4-4 捩れ指数と横断的な切断
捩れ指数 $d$ の倍数 $d'$ について、旗多様体の上の等質ベクトル束の切断で零切断に横断的なものを作り、その零点の数の最大公約数がちょうど $d'$ になるようにする（原論文の定理 2 の証明の (iii)⇒(iv)）。与えられた類の正因子を重複度 1 で交わらせることは原論文にも示されておらず、原論文は係数を大きくした正因子について Bertini の定理から示す補題で回り道をする。本書はその回り道の段を補い、倍数の場合と旗多様体が一点の場合を扱う。
前提知識: 捩れ指数, 旗多様体, 等質ベクトル束, 正因子, 交叉重複度, Bertiniの定理, 横断性
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。$G$ を連結アフィン群、$B$ をその Borel 部分群、$T\subset B$ を極大トーラス、$N=\dim G/B$、$d$ を $G$ の捩れ指数（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の定義「捩れ指数と $\ell$ 捩れ」）とする。$r$ を $A^1(G/B)$ の階数、$D_1,\dots,D_r$ を余次元 $1$ の胞体の閉包とする。$D_i$ は正因子（有効因子）で、その類 $[D_i]$ は $A^1(G/B)$ の基底である。因子 $D$ の類を $[D]=\sum_ic_i[D_i]$ と書くとき、$c_i$ を $D$ の係数という（下の定義）。$B$ の有理表現 $u$ に付随する $G/B$ の上の等質ベクトル束を $V(u)=G\times^BV$ と書く。
本頁の主結果は次の三つである。
- 重複度 1 で交わる正因子（係数を大きくした形）（原論文 Lemme 7、印字 5-20）：$G/B$ の上の正因子 $\Delta$ があって、係数がどれも $\Delta$ の係数以上の任意の因子 $D$ と、重複した成分をもたない任意のサイクル $Z>0$ について、$D$ に有理同値な正因子 $D'$ で、$Z$ のどの成分も含まず、交叉積 $Z\cdot D'$ の重複度がすべて $1$ のものがある。［条件付き：超平面切断の Bertini の定理（外部入力）を引用。旗多様体が射影的であること、余次元 1 の胞体の閉包の類が $A^1(G/B)$ の基底であること（線形群の構造、Bruhat 分解と旗多様体の胞体）、完備な空間の連接層の大域切断の有限次元性、固有な交わりの重複度と長さ、射影空間への射と Segre 埋め込みを引用し、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「因子と直線束の対応」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」、第 6 巻で［条件付き］）と、本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の主結果「連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する」による］
- 捩れ指数の倍数を零点の数の最大公約数として実現（訂正形）（原論文 Théorème 2 の証明の (iii)⇒(iv)、印字 5-18〜5-20）：$N\ge1$（$G$ は可解でない）とする。$d'$ が $d$ の倍数なら、最大公約数がちょうど $d'$ の正の整数 $m_1,\dots,m_s$ と、$B$ の $N$ 次元の有理表現 $u_1,\dots,u_s$ で、$V(u_i)$ が零切断に横断的で零点をちょうど $m_i$ 個もつ正則な切断をもつものがある。［条件付き：1 と、本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」「最高次の部分と捩れ指数の存在」（どちらも同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の事実に依る）による。余次元 1 の胞体の閉包の類が基底であること、Rosenlicht の局所切断、固有な交わりの重複度と長さを引用し、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」（第 6 巻の頁『0-3』の定理「因子と直線束の対応」「非特異準射影多様体の Chow 環」、頁『5-1』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」）と、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」「特性準同型の環準同型への延長」による］原論文の形（$G$ が可解でもよい形）は反例「反例：旗多様体が一点なら倍数は零点の数で実現できない」で破れる。
- 至るところ重複度 1 で交わる正因子（原論文が未証明と明記する主張、印字 5-19〜5-20）：余次元 1 の胞体の閉包の正係数の結合である $N$ 個の因子 $E_1,\dots,E_N$ に、それぞれ有理同値な正因子 $E'_1,\dots,E'_N$ で、順に交わりをとるごとに重複度がすべて $1$ になるものがある。［未完結：原論文が未証明と明記し、本書も証明を立てられない］
主結果 1 は外部入力（Bertini の定理）を一つ使い、それ以外は第 0 章の古典的前提と Chow 環の枠組みの性質で閉じる。主結果 2 は主結果 1 と、第 1 講演に依る前の頁の指数の有限性を使う。原論文は主結果 2 を捩れ指数そのもの（$d'=d$）の場合に帰着させて済ませるが、その帰着は形式的には足りず、本書は一つの因子だけを倍にする段を加えた。また $G$ が可解で旗多様体が一点のときは、倍数の場合が成り立たないことを反例で示す。主結果 3 は、原論文が「成り立てば十分」と述べて証明できなかった主張で、主結果として立てて閉じられないことを記録する。
背景と動機
原論文の定理 2（本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』）は、捩れ指数 $d$ を五つの仕方で特徴づける。その (iv) は、$d$ の倍数 $d'$ を、旗多様体の上の等質ベクトル束の横断的な切断の零点の数の最大公約数として実現できる、という幾何的な条件である。(iv) から、第 3 章の構成（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』『3-3 特別群と主束の自明化』）により、主束を自明にする不分岐な被覆（有限エタール被覆）が作られる。したがって (iii)⇒(iv) は、捩れ指数という代数的な数が被覆の次数として実現されることの要の段である。
