5-1 サイクル類写像と胞体分割
複素数体の上で、代数的サイクルに整係数コホモロジーの類を対応させるサイクル類写像を、原論文が証明なしに認める性質の下で Chow 環からの環準同型として定め、閉部分の列で各段がアフィン空間の和になる空間ではそれが環の同型になること、とくに連結アフィン群の旗多様体で同型になることを示す。原論文の認める性質は引用として分けて述べ、証明したとは書かない。
前提知識: サイクル類写像, Chow環, 特異コホモロジー, Borel–Mooreホモロジー, Poincaré双対, 胞体分割, Bruhat分解, 旗多様体
この頁で示すこと
本頁では $k=\mathbf C$ とする。$X\in V$（非特異な準射影空間）に通常の位相を入れた複素多様体を同じ $X$ で表し、$H^*(X)=H^*(X,\mathbf Z)$ を整係数の特異コホモロジーとする。サイクル類写像は原論文の記号では $p$ だが、標数の $p$ と重なるので本書は $\mathrm{cl}$ と書く（本書『0-5 記号と約束』）。空間と Chow 環の記号は同じ頁のとおりである。
本頁の主結果は次の三つである。
- サイクル類写像の環準同型（原論文 §6 冒頭の「on voit」と「N.B.」の主張、印字 5-27）：原論文が認めるサイクル類写像の性質の下で、$X\in V$ について有理同値な二つのサイクルは同じ類をもち、$\mathrm{cl}$ は次数を $2$ 倍にする単位的な環準同型 $A(X)\to H^*(X)$ を定める。代数的に同値な二つのサイクルも同じ類をもつ。［条件付き：原論文が文献に無いと断って認めるサイクル類写像と、既約な複素代数曲線が通常の位相で連結であることを引用し、第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定義「有理同値と Chow 群」と定理「非特異準射影多様体の Chow 環」、同じ巻の頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」と、固有な交わりの重複度と長さ（本書『0-4 Chow 環の枠組み』）による］
- 胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像（原論文 §6 の胞体分割の主張、印字 5-28）：$X\in V$ が純次元 $n$ で、閉部分の列 $X_0\subset X_1\subset\dots\subset X_n=X$ で各 $X_i-X_{i-1}$ の連結成分がアフィン空間 $\mathbf C^i$ に同型なものをもてば、成分の閉包の類は $A(X)$ の基底をなし、$\mathrm{cl}\colon A(X)\to H^*(X)$ は環の同型で、$H^*(X)$ は奇数次で $0$ である。［条件付き：1 と、原論文が認めるサイクル類写像、Borel–Moore ホモロジーと Poincaré 双対を引用し、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」の証明（第 6 巻の頁『3-2 線形同値の理論』の主結果「線形同値の理論の完全性とホモトピー」、頁『4-1 積空間と層別による生成』の主結果「アフィン空間の開集合との積」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「有理同値と線形同値の一致」）による］
- 旗多様体のサイクル類写像は同型（原論文 Lemme 10、印字 5-28）：$\mathbf C$ 上の連結アフィン群 $G$ とその Borel 部分群 $B$ について、$\mathrm{cl}\colon A(G/B)\to H^*(G/B)$ は環の同型である。［条件付き：2 と、線形群の構造と Bruhat 分解（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』）を引用］
三つとも、原論文が「認める」と明記するサイクル類写像の性質に依るので［条件付き］で、Chow 環の枠組みの下でも完結しない。頁の中で示すのは、認めた性質からの帰結である。有理同値を消すホモトピーの議論、胞体分割の開部分の列の組み立て、Borel–Moore ホモロジーの長完全列による $H^*(X)$ の計算、そしてサイクル類写像が生成系を基底に写すことの確認である。原論文はコンパクトな場合を念頭に胞体分割（CW 分割）から結論を出すが、本書はコンパクトでない場合も同じ議論で扱えるように、Borel–Moore ホモロジーで書く。
背景と動機
原論文 §4 は、代数群 $G$ の捩れ指数を、旗多様体 $G/B$ の Chow 環の中の特性部分環の指数として定義した（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』）。定義は純粋に代数的で、任意の標数で意味をもつ。一方、複素数体の上では、コンパクト Lie 群の分類空間の整係数コホモロジーの捩れが Borel Bor53 によって調べられていた。原論文 §6 は、この二つの捩れが同じ素数で起こることを示す（本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』）。そのための橋が、Chow 環から整係数コホモロジーへのサイクル類写像である。
原論文 §6 の冒頭（印字 5-27）は、基礎体を $\mathbf C$ とし、代数的空間は Serre の GAGA Ser56 により複素解析空間とみなせ、局所コンパクトな位相をもつと述べる。続けて、複素解析的なサイクルにコホモロジー類を対応させる操作で、直積・逆像・固有な順像と両立し、非特異なサイクルでは Poincaré 双対で与えられるものの存在を「認める」（admettrons）とする。原論文はこれらの事実が当時「文献に見当たらないようだ」（ne semblent pas figurer actuellement dans la littérature）と書き、誰かがこの欠落を埋めることを期待する。本書はこの態度をそのまま受け取り、サイクル類写像の性質を引用として分けて置く。
