3-3 特別群と主束の自明化
局所等自明な主束がすべて局所自明になる群を特別群と呼び、特別なアフィン群を構造群とする主束はアフィンな開集合の中の有限集合の近傍で自明になることを示す。これを前の頁の構造群の簡約と組み合わせ、部分群が特別なら、主束そのものが各点の近くで有限エタール被覆の上で自明になることを導き、構造群がアフィンなら底の非特異性が要らないことを確かめる。
前提知識: 特別群, 主束, ベクトル束, 中山の補題, エタール射, 等質空間
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。空間は本書の読みの代数的空間（$k$ 上有限型の分離的な被約スキームを $k$ 点の集合と同一視したもの。既約とも連結とも限らない）で、位相は Zariski 位相である。主束・局所自明・局所等自明・簡約の意味は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』のとおりで、「不分岐な被覆」はいつも本書の読みの有限エタールの意味である（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の定義（不分岐な被覆（本書の読み）））。代数群 $F$ が特別であるとは、構造群 $F$ の局所等自明な主束がすべて局所自明であることをいう（下の定義）。
本頁の主結果は次の四つである。
- 可解群と一般線形群は特別（原論文の特別群の定義の直後の主張）：連結可解アフィン群と一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ は特別である。［条件付き：同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実（有理表現に付随するベクトル束は局所自明であること、連結可解アフィン群は特別であること）を引用］
- 有限集合の近傍での自明化（原論文 Lemme 5）：$F$ を特別なアフィン群、$P$ を代数的空間 $X$ の上の構造群 $F$ の局所等自明な（したがって局所自明な）主束、$S$ を $X$ のアフィンな開集合 $V$ に含まれる有限集合とすると、$S$ の開近傍 $V'$ で $P|_{V'}$ が自明になるものがある。［条件付き：アフィンな空間の上の連接層の基本（有限個の点で値を指定した大域切断、Nakayama の補題）、アフィン群が一般線形群の閉部分群であること、同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実（閉部分群による商と付随束の局所等自明性）を引用］
- 特別な部分群への簡約による自明化（原論文 Proposition 6 の系）：本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」の条件の下で、さらに $F$ が特別なアフィン群なら（たとえば $G$ が連結アフィン群で $F$ がその Borel 部分群なら）、$x$ の近傍 $U$ の $x$ で不分岐な次数 $d$ の被覆 $g\colon X'\to U$ を、$P'=g^{-1}(P)$ が自明になるように選べる。［条件付き：本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」と 2 による。同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実（簡約した主束の局所等自明性）も引用し、括弧の中の例は 1 と、旗多様体の完備性（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（線形群の構造）の (2)）にも依る。足した仮定：零点の総数 $d\ge1$（本書『3-2』が足した仮定を継ぐ）、不分岐な被覆は有限エタール被覆］
- アフィン群では底の非特異性は要らない（原論文 §3 の終わりの注意。系（上の 3）への拡張は本書の補い）：$G$ がアフィンなら、本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」と上の 3 は、非特異とは限らない任意の代数的空間 $X$ の上で成り立つ。［条件付き：同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実（閉部分群による商と付随束の局所等自明性）、アフィン群が一般線形群の閉部分群であること、等質空間が非特異であること（等質空間の基本）、本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」と、1・3 による。足した仮定：零点の総数 $d\ge1$（本書『3-2』が足した仮定を継ぐ）、不分岐な被覆は有限エタール被覆］
四つとも交叉理論の枠組み（Chow 環の枠組み）を使わない（Chow 環の枠組みに依らない）。1 は第 1 講演の結果そのもので、原論文も引くだけである。2〜4 は、第 1 講演の基本事実と連接層の基本を認めれば頁の中で閉じ、主束の扱い（同変な射、簡約と等質空間への射、一般線形群とベクトル束）は下の三つの補題として頁の中で証明する。本書の基準では、第 0 章の古典的な定理と第 1 講演の事実と前の頁の条件付きの主結果を引くので、四つとも［条件付き］になる。
背景と動機
前の頁（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』）で、等質ベクトル束の横断的な切断が一つあれば、主束は各点の近くで次数 $d$ の有限エタール被覆の上で構造群が $F$ に簡約されることを見た。簡約された主束は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。$F$ の主束がいつも局所自明になるなら、被覆の上で主束は局所的に自明になり、被覆を少し縮めればその上で主束そのものが自明になるはずである。原論文はこの性質をもつ群を「特別（spécial）」と呼び、Proposition 6 の直後で定義する（印字 5-11）。
