6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体
特殊線形群と斜交群の旗多様体の Chow 環を、射影束を積み上げた塔として計算し、旗の各段の商の双対の類が基底を与えること、それらの部分和が正因子の類であること、適当な積の次数がちょうど $1$ になることを示す。これが特別群の特徴づけの証明で最後に確かめる計算で、とくに二つの群が捩れなしであることが分かる。原論文が「容易に得られる」とだけ述べる斜交旗束の Chow 環については、完全な等方旗の束の場合を示し、残る部分を記録する。
前提知識: 旗多様体, 射影束, Chow環, Chern類, 斜交群, 特殊線形群, 正因子
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。空間と Chow 環の記号は本書『0-5 記号と約束』のとおりで、$X$ が完備なら $\chi\colon A(X)\to\mathbf Z$ は次数である。$n$ 次元のベクトル空間 $V$ の完全旗の多様体を $D=D(V)$、その上の標準旗を $0=F_0\subset F_1\subset\dots\subset F_n=D\times V$ と書く。$2n$ 次元の $V$ に非退化な交代形式 $\omega$ があるとき、等方的な部分空間の旗 $V_1\subset\dots\subset V_n$（$\dim V_i=i$）の多様体を $D=D(V,\omega)$、その上の標準旗を $0=F_0\subset F_1\subset\dots\subset F_n$ と書く（下の定義）。どちらでも、本書の約束により
$$\xi_i=c_1\bigl((F_i/F_{i-1})^\vee\bigr),\qquad\eta_i=\xi_1+\dots+\xi_i$$
とおく（旗の各段の商の双対の類。本書『0-5 記号と約束』の「旗の類の符号」）。
本頁の主結果は次の三つである。
- 特殊線形群の旗多様体の Chow 環（原論文 §5、Lemme 8 の証明の中の $\mathrm{SL}(n)$ の計算、印字 5-23〜5-24）：$n\ge2$、$D=D(V)$、$N=n(n-1)/2$ とする。(1) 単項式 $\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_{n-1}^{\alpha_{n-1}}$（$0\le\alpha_i\le n-i$）は $A(D)$ の基底で、$\prod_{i=1}^n(1+\xi_i)=1$ である。(2) $\eta_1,\dots,\eta_{n-1}$ は正因子の類である。(3) $\chi(\xi_1^{n-1}\xi_2^{n-2}\cdots\xi_{n-1})=\chi(\eta_1^{n-1}\eta_2^{n-2}\cdots\eta_{n-1})=1$ で、基底の他の単項式の次数は $0$ である。(4) $\mathrm{SL}(n)$ は捩れなしである。［条件付き：本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「射影束公式と旗束の環」「横断的な底変換」「環の構造と射影公式」「因子と Chern 類」（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『2-3 旗束の環』の主結果「完全旗束の環」、頁『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果「横断的な底変換公式」「非特異な空間での射影公式」、頁『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「関手性・正規化・加法性」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」「Chow 環の射影束公式」、頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「因子と直線束の対応」。どれも第 6 巻で［条件付き］（0-3 の定理は第 0 章の引用で札なし）、線形群の構造（旗多様体の同一視）を引用し、(4) は本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」「準同型と特性準同型の両立」による。足した仮定：$\xi_i$ は旗の各段の商の双対の類。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 斜交群の旗多様体の Chow 環（同じ証明の中の $\mathrm{Sp}(n)$ の計算、印字 5-24〜5-25）：$n\ge1$、$D=D(V,\omega)$ とする。(1) $D$ は斜交群 $\mathrm{Sp}(n)=\mathrm{Sp}(V,\omega)$ の旗多様体 $G/B$ に同型である。(2) 単項式 $\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}$（$0\le\alpha_i\le2n+1-2i$）は $A(D)$ の基底で、$\prod_{i=1}^n(1+\xi_i)(1-\xi_i)=1$、したがって $\xi_1^2,\dots,\xi_n^2$ の基本対称式はどれも $0$ である。(3) $\eta_1,\dots,\eta_n$ は正因子の類である。(4) $\chi(\xi_1^{2n-1}\xi_2^{2n-3}\cdots\xi_n)=\chi(\eta_1^{2n-1}\eta_2^{2n-3}\cdots\eta_n)=1$ で、基底の他の単項式の次数は $0$ である。(5) $\mathrm{Sp}(n)$ は捩れなしである。［条件付き：1 と同じ Chow 環の枠組みの性質（第 6 巻の頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「射影束公式」、頁『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果「基本類の冪の一次独立」を含む）と、線形群の構造（斜交群の旗多様体の同一視）を引用し、(5) は本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の補題「直線束の射の比較」による。$\xi_i$ を旗の各段の商の双対の類とする約束は原論文が明記する約束であり、本書の足した仮定ではない。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 斜交旗束の Chow 環（原論文 §5 の注意 2°、印字 5-26）：斜交ベクトル束に付随するいろいろな斜交旗の束の Chow 環は、前の講演の Théorème 1（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『2-3 旗束の環』の主結果「旗束の環」）の完全な類似で、底の Chow 環と束の Chern 類で表される。［未完結：原論文は形も証明も書かない。完全な等方旗の束の場合は本頁の命題「完全な等方旗束の環」で示したが、部分的な等方旗の束の場合の生成元と関係を本書は立てていない。原論文にも本書にも、外部入力を使った証明も無い］
主結果 1・2 は、射影束公式と Chern 類の加法性を旗の各段に当て、次数は最初の段への射影で一次元下の場合に帰着する帰納法で求める。証明は頁の中の議論と Chow 環の枠組みの性質と第 0 章の古典的前提だけで閉じ、外部入力は使わない。本書の札の基準では、Chow 環の枠組みの性質を使う主結果は［条件付き］になる（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の注意「Chow 環の枠組みに依る主結果の札」）。
背景と動機