原論文はそのうえで、準射影的な $X$ では Chow 環から $H^*(X)$ への次数を 2 倍にする準同型が得られることを「見る」（on voit）とし、代数的に同値なサイクルがホモローグであることを「N.B.」として添える。続く段落（印字 5-28）で、胞体分割をもつ空間では前の講演の Proposition 7 により胞体の閉包の類が Chow 環を生成し、他方で胞体のコホモロジー類が $H^*(X)$ の基底をなすから同型になる、と論じ、旗多様体の場合を Lemme 10 とする。本頁はこの三段を順に証明の形にする。
定義と準備
まず、通常の位相とコホモロジーの記号を置く。本書の他の頁の「開」「近傍」は Zariski 位相の意味だが、本頁と次の頁でコホモロジーを語るときだけは通常の位相を使う。
$k=\mathbf C$ とする。代数的空間 $X$ の点の集合に、局所的にアフィン空間 $\mathbf C^N$ の閉部分集合の相対位相を入れたものを $X$ の通常の位相という。$X\in V$ で $X$ が純次元 $n$ なら、$X$ はこの位相で複素次元 $n$ の複素多様体である。$H^*(X)=H^*(X,\mathbf Z)$ は、通常の位相での整係数の特異コホモロジーとする。$\mathbf C$ 上の代数群 $G$ の点の群 $G(\mathbf C)$ も通常の位相で Lie 群とみて同じ $G$ で表す。Zariski 位相で閉（開）な集合は通常の位相でも閉（開）で、代数的空間の射は通常の位相で連続である。
次の定義は代数的同値の定義で、第 6 巻の頁『3-2 線形同値の理論』の主結果「特異な空間と代数的同値への拡張」の 2 の形に合わせた。主結果 1 の後半で使う。
$X$ を非特異な代数的空間とする。既約で非特異な曲線 $T$、点 $a,b\in T$、$X\times T$ の上のサイクル $Z$ で各成分が $T$ に支配的に射影するものについて、$X\times\{t\}$ との交わりを $X$ の上のサイクルとみたものを $Z(t)$ と書く。差 $Z(a)-Z(b)$ の形の元が生成する部分群に差が入る二つのサイクルを、代数的に同値であるという。有理同値は $T=\mathbf P^1$、$a=0$、$b=\infty$ の場合で、有理同値なサイクルは代数的に同値である。
ここで $Z(t)$ の係数は、$X\times\{t\}$ が $X\times T$ の有効 Cartier 因子であることから、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「固有な交わりの重複度と長さ」の (3) の長さで定まる。$Z$ の成分は $T$ に支配的なので $X\times\{t\}$ を含まず、交わりは固有である。有効 Cartier 因子に沿った逆像は、その因子との交わりのサイクルに等しいという古典的な事実（同じ定理の (2) の後半。Fulton Ful98 第 7〜8 章の形、本書は該当箇所を確かめていない）により、これは包含 $i_t\colon X\to X\times T$、$x\mapsto(x,t)$ による逆像のサイクル $i_t^*Z$ にほかならない。第 6 巻の定義「有理同値と Chow 群」がファイバーの基本サイクルと呼ぶものもこれである。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。1 は原論文自身が証明なしに認めるもので、後代の所在は Borel と Haefliger BH61、Fulton Ful98 第 19 章とされる。2 は Borel と Moore BM60 による。どの文献についても、該当箇所は本頁では確かめていない。Chow 環の性質は本書『0-4 Chow 環の枠組み』、群の構造は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』にある。
- 原論文が認めるサイクル類写像：$X$ を $\mathbf C$ 上の非特異な代数的空間で純次元 $n$ のものとする。$X$ の余次元 $i$ の各サイクル $Z$ に類 $\mathrm{cl}(Z)\in H^{2i}(X)$ が対応し、次を満たす。(a) $\mathrm{cl}$ はサイクルの群からの加法的な写像である。(b) 直積と両立する：$\mathrm{cl}(Z\times Z')=\mathrm{cl}(Z)\times\mathrm{cl}(Z')$。(c) 逆像と両立する：非特異な空間の間の射 $f\colon X'\to X$ と、逆像 $f^*Z$ が定まる（逆像の各成分が期待される余次元をもつ）サイクル $Z$ について $\mathrm{cl}(f^*Z)=f^*\mathrm{cl}(Z)$。とくに開部分 $U\subset X$ への制限について $\mathrm{cl}(Z\cap U)=\mathrm{cl}(Z)|_U$。(d) 固有な射の順像と両立する。(e) したがって交叉積と cup 積が両立する：固有に交わるサイクルについて $\mathrm{cl}(Z\cdot Z')=\mathrm{cl}(Z)\cup\mathrm{cl}(Z')$。(f) $Z$ が非特異な既約閉部分（複素次元 $m$ の閉部分多様体）なら、$\mathrm{cl}(Z)$ は $Z$ の基本類の Poincaré 双対である。すなわち下の 2 の (c) の同型 $H^{2n-2m}(X)\cong H^{\mathrm{BM}}_{2m}(X)$ で、$\mathrm{cl}(Z)$ は $Z$ の基本類の $X$ への押し出しに対応する。