証明の筋は次のとおりである。特性部分環の次数 $1$ の部分から、余次元 $1$ の胞体の正係数の結合で表される類 $\eta_1,\dots,\eta_r$ を基底にとると、捩れ指数は単項式 $\eta^\alpha$ の次数の最大公約数になる。$\eta^\alpha$ は、指標の直線束の直和である等質ベクトル束の最高次の Chern 類で、その切断の零点の数は、各成分の零点の因子が重複度 $1$ で交わるなら $\chi(\eta^\alpha)$ に等しい。問題は、与えられた類の正因子を重複度 $1$ で交わらせることである。原論文はこれを主張として立てたうえで「cette assertion n'est pas démontrée」（この主張は証明されていない、印字 5-20）と断り、類を十分大きな整数倍に替えれば成り立つという弱い形（Lemme 7）で回り道をする。整数倍にすると零点の数も倍になるが、互いに素な二つの倍率を使えば最大公約数は変わらない。
本書が補うのは三点である。各段の重複度 $1$ から切断が零切断に横断的であることを長さで示すこと、倍数 $d'$ の場合を一つの因子だけを倍にして実現すること、そして旗多様体が一点のとき倍数の場合が成り立たないことである。
定義と準備
主結果の言葉を定める。正因子とその係数、等質ベクトル束とその切断の横断性を定め、指標の直線束の直和の切断と、正因子を順に交わらせることについての二つの補題を置く。
$Y$ を非特異な代数的空間とする。$Y$ の余次元 $1$ の既約な閉部分集合の整数係数の有限和を因子といい、係数がどれも $0$ 以上のものを正因子（原論文の diviseur positif、有効因子）という。非特異な空間の因子は局所的に一つの方程式で定まり、正因子 $D$ の点 $y$ での局所方程式を $f_y\in\mathcal O_{Y,y}$ と書く。正因子の台（係数が正の成分の和集合）も $D$ と書く。重複した成分をもたないサイクルとは、各既約成分の係数が $1$ の正のサイクルのことである。$Y=G/B$ のとき、$A^1(G/B)$ は $[D_1],\dots,[D_r]$ を基底とする自由加群なので、因子 $D$ について $[D]=\sum_ic_i[D_i]$ となる整数 $c_i$ がただ一組ある。これを $D$ の係数という。二つの因子 $D$、$D''$ について、$D$ の係数がどれも $D''$ の係数以上であることを、$D$ の係数は $D''$ の係数以上であるという。
$D$ の係数は $D$ の成分の係数ではなく、類の座標である。たとえば $\mathbf P^1=\mathrm{SL}(2)/B$ では $r=1$、$D_1$ は一点で、二点の和の因子の係数は $2$ である。
$u\colon B\to\mathrm{GL}(V)$ を有理表現とし、$G\times V$ を $(gb,u(b)^{-1}v)\sim(g,v)$ で割った $V(u)=G\times^BV\to G/B$ を等質ベクトル束という。$\sigma\colon U\to G$ を $G\to G/B$ の局所切断とすると、$U\times V\to V(u)|_U$、$(x,v)\mapsto[\sigma(x),v]$ は局所自明化を与える。$V(u)$ の正則な切断 $s$ と点 $y$ について、$y$ の近傍の自明化と $V$ の基底で $s=(s_1,\dots,s_n)$（$n=\dim V$ 個の正則関数）と書く。$s(y)=0$ のとき $y$ を $s$ の零点といい、微分 $ds_y=(ds_1(y),\dots,ds_n(y))\colon T_y(G/B)\to k^n$ が全射であるとき、$s$ は $y$ で零切断に横断的であるという。すべての零点で横断的なとき、$s$ は零切断に横断的であるという。零点の集合が有限のとき、その点の数を $s$ の零点の数という。
横断性の条件は自明化の取り方によらない。零点では、自明化の取り替えは $ds_y$ に可逆な行列を掛けるだけだからである。この横断性は、本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』で等質ベクトル束の切断について使うものと同じで、ここでは $B$ の表現の場合に限って繰り返した。$L_\chi=V(\chi)$ は指標 $\chi$ の付随直線束である（本書『4-1 特性準同型と特性部分環』）。
主結果 2 で使う等質ベクトル束は、指標の直線束の直和である。その切断は各成分の切断の組で、横断性は局所方程式の生成するイデアルで判定できる。
$\chi_1,\dots,\chi_n\in\hat B$（重複を許す）とし、$u$ を $b\mapsto\mathrm{diag}(\chi_1(b),\dots,\chi_n(b))$ で定まる $B$ の $n$ 次元の表現とする。
(1) $[g,v]\mapsto([g,v_1],\dots,[g,v_n])$ はベクトル束の同型 $V(u)\cong L_{\chi_1}\oplus\dots\oplus L_{\chi_n}$ を与える。したがって $V(u)$ の正則な切断は、各 $L_{\chi_l}$ の正則な切断 $s_l$ の組 $s=(s_1,\dots,s_n)$ で、$s$ の零点の集合は $s_l$ の零点の集合の共通部分である。
(2) $n=N=\dim G/B$ とし、$y$ を $s$ の零点、$e_l$ を $y$ の近傍での $L_{\chi_l}$ の局所的な生成元とし、$s_l=f_le_l$（$f_l\in\mathcal O_y=\mathcal O_{G/B,y}$）と書く。このとき、$s$ が $y$ で零切断に横断的であることと、$(f_1,\dots,f_N)=\mathfrak m_y$ であることは同値である。
- $b\in B$ について $(gb,u(b)^{-1}v)$ の像は $([gb,\chi_l(b)^{-1}v_l])_l=([g,v_l])_l$ なので、写像は代表の取り方によらない。$G\to G/B$ の局所切断 $\sigma\colon U\to G$ で $V(u)$ と各 $L_{\chi_l}$ を上の定義のとおり $U\times k^n$、$U\times k$ に自明化すると、写像は $(x,v)\mapsto(x,v_1,\dots,v_n)$ と書けるので、射であり、ファイバーごとに線形な同型である。したがってベクトル束の同型で、切断と零点についての主張はそこから直ちに出る。
