6-3 特別群の特徴づけ

段 1（商）．$\rho\colon G\to X_1\times X_2$ を $(g_1,g_2)\mapsto(g_1B_1,g_2B_2)$ とする。$\rho$ は全射で、右から $B$ で不変である。Rosenlicht の局所切断（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「Rosenlicht の局所切断」）により、$X_i$ の各点の近傍 $U_i$ と $G_i\to X_i$ の切断 $s_i\colon U_i\to G_i$ がある。$U_1\times U_2$ の上では $(x,y,b_1,b_2)\mapsto(s_1(x)b_1,s_2(y)b_2)$ が $U_1\times U_2\times B$ と $\rho^{-1}(U_1\times U_2)$ の同型を与える（逆は $g_i\mapsto(g_iB_i,\ s_i(g_iB_i)^{-1}g_i)$）。したがって $\rho$ は開写像である。右から $B$ で不変な射 $\varphi\colon G\to Y$ について、$U_1\times U_2$ の上で $\psi(x,y)=\varphi(s_1(x),s_2(y))$ とおくと、別の切断 $s'_i$ は $s'_i=s_i\,b_i$（$b_i$ は $U_i$ から $B_i$ への射）の形なので $\psi$ は切断の選び方によらず、貼り合わさって $\psi\circ\rho=\varphi$ となる射 $\psi\colon X_1\times X_2\to Y$ が得られる。$\rho$ は全射なので $\psi$ は一意である。ゆえに $X_1\times X_2$ は商の性質（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「等質空間の基本」の (1)）をもち、$G/B\cong X_1\times X_2$ である。
段 2（Borel 部分群）．$B$ は連結で可解な閉部分群である（連結な空間の積は連結で、交換子の列は成分ごとに止まる）。段 1 により $G/B\cong X_1\times X_2$ は完備な空間の積で完備なので、本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」の (2) により、$B$ はある Borel 部分群 $B^\ast$ を含む。$B^\ast$ は極大な連結可解閉部分群で、$B$ も連結可解なので $B^\ast=B$ である。
段 3（次数）．$f\colon X_1\to\mathrm{pt}$、$g\colon X_2\to\mathrm{pt}$ を構造射とする。$f\times g$ は一点への射で、一点の接空間は $0$ なので対角に横断的であり、$X_1\times_{\mathrm{pt}}X_2=X_1\times X_2$ で射影は $\mathrm{pr}_1$、$\mathrm{pr}_2$ である。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「横断的な底変換」により $(\mathrm{pr}_2)_*\mathrm{pr}_1^*x=g^*f_*x=\chi(x)\,1_{X_2}$ である。同じ頁の定理「環の構造と射影公式」の (3)(4) により $x\times y=\mathrm{pr}_1^*x\cdot\mathrm{pr}_2^*y$ で、$\mathrm{pr}_2$ は固有なので射影公式から $(\mathrm{pr}_2)_*(x\times y)=\chi(x)\,y$ である。一点への順像は $X_1\times X_2\to X_2\to\mathrm{pt}$ と分解し、順像は合成と両立する（同じ定理の (2)）ので、$\chi(x\times y)=\chi(x)\chi(y)$ である。
段 4（生成）．本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」の (5) と定理「Bruhat 分解と旗多様体の胞体」の (1) により、$X_i$ はアフィン空間に同型な有限個の胞体の非交和で、各胞体の閉包は胞体の和である（$G_i$ の半単純な商が単位群なら $X_i$ は一点で、一つの胞体である）。$X_1$ の胞体 $C$ と $X_2$ の胞体 $C'$ の積 $C\times C'$ はアフィン空間に同型で、互いに交わらず $X_1\times X_2$ を覆い、閉包 $\overline C\times\overline{C'}$ は胞体の積の和である。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」により、類 $[\overline C\times\overline{C'}]$ が $A(X_1\times X_2)$ を生成する。Chow 環の外積は既約な閉部分集合の類について $[V]\times[W]=[V\times W]$ で与えられる（外積の定義。第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の Chow 理論のデータ）ので、$[\overline C\times\overline{C'}]=[\overline C]\times[\overline{C'}]$ である。