- Borel–Moore ホモロジーと Poincaré 双対：通常の位相での局所コンパクト空間 $Y$ に、整係数の Borel–Moore ホモロジー $H^{\mathrm{BM}}_*(Y)$ が対応し、次を満たす。(a) 閉部分 $Z\subset Y$ への包含は押し出し $H^{\mathrm{BM}}_*(Z)\to H^{\mathrm{BM}}_*(Y)$ を、開部分 $U\subset Y$ への包含は制限 $H^{\mathrm{BM}}_*(Y)\to H^{\mathrm{BM}}_*(U)$ を与え、$U=Y-Z$ のとき長完全列 $\cdots\to H^{\mathrm{BM}}_k(Z)\to H^{\mathrm{BM}}_k(Y)\to H^{\mathrm{BM}}_k(U)\to H^{\mathrm{BM}}_{k-1}(Z)\to\cdots$ がある。有限個の互いに交わらない開かつ閉な部分の和では直和になる。(b) $H^{\mathrm{BM}}_k(\mathbf C^m)$ は $k=2m$ で $\mathbf Z$、他の $k$ で $0$ で、$k=2m$ の生成元は基本類である。(c) 複素次元 $n$ の複素多様体 $M$ について、基本類との cap 積は Poincaré 双対の同型 $H^q(M)\cong H^{\mathrm{BM}}_{2n-q}(M)$ を与え、開部分への制限と両立する。複素次元 $m$ の閉部分多様体 $Z\subset M$ の基本類 $[Z]\in H^{\mathrm{BM}}_{2m}(Z)$ は、開部分 $U$ への制限で $[Z\cap U]$ に写る。$M$ がコンパクトなら Borel–Moore ホモロジーは通常のホモロジーである。
- 射影直線と曲線の連結性：$\mathbf P^1$ は通常の位相で球面と同相で、弧状連結である。既約で非特異な複素代数曲線は通常の位相で連結（したがって弧状連結）である。前者は初等的で、後者は古典的な事実である（Mumford Mum76、本書は出典の箇所を確かめていない）。$T$ は完備とは限らないが、$T$ の非特異な完備化から有限個の点を除いたものなので、完備化の連結性からそのまま従う。
- Chow 環の性質（本書『0-4 Chow 環の枠組み』）：定義「非特異準射影空間の Chow 環」、定理「環の構造と射影公式」、定理「因子と Chern 類」の (3)（固有に交わる閉部分の類の積は交叉積の類）、定理「完全性」の (2)、定理「アフィン空間の開集合との積」、命題「胞体分割による生成」。Chow 環の積は、第 6 巻の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「非特異準射影多様体の Chow 環」のとおり、移動補題で固有に交わるようにした代表の交叉積で定まる。開部分への引き戻しはサイクルの制限である。
- 線形群の構造と Bruhat 分解（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』）：定理「線形群の構造」の (2)（旗多様体は非特異で既約な射影的空間）と (5)（$G/B\cong\bar G/\bar B$、$\bar G=G/R$）、定理「Bruhat 分解と旗多様体の胞体」の (1)（胞体はアフィン空間に同型で、各胞体の閉包はその胞体と次元のより小さい胞体の和）。
- 原論文は類を複素解析的なサイクル一般に対応させると述べるが、使うのは代数的なサイクルだけなので、上の引用する事実 1 は代数的なサイクルに限って述べた。原論文が「各点で次元 $n$」と断るのは、Poincaré 双対が次元の揃った多様体で述べられるからである。(2) 原論文は「非特異なサイクルでは Poincaré 双対で与えられる」とだけ書き、双対をどのホモロジーでとるかを言わない。$X$ がコンパクトでないときは、閉部分多様体の基本類は通常のホモロジーでなく Borel–Moore ホモロジーに属するので、本書は 1 の (f) をこの形で読む。コンパクトなら通常の Poincaré 双対である。(3) 1 の (e) は原論文の括弧書き（「したがって」cup 積とも両立する）で、直積と対角による逆像との両立から出るという趣旨である。本書はこれも引用の一部として扱う。(4) 原論文は、特異な閉部分の類が基本類の Poincaré 双対であることは述べない。本頁の証明はそれを使わず、非特異な閉部分についての (f) と開部分への制限だけで済ませる（下の主結果（胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像）の段 3）。
原論文の胞体分割の仮定を定義にしておく。
$X\in V$ を純次元 $n$ とする。$X$ の胞体分割とは、Zariski 位相で閉な部分の列 $\emptyset=X_{-1}\subset X_0\subset X_1\subset\dots\subset X_n=X$ で、各 $i$ について $X_i-X_{i-1}$ の連結成分 $V_{i,1},\dots,V_{i,r_i}$ がどれもアフィン空間 $k^i$ に同型なもの（$r_i=0$ も許す）をいう。$V_{i,j}$ を胞体、その Zariski 閉包 $\overline{V_{i,j}}$ を胞体の閉包という。$\overline{V_{i,j}}$ は次元 $i$ の既約な閉部分で、その類 $[\overline{V_{i,j}}]$ は $A^{n-i}(X)$ に属する。
