1-1 単冪群を構造群とする主束

段 1（推移関数）．$\psi=\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}$ は $(U_i\cap U_j)\times G$ の自己同型で、第 1 成分と $G$ の右作用を保つ。$\psi(u,e)=(u,g_{ij}(u))$ で射 $g_{ij}$ を定めると、右作用を保つことから $\psi(u,g)=\psi((u,e)g)=(u,g_{ij}(u)g)$ である。$\varphi_i\varphi_l^{-1}=(\varphi_i\varphi_j^{-1})(\varphi_j\varphi_l^{-1})$ を $(u,e)$ で比べると $g_{il}=g_{ij}g_{jl}$ を得る。一意性は $\psi(u,e)$ で決まることから分かる。
段 2（切断と自明性）．自明化 $\varphi\colon P\to X\times G$ があれば $s(x)=\varphi^{-1}(x,e)$ が切断である。逆に切断 $s$ があれば、$\Phi\colon X\times G\to P$、$(x,g)\mapsto s(x)g$ は射で右作用と射影を保つ。自明化 $\varphi_i$ で見ると $\varphi_i(s(u))=(u,h_i(u))$ となる射 $h_i\colon U_i\to G$ があり、$\varphi_i(\Phi(u,g))=(u,h_i(u)g)$ なので $\Phi$ は $U_i$ の上で同型 $(u,g)\mapsto(u,h_i(u)g)$ に当たる。ゆえに $\Phi$ は同型で、その逆が自明化である。
段 3（推移関数による判定）．切断 $s$ があれば段 2 の $h_i$ について、$\varphi_i(s(u))=\varphi_i\varphi_j^{-1}(\varphi_j(s(u)))=(u,g_{ij}(u)h_j(u))$ なので $h_i=g_{ij}h_j$、すなわち $g_{ij}=h_ih_j^{-1}$ である。逆に $g_{ij}=h_ih_j^{-1}$ となる $h_i$ があれば、$s_i(u)=\varphi_i^{-1}(u,h_i(u))$ は $U_i$ の上の切断で、$U_i\cap U_j$ の上で $\varphi_i(s_j(u))=(u,g_{ij}(u)h_j(u))=(u,h_i(u))=\varphi_i(s_i(u))$ なので $s_i=s_j$ となり、貼り合わさって切断を与える。段 2 により $P$ は自明である。
段 4（貼り合わせ）．$(u,g)\in(U_i\cap U_j)\times G$ を $(u,g_{ij}(u)g)\in(U_i\cap U_j)\times G$ と同一視する。1 の等式から $g_{ii}=e$、$g_{ji}=g_{ij}^{-1}$ で、同一視は同値関係になり、スキームの貼り合わせの条件をみたす。左からの掛け算は右作用と可換なので、得られた $P$ に $G$ が右から作用し、各 $U_i\times G$ が自明化を与える。$P\to X$ は各 $U_i$ の上で $U_i\times G\to U_i$ なので、$G$ がアフィンならアフィン射で、とくに $P$ は分離的である。$\pi$ の全射性と $P\times G\cong P\times_XP$ は各 $U_i$ の上で確かめればよく、$U_i\times G$ では明らかである。$X$ が $P$ の $G$ による商であることは、局所切断 $u\mapsto\varphi_i^{-1}(u,e)$ を使う下の補題（部分群による商の束）の段 3 と同じ議論による。