上の補題の $B=B_1\times B_2$ と同型 $G/B\cong X_1\times X_2$ を使う。射影 $p_i\colon G\to G_i$ は有理準同型で $p_i(B)=B_i$ を満たし、誘導される $G/B\to X_i$ は上の同型のもとで射影 $\mathrm{pr}_i$ である。本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「準同型と特性準同型の両立」により $\mathrm{pr}_i^*\circ c_{G_i}=c_G\circ S({}^tp_i)$ で、$c_{G_i}$ は全射なので、$\operatorname{Im}c_G$ は $\mathrm{pr}_1^*A(X_1)$ と $\mathrm{pr}_2^*A(X_2)$ を含む。$\operatorname{Im}c_G$ は部分環なので、外積 $x\times y=\mathrm{pr}_1^*x\cdot\mathrm{pr}_2^*y$ をすべて含み、上の補題の (3) により $A(G/B)$ 全体である。

段 1（除く元の集合）．$k\ge2$ とし、$Z_{k-1}$ まで定まったとする。$Z_{k-1}$ の成分 $W$（有限個）について、$C_W=\{g\in G:W\subset g|D_k|\}$ とおく（$|D_k|$ は $D_k$ の台）。$C_W=\bigcap_{w\in W}\{g:g^{-1}w\in|D_k|\}$ で、各集合は射 $g\mapsto g^{-1}w$ による閉集合 $|D_k|$ の逆像なので、$C_W$ は $G$ の閉集合である。$C_W=G$ なら、$w\in W$ について $g^{-1}w\in|D_k|$ がすべての $g$ で成り立ち、$G$ は $G/B$ に推移的に作用するので $|D_k|=G/B$ となって、$|D_k|$ が余次元 $1$ であることに反する。ゆえに $C_W$ は真の閉集合である。
段 2（一般の元）．$G$ は連結なので既約で（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義（代数群・アフィン群・有理指標））、有限個の真の閉集合 $C_W$ の和は $G$ を覆わない。$C_W$ のどれにも入らない $g_k$ をとり、$D'_k=g_kD_k$ とおく。$G/B$ は非特異なので正因子 $D'_k$ は局所的に一つの方程式で定まる有効 Cartier 因子で（下の引用する事実 4）、$Z_{k-1}$ のどの成分 $W$ も $|D'_k|$ に含まれない。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「固有な交わりの重複度と長さ」の (3) により、$W$ と $D'_k$ は固有に交わり、$W\cap D'_k$ の成分は余次元 $k$ である。交叉積を $Z_k=Z_{k-1}\cdot D'_k$ とすると、同じ定理の (1) により係数は正で、結合律により $Z_k=D'_1\cdots D'_k$ である。
段 3（類）．$g\in G$ の作用 $G/B\to G/B$ は同型で、同型による引き戻しは閉部分集合の類をその逆像の類に写す（逆像のサイクルは重複度 $1$）。ゆえに $[g_kD_k]=(g_k^{-1})^*[D_k]$ で、本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の主結果「連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する」により $(g_k^{-1})^*=\mathrm{id}$ なので $[D'_k]=\eta_k$ である。固有な交わりの交叉積の類は類の積である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (3)）ので、帰納法により $[Z_N]=\eta_1\cdots\eta_N$ である。

段 1（直線束の切断）．正因子 $D'_i$ は有効 Cartier 因子なので、直線束 $\mathcal O(D'_i)$ と、零点の因子がちょうど $D'_i$ の正則切断 $s_i$ がある（下の引用する事実 4）。$c_1(\mathcal O(D'_i))=[D'_i]=\eta_i=c_1(L_{\chi_i})$ で、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (1) により $\operatorname{Pic}(G/B)\to A^1(G/B)$ は単射なので、$L_{\chi_i}\cong\mathcal O(D'_i)$ である。$s_i$ を $L_{\chi_i}$ の切断とみて、$s=(s_1,\dots,s_N)$ を $V(u)$ の正則切断とする。
段 2（零点）．$s$ の零点の集合は $D'_1\cap\dots\cap D'_N$ で、交叉積が $[y]$ なので、これは一点 $\{y\}$ である。$y$ の近傍で $D'_i$ の局所方程式を $f_i$ とすると、本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の定義（零点の局所環と零サイクル）のイデアルは $I_y=(f_1,\dots,f_N)$ である。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「固有な交わりの重複度と長さ」の (4) により、交叉積の $y$ での重複度は $\ell(\mathcal O_{G/B,y}/I_y)$ に等しく、仮定によりこれは $1$、すなわち $\mathcal O_{G/B,y}/I_y=k$ である。