本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」は、胞体の閉包がいくつかの胞体の和であることを仮定する。上の定義はそれを求めず、閉部分の列だけを与える（原論文の仮定の形）。原論文は各 $X_i$ の次元がちょうど $i$ であることも求めるが（印字 5-28）、下の証明はこの条件を使わず、$\dim X_i\le i$ は上の定義から自動に出るので、本書はこれを仮定に置かない。二つの仮定の関係は、下の主結果（旗多様体のサイクル類写像は同型）の証明の段 1 で見る。証明に要る開部分の列を補題にまとめる。
上の定義の胞体分割について、$U_i=X-X_{i-1}$（$0\le i\le n+1$）、$Y_i=X_i-X_{i-1}$ とおく。
(1) $U_0=X\supset U_1\supset\dots\supset U_n\supset U_{n+1}=\emptyset$ はどれも $X$ の開部分で、$Y_i=U_i-U_{i+1}$ は $U_i$ の閉部分である。$U_i$ は $V$ に属する。
(2) 各胞体 $V_{i,j}$ は $U_i$ の閉部分で、$\overline{V_{i,j}}\cap U_i=V_{i,j}$ である。
(3) $Y_i$ は有限個の $k^i$ の非交和に同型で、$V$ に属する。
- $X_{i-1}$ は閉なので $U_i$ は開で、$X_{i-1}\subset X_i$ から $U_{i+1}\subset U_i$ である。$U_i-U_{i+1}=X_i-X_{i-1}=Y_i$ で、$Y_i=X_i\cap U_i$ は $U_i$ の閉部分である。$U_i$ は非特異な準射影空間 $X$ の開部分なので $V$ に属する。
- 代数的空間 $Y_i$ の連結成分は有限個で、それぞれ $Y_i$ の開かつ閉な部分である。ゆえに $V_{i,j}$ は $Y_i$ で閉じ、(1) により $U_i$ でも閉じる。$\overline{V_{i,j}}\subset X_i$（$X_i$ は閉）なので $\overline{V_{i,j}}\cap U_i\subset Y_i$ で、$\overline{V_{i,j}}\cap Y_i$ は $V_{i,j}$ の $Y_i$ での閉包、すなわち $V_{i,j}$ 自身である。
-
- により $Y_i$ は互いに交わらない有限個の閉部分 $V_{i,j}\cong k^i$ の和で、各 $V_{i,j}$ は $Y_i$ で開かつ閉である。$k^i$ は非特異で、$Y_i$ は準射影的な $X$ の局所閉部分なので準射影的である。
補題の $U_i$ は、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」の証明の $U_m$（次元 $m$ 以上の胞体の和）に当たる。(2) は、その証明が胞体の閉包が胞体の和であることから導いた性質 $\overline C\cap U_m=C$ を、閉部分の列から直接与える。
主結果と証明
原論文の認める性質を、まず Chow 環の水準に移す。有理同値が $\mathbf P^1$ の上の族で定まることと、$\mathbf P^1$ が弧状連結であることが要点である。
サイクル類写像
$k=\mathbf C$、$X\in V$ を純次元 $n$ とし、上の引用する事実 1 のサイクル類写像を考える。
(1) 有理同値な二つのサイクルは同じ類をもつ。したがって $\mathrm{cl}$ は加法的な写像 $\mathrm{cl}\colon A^i(X)\to H^{2i}(X)$（$0\le i\le n$）を定める。
(2) $\mathrm{cl}\colon A(X)\to H^*(X)$ は次数を $2$ 倍にする単位的な環準同型である。
(3) 代数的に同値な二つのサイクルは同じ類をもつ。
段 1（有理同値を消す）．上の定義（代数的同値）の後の段により、有理同値の生成元は、$X\times\mathbf P^1$ の余次元 $i$ の既約閉部分 $W$ で $\mathbf P^1$ に支配的なものについての $i_0^*W-i_\infty^*W$ である。$X\times\mathbf P^1$ は純次元 $n+1$ の非特異な空間で、$i_t\colon X\to X\times\mathbf P^1$ は非特異な空間の間の射なので、引用する事実 1 の (c) により $\mathrm{cl}(i_t^*W)=i_t^*\mathrm{cl}(W)$ である。引用する事実 3 により、$\mathbf P^1$ の中に $0$ と $\infty$ を結ぶ道 $\gamma\colon[0,1]\to\mathbf P^1$ がある。$(x,s)\mapsto(x,\gamma(s))$ は $i_0$ と $i_\infty$ を結ぶホモトピーなので、コホモロジーで $i_0^*=i_\infty^*$ であり、$\mathrm{cl}(i_0^*W)=\mathrm{cl}(i_\infty^*W)$ となる。引用する事実 1 の (a) により $\mathrm{cl}$ は加法的なので、有理同値の部分群の上で $0$ で、(1) の写像が定まる。
段 2（単位元）．$X$ は連結とは限らないので、$X$ の各連結成分（既約成分）$X^{(1)},\dots,X^{(s)}$ に分けて扱う。各 $X^{(k)}$ は非特異な余次元 $0$ のサイクルで、引用する事実 1 の (f) により $\mathrm{cl}(X^{(k)})$ はその基本類の Poincaré 双対、すなわち $H^0(X^{(k)})=\mathbf Z$ の $1$ に対応する。引用する事実 1 の (a) の加法性で $1_X=\sum_kX^{(k)}$ の類を足せば $\mathrm{cl}(1_X)=1$ である。