- $\mathfrak m=\mathfrak m_y$ とする。$s(y)=0$ なので $f_l\in\mathfrak m$ で、自明化の生成元の取り替えは $f_l$ に単元を掛けるだけである。接空間は $T_y(G/B)=(\mathfrak m/\mathfrak m^2)^\vee$ で、$df_l(y)$ は $f_l$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像に当たる。$G/B$ は $y$ で非特異で次元 $N$ なので $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=N$ であり、$ds_y$ が全射であることは、$f_1,\dots,f_N$ の像が $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を張ること、すなわち $(f_1,\dots,f_N)+\mathfrak m^2=\mathfrak m$ と同値である。Nakayama の補題により、これは $(f_1,\dots,f_N)=\mathfrak m$ と同値である。
次の補題は、原論文が「横断的であることは相異なる $m$ 個の零点をもつことと同じ」と一言で済ませる段（印字 5-19）の中身である。正因子を一つずつ交わらせ、各段の重複度が $1$ なら、最後の交わりは被約な有限個の点で、そこで局所方程式が極大イデアルを生成する。
$Y=G/B$ とし、$D'_1,\dots,D'_N$ を $Y$ の上の正因子とする。$Z_0=[Y]$ とおき、$k=1,\dots,N$ について、$Z_{k-1}$ は重複した成分をもたないか $0$ で、$D'_k$ は $Z_{k-1}$ のどの成分も含まず、交叉積 $Z_k=Z_{k-1}\cdot D'_k$ は重複した成分をもたないか $0$ であるとする。このとき次が成り立つ。
(1) $Z_k$ の台は $D'_1\cap\dots\cap D'_k$ に等しく、その各既約成分は $Y$ で余次元 $k$ をもつ。
(2) $D'_1\cap\dots\cap D'_N$ は有限個の点 $y_1,\dots,y_m$ からなり、$Z_N=[y_1]+\dots+[y_m]$ である。各 $y_j$ で、$D'_k$ の局所方程式 $f_k$ について $(f_1,\dots,f_N)=\mathfrak m_{y_j}$ である。
(3) $m=\chi\bigl([D'_1]\cdots[D'_N]\bigr)$ である。
段 1（台と次元）．$k$ についての帰納法で (1) を示す。$k=0$ では $Z_0=[Y]$ で、$Y$ は既約である（下の引用する事実 1）。$Z_{k-1}$ の成分 $W$ は余次元 $k-1$ で、$D'_k$ は $W$ を含まないので、$W$ と $D'_k$ は固有に交わり、$W\cap D'_k$ の各成分は $W$ の中で余次元 $1$、正の重複度で $W\cdot D'_k$ に現れる（下の引用する事実 5 の (1)(3)）。交叉積は双線形なので、$Z_k$ の台は $|Z_{k-1}|\cap D'_k=D'_1\cap\dots\cap D'_k$ で、各成分は余次元 $k$ である。
段 2（最後の交わり）．(1) により $D'_1\cap\dots\cap D'_N$ は次元 $0$、すなわち有限個の点で、仮定により $Z_N$ の係数はどれも $1$ である。交叉積は結合的で、$[Y]\cdot D'_1$ は $D'_1$ の定めるサイクルなので、$Z_N$ は交叉積 $D'_1\cdots D'_N$ である。交わりの成分の余次元が $N$ なので、引用する事実 5 の (4) により、$Z_N$ の $y_j$ での係数は $\mathcal O_{y_j}/(f_1,\dots,f_N)$ の長さに等しい。これが $1$ なので $(f_1,\dots,f_N)=\mathfrak m_{y_j}$ である。
段 3（次数）．各段の交わりは固有なので、引用する事実 4 の (3) を成分ごとに当てて双線形に延ばすと、$[Z_k]=[Z_{k-1}]\cdot[D'_k]$ である。ゆえに $[Z_N]=[D'_1]\cdots[D'_N]$ で、$\chi([y_j])=1$（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「最高次の部分と捩れ指数の存在」の証明の段 2）なので $\chi([Z_N])=m$ である。
二つの補題を合わせると、$D'_k$ が $L_{\chi_k}$ の切断 $s_k$ の零点の因子で、仮定の各段が成り立つなら、切断 $s=(s_1,\dots,s_N)$ は零切断に横断的で、零点の数は $\chi([D'_1]\cdots[D'_N])$ である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は Borel Bor56、旗多様体の因子については原論文の文献 [1] の Chevalley Che58sl、交叉理論については Weil Wei46、Samuel Sam55、Bertini の定理については下の 7 に挙げる文献、Chow 環の性質については前の講演 Gro58b である。要点は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』『0-4 Chow 環の枠組み』にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。
- 線形群の構造（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」の (2)(5)）：$G/B$ は非特異かつ既約な射影的空間である。$\bar G=G/R$ について $G/B\cong\bar G/\bar B$ である。
- 余次元 1 の胞体（同じ頁の定理「Bruhat 分解と旗多様体の胞体」の (2)）：半単純群の旗多様体の余次元 $1$ の胞体の閉包 $D_1,\dots,D_r$ は既約な正因子で、その類は $A^1=\operatorname{Pic}$ の基底である。$r$ は群の階数で、群が単位群でなければ $r\ge1$ である。上の 1 により、$G/B$ についても同じである。
- Rosenlicht の局所切断（同じ頁の定理「Rosenlicht の局所切断」）：$G\to G/B$ は局所切断をもつ。
- 因子と Chern 類（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (1)(3)）：直線束 $L$ に、恒等的に零でない有理切断の因子の類を対応させると、群の同型 $\operatorname{Pic}(Y)\cong A^1(Y)$ を得る。とくに正因子 $D$ について $\mathcal O(D)$ は零点の因子が $D$ の正則な切断をもち、二つの因子は類が等しければ（有理同値なら）同型な直線束を定める。固有に交わる既約な閉部分集合の類の積は、交叉積のサイクルの類である。