段 1（$P/H$ の構成）．$P$ の推移関数を $g_{ij}\colon U_i\cap U_j\to G$ とし、その像 $\bar g_{ij}\colon U_i\cap U_j\to G/H$ をとる。$\bar g_{ij}$ は上の補題（推移関数と切断）の 1 の等式をみたすので、その 4 により構造群 $G/H$ の局所自明な主束 $P/H$ が得られる。$U_i\times G\to U_i\times(G/H)$ は推移関数による貼り合わせと両立するので、射 $q\colon P\to P/H$ が定まる。
段 2（$q$ の局所自明性）．$G\to G/H$ の切断 $\sigma\colon W\to G$ を $G/H$ の開集合 $W$ の上でとる。$U_i\times W\subset U_i\times(G/H)$ の上で、$(u,w,h)\mapsto(u,\sigma(w)h)$ は $U_i\times W\times H$ から $q^{-1}(U_i\times W)$ への射で、$H$ の右作用を保つ。逆写像は $(u,x)\mapsto(u,xH,\sigma(xH)^{-1}x)$ で、$\sigma(xH)^{-1}x\in H$ である。$W$ を動かすと $G/H$ が覆われ、$i$ を動かすと $X$ が覆われるので、$q$ は局所自明である。
段 3（射の下降）．$f\colon Q\to Z$ が $H$ の軌道の上で一定とする。$Y$ の開集合 $V$ の上に切断 $s\colon V\to Q$ があれば（局所自明なのでそのような $V$ で $Y$ が覆われる）、$V$ の上で $\bar f=f\circ s$ とおく。別の切断 $s'$ は $s'=s\,h$（$h\colon V\to H$）と書けるので $f\circ s'=f\circ s$ で、$\bar f$ は切断の取り方によらず貼り合わさり、$\bar f\circ(Q\to Y)=f$ をみたす。一意性は $Q\to Y$ が全射であることから分かる。1 の $P/H$ と別の商 $Y'$（$P\to Y'$ が同じ性質をもつもの）は、互いにこの性質で射を与え合い、合成は恒等なので同型である。

$n=\dim G$ についての帰納法で示す。帰納法の主張は「次元 $n$ の連結単冪アフィン群を構造群とする局所自明な主束は、どのアフィンな底の上でも自明」である。
段 1（$n\le1$）．$n=0$ なら $G$ は連結で 0 次元なので $G=\{e\}$、$P\to X$ は同型で自明である。$n=1$ なら、引用する事実 1 により $G\cong\mathbf G_a$ である。自明化の開被覆 $(U_i)$ をとると、上の補題（推移関数と切断）の 1 により推移関数 $g_{ij}$ は $U_i\cap U_j$ の上の正則関数で、$g_{ij}+g_{jl}=g_{il}$ をみたす。$X$ はアフィンなので、引用する事実 5 により正則関数 $h_i$ が $U_i$ の上にあって $g_{ij}=h_i-h_j$ となる。上の補題の 3 により $P$ は自明である。
段 2（部分群の選び方）．$n\ge2$ とし、次元が $n$ 未満のときは主張が成り立つとする。引用する事実 2 により、連結閉正規部分群 $G'$ で $0<\dim G'< n$ のものがある。$G'$ は連結な単冪アフィン群で、$G/G'$ は連結な単冪アフィン群であり、どちらも次元は $n$ 未満である。$G'$ は連結で可解なので、引用する事実 3 により $G\to G/G'$ は構造群 $G'$ の局所自明な主束である。上の補題（部分群による商の束）が使える。
段 3（先に商の束を自明化する）．上の補題（部分群による商の束）の 1 により、$P/G'\to X$ は構造群 $G/G'$ の局所自明な主束である。底 $X$ はアフィンなので、帰納法の仮定により $P/G'$ は自明で、切断 $\tau\colon X\to P/G'$ をもつ。自明化 $P/G'\cong X\times(G/G')$ の右辺はアフィンな空間の積なのでアフィンである。
段 4（次に部分群の束を自明化する）．上の補題（部分群による商の束）の 2 により、$q\colon P\to P/G'$ は構造群 $G'$ の局所自明な主束である。段 3 によりその底 $P/G'$ はアフィンなので、帰納法の仮定により $q$ は切断 $\sigma\colon P/G'\to P$ をもつ。
段 5（切断の合成）．$s=\sigma\circ\tau\colon X\to P$ とおく。$P\to X$ は $q$ と $P/G'\to X$ の合成なので、$q\circ\sigma=\mathrm{id}$ と $\tau$ が切断であることから、$s$ は $P\to X$ の切断である。上の補題（推移関数と切断）の 2 により $P$ は自明である。