原論文は特別群の例として、連結可解アフィン群と一般線形群を第 1 講演 Ser58fib から引き、特別なアフィン群の「初等的な特徴づけ」がそこにあると述べ、後で「ホモロジー的な」特徴づけを与えると予告する。後者が原論文の定理 3 で、本書では『6-3 特別群の特徴づけ』で扱う。本頁は定義の直後の部分、すなわち特別群の例、アフィンな底での自明化の補題（Lemme 5）、それを使った Proposition 6 の系、底の非特異性を外す注意を扱う。
Lemme 5 の考え方は、ベクトル束の場合に帰着させることである。アフィンな空間の上のベクトル束は、有限個の点で基底を指定した切断をもつので、それらの点の近傍で自明になる。一般の特別なアフィン群 $F$ は $\mathrm{GL}(n)$ の閉部分群なので、$F$ の主束を $\mathrm{GL}(n)$ の主束に拡げて自明化すると、元の主束は等質空間 $\mathrm{GL}(n)/F$ への射で表される。$\mathrm{GL}(n)\to\mathrm{GL}(n)/F$ は $F$ が特別なので局所自明で、有限集合を一度に覆う自明化の開集合が、$\mathrm{GL}(n)$ の既約性から平行移動で見つかる。§3 の終わりの注意も同じ型の議論で、アフィン群 $G$ の主束を $\mathrm{GL}(n)$ の主束に拡げ、非特異な等質空間 $\mathrm{GL}(n)/G$ の上の一つの主束の引き戻しとして表す。
定義と準備
特別群の定義を繰り返し、主束の扱いのための補題を三つ用意する。一つ目は同変な射が主束の同型であること、二つ目は自明な主束の簡約が等質空間への射で表されること、三つ目は一般線形群の主束とベクトル束の自明性の対応である。
代数群 $F$ は、構造群 $F$ の局所等自明な主束がすべて局所自明であるとき、特別（原論文の spécial）であるという。
定義は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（特別群）と同じである。構造群 $F$ の主束 $P\to X$ は、$X$ の各点が、$P$ が自明になる開近傍をもつとき局所自明で、各点 $x$ が、$x$ で不分岐な被覆の上で $P$ の引き戻しが自明になる開近傍をもつとき局所等自明である（同じ頁の定義（主束と局所自明性）、定義（局所等自明性・有理切断・簡約））。局所自明なら局所等自明なので（同じ頁の命題（主束の切断と自明性）の (2)）、特別群とは、この二つの性質が一致する群のことである。
$F$ を代数群、$P\to Y$ と $Q\to Y$ を構造群 $F$ の主束とし、$\varphi\colon P\to Q$ を $Y$ の上の射で $\varphi(pf)=\varphi(p)f$（$f\in F$）を満たすものとする。このとき $\varphi$ は主束の同型である。
主束の定義により、$Q\times F\to Q\times_YQ$、$(q,f)\mapsto(q,qf)$ は同型である。その逆写像の第 2 成分を $\delta\colon Q\times_YQ\to F$ と書くと、$q'=q\,\delta(q,q')$ で、$\delta(qf,q')=f^{-1}\delta(q,q')$ である。射 $\Psi\colon P\times_YQ\to P$、$(p,q)\mapsto p\,\delta(\varphi(p),q)$ を考える。$F$ を $P\times_YQ$ に第 1 成分だけで $(p,q)f=(pf,q)$ と作用させると、$\Psi(pf,q)=pf\,\delta(\varphi(p)f,q)=pf\,f^{-1}\delta(\varphi(p),q)=\Psi(p,q)$ なので、$\Psi$ はこの作用で不変である。第 2 成分への射影 $P\times_YQ\to Q$ は $P\to Y$ の $Q\to Y$ による引き戻しで、構造群 $F$ の主束である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（主束と局所自明性））。ゆえに $\Psi$ は射 $\psi\colon Q\to P$ を経由し、$\psi(q)=p\,\delta(\varphi(p),q)$（$p$ は $q$ と同じ点の上の任意の点）である。$\varphi(\psi(q))=\varphi(p)\,\delta(\varphi(p),q)=q$、$\psi(\varphi(p))=p\,\delta(\varphi(p),\varphi(p))=p$ なので、$\psi$ は $\varphi$ の逆写像である。
この補題により、主束の間の同型を作るには、同変な射を一つ作れば足りる。次の補題でそれを使う。
$G'$ を代数群、$G$ をその閉部分群、$Y$ を代数的空間、$P\to Y$ を構造群 $G$ の局所等自明な主束とし、付随する構造群 $G'$ の主束 $P''=P\times^GG'$（$G$ は $G'$ に左からの積で作用し、$G'$ は右からの積で $P''$ に作用する）が $Y$ の上で自明であるとする。$Q_0=(G'\to G'/G)$ を構造群 $G$ の主束とみる。このとき射 $u\colon Y\to G'/G$ があって、$P$ は引き戻し $u^*Q_0=Y\times_{G'/G}G'$ に構造群 $G$ の主束として同型である。とくに $u$ が射 $\tilde u\colon Y\to G'$ に持ち上がる（$\tilde u(y)G=u(y)$）なら、$P$ は自明である。