- 固有な交わりの重複度と長さ（同じ頁の定理「固有な交わりの重複度と長さ」の (1)(3)(4)）：固有な交わりの交叉積は双線形・可換・結合的である。正因子 $D$（局所方程式 $h$）とその台に含まれない既約な $W$ は固有に交わり、成分 $C$ での重複度は $\ell(\mathcal O_{W,C}/h\mathcal O_{W,C})$ である。正因子 $D_1,\dots,D_n$ の交わりの成分がどれも余次元 $n$ なら、成分での交叉積の重複度は交わりの局所環の長さに等しい。
- 連接層の有限次元性（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「連接層とアフィンな空間の基本」の (4)）：完備な空間の上の連接層の大域切断の空間は有限次元である。
- 超平面切断の Bertini の定理（外部入力）：射影空間 $\mathbf P^h$ の中の、重複した成分をもたないサイクル $Z>0$ について、$Z$ のどの成分も含まず、$Z$ との交わりの重複度がすべて $1$ である超平面 $H$ がある（標数は任意）。原論文はこれを「bien connu」とだけ書く（印字 5-20）。当時の出典の候補は Weil Wei46 の、一般の線形部分多様体との交わりの重複度が $1$ であるという定理である。そこでの「一般の超平面」は $k$ の超越拡大の上の点なので、重複度 $1$ となる超平面の全体が双対射影空間の空でない開集合を含むことに言い換えて、$k$ 有理な超平面へ特殊化する段が要る。後代の形は Hartshorne Har77 定理 II.8.18（非特異な射影多様体の一般の超平面切断は非特異）と、Jouanolou Jou83 定理 6.3 である。$Z$ の成分が特異なときは、成分の非特異な部分に一般の超平面の定理を当て、特異な部分は次元が小さいので一般の超平面との交わりが成分にならないことを使う。本書はどの文献の該当箇所も、節の番号も確かめていない。
- 射影空間への射と Segre 埋め込み（古典的な事実。Har77 第 II 章 §7 の型）：(a) 完備な $Y$ の上の直線束 $L$ の大域切断が基点をもたない（どの点でもどれかの切断が消えない）なら、$L$ は射 $\psi\colon Y\to\mathbf P(W)$（$W$ は $\Gamma(Y,L)$ の双対）を定め、$\psi^*\mathcal O(1)\cong L$ で、超平面の引き戻しは $L$ の切断の零点の因子である。(b) Segre の写像 $\mathbf P(V)\times\mathbf P(W)\to\mathbf P(V\otimes W)$ は閉埋め込みで、$\mathcal O(1)$ を $\mathcal O(1)\boxtimes\mathcal O(1)$ に引き戻す。
本書の他の頁からは、主結果として本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の「連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する」、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の「指標の直線束と特性準同型」「特性準同型の環準同型への延長」、本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の「特性部分環の指数の有限性」「最高次の部分と捩れ指数の存在」を使う。
主結果と証明
原論文の順とは逆に、まず道具の Lemme 7 を示し、それを使って (iii)⇒(iv) を示す。最後に、原論文が回り道をする前に立てた主張を記録する。
係数を大きくした正因子
$G/B$ の上の正因子 $\Delta$ で次を満たすものがある。係数が $\Delta$ の係数以上の任意の因子 $D$ と、重複した成分をもたない任意のサイクル $Z>0$ について、$D$ に有理同値な正因子 $D'$ で、$Z$ のどの成分も含まず、交叉積 $Z\cdot D'$ の係数がすべて $1$ であるものがある。さらに $D'$ は、$G/B$ のある射影埋め込み $\psi$ と超平面 $H$ について $D'=\psi^{-1}(H)$ の形にとれる。
段 1（$\Delta$ の取り方）．引用する事実 1 により $G/B$ は射影的なので、閉埋め込み $f\colon G/B\to\mathbf P(V)$ がある。$G/B$ を含まない超平面の引き戻しを $\Delta$ とする。$\Delta$ は正因子で、$\mathcal O(\Delta)\cong f^*\mathcal O(1)$ である。
段 2（$D$ を $\Delta$ と正因子の和に分ける）．$D$ の係数が $\Delta$ の係数以上なので、$[D]-[\Delta]=\sum_ie_i[D_i]$、$e_i\ge0$ と書ける。$D_0=\sum_ie_iD_i$ とおくと、引用する事実 2 により $D_i$ は正因子なので $D_0$ も正因子で、$[D]=[\Delta+D_0]$、すなわち $D$ は $\Delta+D_0$ に有理同値である。
段 3（$D_0$ の平行移動と基点）．$L_0=\mathcal O(D_0)$ とし、$s_0$ を零点の因子が $D_0$ の切断とする（引用する事実 4）。$g\in G$ の左移動 $g\colon G/B\to G/B$ について、本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の主結果「連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する」により $g^*=\mathrm{id}$ なので、$[gD_0]=(g^{-1})^*[D_0]=[D_0]$ である。引用する事実 4 により $\mathcal O(gD_0)\cong L_0$ で、$gD_0$ は $L_0$ のある正則な切断の零点の因子である。$L_0$ のすべての切断が消える点の全体は $\bigcap_{g\in G}gD_0$ に含まれ、これは $G$ の作用で安定な閉集合である。$G$ は $G/B$ に推移的に作用するので、この共通部分は空か全体である。$D_0\ne0$ なら $D_0$ は $G/B$ 全体でないので空で、$D_0=0$ なら $L_0$ は自明で定数の切断が消えない。どちらの場合も $L_0$ の切断は基点をもたない。
