8-6 位数 pq の群
異なる素数 $p< q$ の積を位数にもつ群では、大きい素数側のSylow部分群が必ず正規です。小さい側も正規なら群は巡回群、正規でなければ半直積として非可換性が生じます。
Sylow部分群の配置
$p< q$ を素数、$|G|=pq$ とする。
- Sylow $q$ 部分群 $Q$ は一意で正規。
- Sylow $p$ 部分群の個数は $1$ または $q$。
- $p\nmid(q-1)$ なら $G\cong C_{pq}$。
- $G$ が非可換なら $p\mid(q-1)$ で、$G\cong C_q\rtimes C_p$ と書ける。
第三Sylow定理から
$$
n_q\mid p,\qquad n_q\equiv1\pmod q.
$$
$n_q$ は1または $p$ ですが $1< p< q$ なので $p\not\equiv1\pmod q$。従って $n_q=1$、$Q$ は正規。
同様に
$$
n_p\mid q,\qquad n_p\equiv1\pmod p,
$$
だから $n_p=1$ または $q$。後者が起こるには $q\equiv1\pmod p$、すなわち $p\mid(q-1)$ が必要。
$p\nmid(q-1)$ なら $n_p=1$ でSylow $p$ 部分群 $P$ も正規。$P\cap Q=\{e\}$ かつ
$$|PQ|=\frac{|P||Q|}{|P\cap Q|}=pq=|G|$$
なので $G=PQ$。内部直積判定から
$$
G\cong P\times Q\cong C_p\times C_q\cong C_{pq}.
$$
$G$ が非可換なら $P$ は正規でなく $n_p=q$、従って $p\mid(q-1)$。それでも $Q\trianglelefteq G$、$P\cap Q=e$、$QP=G$ なので内部半直積
$$
G\cong Q\rtimes P\cong C_q\rtimes C_p.
$$
□
非自明な作用
$$
C_p\to\operatorname{Aut}(C_q)
$$
が非可換群を作ります。$\operatorname{Aut}(C_q)$ は $\mathbb Z/q\mathbb Z$ の非零元の乗法群と同型で位数 $q-1$。$p\mid(q-1)$ ならCauchyの定理により位数 $p$ の自己同型が存在し、非自明な半直積を構成できます。
具体的に $a\in(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$ が位数 $p$ なら
$$
\langle r,s\mid r^q=s^p=e,\ srs^{-1}=r^a\rangle
$$
が非可換な位数 $pq$ の群です。正規形 $r^is^j$ により元は高々 $pq$ 個で、半直積構成がちょうど $pq$ 個の元を与えます。
位数21の例
$21=3\cdot7$ で $3\mid6$。$2\in(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times$ は
$$
2^3=8\equiv1\pmod7
$$
かつ $2\not\equiv1,2^2\not\equiv1$ なので位数3。従って
$$
\langle r,s\mid r^7=s^3=e,\ srs^{-1}=r^2\rangle
$$
は位数21の非可換群です。
$|G|=35$ なら $G\cong C_{35}$ を示せ。
$p=5,q=7$ で $5\nmid6=q-1$。基本構造定理の3より $G\cong C_{35}$。直接には
$$
n_7\mid5,\ n_7\equiv1\pmod7
$$
から $n_7=1$、
$$
n_5\mid7,\ n_5\equiv1\pmod5
$$
から候補は1のみ（7は5を法として2）。両Sylow部分群が正規なので直積 $C_7\times C_5\cong C_{35}$。□
表示
$$
G=\langle r,s\mid r^q=s^p=e,\ srs^{-1}=r^a\rangle
$$
で $a\not\equiv1\pmod q$ とする。$[s,r]=r^{a-1}$ を示し、$[G,G]=\langle r\rangle$ を証明せよ。
定義から
$$
[s,r]=srs^{-1}r^{-1}=r^{a-1}.
$$
$a-1\not\equiv0\pmod q$ で $q$ は素数なので $r^{a-1}$ も $\langle r\rangle$ を生成する。従って $\langle r\rangle\subset[G,G]$。
一方 $G/\langle r\rangle\cong C_p$ は可換なので、可換化の普遍性から
$$[G,G]\subset\langle r\rangle.$$
両包含から等号。□
参考文献
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