段 3（積）．$x\in A^i(X)$、$y\in A^j(X)$ について、移動補題（引用する事実 4）により、$x$、$y$ を代表するサイクル $z$、$w$ で各成分が固有に交わるものがとれ、$xy$ は交叉積のサイクル $z\cdot w$ の類である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (3)）。引用する事実 1 の (e) により $\mathrm{cl}(z\cdot w)=\mathrm{cl}(z)\cup\mathrm{cl}(w)$ なので、$\mathrm{cl}(xy)=\mathrm{cl}(x)\cup\mathrm{cl}(y)$ である。次数は定義により $A^i$ から $H^{2i}$ で、偶数次の cup 積は可換なので、値は $H^{2*}(X)$ の可換な部分環に入る。
段 4（代数的同値）．上の定義（代数的同値）の $T$、$a$、$b$、$Z$ について、段 1 と同じく $\mathrm{cl}(Z(t))=i_t^*\mathrm{cl}(Z)$（$X\times T$ は非特異）である。引用する事実 3 により $T$ は通常の位相で連結な複素多様体（Riemann 面）なので弧状連結で、$a$ と $b$ を結ぶ道が $i_a$ と $i_b$ のホモトピーを与える。ゆえに $\mathrm{cl}(Z(a))=\mathrm{cl}(Z(b))$ である。
段 1 と段 4 は同じ議論で、違いは助変数の空間だけである。原論文は準射影的であることを断るが、それは Chow 環が $V$ の上で定義され、段 3 の移動補題が準射影的な空間で使われるからである。証明が頁の中で行ったのは、認めた性質の組み合わせだけで、サイクル類写像の存在と性質そのものは引用のまま残る。
原論文は、サイクル類写像の存在と性質を「認める」と明記し、当時の文献に無いと断る（印字 5-27）。本書はこれを外部入力として扱い、上の主結果の札も、それを使う本頁と本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』の主結果の札も［条件付き］にする。原論文の結びの注意（本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』の注意「厳密さについての原論文の注意」）も、証明が完全であるにはこの節の冒頭の事実の証明が要ると述べており、本書の札はそれと一致する。本書は「原論文はこう述べる」と書き、これらの性質を証明したとは書かない。
胞体分割
胞体分割をもつ空間では、Chow 環の側では胞体の閉包が生成し、コホモロジーの側では胞体が基底を与える。二つを結ぶのが、胞体を開部分の中の非特異な閉部分とみることである。
$k=\mathbf C$、$X\in V$ を純次元 $n$ とし、上の定義の胞体分割 $(X_i)$ と胞体 $V_{i,j}$ をとる。
(1) 胞体の閉包の類 $[\overline{V_{i,j}}]$ の全体は $A(X)$ を加法群として生成する。
(2) $H^q(X)$ は $q$ が奇数なら $0$ で、$H^{2n-2i}(X)$ は $r_i$ 個の元からなる基底をもつ自由加群である。
(3) $\mathrm{cl}\colon A(X)\to H^*(X)$ は環の同型である。とくに $[\overline{V_{i,j}}]$ の全体は $A(X)$ の基底で、$A^{n-i}(X)$ は階数 $r_i$ の自由加群である。
段 1（Chow 環の生成）．上の補題（胞体分割の開部分の列）の記号を使う。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」の証明を、そこでの $U_m$、$Y_m$ をこの補題の $U_m$、$Y_m$ に替えてたどる。その証明が胞体の閉包が胞体の和であるという仮定を使うのは、段 1・段 2 で「$U_m$ は開、$Y_m$ は $U_m$ の閉部分で $k^m$ の有限個の非交和、$\overline C\cap U_m=C$」を出す所だけで、ここではそれが補題の (1)〜(3) で与えられている。したがって同じ段 3・段 4（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「完全性」の (2) と定理「アフィン空間の開集合との積」による下向きの帰納法）がそのまま通り、各 $m$ について $A(U_m)$ は $[\overline{V_{i,j}}\cap U_m]$（$i\ge m$）で生成される。$m=0$ で (1) を得る。
段 2（Borel–Moore ホモロジーの計算）．$m$ について下向きに、次の三つを示す。(a) $H^{\mathrm{BM}}_k(U_m)=0$（$k$ が奇数か $k<2m$）。(b) $k\ge2m+1$ なら、制限 $H^{\mathrm{BM}}_k(U_m)\to H^{\mathrm{BM}}_k(U_{m+1})$ は同型。(c) 閉部分 $Y_m\subset U_m$ からの押し出し $H^{\mathrm{BM}}_{2m}(Y_m)\to H^{\mathrm{BM}}_{2m}(U_m)$ は同型で、$H^{\mathrm{BM}}_{2m}(Y_m)=\bigoplus_j\mathbf Z[V_{m,j}]$。$U_{n+1}=\emptyset$ では (a) は自明である。$U_{m+1}$ で (a) が成り立つとする。引用する事実 2 の (a)(b) と補題の (3) により、$H^{\mathrm{BM}}_*(Y_m)$ は次数 $2m$ だけにあり、そこで $\bigoplus_j\mathbf Z[V_{m,j}]$ である。閉部分 $Y_m$ と開部分 $U_{m+1}=U_m-Y_m$ の長完全列
$$H^{\mathrm{BM}}_{k+1}(U_{m+1})\to H^{\mathrm{BM}}_k(Y_m)\to H^{\mathrm{BM}}_k(U_m)\to H^{\mathrm{BM}}_k(U_{m+1})\to H^{\mathrm{BM}}_{k-1}(Y_m)$$
