,n)\mathbb Z
$$
となることを示せ。Bézoutの等式を用いてよい。
0を含み、二元 $ma+nb,mc+nd$ の差は $m(a-c)+n(b-d)$ だから部分群。$d=\gcd(m,n)$ とすると $d\mid m,n$ なので左辺は $d\mathbb Z$ に含まれる。Bézoutの等式 $d=mu+nv$ から $d$ は左辺に入り、その全整数倍も入る。従って等しい。□
参考文献
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