原論文の Théorème 3（本書『6-3 特別群の特徴づけ』）は、特別群をアフィン・連結・捩れなしの三条件で特徴づける。その十分性の証明は、旗多様体 $G/B$ の上の正因子の類 $\eta_1,\dots,\eta_N$（$N=\dim G/B$）で積の次数が $1$ になるものがあるという主張（Lemme 8、印字 5-22）に帰着される。原論文は、群を半単純な商と単連結な被覆に取り替え、Chevalley–Bott の補題（本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積」）で $\mathrm{SL}(n)$ と $\mathrm{Sp}(n)$ の積に帰着したうえで、最後にこの二つの型で Lemme 8 を直接確かめる（印字 5-23〜5-25）。本頁はその直接の計算を扱う。
計算の道具は、第 6 巻が示した射影束公式と旗束の環である。$\mathrm{SL}(n)$ の旗多様体は $\mathrm{GL}(n)$ の旗多様体と同じで、前の講演がその Chow 環を完全に決めている（原論文は「exposé 4, théorème 1, corollaire 1」と引く）。$\mathrm{Sp}(n)$ の旗多様体も、等方的な直線を一本ずつ選ぶ射影束の塔になる。原論文は次数の計算を「容易に」とだけ書くので、本書は最初の段への射影で次元を一つ下げる帰納法として書き出す。
一つだけ約束に注意が要る。原論文は斜交群の計算でだけ、$\xi_i$ を「双対の束に付随する類」と明記し（印字 5-24）、特殊線形群の計算では書かない（印字 5-23）。本書は両方で双対の類をとる。この約束は第 6 巻の旗束の分裂の因子の類と符号が逆で（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の注意「旗の類の符号と第 6 巻の分裂の因子」）、外すと正因子の主張が偽になり、$N$ が奇数なら次数 $1$ の主張も偽になる（下の反例「反例：部分直線束の類を使うと正因子の主張が破れる」）。
定義と準備
旗多様体を射影束の塔として定めておく。こうすると、Chow 環の基底は射影束公式を段ごとに当てるだけで分かり、最初の段への射影のファイバーがまた同じ型の旗多様体になる。
$V$ を $n$ 次元のベクトル空間とする。$D_1=P(V)$（$V$ の直線の空間）とし、$D_1$ の上の標準的な部分直線束を $F_1=\mathcal O(-1)\subset D_1\times V$ とする。$i\ge2$ について、$D_{i-1}$ とその上の部分束の列 $F_1\subset\dots\subset F_{i-1}\subset D_{i-1}\times V$（$F_j$ の階数は $j$）が定まったとき、$D_i=P\bigl((D_{i-1}\times V)/F_{i-1}\bigr)$ とし、その標準的な部分直線束の逆像を $F_i$ とする。$D=D(V)=D_{n-1}$ を $V$ の完全旗多様体といい、$F_n=D\times V$ とおいた列 $0=F_0\subset F_1\subset\dots\subset F_n$ を標準旗という。$D$ の点は完全旗 $V_1\subset\dots\subset V_{n-1}\subset V$（$\dim V_i=i$）で、$F_i$ のその点の上のファイバーは $V_i$ である。
各段は階数 $n-i+1$ のベクトル束の射影束なので、$D$ は一点の上の射影束の塔で、非特異な射影的空間であり、次元は $\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)=n(n-1)/2$ である。これは第 6 巻の完全旗束（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「射影束公式と旗束の環」の (2)）の底を一点にとったものと同じである。$D_i\to D_{i-1}$ の標準的な部分直線束は $F_i/F_{i-1}$ なので、その射影束の基本類は $c_1\bigl((F_i/F_{i-1})^\vee\bigr)=\xi_i$ である。
斜交の場合は、同じ塔を等方的な直線だけで作る。交代形式では、どの直線も等方的であることが効く。
$V$ を $2n$ 次元のベクトル空間、$\omega$ を $V$ の非退化な交代形式とする。部分空間 $W$ の直交を $W^\perp=\{v:\omega(v,W)=0\}$ と書く。$D_0$ を一点、$F_0=0$ とし、$i=1,\dots,n$ について、$D_{i-1}$ とその上の等方的な部分束の列 $F_1\subset\dots\subset F_{i-1}\subset D_{i-1}\times V$ が定まったとき、
$$E_i=F_{i-1}^\perp/F_{i-1},\qquad D_i=P(E_i)$$
とし、$E_i$ の標準的な部分直線束の $F_{i-1}^\perp$ での逆像を $F_i$ とする。$D=D(V,\omega)=D_n$ を斜交旗多様体といい、$0=F_0\subset F_1\subset\dots\subset F_n$ を標準旗という。$D$ の点は等方的な部分空間の旗 $V_1\subset\dots\subset V_n$（$\dim V_i=i$）である。
$F_{i-1}^\perp$ は、$\omega$ が定める全射 $D_{i-1}\times V\to F_{i-1}^\vee$ の核なので、階数 $2n-i+1$ の部分束であり、$E_i$ は階数 $2n-2i+2$ のベクトル束である。$F_{i-1}$ が等方的なら $F_{i-1}\subset F_{i-1}^\perp$ で、$E_i$ の直線 $\ell$ の逆像 $F_i$ も等方的である。実際、$F_i$ の元は $F_{i-1}$ の元と $\ell$ の代表 $v$ の和で、$\omega(v,v)=0$（交代形式）、$\omega(v,F_{i-1})=0$ だからである。したがって塔は矛盾なく定まり、$D$ は一点の上の射影束の塔で、非特異な射影的空間で、次元は $\sum_{i=1}^n(2n-2i+1)=n^2$ である。ここでも $D_i\to D_{i-1}$ の基本類は $\xi_i$ である。$F_n$ は階数 $n$ の等方的な部分束なので $F_n^\perp=F_n$ で、$D\times V$ は
$$0\subset F_1\subset\dots\subset F_n=F_n^\perp\subset F_{n-1}^\perp\subset\dots\subset F_0^\perp=D\times V$$
と分解される。$\omega$ は同型 $(D\times V)/F_i^\perp\cong F_i^\vee$ を与えるので、$F_{i-1}^\perp/F_i^\perp\cong\ker(F_i^\vee\to F_{i-1}^\vee)=(F_i/F_{i-1})^\vee$ である。
$n=1$ なら $V=k^2$ のすべての直線が等方的なので $D(V,\omega)=P(V)=\mathbf P^1$ である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は、Chow 環の性質については前の講演 Gro58b、旗多様体の同一視については Borel Bor56 と原論文が引く講演 Laz58 である。要点は本書『0-4 Chow 環の枠組み』と本書『0-2 線形代数群と旗多様体』にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。