で、$k=2m$ なら両端の $H^{\mathrm{BM}}_{2m+1}(U_{m+1})$ と $H^{\mathrm{BM}}_{2m}(U_{m+1})$ は (a) により $0$ なので (c) を得る。$k\ge2m+1$ なら $H^{\mathrm{BM}}_k(Y_m)=0$ で、$H^{\mathrm{BM}}_{k-1}(Y_m)\ne0$ となるのは $k=2m+1$ のときだけだが、そのとき $H^{\mathrm{BM}}_{2m+1}(U_{m+1})=0$ なので、いずれにせよ (b) を得る。$k<2m$ なら両側の項が $0$ で $H^{\mathrm{BM}}_k(U_m)=0$ である。(a) の奇数次は (b)(c) と $U_{m+1}$ の (a) から出る。
段 3（胞体の閉包の類）．段 2 の (b) を $U_0\supset U_1\supset\dots\supset U_i$ に順に使う（次数 $2i\ge2m+1$、$m< i$）と、制限 $H^{\mathrm{BM}}_{2i}(X)\to H^{\mathrm{BM}}_{2i}(U_i)$ は同型である。(c) と合わせて、$H^{\mathrm{BM}}_{2i}(X)$ は、$U_i$ への制限が $[V_{i,j}]$ の押し出しになる元 $e_{i,j}$（$1\le j\le r_i$）を基底とする自由加群で、奇数次の $H^{\mathrm{BM}}_*(X)$ は $0$ である。一方、補題の (2) により $\overline{V_{i,j}}\cap U_i=V_{i,j}$ は $U_i$ の非特異な閉部分で、開部分への引き戻しはサイクルの制限だから、引用する事実 1 の (c) により $\mathrm{cl}(\overline{V_{i,j}})|_{U_i}=\mathrm{cl}_{U_i}(V_{i,j})$ で、(f) によりこれは $U_i$ での $V_{i,j}$ の基本類の Poincaré 双対である。引用する事実 2 の (c) の Poincaré 双対 $H^{2n-2i}(X)\cong H^{\mathrm{BM}}_{2i}(X)$ は $U_i$ への制限と両立するので、$\mathrm{cl}(\overline{V_{i,j}})$ の双対は $U_i$ への制限が $[V_{i,j}]$ の押し出しになる元、すなわち $e_{i,j}$ である。
段 4（同型）．段 3 と Poincaré 双対により (2) が成り立ち、$\mathrm{cl}$ は類 $[\overline{V_{i,j}}]$ の全体を $H^*(X)$ の基底 $\{\mathrm{PD}^{-1}(e_{i,j})\}$ の上へ一対一に写す。胞体の添字の集合を基底とする自由加群を $F$ とし、$\varphi\colon F\to A(X)$ を $(i,j)\mapsto[\overline{V_{i,j}}]$ とすると、$\varphi$ は段 1 により全射で、$\mathrm{cl}\circ\varphi$ は基底を基底に写すので同型である。ゆえに $\varphi$ は単射でもあり同型で、$\mathrm{cl}=(\mathrm{cl}\circ\varphi)\circ\varphi^{-1}$ も同型である。上の定理（サイクル類写像の環準同型）により $\mathrm{cl}$ は環準同型なので、環の同型である。
段 1 は Chow 環の枠組みだけで、段 2 は位相だけで閉じる。二つが出会うのは段 3 で、そこで使うサイクル類写像の性質は、非特異な閉部分での Poincaré 双対と開部分への制限の二つだけである。胞体の閉包は一般に特異だが、それを胞体の閉包のままでなく、$U_i$ の中の非特異な胞体として扱うことで、特異な部分の類を知らずに済む。
原論文（印字 5-28）は、胞体の閉包が通常の位相で「胞体分割を定める」ので「胞体のコホモロジー類が $H^*(X)$ の基底をなす」とし、前の講演の Proposition 7 による生成と合わせて同型を結論する。この書き方はコンパクトな $X$ の CW 分割を念頭に置いたもので、原論文はコンパクトでない場合を区別しない。コンパクトでない $X$ では胞体の閉包は CW 分割を与えず、コホモロジーの計算には Borel–Moore ホモロジーが要る。また「胞体のコホモロジー類」と原論文の認めるサイクル類写像の値が一致することは、原論文の仮定（非特異なサイクルでの Poincaré 双対）からは直接には出ない。本書は上の証明の段 2・段 3 でこの二点を補った。主張は原論文のとおりで、本書の札は変わらない。前の講演の Proposition 7 は非特異な閉部分の列を求めるので（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「層別による生成」）、胞体の閉包が特異な場合には、同じ頁の命題「胞体分割による生成」の証明の形で受ける（段 1）。本書が使うのは $X=G/B$（射影的でコンパクト）の場合だけである。
旗多様体
$k=\mathbf C$、$G$ を連結アフィン群、$B$ をその Borel 部分群、$N=\dim G/B$ とする。$\mathrm{cl}\colon A(G/B)\to H^*(G/B)$ は環の同型である。$H^*(G/B)$ は奇数次で $0$ の自由加群で、$A(G/B)$ は Bruhat 胞体の閉包の類を基底とする自由加群である。