段 1（$G'$ への射）．$P\times G'\to P''$ を商の射、$[p,g']$ を $(p,g')$ の像とする。$P''$ の自明化 $\tau\colon P''\cong Y\times G'$ を一つ固定し、$\tau([p,e])=(\pi(p),\gamma(p))$ で射 $\gamma\colon P\to G'$ を定める（$\pi\colon P\to Y$）。$h\in G$ について $[ph,e]=[p,h]=[p,e]h$ で、$\tau$ は $G'$ の右作用を保つので、$\gamma(ph)=\gamma(p)h$ である。
段 2（等質空間への射）．$\gamma$ と $G'\to G'/G$ の合成は $G$ の右作用で不変なので、$P\to Y$ が商であることにより、射 $u\colon Y\to G'/G$ で $u(\pi(p))=\gamma(p)G$ となるものがただ一つある。
段 3（同型）．$Q_0$ は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（局所等自明性の基本事実）の (1) により構造群 $G$ の主束で、その引き戻し $u^*Q_0=Y\times_{G'/G}G'$ も構造群 $G$ の主束である。$\varphi(p)=(\pi(p),\gamma(p))$ は段 2 により $u^*Q_0$ に値をとる $Y$ の上の射で、段 1 により $\varphi(ph)=\varphi(p)h$ である。上の補題（同変な射は主束の同型）により $\varphi$ は同型である。
段 4（持ち上げ）．$\tilde u$ があれば、$y\mapsto(y,\tilde u(y))$ は $u^*Q_0$ の切断である。段 3 の同型で移せば $P$ の切断になり、$P$ は自明である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の命題（主束の切断と自明性）の (1)）。
原論文は Lemme 5 の証明（印字 5-12）で、この補題の内容を、$P$ は $V'$ から $F'/F$ への正則写像 $u$ で与えられ、$P$ が自明なのは $u$ が $F'$ へ持ち上がるときに限る、と一行ずつで述べ、後者を「確かめられる」とだけ言う。本書は使う向き（持ち上がれば自明）だけを証明した。
$P''\to Y$ を構造群 $\mathrm{GL}(n)$ の局所自明な主束とし、$E=P''\times^{\mathrm{GL}(n)}k^n$ を付随するベクトル束とする。$Y$ の開集合 $V'$ の上で $E$ が自明（$V'$ の上の $n$ 個の切断が各点のファイバーの基底をなす）なら、$P''|_{V'}$ も自明である。
$P''$ の自明化の開被覆 $(U_i)$ と推移関数 $g_{ij}\colon U_i\cap U_j\to\mathrm{GL}(n)$ をとる（本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の補題（推移関数と切断）の 1）。$P''|_{U_i}\cong U_i\times\mathrm{GL}(n)$ から $E|_{U_i}\cong U_i\times k^n$ が得られ、この二つの自明化の取り替えは、同じ $g_{ij}$ をベクトルに掛けることである。$E|_{V'}$ の基底をなす切断 $e_1,\dots,e_n$ を $U_i\cap V'$ の上の自明化で列ベクトルとして書き並べると、各点で可逆な行列の値をとる射 $h_i\colon U_i\cap V'\to\mathrm{GL}(n)$ が得られ、自明化の取り替えにより $U_i\cap U_j\cap V'$ の上で $h_i=g_{ij}h_j$、すなわち $g_{ij}=h_ih_j^{-1}$ である。同じ補題の 3 を開被覆 $(U_i\cap V')$ の上の $P''|_{V'}$ に当てれば、$P''|_{V'}$ は自明である。
逆向き（$P''$ が自明なら $E$ も自明）は、自明化 $P''|_{V'}\cong V'\times\mathrm{GL}(n)$ から $E|_{V'}\cong V'\times k^n$ が得られることから直ちに分かる。原論文の Lemme 5 の証明は、$F=\mathrm{GL}(n)$ のとき主張が「ベクトル束 $E$ は $S$ の近傍で自明」と同値だと述べて始まる。上の補題はその一方の向きである。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。事実 1 の出典は同じセミナーの第 1 講演 Ser58fib、事実 2 の出典は Serre Ser55（原論文が引く FAC）で、要点は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「局所等自明性の基本事実」と定理「連接層とアフィンな空間の基本」に、事実 3 は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義「代数群・アフィン群・有理指標」と定理「等質空間の基本」にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。