段 4（射影埋め込み）．引用する事実 6 により $\Gamma(G/B,L_0)$ は有限次元で、引用する事実 8 の (a) により射 $g_0\colon G/B\to\mathbf P(W)$ で $g_0^*\mathcal O(1)\cong L_0$ となるものがある。$\psi=\mathrm{Segre}\circ(f,g_0)\colon G/B\to\mathbf P(V\otimes W)$ とおく。$(f,g_0)\colon G/B\to\mathbf P(V)\times\mathbf P(W)$ は、第 1 成分が閉埋め込みで $G/B$ が完備なので閉埋め込みであり、引用する事実 8 の (b) により $\psi$ も閉埋め込みで、$\psi^*\mathcal O(1)\cong f^*\mathcal O(1)\otimes g_0^*\mathcal O(1)\cong\mathcal O(\Delta+D_0)$ である。したがって、$\psi(G/B)$ を含まない超平面 $H$ の引き戻し $\psi^{-1}(H)$ は正因子で、段 2 と引用する事実 4 により $D$ に有理同値である。
段 5（Bertini の定理）．$Z$ を $\psi$ で $\mathbf P^h=\mathbf P(V\otimes W)$ の中のサイクルとみる。成分と係数は変わらない。引用する事実 7 により、$Z$ のどの成分も含まず、$Z$ との交わりの重複度がすべて $1$ の超平面 $H$ がある。$Z>0$ なので $H$ は $\psi(G/B)$ を含まない。$D'=\psi^{-1}(H)$ とおく。$Z$ の成分 $W$ と、$W\cap D'$ の成分 $C$ について、$\mathbf P^h$ の中での $W\cdot H$ の $C$ での重複度も、$G/B$ の中での $W\cdot D'$ の $C$ での重複度も、同じ局所環 $\mathcal O_{W,C}$ を $H$ の局所方程式で割った環の長さである（引用する事実 5）。ゆえに $Z\cdot D'$ の係数はすべて $1$ で、$D'$ は $Z$ のどの成分も含まない。$Z$ の異なる成分から同じ $C$ が出れば係数は $2$ 以上になるので、それも起こらない。
段 3 は、正因子 $D_0$ の平行移動がどれも $D_0$ に有理同値であることだけを使って、基点が無いことを示している。係数を大きくする意味は、$D$ を射影埋め込みの超平面の類 $\Delta$ と基点のない類 $D_0$ の和に分け、$D$ 自身を射影埋め込みの超平面の類にすることにある。そうなれば Bertini の定理がそのまま使える。
原論文の証明（印字 5-20）は、$D$ が $\Delta+D_0$、$D_0\geq0$ に有理同値であると書いて先へ進む。$D_0\geq0$ は、余次元 $1$ の胞体の閉包 $D_i$ が正因子であること（段 2）から出る。原論文はこれを書かないが、$D$ の係数を胞体の類で測る以上、そう読むのが自然である。原論文は、$D_0$ がその平行移動に有理同値であることの根拠も書かない。本書はそれを、連結線形群の作用が Chow 環に自明に作用するという第 2 章の結果（原論文の Lemme 1）で埋めた（段 3）。
捩れ指数の倍数の実現
主結果 2 の証明の最初の段は、特性部分環の次数 $1$ の部分から、正の係数の基底をとることである。これは有限生成アーベル群の初等的な事実である。
$r\ge1$ とし、$M\subset\mathbf Z^r$ を指数有限の部分群とする。このとき $M$ は、座標がすべて正の整数であるベクトルからなる基底をもつ。
$e=[\mathbf Z^r:M]$ とすると、$e\,\mathbf Z^r\subset M$ なので $w=(e,\dots,e)\in M$ である。$w/c\in M$ となる最大の正の整数 $c$ をとり、$v_1=w/c$ とおく。$v_1$ の座標はすべて正で、$v_1$ は $M$ の中で $2$ 以上の整数で割り切れない。$M$ は階数 $r$ の自由加群なので、$M$ の中で割り切れない元は $M$ の基底 $v_1,v_2,\dots,v_r$ に延びる（基底で座標を書けば、座標の最大公約数が $1$ の整数ベクトルは $\mathrm{GL}(r,\mathbf Z)$ の行列の第 1 列になる）。$t$ を十分大きな整数にとり、$v'_j=v_j+t\,v_1$（$2\le j\le r$）とおくと、$v'_j$ の座標はすべて正で、$v_1,v'_2,\dots,v'_r$ は $v_1,v_2,\dots,v_r$ に行列式 $1$ の変換を施したものなので、$M$ の基底である。
原論文は括弧書きで同じ構成を述べる（印字 5-19）。この補題は定義と初等的な代数だけで閉じる。
$N\ge1$ とし、$d'$ を捩れ指数 $d$ の倍数とする。このとき、正の整数 $m_1,\dots,m_s$ で最大公約数がちょうど $d'$ のものと、$B$ の $N$ 次元の有理表現 $u_1,\dots,u_s$ があって、各 $i$ について $V(u_i)$ は、零切断に横断的で零点をちょうど $m_i$ 個もつ正則な切断をもつ。各 $u_i$ は指標の直和にとれる。
段 1（正の基底）．$d'=k'd$（$k'\ge1$）とする。$N\ge1$ なので $\bar G$ は単位群でなく、引用する事実 2 により $r\ge1$ で、$A^1(G/B)$ は $[D_1],\dots,[D_r]$ を基底とする自由加群である。本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」により $A(G/B)/\operatorname{Im}c_G$ は有限なので、その次数 $1$ の部分 $A^1(G/B)/c_G(\hat T)$ も有限である（$c_G$ は次数付きなので、$\operatorname{Im}c_G$ の次数 $1$ の部分は $c_G(\hat T)$）。上の補題（指数有限の部分群の正の基底）により、$c_G(\hat T)$ は係数がすべて正の類 $\eta_1,\dots,\eta_r$ からなる基底をもつ。$\eta_j=c_G(\chi_j)$ となる $\chi_j\in\hat T=\hat B$ をとり、$\eta_j=\sum_ic_{ji}[D_i]$（$c_{ji}\ge1$）について $E_j=\sum_ic_{ji}D_i$ とおく。$E_j$ は類が $\eta_j$ の正因子である。