- 射影束公式と旗束の環：$X\in V$ と $X$ の上の階数 $p$ のベクトル束 $E$ について、$P(E)\in V$ で、$\xi_E=c_1(\mathcal O(1))$ の冪 $1,\xi_E,\dots,\xi_E^{p-1}$ は $A(P(E))$ の $A(X)$ 加群としての基底であり、$X$ が一点なら $\chi(\xi_E^{p-1})=1$ である。完全旗多様体 $D(k^n)$ では $A(D)\cong\mathbf Z[\xi_1,\dots,\xi_n]/(\sigma_k(\xi)\ (1\le k\le n))$ である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「射影束公式と旗束の環」の (1)(2) と、その後の段の「$E$ が自明な束なら」。第 6 巻の頁『2-3 旗束の環』の主結果「完全旗束の環」、頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「射影束公式」、頁『2-1 直線束の類と射影束の一次独立』の主結果「基本類の冪の一次独立」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環の射影束公式」）。
- 環の構造と射影公式：引き戻しは環準同型で、順像は合成と両立し、固有な $f$ について $f_*(z\cdot f^*x)=f_*(z)\cdot x$ である。一点の Chow 環は $\mathbf Z$ で、完備で純次元 $m$ の空間の次数 $\chi$ は $A^m$ の外で $0$ である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定義「非特異準射影空間の Chow 環」と定理「環の構造と射影公式」。第 6 巻の頁『1-1 データと公理と積の構造』の主結果「可換環の構造」、頁『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果「非特異な空間での射影公式」）。
- 横断的な底変換：固有な $f\colon X\to S$ と $g\colon Y\to S$（$X,Y,S\in V$）について、$f\times g$ が対角に横断的なら $g^*f_*=\psi_*\varphi^*$ である。$g$ の接写像が各点で全射なら、$f\times g$ は対角に横断的である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「横断的な底変換」の後の段の議論を $f$ と $g$ を入れ替えて当てる。第 6 巻の頁『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果「横断的な底変換公式」）。
- 因子と Chern 類：$X\in V$ で $c_1\colon\operatorname{Pic}(X)\to A^1(X)$ は群の同型で、直線束の正則な切断がどの既約成分の上でも恒等的に $0$ でなければ、その零点の因子（正因子）の類は $c_1$ に等しい。Chern 類は引き戻しと両立し、完全列について乗法的である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (1)(2)。第 6 巻の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「因子と直線束の対応」、頁『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「関手性・正規化・加法性」）。
- 線形群の構造（旗多様体の同一視）：$\mathrm{SL}(n)$ は完全旗に推移的に作用し、標準的な旗の固定群 $B$ は Borel 部分群で、$gB\mapsto g\cdot(\text{標準的な旗})$ は同型 $\mathrm{SL}(n)/B\cong D(k^n)$ を与える。$\mathrm{Sp}(V,\omega)$ についても同じく、等方的な旗の多様体が旗多様体 $G/B$ に同型である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」と例「斜交群とその旗多様体」、定理「線形群の構造」）。旗多様体は既約である（同じ定理の (2)）。
完結の入力として、行列式の線形代数を使う。部分束の列 $0=F_0\subset F_1\subset\dots\subset F_i$ の各段の商が直線束なら、$\det F_i\cong\bigotimes_{j\le i}F_j/F_{j-1}$ である（標準的な同型）。事実 4 の群の同型と合わせて $c_1(\det F_i^\vee)=\sum_{j\le i}c_1\bigl((F_j/F_{j-1})^\vee\bigr)=\eta_i$ となる。
主結果と証明
次数の計算はどちらの群でも同じ型の帰納法になる。旗多様体から最初の直線 $V_1$ を取り出す射影で、ファイバーは一次元下の旗多様体である。その一段を補題にしておく。
最初の段への射影
$W$ を $m$ 次元のベクトル空間（$m\ge1$）、$h=c_1(\mathcal O(1))\in A^1(P(W))$ とする。$Y\in V$ を完備な空間、$\pi\colon Y\to P(W)$ を接写像が各点で全射な射とし、点 $x\in P(W)$ のファイバー $Y_x=\pi^{-1}(x)$ が $V$ に属するとする。包含を $j\colon Y_x\to Y$、$\zeta=\pi^*h$ とおく。
(1) $\zeta^{m-1}=j_*(1_{Y_x})=[Y_x]$、$\zeta^m=0$、$j^*\zeta=0$ である。
(2) $w\in A(Y)$ について $\chi(\zeta^{m-1}w)=\chi(j^*w)$ である（右辺は $Y_x$ の次数）。
(3) $u_1,\dots,u_r\in A(Y)$ について $\zeta^{m-1}\prod_k(\zeta+u_k)=\zeta^{m-1}\prod_ku_k$ で、したがって $\chi\bigl(\zeta^{m-1}\prod_k(\zeta+u_k)\bigr)=\chi\bigl(\prod_kj^*u_k\bigr)$ である。
段 1（射影空間）．引用する事実 1 を一点の上の $W$ に当てると、$A(P(W))=\bigoplus_{i=0}^{m-1}\mathbf Zh^i$、$h^i\in A^i$、$\chi(h^{m-1})=1$ である。$A^m(P(W))=0$ なので $h^m=0$ である。点 $x$ の包含を $i_x$ とすると $[x]=i_{x*}(1)\in A^{m-1}(P(W))=\mathbf Zh^{m-1}$ で、順像は合成と両立するので $\chi([x])=1$ である。よって $[x]=h^{m-1}$ である。
段 2（ファイバーの類）．引用する事実 3 を $f=i_x\colon\{x\}\to P(W)$（固有）と $g=\pi$ に当てる。$\pi$ の接写像は各点で全射なので $f\times g$ は対角に横断的で、ファイバー積は $Y_x$、射影は $\varphi\colon Y_x\to\{x\}$ と $\psi=j$ である。よって $\pi^*[x]=\pi^*i_{x*}(1)=j_*\varphi^*(1)=j_*(1_{Y_x})$ である。$\pi^*$ は環準同型なので、段 1 から $\zeta^{m-1}=\pi^*(h^{m-1})=j_*(1_{Y_x})$、$\zeta^m=\pi^*(h^m)=0$ である。$\pi\circ j$ は一点 $\{x\}$ を経由し、$A^1(\{x\})=0$ なので $j^*\zeta=(\pi\circ j)^*h=0$ である。
段 3（射影公式）．射影公式により $\zeta^{m-1}w=j_*(1_{Y_x})\cdot w=j_*(j^*w)$ で、$\chi_Y\circ j_*=\chi_{Y_x}$（順像の合成）だから $\chi(\zeta^{m-1}w)=\chi(j^*w)$ である。