- 局所等自明性の基本事実：(a) 代数群 $G$ の閉部分群 $F$ について、$G\to G/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。(b) 構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ と、$G$ が作用する空間 $Z$ について、付随束 $P\times^GZ$ は存在して局所等自明であり、その作り方は底変換と両立する。閉部分群 $F$ について $P\to P/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。(c) 有理表現に付随するベクトル束は局所自明である。言い換えると、一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ は特別である。(d) 連結可解なアフィン群は特別である。
- アフィンな空間の上の連接層：(a) $X$ がアフィンで $S\subset X$ が有限集合なら、連接層 $\mathcal F$ の大域切断を $S$ の各点のファイバーへ送る写像 $\Gamma(X,\mathcal F)\to\bigoplus_{s\in S}\mathcal F(s)$ は全射である。(b) Nakayama の補題：連接層の射が点 $s$ のファイバーで全射なら $s$ の茎で全射で、連接層の台は閉集合である。したがって、同じ階数のベクトル束の射が有限集合 $S$ の各点のファイバーで全射なら、$S$ のある開近傍の上で同型である。
- アフィン群と等質空間：アフィン群は一般線形群の閉部分群に同型である（原論文の「groupe affine」は線形群と同じもの）。代数群 $G'$ の閉部分群 $G$ について、$G'/G$ は非特異な代数的空間である。
事実 1 の (a)(b) は補題（自明な主束の簡約と等質空間への射）と主結果 2・3・4 に、(c)(d) は主結果 1 に、事実 2 は主結果 2 に、事実 3 は主結果 2・4 に使う。有限射・エタールな射の性質は本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の引用する事実 4 と本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の命題（被覆の縮小と非交和）の形で使う。
主結果と証明
特別群の例
原論文は定義の直後に、第 1 講演で見たこととして二種類の例を挙げる（印字 5-11）。
連結可解アフィン群と一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ は特別である。
要点のみ述べる。一般線形群については、構造群 $\mathrm{GL}(n)$ の主束をその付随ベクトル束の枠の束とみる言い換えで、引用する事実 1 の (c) がそのまま主張である。連結可解アフィン群については、同じ (d) が主張そのものである。原論文もこの二つを第 1 講演から引くだけで、本講演の中に証明は無い。
原論文は、特別なアフィン群の初等的な特徴づけが第 1 講演にあると述べる（印字 5-11）。これは別の講演の内容についての所見で、本書は第 1 講演を開いていないので立ち入らない。一般線形群が特別であることは、有限エタールな被覆の上で自明になるベクトル束が Zariski 位相で局所自明になるという主張で、後代の言葉では Hilbert の定理 90 の帰結である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（局所等自明性の基本事実）の後の段）。連結可解群の場合は、Borel 部分群については Rosenlicht の局所切断（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（Rosenlicht の局所切断））と整合する。ただし Rosenlicht の定理は $G\to G/B$ という特定の主束の局所自明性で、構造群 $B$ の局所等自明な主束がすべて局所自明であるという主張より弱い。
主結果 1 の二つの例は、それぞれ次の頁以後で役割を分ける。一般線形群が特別であることは主結果 4 で底の非特異性を外すのに使い、連結可解群が特別であることは、Borel 部分群を特別な部分群として主結果 3 に当てるのに使う。
有限集合の近傍での自明化
特別群の主束は局所自明なので、各点の近くでは自明である。Lemme 5 は、アフィンな開集合の中なら、有限個の点を同時に含む一つの近傍の上で自明にできることを言う。
$F$ を特別なアフィン群、$X$ を代数的空間、$P\to X$ を構造群 $F$ の局所等自明な主束（$F$ が特別なので局所自明）とし、$S$ を $X$ のアフィンな開集合 $V$ に含まれる有限集合とする。このとき $S$ の開近傍 $V'$ で、$P|_{V'}$ が自明になるものがある。
段 1（アフィンな底への帰着）．$V$ の開集合は $X$ の開集合なので、$P$ を $P|_V$ に替えて、$X=V$ はアフィンとしてよい。
段 2（一般線形群の場合）．まず次を示す。アフィンな $X$ の上の構造群 $\mathrm{GL}(n)$ の局所自明な主束 $P''$ は、$S$ のある開近傍の上で自明である。$E=P''\times^{\mathrm{GL}(n)}k^n$ は階数 $n$ の局所自明なベクトル束で、その切断の層は連接層である。各 $s\in S$ でファイバー $E(s)$ の基底 $e^s_1,\dots,e^s_n$ をとる。引用する事実 2 の (a) により、大域切断 $f_1,\dots,f_n$ で、すべての $s\in S$ について $f_i(s)=e^s_i$ となるものがある。$f_i$ の定める層の射 $\mathcal O_X^n\to E$ は $S$ の各点のファイバーで全射なので、同じ (b) により $S$ のある開近傍 $V_1$ の上で同型である。すなわち $E|_{V_1}$ は自明で、上の補題（一般線形群の主束と付随ベクトル束）により $P''|_{V_1}$ は自明である。この段は第 1 講演の事実を使わない。