段 2（捩れ指数の表示）．$|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_r=N$ の多重指数 $\alpha$ について、$\eta^\alpha=\eta_1^{\alpha_1}\cdots\eta_r^{\alpha_r}$、$m_\alpha=\chi(\eta^\alpha)$ とおく。本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「最高次の部分と捩れ指数の存在」により、$\operatorname{Im}c_G\cap A^N(G/B)=c_G(S^N(\hat T))=d\,\mathbf Z[\mathrm{pt}]$ で、$\chi$ は同型である。$c_G(S^N(\hat T))$ は $\hat T$ の元 $N$ 個の積の像 $c_G(x_1)\cdots c_G(x_N)$ で張られ（本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「特性準同型の環準同型への延長」）、各 $c_G(x_l)$ は $\eta_j$ の整数係数の結合なので、展開すれば $\eta^\alpha$ の整数係数の結合である。逆に $\eta^\alpha$ は $c_G(S^N(\hat T))$ に入る。ゆえに $c_G(S^N(\hat T))$ は $\eta^\alpha$ で張られ、$d\,\mathbf Z$ は $m_\alpha$ の生成する部分群で、$d=\gcd_\alpha m_\alpha$ である。
段 3（切断の構成）．上の定理（重複度 1 で交わる正因子（係数を大きくした形））の $\Delta$ の係数を $\delta_1,\dots,\delta_r$ とし、$\ell_0=\max(1,\delta_1,\dots,\delta_r)$ とおく。$|\alpha|=N$ の $\alpha$ を一つ固定し、$j$ を $\alpha_j$ 回ずつ並べた列を $j(1),\dots,j(N)$ とする。正の整数 $t_1,\dots,t_N$ がどれも $\ell_0$ 以上なら、因子 $t_kE_{j(k)}$ の係数 $t_kc_{j(k)i}$ は $\ell_0\ge\delta_i$ 以上である。$Z_0=[G/B]$ とし、$k=1,\dots,N$ の順に、$Z_{k-1}>0$ なら同じ定理を $D=t_kE_{j(k)}$、$Z=Z_{k-1}$ に当てて $D'_k$ をとり（定理の主張の最後の文により、$G/B$ のある射影埋め込み $\psi_k$ と超平面 $H_k$ について $D'_k=\psi_k^{-1}(H_k)$ の形にとる）、$Z_{k-1}=0$ なら $D'_k=t_kE_{j(k)}$ とし（段 5 で見るとおり、この場合は起こらない）、$Z_k=Z_{k-1}\cdot D'_k$ とおく。$Z_0$ は重複した成分をもたないので、帰納的に、上の補題（正因子を順に交わらせること）の仮定がすべての段で満たされる。
段 4（表現と零点の数）．$u$ を指標 $t_1\chi_{j(1)},\dots,t_N\chi_{j(N)}$ の直和の $N$ 次元の表現とする。本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」により $c_1(L_{t_k\chi_{j(k)}})=t_k\eta_{j(k)}=[D'_k]$ なので、引用する事実 4 により $L_{t_k\chi_{j(k)}}\cong\mathcal O(D'_k)$ で、零点の因子が $D'_k$ の切断 $s_k$ がある。上の補題（指標の直線束の直和の切断）により $s=(s_1,\dots,s_N)$ は $V(u)$ の正則な切断で、零点の集合は $D'_1\cap\dots\cap D'_N$ である。上の補題（正因子を順に交わらせること）の (2) と、指標の直線束の直和の切断の補題の (2) により、$s$ は零切断に横断的で、(3) により零点の数は
$$\chi\bigl([D'_1]\cdots[D'_N]\bigr)=\chi\Bigl(\prod_kt_k\eta_{j(k)}\Bigr)=t_1\cdots t_N\,m_\alpha$$
である。とくに $m_\alpha\ge0$ である。
段 5（最大公約数）．互いに素な整数 $\ell_1,\ell_2\ge\ell_0$（たとえば $\ell_0$ と $\ell_0+1$）をとる。まず、すべての $\alpha$ について $m_\alpha\ge1$ である。段 3 の第 $k$ 段で $Z_{k-1}>0$ なら $D'_k=\psi_k^{-1}(H_k)$ で、上の補題（正因子を順に交わらせること）の (1) により $Z_{k-1}$ の成分 $W$ は次元 $N-k+1\ge1$ の閉部分多様体である。$\psi_k(W)$ は射影空間の中の正の次元の閉部分多様体なので超平面 $H_k$ と交わり、固有な交わりの成分は正の重複度で現れるので（引用する事実 5）、$Z_k\ne0$ である。$Z_0>0$ から帰納的に $Z_N\ne0$ で、段 4 の零点の数 $t_1\cdots t_Nm_\alpha$ は $1$ 以上、ゆえに $m_\alpha\ge1$ である。段 2 により $\gcd_\alpha m_\alpha=d$ である。各 $\alpha$ と $\ell\in\{\ell_1,\ell_2\}$ について、段 3・段 4 を $t_1=k'\ell$、$t_2=\dots=t_N=\ell$ で使うと（$N\ge1$ なので $t_1$ がある）、零点がちょうど $m_{\alpha,\ell}=k'\ell^Nm_\alpha>0$ 個の横断的な切断をもつ表現 $u_{\alpha,\ell}$ を得る。その最大公約数は
$$\gcd_{\alpha,\ell}\,k'\ell^Nm_\alpha=k'\gcd\bigl(\ell_1^N,\ell_2^N\bigr)\gcd_\alpha m_\alpha=k'd=d'$$
である。組 $(\alpha,\ell)$ に番号を付け直したものが $m_1,\dots,m_s$ と $u_1,\dots,u_s$ である。
段 2 は、捩れ指数が次数 $1$ の類の単項式の次数だけで決まることを言う。段 3・段 4 はその単項式を切断の零点として幾何的に実現し、段 5 は整数倍で失われる情報を二つの倍率の最大公約数で取り戻す。$k'$ 倍を一つの因子にだけ掛けたので、$d'$ が $d$ の真の倍数でも最大公約数はちょうど $d'$ になる。