段 4（展開）．$\prod_k(\zeta+u_k)=\prod_ku_k+\zeta\cdot y$（$y\in A(Y)$）と展開でき、$\zeta^{m-1}\cdot\zeta\cdot y=\zeta^m y=0$ である。残りは段 3 と $j^*$ が環準同型であることから出る。
補題の (3) が帰納法の一歩である。$\zeta$ を含む因子の積から、$\zeta$ をちょうど $m-1$ 個だけ取り出した項しか残らず、残りの因子はファイバーの上の類に替わる。
特殊線形群
$n\ge2$、$V=k^n$、$D=D(V)$、$N=n(n-1)/2$ とし、$\xi_i$、$\eta_i$ は上のとおりとする。
(1) 単項式 $\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_{n-1}^{\alpha_{n-1}}$（$0\le\alpha_i\le n-i$）は $A(D)$ の基底で、$\prod_{i=1}^n(1+\xi_i)=1$、すなわち $\sigma_k(\xi_1,\dots,\xi_n)=0$（$1\le k\le n$）である。
(2) $1\le i\le n-1$ について、$\eta_i=c_1(\det F_i^\vee)$ は正因子の類である。
(3) $\chi(\xi_1^{n-1}\xi_2^{n-2}\cdots\xi_{n-1})=1$、$\chi(\eta_1^{n-1}\eta_2^{n-2}\cdots\eta_{n-1})=1$ で、(1) の基底の他の単項式の次数は $0$ である。
(4) $\mathrm{SL}(n)$ の標準的な旗の固定群（上三角行列の群）を $B$、第 $i$ 対角成分の指標を $\varepsilon_i\in\hat B$ とし、$\mathrm{SL}(n)/B\cong D$ と同一視すると、$c_{\mathrm{SL}(n)}(-\varepsilon_i)=\xi_i$、$c_{\mathrm{SL}(n)}\bigl(-(\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_i)\bigr)=\eta_i$ で、$\mathrm{SL}(n)$ は捩れなしである。
段 1（基底と関係）．引用する事実 1 により $A(D)\cong\mathbf Z[\xi_1,\dots,\xi_n]/(\sigma_k(\xi)\ (1\le k\le n))$ で、$\xi^\alpha$（$0\le\alpha_i\le n-i$）はその基底である。$\prod_i(1+\xi_i)=\sum_k\sigma_k(\xi)=1$ である。これは次の形でも見える。自明な束 $D\times V^\vee$ は $(D\times V/F_i)^\vee$ の列で分解され、各段の商は $(F_i/F_{i-1})^\vee$ なので、引用する事実 4 の乗法性により $1=c(D\times V^\vee)=\prod_i(1+\xi_i)$ である（一点から引き戻した束の Chern 類は $1$）。
段 2（正因子）．$\det F_i$ は自明な束 $D\times\Lambda^iV$ の部分直線束である。線形形式 $\lambda\colon\Lambda^iV\to k$ を $\det F_i$ に制限すると、$\det F_i^\vee$ の正則な切断 $s_\lambda$ が得られる。$\lambda$ を $\lambda(e_1\wedge\dots\wedge e_i)=1$ で他の $e_{j_1}\wedge\dots\wedge e_{j_i}$ で $0$ となるようにとると、$s_\lambda$ は標準的な旗 $V_j=ke_1+\dots+ke_j$ の点で $0$ でない。$D$ は既約（引用する事実 5）なので $s_\lambda$ は恒等的に $0$ でなく、その零点の因子は正因子で、類は $c_1(\det F_i^\vee)=\eta_i$ である（引用する事実 4 と、その後の行列式の段）。
段 3（次数、$n=2$）．$D=P(V)=\mathbf P^1$、$F_1=\mathcal O(-1)$ で $\xi_1=h$、$\eta_1=\xi_1$ である。引用する事実 1 により $\chi(h)=1$ である。基底は $1,\xi_1$ で、$\chi(1)=0$ である。
段 4（次数、帰納法）．$n\ge3$ とし、$n-1$ で (3) が成り立つとする。$\pi\colon D\to D_1=P(V)$ を塔の射影の合成とする。各段は射影束の射影なので接写像は各点で全射である。点 $x\in P(V)$ の上のファイバーは、$V_1=x$ の旗の全体で、$V_i\mapsto V_i/x$ により $V/x$ の塔そのものになる。すなわち $D_x\cong D(V/x)$ で、その標準旗 $F'_l$ について $F_{l+1}/x|_{D_x}=F'_l$、したがって $j^*(F_i/F_{i-1})\cong F'_{i-1}/F'_{i-2}$（$i\ge2$）である。ゆえに $j^*\xi_i=\xi'_{i-1}$（$i\ge2$）である。また $F_1=\pi^*\mathcal O(-1)$ なので $\xi_1=\pi^*h=\zeta$ で、上の補題（最初の段への射影と次数）により $j^*\xi_1=0$ である。$u_i=\xi_2+\dots+\xi_i$ とおくと $\eta_i=\zeta+u_i$、$j^*u_i=\eta'_{i-1}$ で、
$$\prod_{i=1}^{n-1}\eta_i^{\,n-i}=\zeta^{n-1}\prod_{i=2}^{n-1}(\zeta+u_i)^{n-i}$$
である。補題の (3)（$m=n$）により、その次数は $\chi\bigl(\prod_{i=2}^{n-1}\eta'^{\,n-i}_{i-1}\bigr)=\chi\bigl(\prod_{l=1}^{n-2}\eta'^{\,(n-1)-l}_l\bigr)$ で、帰納法の仮定により $1$ である。同じく $\xi_1^{n-1}\prod_{i\ge2}\xi_i^{n-i}$ の次数は、補題の (2) により $\chi\bigl(\prod_{l=1}^{n-2}\xi'^{\,(n-1)-l}_l\bigr)=1$ である。
段 5（他の単項式）．$D$ は純次元 $N$ なので、$\chi$ は $A^N(D)$ の外で $0$ である（引用する事実 2）。$\xi^\alpha$ の次数は $\sum_i\alpha_i\le\sum_i(n-i)=N$ で、等号は $\alpha_i=n-i$（すべての $i$）のときに限る。
段 6（捩れなし）．本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」により、$\mathrm{GL}(n)$ の上三角行列の群 $B'$ と第 $i$ 対角成分の指標 $\varepsilon'_i$ について、$\mathrm{GL}(n)/B'\cong D$ の同一視のもとで $c_{\mathrm{GL}(n)}(\varepsilon'_i)=-\xi_i$ である。包含 $u\colon\mathrm{SL}(n)\to\mathrm{GL}(n)$ は $B=B'\cap\mathrm{SL}(n)$ を $B'$ に写し、誘導される $\bar u\colon\mathrm{SL}(n)/B\to\mathrm{GL}(n)/B'$ は、二つの同一視（どちらも $gB\mapsto g\cdot(\text{標準的な旗})$）のもとで $D$ の恒等写像である。同じ頁の主結果「準同型と特性準同型の両立」により $c_{\mathrm{SL}(n)}(\varepsilon'_i\circ u)=\bar u^*c_{\mathrm{GL}(n)}(\varepsilon'_i)=-\xi_i$ で、$\varepsilon'_i\circ u=\varepsilon_i$ である。和をとって $\eta_i$ の式も得る。(1) により $A(D)$ は環として $\xi_1,\dots,\xi_{n-1}$ で生成されるので、部分環 $\operatorname{Im}c_{\mathrm{SL}(n)}$ は $A(D)$ 全体で、$\mathrm{SL}(n)$ は捩れなしである。