段 3（一般線形群への埋め込み）．$F$ はアフィンなので、引用する事実 3 により $F'=\mathrm{GL}(n)$ の閉部分群とみなせる。$P''=P\times^FF'$ とおく（引用する事実 1 の (b)）。$P$ は局所自明で、$P|_U\cong U\times F$ となる開集合 $U$ の上では、付随束の作り方が底変換と両立することから $P''|_U\cong(U\times F)\times^FF'\cong U\times F'$ なので、$P''$ は局所自明である。段 2 により $S$ の開近傍 $V_1$ の上で $P''$ は自明で、上の補題（自明な主束の簡約と等質空間への射）を $Y=V_1$、$G=F$、$G'=F'$ に当てると、射 $u\colon V_1\to F'/F$ で $P|_{V_1}\cong u^*(F'\to F'/F)$ となるものがある。
段 4（有限集合を覆う自明化の開集合）．引用する事実 1 の (a) により $F'\to F'/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束で、$F$ は特別なので局所自明である。ゆえに $F'/F$ の空でない開集合 $U_0$ と、$U_0$ の上の切断 $\sigma_0\colon U_0\to F'$ がある。$T=u(S)$ は有限集合である。各 $t\in T$ について、$A_t=\{a\in F':a^{-1}t\in U_0\}$ は、射 $F'\to F'/F$、$a\mapsto a^{-1}t$ による $U_0$ の逆像で、この射は全射（$F'$ は $F'/F$ に推移的に作用する）なので、$A_t$ は $F'$ の空でない開集合である。$F'=\mathrm{GL}(n)$ は $n\times n$ 行列の空間の、行列式が $0$ でない空でない開集合なので既約であり、空でない開集合の有限個の共通部分は空でない。$a\in\bigcap_{t\in T}A_t$ をとると $T\subset aU_0$ で、$U=aU_0$ の上では $\sigma(y)=a\,\sigma_0(a^{-1}y)$ が $F'\to F'/F$ の切断である（$a\,\sigma_0(a^{-1}y)F=a\,a^{-1}y=y$）。
段 5（持ち上げ）．$V'=u^{-1}(U)$ は $V_1$ の開集合で $S$ を含む。$V'$ の上で $\tilde u=\sigma\circ u$ は $u$ の持ち上げなので、上の補題（自明な主束の簡約と等質空間への射）を $Y=V'$ に当てて、$P|_{V'}$ は自明である。
証明が $F$ の特別性を使ったのは段 4 の一か所、$F'\to F'/F$ が空でない開集合の上で切断をもつことだけである。段 2 は $F$ によらずベクトル束の一般論で閉じ、段 4 の平行移動の議論には $F'=\mathrm{GL}(n)$ の既約性が要る。
原論文（印字 5-12）は段 4 で、各 $t$ について $a^{-1}t\in U_0$ となる $a$ の集合が空でない開集合であることを述べ、「したがって共通部分は空でない」と結ぶ。この「したがって」は、$F'=\mathrm{GL}(n)$ が既約で、空でない開集合がどれも稠密であることに依る。連結でない群に埋め込んだのでは、この段は一般には通らない。原論文が $F'$ を一般線形群にとることがここで効いている。
原論文の Lemme 5 の主張（印字 5-12）は $P$ を「構造群 $G$ の」主束と書くが、主張の他の部分と証明はいつも $F$ の主束として扱うので、$F$ と読む。証明の段 4 に当たる所で、$a^{-1}t\in U_0$ となる $a$ の集合を「$a\in G$ の集合」と書くが、同じ文が「$F'$ の空でない開集合」と続けるので、$a\in F'$ と読む。
被覆の上の自明化
前の頁の Proposition 6 で構造群を $F$ に簡約したあと、$F$ が特別なアフィン群なら、上の補題で簡約された主束を有限集合の近くで自明にできる。被覆は有限なので、底の点 $x$ の上の有限集合の近傍は、$x$ の近傍の逆像を含む。
本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」の条件（$G/F$ が完備、$F$ の階数 $N=\dim G/F$ の有理表現 $u$ で、$V(u)$ が零切断に横断的で零点の総数 $d\ge1$ の正則切断をもつもの）の下で、さらに $F$ が特別なアフィン群であるとする（たとえば $G$ が連結アフィン群で $F$ がその Borel 部分群）。このとき、非特異な代数的空間 $X$ の上の構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P$ と $x\in X$ に対し、$x$ の開近傍 $U$ と、次数 $d$ の有限エタール被覆 $g\colon X'\to U$（とくに $x$ で不分岐な次数 $d$ の被覆）で、$P'=g^{-1}(P)$ が自明になるものがある。
段 1（簡約）．本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」により、$x$ の開近傍 $U_1$ と次数 $d$ の有限エタール被覆 $g_1\colon X'_1\to U_1$ で、$P'_1=g_1^{-1}(P)$ について $P'_1/F\to X'_1$ が切断 $\sigma$ をもつものがある。引用する事実 1 の (b) により $P'_1\to P'_1/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束で、その $\sigma$ による引き戻し $Q=X'_1\times_{P'_1/F}P'_1$ は $X'_1$ の上の構造群 $F$ の主束である。$Q$ は局所等自明である（局所等自明性を与える被覆を $\sigma$ で底変換すれば、有限で、点の近くでエタールで、点の上の点の数も変わらない被覆が得られる）。$F$ は特別なので $Q$ は局所自明である。第 2 成分への射影 $Q\to P'_1$ は $X'_1$ の上の射なので、$Q$ の切断は $P'_1$ の切断を与える。