段 1（胞体分割）．引用する事実 5 により $G/B$ は $V$ に属する既約な射影的空間で、$G/B\cong\bar G/\bar B$（$\bar G=G/R$ は半単純）である。$\bar G$ が単位群なら $G/B$ は一点で、$A(\mathrm{pt})=\mathbf Z=H^*(\mathrm{pt})$ だから主張は明らかである。そうでなければ、Bruhat 分解により $G/B$ は有限個の胞体 $X_w\cong k^{\ell(w)}$（$w\in W$）の非交和で、各 $\overline{X_w}$ は $X_w$ と次元のより小さい胞体の和である。$X_i$ を次元 $i$ 以下の胞体の和とすると、$X_i$ は次元 $i$ 以下の胞体の閉包の和に等しいので閉である。$X_i-X_{i-1}$ は次元 $i$ の胞体の非交和で、次元 $i$ の胞体 $X_w$ について $\overline{X_w}\cap(X_i-X_{i-1})=X_w$（閉包に加わる胞体は $X_{i-1}$ に入る）なので、各 $X_w$ は $X_i-X_{i-1}$ で閉じている。有限個の互いに交わらない閉部分の和なので各 $X_w$ は開かつ閉で、$k^i$ に同型で連結だから、ちょうど連結成分である。ゆえに $(X_i)_{0\le i\le N}$ は上の定義の意味の胞体分割で、胞体は Bruhat 胞体である。
段 2（結論）．上の定理（胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像）を $X=G/B$、$n=N$ に当てればよい。
段 1 が示すように、胞体の閉包がいくつかの胞体の和であるという本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」の仮定から、上の定義の胞体分割が得られる。旗多様体はこちらの仮定を満たすので、Chow 環の側の生成はその命題そのものから出る。原論文は同じ段落で、旗多様体が胞体分割をもつことから Lemme 10 を得る、と一文で結ぶ（印字 5-28）。この同型は、次の頁で特性準同型の余核を位相の側で読むのに使われる。
例と反例
胞体分割の最も簡単な例で両側の階数を数え、胞体分割が無い空間では同型が崩れることを曲線で見る。
$X=\mathbf P^n$（$\mathbf C^{n+1}$ の直線の空間）で、$X_i$ を $e_1,\dots,e_{i+1}$ の張る部分空間の直線の全体 $\mathbf P^i$ とする。$X_i-X_{i-1}$ は $e_{i+1}$ の係数が $0$ でない直線の全体で、$[x_1:\dots:x_i:1]$ の座標で $\mathbf C^i$ に同型、連結である。したがって $(X_i)$ は胞体分割で、$r_i=1$、胞体の閉包は $\mathbf P^i$ である。上の定理（胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像）により $A(\mathbf P^n)$ は $[\mathbf P^i]$（$0\le i\le n$）を基底とし、$H^*(\mathbf P^n)$ は偶数次の各次数で $\mathbf Z$、奇数次で $0$ である。Chow 環の側では、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「射影束公式と旗束の環」の (1) を一点の上の自明な束 $\mathbf C^{n+1}$ に当てて、$A(\mathbf P^n)=\mathbf Z[\xi]/(\xi^{n+1})$、$\xi=c_1(\mathcal O(1))$ である。$\xi$ は線形形式の零点、すなわち超平面 $\mathbf P^{n-1}$ の類で（同じ頁の定理「因子と Chern 類」の (1)）、線形部分空間どうしは横断的に交わるので $\xi^{n-i}=[\mathbf P^i]$ である。サイクル類写像は $\xi$ を超平面の Poincaré 双対に写し（引用する事実 1 の (f)）、$H^*(\mathbf P^n)=\mathbf Z[h]/(h^{n+1})$ の生成元 $h$ を与える。二つの環の表示は一致し、同型は $\xi\mapsto h$ である。
$G=\mathrm{SL}(3)$、$G/B=D(\mathbf C^3)$（点と直線の組 $\ell\subset H$ の全体、$N=3$）とする。本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「射影直線と三次の旗多様体の胞体」により、胞体の次元は $0,1,1,2,2,3$ である。上の定理（旗多様体のサイクル類写像は同型）により、$H^{2q}(D(\mathbf C^3))$ の階数は $q=0,1,2,3$ で $1,2,2,1$ で、奇数次は $0$ である。Chow 環の側では、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「射影束公式と旗束の環」の (2) により、$\xi_1^{a}\xi_2^{b}$（$0\le a\le2$、$0\le b\le1$）が $A(D(\mathbf C^3))$ の基底である。次数 $a+b$ ごとに数えると、次数 $0$ は $1$ の一つ、次数 $1$ は $\xi_1,\xi_2$ の二つ、次数 $2$ は $\xi_1^2,\xi_1\xi_2$ の二つ、次数 $3$ は $\xi_1^2\xi_2$ の一つで、階数は $1,2,2,1$ である。Chow 環の次数 $q$（余次元）の胞体の閉包は次元 $3-q$ の胞体から来るので、胞体の次元の並び $0,1,1,2,2,3$ を余次元で数え直しても $1,2,2,1$ になり、次数ごとに一致する。