(2)(3) から、$\eta_i$ を $n-i$ 個ずつ並べた $N$ 個の正因子の類の積の次数が $1$ になる。これが $\mathrm{SL}(n)$ についての Lemme 8 で、本書『6-3 特別群の特徴づけ』の主結果「積の次数が 1 になる正因子の類」で使う。$\eta_i$ は、基本の支配的な重み $\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_i$（$\Lambda^iV$ の最高重み）の符号を変えた指標 $-(\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_i)$ の像であり、原論文の言う基本の支配的な重み（「poids dominants fondamentaux」）に付随する類で、$\det F_i^\vee$ は Plücker 埋め込みの $\mathcal O(1)$ の引き戻しである。
原論文の特殊線形群の計算（印字 5-23〜5-24）には次の乱れがある。本頁の主張は訂正した形で述べた。
(a) 空間の次元を $n$ と置きながら、単項式の添字と範囲では $p$ と書く（$\xi_{p-1}$、$0\le\alpha_i\le p-i$）。$p$ は $n$ と読む。
(b) $\eta_i=\xi_1+\dots+\xi_i$ の範囲を「$(0\le i\le p-1)$」と印字する。$\eta_0$ は定義されないので、下限は $1$ と読む。
(c) 次数が消える条件を、指数の組と $(p-1,\dots,1)$ の比較記号で書く。基底の単項式のうち次数 $N$ のものは $(n-1,\dots,1)$ だけなので、「次数が $N$ 未満の単項式」と読む（上の定理の段 5）。
(d) 次数の計算に使う関係を「$\prod(1+\xi_i)=0$」と印字する。印字のままでは次数 $0$ の成分で $1=0$ になる。$=1$ と読む（上の定理の段 1）。
基底の範囲 $0\le\alpha_i\le p-i$ そのものは（$p$ を $n$ と読めば）正しい。原論文はこの計算で $\xi_i$ の符号の約束を書かず、「自明な束の自然な分裂の階数 1 の因子に対応する因子の類」とだけ言う。本書の双対の類の約束（本書『0-5 記号と約束』）で読むと、原論文の次数の式と正因子の主張がそのまま成り立つ。
次に斜交群に進む。塔の各段の束が $V$ の商でなく $F_{i-1}^\perp/F_{i-1}$ になる点だけが違い、基底の指数の上限と最高次の単項式の形がそこから決まる。
斜交群
$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n,f_n,\dots,f_1$ を $\omega(e_i,f_j)=\delta_{ij}$、$\omega(e_i,e_j)=\omega(f_i,f_j)=0$ となるようにとり、標準的な等方旗を $V_i^0=ke_1+\dots+ke_i$（$1\le i\le n$）とする。$(V_i^0)^\perp$ は $e_1,\dots,e_n,f_n,\dots,f_{i+1}$ で張られる。
$n\ge1$、$V$ を $2n$ 次元、$\omega$ を非退化な交代形式、$D=D(V,\omega)$、$G=\mathrm{Sp}(V,\omega)$ とし、$\xi_i$、$\eta_i$（$1\le i\le n$）は上のとおりとする。
(1) 標準的な等方旗の固定群 $B$ は、基底 $e_1,\dots,e_n,f_n,\dots,f_1$ で上三角になる $G$ の元の全体で、Borel 部分群である。$gB\mapsto g\cdot(V_1^0\subset\dots\subset V_n^0)$ は同型 $G/B\cong D$ を与える。
(2) 単項式 $\xi^\alpha=\xi_1^{\alpha_1}\cdots\xi_n^{\alpha_n}$（$0\le\alpha_i\le2n+1-2i$）は $A(D)$ の基底である。$\prod_{i=1}^n(1+\xi_i)(1-\xi_i)=1$ で、したがって $\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)=0$（$1\le k\le n$）である。
(3) $\eta_i=c_1(\det F_i^\vee)$（$1\le i\le n$）は正因子の類である。
(4) $\chi(\xi_1^{2n-1}\xi_2^{2n-3}\cdots\xi_n)=1$、$\chi(\eta_1^{2n-1}\eta_2^{2n-3}\cdots\eta_n)=1$ で、(2) の基底の他の単項式の次数は $0$ である。
(5) $B$ の元の第 $i$ 対角成分（$e_i$ の係数、$1\le i\le n$）の指標を $\varepsilon_i$ とすると、(1) の同一視のもとで $c_G(-\varepsilon_i)=\xi_i$、$c_G\bigl(-(\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_i)\bigr)=\eta_i$ で、$\mathrm{Sp}(n)$ は捩れなしである。
段 1（同一視）．$G$ が等方旗に推移的に作用することは線形代数である。等方旗 $V_1\subset\dots\subset V_n$ をとると $V_n$ は $n$ 次元の等方部分空間で、$V_n\cap L=0$ となる $n$ 次元の等方部分空間 $L$ がとれ、$\omega$ は $L\cong V_n^\vee$ を与える。$V_i=ke'_1+\dots+ke'_i$ となる $V_n$ の基底 $e'_i$ と、その双対基底 $f'_i\in L$ をとれば、$e_i\mapsto e'_i$、$f_i\mapsto f'_i$ は $G$ の元で、標準的な等方旗を与えた旗に写す。固定群 $B$ は $V_i^0$ とその直交を保つので、基底 $e_1,\dots,e_n,f_n,\dots,f_1$ の順の完全旗を保ち、上三角である（逆も同じ）。$B$ が連結で Borel 部分群であること、軌道の写像が代数的空間の同型 $G/B\cong D$ を与えることは引用する事実 5 である。とくに $D$ は既約である。
段 2（基底）．$D_i=P(E_i)\to D_{i-1}$ で $E_i$ の階数は $2n-2i+2$、基本類は $\xi_i$ である。引用する事実 1 により $A(D_i)$ は $A(D_{i-1})$ 加群として $\xi_i^{a}$（$0\le a\le2n-2i+1$）を基底にもつ。$D_0$ は一点で $A(D_0)=\mathbf Z$ である。自由加群の上の自由加群の基底は基底の積なので、$\xi^\alpha$（$0\le\alpha_i\le2n+1-2i$）は $A(D)$ の基底である。
段 3（関係）．定義（斜交旗多様体と標準旗）の後の段で見たとおり、自明な束 $D\times V$ は、商が $F_i/F_{i-1}$（$1\le i\le n$）と $F_{i-1}^\perp/F_i^\perp\cong(F_i/F_{i-1})^\vee$（$1\le i\le n$）である列で分解される。引用する事実 4 の乗法性と、自明な束の Chern 類が $1$ であることから