段 2（アフィンに縮める）．有限射の定義により、$x$ のアフィンな開近傍 $U_2$ で $g_1^{-1}(U_2)$ がアフィンなものがある。$U_2\cap U_1$ に含まれる $x$ の近傍として、$U_2$ の主開集合 $D(h)$ をとれば、$g_1^{-1}(D(h))$ は $g_1^{-1}(U_2)$ の主開集合 $D(h\circ g_1)$ でアフィンである。$U_3=D(h)$、$X'_3=g_1^{-1}(U_3)$ とおくと、$X'_3\to U_3$ は次数 $d$ の有限エタール被覆で、$X'_3$ はアフィンである。
段 3（有限集合の近傍での自明化）．$g_1^{-1}(x)$ はアフィンな $X'_3$ の中の $d$ 点の有限集合である。上の定理（有限集合の近傍での自明化）を $Q|_{X'_3}$ と $S=g_1^{-1}(x)$、$V=X'_3$ に当てると、$S$ の開近傍 $V'\subset X'_3$ で $Q|_{V'}$ が自明なものがある。段 1 により $P'_1|_{V'}$ は切断をもち、自明である。
段 4（底の縮小）．本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の命題（被覆の縮小と非交和）の (1) により、$U=U_3-g_1(X'_3-V')$ は $x$ の開近傍で $g_1^{-1}(U)\subset V'$ である。$X'=g_1^{-1}(U)$、$g=g_1|_{X'}$ とおけば、$g$ は次数 $d$ の有限エタール被覆で、$P'=g^{-1}(P)$ は $P'_1|_{V'}$ の制限なので自明である。括弧の中の例は、連結アフィン群の Borel 部分群が連結可解なアフィン群で、上の定理（可解群と一般線形群は特別）により特別であり、$G/B$ が完備（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（線形群の構造）の (2)）であることによる。
これで、横断的な切断の零点の数 $d$ が、主束を局所的に自明にするのに要る被覆の次数の上限を与えることになった。原論文はこの系を、第 4 節で捩れ指数を被覆の次数として実現するとき（本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れ指数の五つの特徴づけ（訂正形）」の (v)）と、第 5 節で特別群を特徴づけるとき（本書『6-3 特別群の特徴づけ』の主結果「特別群の特徴づけ」）の出発点にする。後者では $d=1$ の場合が効き、次数 $1$ の被覆は点の近傍の同型なので、主束は局所自明になる。
アフィン群の場合
前の頁の Proposition 6 とその系は底 $X$ の非特異性を仮定する。その仮定は、零点の族が底の上でエタールであることを接空間から出す段でだけ使われた。原論文は §3 の終わりの注意で、構造群 $G$ がアフィンならこの仮定は要らないと述べる。$G$ の主束を一般線形群の主束に拡げて自明化し、非特異な等質空間の上の一つの主束の引き戻しとして表せばよい。
$G$ をアフィン群とする。本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」の条件の下で、非特異とは限らない任意の代数的空間 $X$ の上の構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P$ と $x\in X$ に対し、$x$ の開近傍 $U$ と次数 $d$ の有限エタール被覆 $g\colon X'\to U$ で、$g^{-1}(P)/F$ が正則切断をもつものがある。さらに $F$ が特別なアフィン群なら、$g^{-1}(P)$ が自明になるように $g$ を選べる。
段 1（一般線形群の主束の自明化）．引用する事実 3 により、$G$ は $G'=\mathrm{GL}(n)$ の閉部分群とみなせる。$P''=P\times^GG'$ は構造群 $G'$ の局所等自明な主束である（引用する事実 1 の (b)）。$G'$ は特別（上の定理（可解群と一般線形群は特別））なので $P''$ は局所自明で、$x$ の開近傍 $U_1$ の上で自明である。
段 2（等質空間の上の普遍的な主束）．上の補題（自明な主束の簡約と等質空間への射）を $Y=U_1$ に当てると、射 $u\colon U_1\to Y_0=G'/G$ で $P|_{U_1}\cong u^*Q_0$ となるものがある。ここで $Q_0=(G'\to G'/G)$ は構造群 $G$ の局所等自明な主束（引用する事実 1 の (a)）で、$P$ に依らない。$Y_0$ は非特異である（引用する事実 3）。
段 3（非特異な底での簡約・自明化）．本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」を、非特異な底 $Y_0$ の上の $Q_0$ と点 $u(x)$ に当てると、$u(x)$ の開近傍 $W$ と次数 $d$ の有限エタール被覆 $h\colon Y'\to W$ で、$h^{-1}(Q_0)/F$ が切断をもつものがある。$F$ が特別なアフィン群なら、代わりに上の定理（特別な部分群への簡約による自明化）を当てて、$h^{-1}(Q_0)$ が自明になるように $h$ をとる。