段 3（横断性）．$G/B$ は既約で $\dim_y G/B=N$ なので、本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の補題「横断性と重複度 1」により、$s$ は $y$ で零切断に横断的である。零点は $y$ だけなので、$s$ は零切断に横断的で、零点の総数は $1$ である。

段 1（仮定の形）．上の「定義と準備」で見たとおり、$G$ が捩れなしなので $A(G/B)$ は $A^1(G/B)$ で環として生成される。結論は多様体 $G/B$ の上の正因子と次数についての主張で、多様体の同型 $\varphi\colon Y\to Y'$ は正因子を正因子に写し（$\varphi^*$ は逆像をとる）、次数を保つ（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の補題（同型の順像）により $\varphi_*\varphi^*=\mathrm{id}$ で、一点への順像は合成と両立する）。仮定の形「Chow 環が次数 $1$ で生成される」も同型で保たれる。$N=0$ なら空な積は $1$ で $\chi(1)=1$ なので、以下 $N\ge1$ とする。
段 2（半単純な群へ）．引用する事実 2 により、$G/B$ は半単純な群 $\bar G=G/R$ の旗多様体 $\bar G/\bar B$ に同型である。段 1 により $G$ を $\bar G$ に替えてよい。
段 3（単連結な群へ）．引用する事実 3 により、単連結な被覆 $\tilde G\to\bar G$ は同型 $\tilde G/\tilde B\cong\bar G/\bar B$ を誘導する。$A(\tilde G/\tilde B)$ は段 1 により次数 $1$ で生成され、同じ事実により $c_{\tilde G}\colon\hat{\tilde T}\to A^1(\tilde G/\tilde B)$ は同型である（引用する事実 3 の写像は、指標 $\chi$ に $L_\chi$ の類 $c_1(L_\chi)=c_{\tilde G}(\chi)$ を対応させるもの）。上の「定義と準備」の同値により、$\tilde G$ は捩れなしである。段 1 により $G$ を $\tilde G$ に替えてよい。
段 4（二つの型の積）．$\tilde G$ は半単純で捩れなしなので、本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積」により、$\tilde G$ は $G_1\times\dots\times G_m$ に同型で、各 $G_j$ は $\mathrm{SL}(n_j)$（$n_j\ge2$）か $\mathrm{Sp}(n_j)$（$n_j\ge1$）である。Borel 部分群は互いに共役（引用する事実 2）なので旗多様体は Borel 部分群の取り方によらず、上の補題（積の群の旗多様体）の (1) を繰り返して $\tilde G/\tilde B\cong X_1\times\dots\times X_m$（$X_j=G_j/B_j$）である。$N_j=\dim X_j$ とおくと $N=N_1+\dots+N_m$ である。
段 5（各因子）．$G_j=\mathrm{SL}(n)$ なら、本書『6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体』の主結果「特殊線形群の旗多様体の Chow 環」により、$X_j$（$k^n$ の完全旗の多様体）の正因子の類 $\eta^{(j)}_1,\dots,\eta^{(j)}_{n-1}$ があって $\chi\bigl((\eta^{(j)}_1)^{n-1}(\eta^{(j)}_2)^{n-2}\cdots\eta^{(j)}_{n-1}\bigr)=1$ である。指数の和は $n(n-1)/2=N_j$ である。$G_j=\mathrm{Sp}(n)$ なら、同じ頁の主結果「斜交群の旗多様体の Chow 環」により、正因子の類 $\eta^{(j)}_1,\dots,\eta^{(j)}_n$ があって $\chi\bigl((\eta^{(j)}_1)^{2n-1}(\eta^{(j)}_2)^{2n-3}\cdots\eta^{(j)}_n\bigr)=1$ で、指数の和は $n^2=N_j$ である。どちらの場合も、重複を許して並べた $N_j$ 個の正因子の類 $\theta^{(j)}_1,\dots,\theta^{(j)}_{N_j}$ で、積の次数が $1$ のものが得られた。
段 6（積の上で）．射影 $\mathrm{pr}_j\colon X_1\times\dots\times X_m\to X_j$ による正因子 $D$ の逆像 $\mathrm{pr}_j^{-1}(D)$ は正因子で、その類は外積の定義により $\mathrm{pr}_j^*[D]$ である。$\theta^{(j)}_l$ の引き戻し $\mathrm{pr}_j^*\theta^{(j)}_l$（$1\le j\le m$、$1\le l\le N_j$）を合わせた $N$ 個の類の積は、外積 $\bigl(\prod_l\theta^{(1)}_l\bigr)\times\dots\times\bigl(\prod_l\theta^{(m)}_l\bigr)$ に等しく（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「環の構造と射影公式」の (1)(3)）、上の補題（積の群の旗多様体）の (2) を繰り返してその次数は $\prod_j1=1$ である。段 2・段 3・段 4 の同型で $G/B$ へ移せば、主張の類 $\eta_1,\dots,\eta_N$ が得られる。