$$1=c(D\times V)=\prod_{i=1}^n\bigl(1+c_1(F_i/F_{i-1})\bigr)\bigl(1+c_1((F_i/F_{i-1})^\vee)\bigr)=\prod_{i=1}^n(1-\xi_i)(1+\xi_i)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)$$
である。次数 $2k$ の成分を比べて $\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)=0$（$1\le k\le n$）を得る。
段 4（正因子）．特殊線形群の場合の段 2 と同じである。$\det F_i\subset D\times\Lambda^iV$ に $\lambda(e_1\wedge\dots\wedge e_i)=1$ となる線形形式を制限した切断は標準的な等方旗の点で $0$ でなく、段 1 により $D$ は既約なので、その零点の因子は類 $\eta_i$ の正因子である。
段 5（次数、$n=1$）．$D=P(V)=\mathbf P^1$、$\xi_1=h$ で、$\chi(\xi_1)=\chi(\eta_1)=1$ である。
段 6（次数、帰納法）．$n\ge2$ とし、$n-1$ で (4) が成り立つとする。$\pi\colon D\to D_1=P(V)$ を塔の射影の合成とすると、接写像は各点で全射である。点 $x\in P(V)$ の上では、$V_1=x$ の等方旗の $V_i$ はどれも $x^\perp$ に含まれ、$V_i\mapsto V_i/x$ は $V'=x^\perp/x$（$2n-2$ 次元、$\omega$ が誘導する非退化な交代形式 $\omega'$ をもつ）の等方旗を与える。$x\subset F_{i-1}$ なので $F_{i-1}^\perp\subset x^\perp$ で、$F_{i-1}^\perp/x$ は $F_{i-1}/x$ の $\omega'$ に関する直交である。よって塔の各段の束は、$D_x$ の上で $V'$ の塔の束に一致し、$D_x\cong D(V',\omega')$、$j^*\xi_i=\xi'_{i-1}$（$i\ge2$）である。$\xi_1=\pi^*h=\zeta$ で、$u_i=\xi_2+\dots+\xi_i$ とおくと $\eta_i=\zeta+u_i$、$j^*u_i=\eta'_{i-1}$ である。上の補題（最初の段への射影と次数）の (3)（$m=2n$）により
$$\chi\Bigl(\prod_{i=1}^n\eta_i^{\,2n-2i+1}\Bigr)=\chi\Bigl(\zeta^{2n-1}\prod_{i=2}^n(\zeta+u_i)^{2n-2i+1}\Bigr)=\chi\Bigl(\prod_{l=1}^{n-1}\eta'^{\,2(n-1)-2l+1}_l\Bigr)$$
で、帰納法の仮定により $1$ である（$i=l+1$ で $2n-2i+1=2(n-1)-2l+1$）。$\xi$ の単項式も補題の (2) で同じく $1$ である。
段 7（他の単項式）．$\xi^\alpha$ の次数は $\sum_i\alpha_i\le\sum_i(2n+1-2i)=n^2=\dim D$ で、等号は $\alpha_i=2n+1-2i$ のときに限る。$\chi$ は $A^{n^2}(D)$ の外で $0$ である。
段 8（捩れなし）．$b\in B$ は上三角なので $be_i\equiv\varepsilon_i(b)e_i$（$V_{i-1}^0$ を法として）である。$(g,v)\mapsto v\cdot ge_i\bmod gV_{i-1}^0$ は、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」の証明の段 2 と同じく、付随直線束 $L_{\varepsilon_i}$ から $F_i/F_{i-1}$ への、ファイバーで線形な同型な射を定める（点 $gB$ の上の $F_i$ のファイバーは $gV_i^0$ で、$ge_i\notin gV_{i-1}^0$）。同じ頁の補題「直線束の射の比較」により $L_{\varepsilon_i}\cong F_i/F_{i-1}$ で、$c_G(\varepsilon_i)=-\xi_i$ である。(2) により $A(D)$ は環として $\xi_1,\dots,\xi_n$ で生成されるので、$c_G$ は全射で、$\mathrm{Sp}(n)$ は捩れなしである。
(3)(4) から、$\eta_i$ を $2n-2i+1$ 個ずつ並べた $n^2$ 個の正因子の類の積の次数が $1$ になる。これが $\mathrm{Sp}(n)$ についての Lemme 8 である。基底の個数は $\prod_{i=1}^n(2n-2i+2)=2^nn!$ で、特殊線形群の場合の $n!$ とともに、それぞれの Weyl 群の位数に等しい（本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』で使う）。
原論文の斜交群の計算（印字 5-24〜5-25）には次の乱れがある。本頁の主張は訂正した形で述べた。
(a) 旗の条件を「$i< n$ について $V_i$ は全等方」と書き、続けて $F_i$（$i\le n$）を全等方とする。$i=n$ でラグランジュ部分空間を含めて $i\le n$ と読む。
(b) 基底の範囲を「$0\le\alpha_i\le2n-1-2i$」と印字する。印字のままでは $i=n$ で上限が負になる。直前の射影束の記述（ファイバーの次元は $2n-2i+1$）と、次の頁の最高次の単項式 $\xi_1^{2n-1}\xi_2^{2n-3}\cdots\xi_n$ が与える $2n+1-2i$ と読む。
(c) 基底を「$\mathbf Z$ 加群 $D$ の基底」と書く。$A(D)$ の基底と読む。
(d) 関係を「$E'$ が自明なので」から出す。$E$（$D$ の上の自明な斜交束）と読む（どちらも自明な束で、結論は同じ）。
(e) 関係を「$\prod(1+\xi_i)(1-\xi_i)=0$」「$\prod(1-\xi_i^2)=0$」と印字する。印字のままでは次数 $0$ の成分で $1=0$ になる。同じ段の帰結「$\xi_i^2$ の基本対称式が消える」が正しい形を与えるので、$=1$ と読む。
(f) $\eta_i$ の範囲を「$(0\le i\le n)$」と印字する。下限は $1$ と読む。
(g) 次数が消える条件を $\chi(\xi_1^{2n-1}\cdots\xi_n)=0$ と書き、条件の変数を指数でなく $\xi_i$ で書く。次の行の等式が正しい形を与えるので、「$\alpha\ne(2n-1,2n-3,\dots,1)$ なら $\chi(\xi^\alpha)=0$」と読む。
(h) $\eta_i$ を「$V$ の外冪の中の既約な線形表現」に付随させる。$n\ge2$、$i\ge2$ では $\Lambda^iV$ は既約でなく（$\omega\wedge\Lambda^{i-2}V$ を含む）、最高重みの既約成分の意と読む。正因子であることの証明には、上の段 4 のとおり $\Lambda^iV$ の線形形式で足りる。
原論文は $\xi_i$ を「双対の束に付随する類」と明記し（印字 5-24）、本書の約束はこれに合わせたものである。
斜交旗束
原論文は §5 の注意 2° で、斜交群の計算の副産物として、斜交束に付随する斜交旗束の Chow 環の「完全な類似」が容易に得られると述べる（印字 5-26）。本書は、完全な等方旗の束について、上の証明を底の上で繰り返し、第 6 巻の普遍分解代数の基底に帰着して示す。