原論文は (iii)⇒(iv) を示すのに、「(iv) が $d'=d$ で成り立つことを示せばよい」と言い換える（印字 5-18）。しかし (iv) は零点の数の最大公約数が「ちょうど」$d'$ であることを求めるので、$d'=d$ の場合から倍数 $d'$ の場合は形式的には出ない。$\ell$ 倍の回り道では各因子が同じ $\ell$ 倍になり、零点の数は $\ell^N$ 倍にしかならないからである。本書は段 5 で一つの因子だけを $k'=d'/d$ 倍して埋めた。主張は正しいが原論文の段はそのままでは通らない、という型の不備で、主張の札には影響しない。ただし一つの因子を倍にするには因子が一つはなければならず、旗多様体が一点（$N=0$）のときは倍数の場合そのものが成り立たない（下の反例「反例：旗多様体が一点なら倍数は零点の数で実現できない」）。
(a) 原論文は $A^1(G/B)$ の階数を $n$ と書き、基底を $\xi_1,\dots,\xi_n$、$\eta_1,\dots,\eta_n$ とする（印字 5-19）。§4 の冒頭では同じ $n$ を極大トーラスの次元に使っているので（印字 5-13）、本書は前者を $r$ と書いた。$G$ が半単純なら二つは等しい。
(b) 原論文は単項式の次数 $\chi(\eta_1^{\alpha_1}\cdots\eta_n^{\alpha_n})$ を $m$ と書き、同じ $m$ を切断の零点の数と、Lemme 7 の後の倍率「$mD_i$」にも使う（印字 5-19〜5-20）。本書は単項式の次数を $m_\alpha$、倍率を $\ell$ と書き、(iv) の整数の組を $m_i$ と書いた。
(c) 原論文は二つの倍率を「互いに素で、$d$ とも素な二つの整数」とする（印字 5-20。原文の「deux nombres premiers entre eux」は「互いに素な二つの整数」の成句で、素数の意味ではない）。段 5 の計算のとおり、互いに素であれば足り、$d$ と素である必要は無い。害は無い。
(iv) は $m_i>0$ を求めるので、零点を一つももたない切断を組に入れてはならない。しかし $\chi(\eta^\alpha)=0$ となる単項式は現れず、単項式を除く仮定は要らない。上の定理（重複度 1 で交わる正因子（係数を大きくした形））の主張の最後の文により、$D'_k$ は $G/B$ のある射影埋め込みの超平面の引き戻しにとれる。$k\le N$ のとき $Z_{k-1}$ の成分の次元は $N-k+1\ge1$ で、射影空間の中の正の次元の閉部分多様体と超平面は交わるので $Z_k\ne0$ となり、最後に $Z_N\ne0$、すなわち $m_\alpha\geq1$ となる（段 5）。これは定理の主張から従うので、証明の形には依らない。仮に $m_\alpha=0$ の単項式があったとしても、それを除いて最大公約数は変わらないので、どちらにしても仮定ではない。
原論文が示せなかった主張
原論文は Lemme 7 を立てる前に、捩れ指数そのものを零点の数として直接に実現するための主張を述べ、それが証明されていないと断る。本書はこれを主結果として立てる。
原論文は (iii)⇒(iv) の証明の途中（印字 5-19〜5-20）で、次の主張が示せれば十分だったと書く。余次元 $1$ の胞体の閉包の正係数の結合である因子 $E_1,\dots,E_N$ について、それぞれに有理同値な正因子 $E'_1,\dots,E'_N$ で、至るところ重複度 $1$ で交わる（本書の読みでは、上の補題（正因子を順に交わらせること）の仮定を満たす）ものがある。これが言えれば、上の証明の段 3 を $t_k=1$ で行え、各単項式の次数 $m_\alpha$ そのものが横断的な切断の零点の数になる。原論文はこの主張の因子を $D_i$（$1\le i\le r$）と書き、この $r$ をこの段で定めない（本書の $r$ とは別）。本書は用途（$N$ 個の因子を順に交わらせる）に合わせて $N$ 個と読み、$E_1,\dots,E_N$ と書いた。原論文は続けて「cette assertion n'est pas démontrée」と断る。本書もこの主張を任意の標数では証明できず、［未完結］とする。原論文にも本書にも、外部入力を使った証明も無い。
足りないのは、与えられた類そのもの（整数倍でない類）の正因子を重複度 $1$ で交わらせる手段である。上の定理（重複度 1 で交わる正因子（係数を大きくした形））は、係数が $\Delta$ を上回る因子を射影埋め込みの超平面の類にして Bertini の定理を当てるので、係数の小さい $E_j$ には使えない。次の二つは本書が確かめた範囲の注意である。(a) $E_1,\dots,E_N$ の類がどれも $G/B$ の射影埋め込みの超平面の類なら、上の定理の証明の段 5 と同じく、埋め込みごとに Bertini の定理を一つずつ当てれば主張は成り立つ。余次元 $1$ の胞体の閉包の正係数の結合がいつそのような類になるかは、本書は立ち入らない（確かめていない）。(b) 標数 $0$ では、$E_j$ の類の切断が基点をもたないこと（上の定理の証明の段 3 と同じ議論）と、基点のない線形系の一般の元についての標数 $0$ の Bertini の定理を $k=1,\dots,N$ の順に使えば閉じると考えられる。その定理の 1958 年以前の出典を本書は特定していない。後代の Kleiman の横断性定理（下の「その後の発展」）でも閉じると考えられる。本書はどちらも使わない。原論文が「証明されていない」と書くのは、任意の標数の主張として述べているからと考えられるが、原論文は理由を書かない。
主結果 3 が閉じないことは、主結果 2 の証明に影響しない。主結果 2 は主結果 1 だけを使うからである。ただし、原論文の定理 2 の後の注意 1°（本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「一つの次数で済む十分条件」）は、(iv) の次数を $d$ 一つにできる条件を述べるもので、そこでは主結果 3 と同じ型の主張が要る。
例と反例
旗多様体が射影直線の群で、証明の各段を数値で追う。最後の反例は、主結果 2 の仮定 $N\ge1$ を外したものである。