上の定理（胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像）の仮定から胞体分割の存在を外す。$E$ を $\mathbf C$ 上の楕円曲線（種数 $1$ の非特異な射影曲線）とする。$E\in V$ で、上の定理（サイクル類写像の環準同型）の $\mathrm{cl}\colon A(E)\to H^*(E)$ は定まる。(a) 全射でない：$E$ は解析的に $\mathbf C/\Lambda$（$\Lambda$ は格子）に同型で（第 5 巻『Chern 類と離散群の線形表現』の頁『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「固有な沈め込みの局所自明性と楕円曲線の一意化」の (2)）、位相的には二次元トーラスなので $H^1(E)\cong\mathbf Z^2\ne0$ だが、$\mathrm{cl}$ の値は偶数次にしかない。(b) 単射でない：相異なる二点 $P,Q\in E$ をとる。$[P]-[Q]=0$ なら、余次元 $1$ のサイクルの有理同値は有理関数の因子で生成されるという事実（第 6 巻の定義「有理同値と Chow 群」の第二の記述）により、$\operatorname{div}(f)=P-Q$ となる有理関数 $f$ があり、$f$ は $\mathcal O(Q)$ の定数でない大域切断になる。ところが本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「曲線と円錐曲線の族の基本」の (1)（Riemann–Roch）で、種数 $g=1$ の曲線に $D=0$ を当てると $h^0(\mathcal O)-h^0(K_E)=1-g=0$ かつ $h^0(\mathcal O)=1$ なので $h^0(K_E)=1=g$、$D=K_E$ を当てると $\deg K_E=2g-2=0$ となる。次数が負の因子は $0$ でない大域切断をもたないので、$h^0(K_E-Q)=0$（$\deg(K_E-Q)=-1<0$）、ゆえに $h^0(\mathcal O(Q))=\deg(Q)+1-g+h^0(K_E-Q)=1+1-1+0=1$ となり、大域切断は定数だけである。ゆえに $[P]\ne[Q]$ である。一方、点は非特異なサイクルで、引用する事実 1 の (f) により $\mathrm{cl}([P])$ と $\mathrm{cl}([Q])$ はどちらも連結な $E$ の点の Poincaré 双対、すなわち $H^2(E)\cong\mathbf Z$ の同じ生成元である。したがって $0\ne[P]-[Q]\in\ker\mathrm{cl}$ である。とくに $E$ は胞体分割をもたない。次数 $0$ の部分 $A^0(E)=\mathbf Z\to H^0(E)=\mathbf Z$ だけは同型である。
反例の (b) で $\mathrm{cl}$ は $A^1(E)$ の上で次数をとる写像なので、その核はちょうど次数 $0$ の類の全体である。胞体分割をもつ空間では、上の定理の段 4 のとおり、このような核は生じない。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- サイクル類写像の確立（Borel と Haefliger BH61、1961 年）：複素解析空間の解析的な部分集合の基本ホモロジー類を構成し、原論文が認めた性質（直積・逆像・順像との両立、交叉積と cup 積の両立）を確立したとされる。原論文が期待した「欠落を埋める」仕事に当たる。
- Borel–Moore ホモロジー（Borel と Moore BM60、1960 年）：局所コンパクト空間の閉台のホモロジーで、コンパクトでない多様体の Poincaré 双対と、閉部分と開部分の長完全列を与える。本頁の主結果（胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像）の段 2・段 3 はこの言葉で書いた。
- Chow 群のサイクル類写像（Fulton Ful98 第 19 章、初版 1984 年）：任意の複素代数的スキームの Chow 群から Borel–Moore ホモロジーへのサイクル類写像が定義され、Chern 類と両立し、胞体分割をもつスキームでは同型になることが示されているとされる。本頁の主結果はその非特異な場合に当たる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の §6 の前半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（複素数体の上の空間の通常の位相） | §6 冒頭（GAGA による解析空間、局所コンパクトな位相、整係数コホモロジー） | 5-27 |
| 引用する事実 1、注意（原論文の仮定の読み） | §6 冒頭の「認める」性質（直積・逆像・固有な順像、非特異なサイクルでの Poincaré 双対） | 5-27 |
| 定理（サイクル類写像の環準同型） | 同（準射影的なら Chow 環からの準同型が得られるという「on voit」と、代数的同値についての「N.B.」） | 5-27 |
| 注意（原論文が認めた性質と本書の扱い） | 同（性質が文献に無いという断り） | 5-27 |
| 定義（胞体分割）、補題（胞体分割の開部分の列） | 胞体分割の主張の仮定（閉部分の列と、差の連結成分が $\mathbf C^i$ に同型） | 5-28 |
| 定理（胞体分割をもつ多様体のサイクル類写像）、注意（原論文の段とコンパクトでない場合） | 胞体分割の主張（前の講演の Proposition 7 による生成、胞体のコホモロジー類が基底） | 5-28 |
| 定理（旗多様体のサイクル類写像は同型） | Lemme 10 | 5-28 |
| 例（射影空間）、例（三次の旗多様体）、反例（反例：胞体分割が無いと同型は崩れる） | （原論文には無い。主張を確かめる例と、仮定を外した反例） | — |
参考文献
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