$X\in V$、$E$ を $X$ 上の階数 $2n$ のベクトル束で、ファイバーごとに非退化な交代形式 $\omega\colon E\times E\to X\times k$ をもつもの（斜交束）とする。定義（斜交旗多様体と標準旗）の塔を $X$ の上で作ったもの（$D_0=X$、$E_i=F_{i-1}^\perp/F_{i-1}$、$D_i=P(E_i)$）を $\pi\colon D(E)=D_n\to X$、$\xi_i=c_1\bigl((F_i/F_{i-1})^\vee\bigr)$ とする。
(1) $\xi^\alpha$（$0\le\alpha_i\le2n+1-2i$）は $A(D(E))$ の $A(X)$ 加群としての基底である。
(2) $\pi^*c(E)=\prod_{i=1}^n(1-\xi_i^2)$ で、$E$ の奇数次の Chern 類は $A(X)$ で $0$ である。
(3) $\xi_i\mapsto\xi_i$ は $A(X)$ 代数の同型
$$A(X)[\xi_1,\dots,\xi_n]\big/\bigl(\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)-(-1)^kc_{2k}(E)\ (1\le k\le n)\bigr)\cong A(D(E))$$
を与える。$X$ が一点なら $A(D(V,\omega))\cong\mathbf Z[\xi_1,\dots,\xi_n]/(\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)\ (1\le k\le n))$ で、上の定理（斜交群の旗多様体の Chow 環）の (2) の関係が関係のイデアルを生成する。
段 1（基底）．上の定理（斜交群の旗多様体の Chow 環）の段 2 を $X$ の上で行う。$F_{i-1}^\perp$ は $\omega$ が定める全射 $\pi_{i-1}^*E\to F_{i-1}^\vee$ の核で部分束、$E_i$ は階数 $2n-2i+2$ のベクトル束であり、引用する事実 1 を段ごとに当てて (1) を得る。基底は $1$ を含むので、$\pi^*\colon A(X)\to A(D(E))$ は単射である。
段 2（関係）．同じ定理の段 3 を $\pi^*E$ に当てると、$\pi^*c(E)=\prod_i(1-\xi_i)(1+\xi_i)=\prod_i(1-\xi_i^2)$ である。右辺は偶数次の成分しかもたないので $\pi^*c_{2k+1}(E)=0$ で、段 1 の単射性により $c_{2k+1}(E)=0$ である。次数 $2k$ の成分から $\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)=(-1)^kc_{2k}(E)$ を得る。
段 3（代数の側の基底）．$A=A(X)$、$a_k=(-1)^kc_{2k}(E)$ とし、$R=A[\xi_1,\dots,\xi_n]/(\sigma_k(\xi_1^2,\dots,\xi_n^2)-a_k)$ とおく。$y_i=\xi_i^2$ とすると、多項式環 $A[\xi_1,\dots,\xi_n]$ は $A[y_1,\dots,y_n]$ 加群として $\xi^\varepsilon$（$\varepsilon_i\in\{0,1\}$）を基底にもつ。$C=A[y]/(\sigma_k(y)-a_k)$ は $n$ 変数の普遍分解代数で、第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『2-3 旗束の環』の主結果「普遍分解代数の基底」（初等的な代数で、第 6 巻で［完結］）により $y^\beta$（$0\le\beta_i\le n-i$）を $A$ 基底にもつ。$R=A[\xi]\otimes_{A[y]}C$ なので、$R$ は $C$ 加群として $\xi^\varepsilon$ を基底にもち、$A$ 加群として $\xi^\varepsilon y^\beta=\prod_i\xi_i^{\varepsilon_i+2\beta_i}$ を基底にもつ。$\varepsilon_i+2\beta_i$ は $0$ から $2(n-i)+1=2n+1-2i$ までの整数をちょうど一度ずつとる。
段 4（同型）．段 2 により $\xi_i\mapsto\xi_i$ は $A$ 代数の準同型 $R\to A(D(E))$ を定め、段 3 の基底 $\xi^\alpha$ を段 1 の基底 $\xi^\alpha$ に写すので同型である。
これで、原論文の言う類似のうち最も基本的な場合、すなわち型が $(1,\dots,1)$ の場合は閉じた。関係は、第 6 巻の完全旗束の関係 $\sigma_k(\xi)=(-1)^kc_k(E)$（本書の符号）の $\xi_i$ を $\pm\xi_i$ の組に替えた形である。
原論文 §5 の注意 2°（印字 5-26）は、特殊線形群の $A(G/B)$ の構造が前の講演の Théorème 1（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『2-3 旗束の環』の主結果「旗束の環」）に「非常に近い形」であることを指摘し、続けて、斜交束に付随させられるいろいろな斜交旗の束の Chow 環を与える、この定理の完全な類似を得るのは容易だと述べる。前の講演の Théorème 1 は、完全旗の束だけでなく、型 $(p_1,\dots,p_k)$ をもつ旗の束の Chow 環を、底の Chow 環と各段の商の Chern 類を生成元とし、全 Chern 類の分解を関係として表す定理である。したがって原論文の主張は、等方的な部分旗の型ごとに、同じ形の表示があるという主張と読むのが自然である。
本書が示したのは、型が完全な等方旗の場合の上の命題（完全な等方旗束の環）だけである。部分的な等方旗（たとえばラグランジュ部分空間だけの束）の束について、生成元をどの Chern 類にとり、関係のイデアルが何で生成されるかを示すには、第 6 巻の同じ頁の主結果「部分代数の表示」の $\xi_i$ を $\pm\xi_i$ の組に替えた類似が要る。本書はそれを立てていない。原論文は形も証明も書かず、本書も外部入力を使った証明を与えないので、主張全体を［未完結］とする。原論文は比較のために前の講演の §3 の注意 3° を挙げる。そこでの一般の等質空間の計算の所見は、第 6 巻の同じ頁の注意「等質空間の環の一般の計算と整数係数での障害」で［未完結］とされている。
特殊線形群と斜交群の旗多様体は、どちらも射影束の塔で、Chow 環は旗の各段の類の多項式として完全に書けた。一般の半単純群の旗多様体は射影束の塔にならず、Chow 環の基底は $B$ 軌道の閉包の類で与えられる。それが次の頁の主題で、そこで本頁の二つの計算が「次数 1 の元で生成される」例として、また捩れのない半単純群の決定の到達点として、もう一度現れる。
例と反例
最初の例は、小さい $n$ で基底と関係と次数を書き下す。二つ目は、斜交群の計算が $n=1$ で特殊線形群の $n=2$ に一致することと、$n=2$ の計算を確かめる。最後の反例は、符号の約束を外すと何が壊れるかを示す。
$n=2$ では $D(k^2)=\mathbf P^1$、基底は $1,\xi_1$ で、$\xi_2=-\xi_1$、$\xi_1^2=0$、$\eta_1=\xi_1=h$、$\chi(\xi_1)=1$ である。