$G=\mathrm{PGL}(2)$ とする。$G/B=\mathbf P^1$、$N=r=1$ で、余次元 $1$ の胞体の閉包 $D_1$ は点 $eB$、その類は点の類 $h$ である。本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の例「射影線形群の捩れ指数は 2」により $c_G(\hat T)=2\mathbf Zh$ で、正の基底は $\eta_1=2h=c_G(-\alpha)$（$\alpha$ は根）、$E_1=2D_1$（点 $eB$ の二重点）である。$\mathrm{Pic}(\mathbf P^1)\cong\mathbf Z$ は次数で与えられるので、$L_{-\alpha}\cong\mathcal O(2)$ で、その切断は二変数の二次形式である。零点の因子が $E_1$ の切断は $eB$ で二重に消え、横断的でない。主結果 1 は $f=\mathrm{id}_{\mathbf P^1}$、$\Delta$ を一点としてとれ、$\Delta$ の係数は $1$ である。$\ell\ge1$ なら $\ell E_1$ の係数 $2\ell$ は $1$ 以上で、$\ell E_1$ に有理同値な正因子として相異なる $2\ell$ 点の和がとれる。それは相異なる根をもつ $2\ell$ 次の二変数形式（標数によらずある）の零点で、切断は零切断に横断的、零点の数は $2\ell=\ell\,\chi(\eta_1)$ である。$\ell_1=1$、$\ell_2=2$ では零点の数は $2$ と $4$ で、最大公約数は $d=2$ である。この場合は $\ell=1$ ですでに $m=2$ が得られ、主結果 3 も成り立っている。$d'=2k'$ なら、一つしかない因子を $k'$ 倍して零点 $2k'\ell$ 個の切断を得る。
比べると、$G=\mathrm{SL}(2)$ では $c_G(\hat T)=\mathbf Zh$ で $\eta_1=h=c_G(-\omega)$、$E_1=D_1$ は一点で、$L_{-\omega}\cong\mathcal O(1)$ の一次形式の切断は零点を一つもち横断的である。零点の数 $1$ が捩れ指数 $d=1$ を与える。
$\mathrm{GL}(2)$ の旗多様体 $\mathbf P^1$ では（旗多様体が同じ $\mathbf P^1$ の $\mathrm{SL}(2)$、$\mathrm{PGL}(2)$ でも同じく）、主結果 3 は直接に成り立つ。$N=r=1$ で、余次元 $1$ の胞体の閉包の正係数の結合は $E_1=cD_1$（$c\ge1$、$D_1$ は一点）である。$E_1$ に有理同値な正因子として相異なる $c$ 点の和 $E'_1$ をとれば、$[G/B]\cdot E'_1=E'_1$ は重複した成分をもたず、主結果 3 の条件が満たされる。一次元では「順に交わる」段が一つしかないので、主結果 3 の難しさは $N\ge2$ で初めて現れる。
主結果 2 から仮定 $N\ge1$ を外す。$G$ を連結可解なアフィン群、たとえば $\mathbf G_m$ や単位群とする。$B=G$ で $G/B$ は一点、$N=0$ で、捩れ指数は $d=1$ である（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の例「特殊線形群と一般線形群の捩れ指数は 1」）。$d'=2$ は $d$ の倍数である。$B$ の $0$ 次元の表現は零表現だけで、その等質ベクトル束は一点の上の階数 $0$ の束であり、ただ一つの切断（零切断）の零点はその一点、横断性の条件（$0$ 次元の接空間から $k^0$ への全射）は満たされ、零点の数はいつも $1$ である。ゆえに (iv) の整数 $m_i$ はどれも $1$ で、最大公約数はちょうど $2$ にならない。結論が破れる。証明で崩れるのは段 5 で、倍にする因子が一つも無い。原論文の Théorème 2 は (iii) と (iv) の同値をすべての連結アフィン群について述べるので、$G$ が可解で $d'>1$ のとき、その同値もこの例で破れる。$d'=d=1$ の場合は、零点一個の切断で (iv) が成り立つ。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- 一般の平行移動の横断性（Kleiman Kle74、1974 年）：標数 $0$ で、代数群が推移的に作用する多様体の中の二つの部分多様体は、一般の平行移動で横断的に交わる。旗多様体の余次元 $1$ の胞体の閉包の平行移動にこれを順に当てれば、標数 $0$ で主結果 3 が出ると考えられる。標数 $p$ では同じ形の主張は一般には成り立たないとされる。
- Bertini の定理の後代の形（Hartshorne Har77、1977 年。Jouanolou Jou83、1983 年）：任意の標数で、非特異な射影多様体の一般の超平面切断は非特異であり、Jouanolou はこれを準射影的な場合や基点のない線形系の場合へ系統的に広げたとされる。主結果 1 の外部入力はこれらの形で引ける。
- 捩れ指数の幾何的な意味：(iv) の零点の数と、主束を自明にする被覆の次数（本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』）の関係は、後代に torsor を分解する体の拡大の次数の問題として読み直されたとされる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の §4 の、Théorème 2 の証明の (iii)⇒(iv) の段と Lemme 7 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（正因子と因子の係数）、定義（等質ベクトル束と横断的な切断） | Théorème 2 の (iv)、その証明の段 | 5-18〜5-19 |
| 補題（指標の直線束の直和の切断）、補題（正因子を順に交わらせること） | (iii)⇒(iv) の証明の「横断的 ⇔ 相異なる零点」の段（本書の補い） | 5-19 |
| 補題（指数有限の部分群の正の基底） | (iii)⇒(iv) の証明の括弧書き | 5-19 |
| 定理（重複度 1 で交わる正因子（係数を大きくした形））、注意（原論文の段と $D_0$ が正因子であること） | Lemme 7 とその証明 | 5-20 |
| 定理（捩れ指数の倍数を零点の数の最大公約数として実現（訂正形））、注意（原論文の帰着と倍数の場合） | Théorème 2 の証明の (iii)⇒(iv) | 5-18〜5-20 |
| 注意（印字の読み（Théorème 2 の証明の (iii)⇒(iv)）） | 同じ段の $n$、$m$、二つの倍率 | 5-19〜5-20 |
| 注意（零点をもたない単項式） | 同じ段の単項式 | 5-19 |
| 注意（至るところ重複度 1 で交わる正因子） | 未証明と明記される主張 | 5-19〜5-20 |
| 例（射影直線での横断的な切断）、例（一般線形群の旗多様体での重複度 1 の交わり）、反例（旗多様体が一点なら倍数は零点の数で実現できない） | 原論文には無い（本書の検算） | — |
参考文献
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