段 4（引き戻し）．$U=u^{-1}(W)$ は $x$ の開近傍で、$X'=U\times_WY'$、$g\colon X'\to U$ を第 1 成分への射影とする。$g$ は $h$ の底変換なので有限エタールで（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の引用する事実 4 の (c) と、有限射が底変換で保たれること）、$x$ の上のファイバーは $h^{-1}(u(x))$ と一対一なので $d$ 点からなり、次数は $d$ である。第 2 成分への射影を $u'\colon X'\to Y'$ とすると $h\circ u'=u\circ g$ で、$g^{-1}(P|_U)\cong g^{-1}u^*Q_0\cong u'^*h^{-1}(Q_0)$ である。付随束の作り方は底変換と両立するので $g^{-1}(P)/F\cong u'^*\bigl(h^{-1}(Q_0)/F\bigr)$ で、段 3 の切断を $u'$ で引き戻せば $g^{-1}(P)/F$ の切断が得られる。$h^{-1}(Q_0)$ が自明なら、その引き戻し $g^{-1}(P)$ も自明である。
証明の中で非特異性が要ったのは等質空間 $Y_0=G'/G$ の側だけで、底 $X$ の特異点は射 $u$ の引き戻しに隠れる。前の頁の定理（横断的な零点の族は有限エタール被覆）の段 2・3 はこの $Y_0$ の上で使われている。
原論文の注意（印字 5-13）は、各点 $x$ が、$P|_U$ が非特異な多様体 $Y$ の上の局所等自明な主束 $Q$ の射 $u\colon U\to Y$ による引き戻しに同型になる近傍 $U$ をもつことに「すぐ帰着される」と述べ、$Q$ は $P$ に依らずに選べると付け加えて、$G\subset G'=\mathrm{GL}(n)$ と $Q=(G'\to G'/G)$ を示す。$P|_U$ が $u^*Q$ の形になるには、$P\times^GG'$ が $U$ の上で自明であること、すなわち一般線形群が特別であることが要るが、原論文はこの段を書かない。本書は段 1 で上の定理（可解群と一般線形群は特別）として名指しした。原論文は $Y$ を「非特異な多様体」と書く。$Y_0=G'/G$ は既約な $G'$ の全射な像なので既約で、非特異でもあるから、この言い方と合う。原論文の注意はこの帰着を Proposition 6（本書『3-2』の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」）についてだけ述べる。系（上の定理（特別な部分群への簡約による自明化）、すなわち本頁の主結果 3）への拡張は、上の定理（アフィン群では底の非特異性は要らない）の段 3 で、非特異な底 $Y_0$ の上で本書『3-2』の主結果の代わりに主結果 3 を当てれば同じ議論で得られ、原論文には書かれていない本書の補いである。
例と反例
まず一般線形群の主束とベクトル束の対応を見て、主結果 1 の一般線形群の場合の意味を確かめる。続く反例は、特別群の性質が群の連結性なしには成り立たないことを示し、主結果 3 の仮定「$F$ は特別」を外すと結論が破れることを見る。最後の例で、前の頁の射影直線の計算を本頁の主結果に当てる。
階数 $n$ のベクトル束 $E\to X$（局所自明なもの）の自明化の開被覆 $(U_i)$ をとると、自明化の取り替え $E|_{U_i\cap U_j}\to E|_{U_i\cap U_j}$ は各点で可逆な行列の値をとる射 $g_{ij}\colon U_i\cap U_j\to\mathrm{GL}(n)$ で与えられ、$g_{ij}g_{jl}=g_{il}$ を満たす。本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の補題（推移関数と切断）の 4 によりこの $g_{ij}$ で貼り合わせた局所自明な主束 $\mathrm{Fr}(E)$（$E$ の枠の束）が得られ、$\mathrm{Fr}(E)\times^{\mathrm{GL}(n)}k^n\cong E$ である。逆に局所自明な $\mathrm{GL}(n)$ の主束 $P''$ からは付随ベクトル束 $P''\times^{\mathrm{GL}(n)}k^n$ が得られ、二つの構成は同じ推移関数を共有するので、局所自明な $\mathrm{GL}(n)$ の主束の同型類と階数 $n$ のベクトル束の同型類は一対一に対応する。自明なものどうしが対応することは上の補題（一般線形群の主束と付随ベクトル束）とその後の段にある。$n=1$ では、$\mathbf G_m=\mathrm{GL}(1)$ の局所自明な主束は直線束と同じものである。
主結果 1 の一般線形群の場合は、この対応を局所等自明な主束にまで拡げてよいと言っている。すなわち、各点の近くで有限エタールな被覆の上で自明になる $\mathrm{GL}(n)$ の主束は、はじめから Zariski 位相で局所自明で、したがってベクトル束の枠の束である。射影線形群 $\mathrm{PGL}(2)$ についてはこれが成り立たず、有限エタールな被覆の上でしか自明にならない主束が円錐曲線の族として現れる（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の例「$\mathrm{PGL}(2)$ の束としての円錐曲線の族」と第 6 章）。