$n=3$ では $D=D(k^3)$ は点と直線の組 $\ell\subset H$ の多様体で、$N=3$、基底は $1,\xi_1,\xi_2,\xi_1^2,\xi_1\xi_2,\xi_1^2\xi_2$ の六つである。関係 $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=0$ から $\xi_3=-\xi_1-\xi_2$、$\xi_2^2=-\xi_1^2-\xi_1\xi_2$、$\xi_1\xi_2^2=-\xi_1^2\xi_2$ で、$\xi_1$ は $T^3-\sigma_1T^2+\sigma_2T-\sigma_3=T^3$ の根なので $\xi_1^3=0$ である。これらから $\xi_2^3=-\xi_1^2\xi_2-\xi_1\xi_2^2=0$ となる。$\chi(\xi_1^2\xi_2)=1$ を使うと、$\eta_1=\xi_1$、$\eta_2=\xi_1+\xi_2$ について
$$\chi(\eta_1^2\eta_2)=\chi(\xi_1^3+\xi_1^2\xi_2)=1,\qquad\chi(\eta_1\eta_2^2)=\chi(\xi_1^3+2\xi_1^2\xi_2+\xi_1\xi_2^2)=2-1=1,$$
$$\chi(\eta_1^3)=0,\qquad\chi(\eta_2^3)=\chi(\xi_1^3+3\xi_1^2\xi_2+3\xi_1\xi_2^2+\xi_2^3)=3-3=0$$
である。$\eta_1$ は $\ell$ を与える射 $D\to P(k^3)$ による直線の類の、$\eta_2$ は $H$ を与える射 $D\to P(\Lambda^2k^3)$（双対射影平面）による直線の類の引き戻しで、$\eta_1^3=\eta_2^3=0$ は射影平面の上で $h^3=0$ であることに当たる。$\chi(\eta_1^2\eta_2)=1$ は、$\ell$ を固定した旗の直線 $\{H\supset\ell\}\cong\mathbf P^1$ と、$H$ についての一次の条件が一点で交わることを表す。
$n=1$ では $V=k^2$、$\omega(x,y)=\det(x,y)$ で、どの直線も等方的なので $D(V,\omega)=P(V)=\mathbf P^1$ である。上の定理（斜交群の旗多様体の Chow 環）の基底は $\xi_1^{\alpha}$（$0\le\alpha\le1$）、関係は $(1+\xi_1)(1-\xi_1)=1$ すなわち $\xi_1^2=0$、次数は $\chi(\xi_1)=1$ で、上の定理（特殊線形群の旗多様体の Chow 環）の $n=2$ と一致する（$\xi_2=-\xi_1$ が双対性 $F_2/F_1\cong F_1^\vee$ に当たる）。これは $\mathrm{Sp}(1)=\mathrm{SL}(2)$（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「斜交群とその旗多様体」）の反映である。
$n=2$ では $V=k^4$、$D$ は点 $x$ とそれを含むラグランジュ平面 $L$ の組の多様体で、$\dim D=4$、基底は $\xi_1^{a}\xi_2^{b}$（$0\le a\le3$、$0\le b\le1$）の八つである。関係は $\xi_1^2+\xi_2^2=0$、$\xi_1^2\xi_2^2=0$ で、$\xi_1=\pi^*h$（$P(k^4)=\mathbf P^3$）から $\xi_1^4=0$ である。$\chi(\xi_1^3\xi_2)=1$ から $\chi(\eta_1^3\eta_2)=\chi(\xi_1^4+\xi_1^3\xi_2)=1$ で、上の定理の (4) の $n=2$ の場合に合う。$L$ を与える射 $D\to\{\text{ラグランジュ平面}\}$ のファイバーは $P(L)=\mathbf P^1$ で、$\eta_2$ はラグランジュ平面の多様体の Plücker 埋め込みの超平面の類の引き戻しである。
旗の類の符号の約束（$\xi_i$ は各段の商の双対の類）を外し、第 6 巻の分裂の因子の類 $\xi_i^{\mathrm{VI}}=c_1(F_i/F_{i-1})=-\xi_i$ で $\eta_i$ を作ると、「$\eta_i$ は正因子の類」と「積の次数は $1$」が破れる。$n=2$ では $D=\mathbf P^1$、$F_1=\mathcal O(-1)$ で、$\eta_1^{\mathrm{VI}}=\xi_1^{\mathrm{VI}}=c_1(\mathcal O(-1))=-h$、$\chi(\eta_1^{\mathrm{VI}})=-1$ である。$\mathbf P^1$ の正因子は点の非負係数の和なので、その類の次数は $0$ 以上であり、$-h$ は正因子の類でない。一般の $n$ では $\eta_i^{\mathrm{VI}}=-\eta_i$ で、次数 $N$ の積の次数は $(-1)^N$ 倍になり、$N$ が奇数なら $-1$ になる。斜交群でも同じで、$n=1$ では上と同じ $\mathbf P^1$ の計算になる。特性部分環 $\operatorname{Im}c_G\subset A(D)$ は $A(D)$ の部分環として $\xi_i$ の名づけ方によらず定まる（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の注意「旗の類の符号と第 6 巻の分裂の因子」の後の段）ので、壊れるのは個々の類が正因子の類であるかどうかと次数の値だけである。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- Schubert 多項式と差分作用素（Bernstein–Gelfand–Gelfand BGG73、1973 年。Demazure Dem74、1974 年）：一般の半単純群の旗多様体の Chow 環（コホモロジー環）の中で、$B$ 軌道の閉包の類を $\hat T$ の多項式で表す計算が、Weyl 群の差分作用素で与えられるようになったとされる。本頁の $\xi_i$ の多項式による表示は、特殊線形群と斜交群の場合のその出発点に当たる。
- 旗束と Grassmann 束の Chow 環（Fulton Ful98、初版 1984 年）：ベクトル束の旗束と Grassmann 束の Chow 環の表示と、Schubert 多様体の類の公式が教科書の形で扱われているとされる。斜交束の部分的な等方旗の束の場合は、本書は該当箇所を確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Grothendieck Gro58c の §5 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定理（特殊線形群の旗多様体の Chow 環） | Lemme 8 の証明の中の $\mathrm{SL}(n)$ の計算（前の講演の Théorème 1 の系 1 と式 (17) を引く） | 5-23〜5-24 |
| 注意（印字の読み（特殊線形群の計算）） | 同 | 5-23〜5-24 |
| 定理（斜交群の旗多様体の Chow 環） | 同じ証明の中の $\mathrm{Sp}(n)$ の計算（前の講演の (I.11) と式 (17) を引く） | 5-24〜5-25 |
| 注意（印字の読み（斜交群の計算）） | 同 | 5-24〜5-25 |
| 補題（最初の段への射影と次数） | 原論文は次数の計算を「容易に」とだけ書く（本書の補い） | 5-23〜5-25 |
| 命題（完全な等方旗束の環）、注意（斜交旗束の Chow 環） | §5 の注意 2° | 5-26 |
| 例（ラグランジュ旗） | 原論文には無い（本書の検算） | — |
| 反例（部分直線束の類を使うと正因子の主張が破れる） | 斜交群の計算の「双対の束に付随する類」の約束 | 5-24 |
参考文献
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