段 1（(a)⇒(b)）．$G$ が特別なら、引用する事実 1 により $G$ はアフィンかつ連結である。本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特別群は捩れなし」により、$G$ は捩れなしである。
段 2（(b)⇒(a)、可解な場合）．以下 (b) を仮定し、$B$ を Borel 部分群、$N=\dim G/B$ とする。$N=0$ なら $G/B$ は一点で、$G$ は $G/B=\{eB\}$ に推移的に作用するのですべての $g\in G$ について $gB=B$、すなわち $B=G$ であり、$B=G$ は連結可解なアフィン群である。本書『3-3 特別群と主束の自明化』の主結果「可解群と一般線形群は特別」により $G$ は特別である。以下 $N\ge1$ とする。
段 3（正因子）．上の定理（積の次数が 1 になる正因子の類）により、$G/B$ の上の正因子 $D_1,\dots,D_N$ で、類 $\eta_i=[D_i]$ が $\chi(\eta_1\cdots\eta_N)=1$ を満たすものがある。$G$ は捩れなしなので $c_G\colon\hat T\to A^1(G/B)$ は全射で（上の「定義と準備」）、$\eta_i=c_G(\chi_i)$ となる $\chi_i\in\hat B=\hat T$ がある。上の補題（平行移動による固有な交わり）により、$D'_i=g_iD_i$ で、交わりがどの段でも固有で、交叉積 $Z=D'_1\cdots D'_N$ が類 $\eta_1\cdots\eta_N$ の正の係数の $0$ サイクルになるものがとれる。$Z=\sum_pn_p[p]$ とすると、一点の類の次数は $1$ なので $\sum_pn_p=\chi(\eta_1\cdots\eta_N)=1$ で、$n_p>0$ だから $Z$ はちょうど一点 $y$ の重複度 $1$ の類 $[y]$ である。
段 4（切断）．上の補題（零点が一つの横断的な切断）により、$u=\chi_1\oplus\dots\oplus\chi_N$ について $V(u)$ は零切断に横断的で零点の総数が $1$ の正則切断をもつ。$u$ は $B$ の階数 $N=\dim G/B$ の有理表現である。
段 5（被覆の上の自明化）．$B$ は連結可解なアフィン群なので、本書『3-3 特別群と主束の自明化』の主結果「可解群と一般線形群は特別」により特別で、$G/B$ は完備である（引用する事実 2）。$X$ を任意の代数的空間、$P\to X$ を構造群 $G$ の局所等自明な主束、$x\in X$ とする。$G$ はアフィンなので、同じ頁の主結果「アフィン群では底の非特異性は要らない」により、同じ頁の主結果「特別な部分群への簡約による自明化」が $X$ の非特異性なしに、段 4 の切断と $F=B$、$d=1$ で使える。すなわち $x$ の開近傍 $U$ と、$x$ で不分岐な次数 $1$ の被覆 $g\colon X'\to U$（本書の読みで、有限エタール被覆）で、$g^{-1}(P)$ が自明なものがある。
段 6（次数 1 の被覆は同型）．$U$ の $x$ を含む連結成分を $U_0$ とする。代数的空間の既約成分は有限個なので、$U_0$ は $U$ の開集合である。$g^{-1}(U_0)\to U_0$ は有限エタール（底変換）で、$x$ の上にちょうど $1$ 点をもつので、引用する事実 5 により $U_0$ のどの点の上にも $1$ 点をもち、同型である。ゆえに $P|_{U_0}$ は $g^{-1}(P)$ の $g^{-1}(U_0)$ への制限に同型で、自明である。$x$ は任意なので $P$ は局所自明で、$G$ は特別である。
段 7（半単純な場合）．$G$ を半単純なアフィン群とする。半単純群は定義により連結である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義（可解群・単冪群・Borel 部分群））ので、(b) は「$G$ は捩れなし」と同じである。(b)⇒(c)：本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積」による。(c)⇒(b)：直積はアフィンかつ連結である。$\mathrm{SL}(n)$ と $\mathrm{Sp}(n)$ は、本書『6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体』の主結果「特殊線形群の旗多様体の Chow 環」「斜交群の旗多様体の Chow 環」により捩れなしで、上の補題（捩れのない群の直積）を繰り返して、その直積も捩れなしである。捩れなしは同型で保たれる（同型は Borel 部分群と指標を対応させ、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「準同型と特性準同型の両立」により特性部分環を写し合う）。