特別群の性質から群の連結性を外す。標数が $2$ でないとし、本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の例「局所等自明だが局所自明でない主束」の主束、すなわち $X=\mathbf G_m$ の上で $u^2=s$ で定まる位数 $2$ の群 $\mathbf Z/2=\{\pm1\}$ の主束 $P$ をとる。その例で確かめたとおり、$P$ は射影 $P\to X$ そのものを被覆にとれば自明になるので局所等自明であり、有理切断をもたないのでどの点の近傍の上でも自明にならない。ゆえにアフィンな有限群 $\mathbf Z/2$ は特別でない。これは本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（局所等自明性の基本事実）の (5)（特別群はアフィンかつ連結）の一つの具体例である。
この主束は、主結果 3 から「$F$ は特別」を外すと結論が破れることも示す。$G=F=\mathbf Z/2$ とすると、$G/F$ は一点で完備、$N=0$ で、$u$ を $0$ 次元の表現にとれば $V(u)$ は一点の上の階数 $0$ の束、その唯一の切断 $0$ は一点を零点にもち、零点の局所環は $k$ なので零切断に横断的で、$d=1$ である（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の補題（横断性と重複度 1））。前の頁の主結果「構造群の簡約のための不分岐被覆」は、$P/F=X$ が恒等写像を切断にもつので自明に成り立つ。しかし主結果 3 の結論は、次数 $1$ の被覆、すなわち点の近傍の同型の上で $P$ が自明になることで、上で見たとおり偽である。破れたのは主結果 3 の証明の段 1 の「$F$ は特別なので $Q$ は局所自明」の一歩である。
本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の例「標準直線束の切断と次数 1」と例「射影直線の接束の切断と次数 2 の被覆」に、本頁の主結果を当てる。どちらの群もアフィンで、$F$ は上三角行列の群 $B$ とその像 $\bar B$ で、連結可解なので特別である（主結果 1）。$\mathrm{SL}(2)$ では $d=1$ なので、主結果 3・4 により、任意の代数的空間の上の構造群 $\mathrm{SL}(2)$ の局所等自明な主束は、各点の近傍で次数 $1$ の有限エタール被覆、すなわち近傍の同型の上で自明になる。つまり局所自明である。$\mathrm{PGL}(2)$ では $d=2$ なので、任意の代数的空間の上の構造群 $\mathrm{PGL}(2)$ の局所等自明な主束は、各点 $x$ の近傍 $U$ と次数 $2$ の有限エタール被覆 $X'\to U$ で、その上で自明になるものをもつ。前の頁の例で見たとおり、$F=\bar B$ と階数 $1$ の表現からは奇数の $d$ は得られないので、この方法で得られる次数は $2$ が最小である。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- 特別群の特徴づけ（原論文の定理 3、1958 年）：原論文は第 5 節で、特別な代数群がアフィン・連結・捩れなしの群にちょうど一致し、半単純な特別群は特殊線形群と斜交群の積であることを示す（本書『6-3 特別群の特徴づけ』）。これは後代に特別群の標準的な特徴づけとして引かれる（Mil17）。本頁の主結果 3 は、その証明の「捩れなしなら特別」の向きの出発点である。
- 特別群の後代の定義：Serre の第 1 講演 Ser58fib 以後、特別群は、エタール局所的に自明な torsor が Zariski 局所的に自明になる群として述べられる。一般の体の上の特別群と torsor の問題（特殊線形群・斜交群の torsor の自明性など）は Serre の報告 Ser94 にまとめられている。
- 有限集合の近傍での自明化の代数的な形：主結果 2 の一般線形群の場合は、アフィンな空間の有限個の点での局所環の半局所化の上の有限生成射影加群が自由であるという可換環論の事実に当たる。
- 有理的に自明な torsor：局所等自明な主束が一点で局所自明なら至るところ局所自明か、という問いは、原論文の §5 の予想（本書『6-4 局所自明性の予想』）と、後代の Grothendieck–Serre の予想につながる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の第 3 節の後半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（特別群）、定理（可解群と一般線形群は特別）、注意（第 1 講演への委ね方） | 特別群の定義と、その直後の例と所見 | 5-11 |
| 補題（同変な射は主束の同型） | （原論文は書かない。主束の扱いの補い） | — |
| 補題（自明な主束の簡約と等質空間への射） | Lemme 5 の証明の「$P$ は写像 $u$ で与えられ、$u$ が持ち上がれば自明」、§3 の終わりの注意 | 5-12、5-13 |
| 補題（一般線形群の主束と付随ベクトル束） | Lemme 5 の証明の冒頭（$\mathrm{GL}(n)$ の場合はベクトル束の主張と同値） | 5-12 |
| 定理（有限集合の近傍での自明化）、注意（一般線形群の既約性の段）、注意（印字の読み（Lemme 5）） | Lemme 5 とその証明 | 5-12 |
| 定理（特別な部分群への簡約による自明化） | Proposition 6 の系とその証明 | 5-11〜5-12 |
| 定理（アフィン群では底の非特異性は要らない）、注意（原論文の注意の方針） | §3 の終わりの注意 | 5-13 |
| 例（一般線形群の主束はベクトル束）、反例（有限群は特別でない）、例（特殊線形群と射影線形群の主束の自明化） | （原論文には無い。主張を確かめるための例） | — |
参考文献
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