上の定理（単冪群の主束はアフィンな底の上で自明）の証明の帰納法の主張を、「次元 $n$ の連結単冪アフィン群を構造群とする局所自明な主束は、$H^1(Z,\mathcal O_Z)=0$ をみたすどの底 $Z$ の上でも自明」に替えて、同じ段をたどる。
段 1（$n\le1$）．$n=0$ は同じである。$n=1$ の段が底について使ったのは、推移関数の余輪体が余境界であることだけで、引用する事実 5 の後半によりこれは $H^1(Z,\mathcal O_Z)=0$ から出る。
段 2（積の上のコホモロジー）．段 3 で底 $Z$ は $Z\times Y$（$Y=G/G'$、アフィン）に替わる。$Z\times Y$ も $H^1=0$ をみたすことを示す。$Z$ は有限型なので有限個のアフィン開集合 $V_1,\dots,V_r$ で覆われ、$V_i\times Y$ は $Z\times Y$ のアフィン開被覆である。引用する事実 6 により、添字 $i_0<\dots< i_p$ について $V_{i_0\cdots i_p}=V_{i_0}\cap\dots\cap V_{i_p}$ はアフィンで
$$\Gamma(V_{i_0\cdots i_p}\times Y,\mathcal O)=\Gamma(V_{i_0\cdots i_p},\mathcal O)\otimes_k\Gamma(Y,\mathcal O)$$
であり、Čech 複体の微分は制限写像から作られるので、$Z\times Y$ の被覆 $(V_i\times Y)$ の Čech 複体は、$Z$ の被覆 $(V_i)$ の Čech 複体に $k$ ベクトル空間 $\Gamma(Y,\mathcal O)$ をテンソルしたものである。$k$ 上のテンソル積は完全系列を保つので、1 次のコホモロジーは $H^1(Z,\mathcal O_Z)\otimes_k\Gamma(Y,\mathcal O)=0$ になる。引用する事実 6 により、これが $H^1(Z\times Y,\mathcal O)$ である。
段 3（残りの段）．上の定理の証明の段 2〜5 を、「アフィン」を「$H^1=0$」に替えてそのまま繰り返す。段 3 で $P/G'\cong Z\times(G/G')$ が $H^1=0$ をみたすことは、この証明の段 2 による。

段 1（有限群の部分）．引用する事実 4 により $G^\circ$ は指数有限の閉正規部分群で、$\Gamma=G/G^\circ$ は有限群である。$G\to\Gamma$ は $G$ を有限個の開かつ閉な剰余類に分けるので、局所切断をもつ（各剰余類から一点を選べばよい）。上の補題（部分群による商の束）により、$P/G^\circ\to X$ は構造群 $\Gamma$ の局所自明な主束である。空でない開集合からなる自明化の被覆 $(U_i)$ をとり、推移関数を $\gamma_{ij}\colon U_i\cap U_j\to\Gamma$ とする。
段 2（推移関数は定数）．$\Gamma$ は有限なので $\gamma_{ij}$ の各点の逆像は開かつ閉である。$X$ は既約なので、空でない開集合はどれも既約、とくに連結で、空でない開集合の有限個の共通部分は空でない。ゆえに $U_i\cap U_j\ne\emptyset$ で、$\gamma_{ij}$ は定数である。添字 $1$ を一つ固定し、$\eta_i=\gamma_{i1}$（定数）とおく。$U_i\cap U_j\cap U_1\ne\emptyset$ の上で $\gamma_{ij}=\gamma_{i1}\gamma_{1j}=\eta_i\eta_j^{-1}$ で、両辺は定数なので $U_i\cap U_j$ 全体で成り立つ。上の補題（推移関数と切断）の 3 により $P/G^\circ$ は自明で、切断 $\tau\colon X\to P/G^\circ$ をもつ。
段 3（単位成分の束）．$Q=q^{-1}(\tau(X))\subset P$ とおく（$q\colon P\to P/G^\circ$）。$Q$ は $P$ の閉部分集合で $G^\circ$ の右作用で安定であり、$Q\to X$ は構造群 $G^\circ$ の主束である。$P|_{U_i}\cong U_i\times G$ の上では $P/G^\circ|_{U_i}\cong U_i\times\Gamma$ で、$U_i$ は連結なので $\tau|_{U_i}$ は一つの剰余類 $x_iG^\circ$ に値をとる。ゆえに $Q|_{U_i}\cong U_i\times x_iG^\circ$ で、$(u,x_ih)\mapsto(u,h)$ により $U_i\times G^\circ$ と $G^\circ$ の右作用を保って同型になる。$Q$ は局所自明である。
段 4（結論）．$G^\circ$ は連結な単冪アフィン群なので、上の定理（単冪群の主束はアフィンな底の上で自明）により $Q$ は切断をもつ。それは $P$ の切断でもあるので、上の補題（推移関数と切断）の 2 により $P$ は自明である。