0-5 記号と約束

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

本書の全頁で共通に使う記号と約束（枠組みの規約と記号の一覧）、本書が足した仮定、原論文の番号と印字頁の引き方、状態札の意味、原論文の不備の分け方、原論文の誤植の読み方をまとめた頁である。各頁が「記号は記号と約束のとおり」と書くときはこの頁を指す。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる概念の要点は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』『0-4 Chow 環の枠組み』に、読む順序と状態札の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。
原論文は同じ文字を複数の意味に使う。極大トーラスの次元と $A^1(G/B)$ の階数の $n$、最大公約数を与える整数の組と切断の零点の数と Lemme 7 の後の倍率の $m$、半単純な商 $G/R$ と単連結な被覆の $G'$、対角と正因子の $\Delta$ である。本書はこれを書き分けた。下の表の「原論文」の欄は原論文の記号を、左の欄は本書が使う記号を示す。

枠組みの規約

本書全体で一つに決めた読み方である。どれも原論文が明示しないか、同じ語を二通りに読める所で、各頁はこの読みの下で判定する。

点の空間

原論文の「espace algébrique」は、代数的閉体 $k$ 上有限型の分離的な被約スキームを、その $k$ 点の集合と同一視したものと読む。既約とも連結とも限らない。今日の Artin の意味の代数空間ではない。定義は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（代数的空間（本書の読み））にあり、頁では初出で断って、以後「空間」と書いてよい。多様体（variété）は既約な代数的空間である。「開」「近傍」は Zariski 位相の意味で、第 5 章の「通常の位相」だけが複素数の位相である。
既約を含意しないと読む根拠は原論文の中にある。Proposition 3 の系は底が連結であることを別に仮定する（印字 5-04）。§6 の冒頭は、代数的空間はすべて複素解析空間でもあると Serre の GAGA Ser56 を引いて述べ、続けて複素多様体を「各点で次元 $n$」と断る（印字 5-27）。原論文は Proposition 5・Lemme 3 の「variété」と Proposition 1・6 の「espace algébrique」を使い分けてもいる。どれも、空間が既約とは限らない用法と整合する。この読みが、第 1 章の偽の付言（本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』）と第 2 章の底の連結性の仮定（本書『2-3 多重切断と交叉数』）に効く。

基礎体

$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。原論文は §1 の冒頭で「前の講演と同じく」と書いてこう置く（印字 5-01）。第 5 章（原論文 §6）だけ $k=\mathbf C$ とする。正の標数を $p$ と書き、頁 1-1 の反例と頁 2-3 の Artin–Schreier 拡大で使い、ほかは「その後の発展」で触れるだけである。

Chow 環の枠組み

非特異な準射影空間 $X$ の Chow 環 $A(X)=\bigoplus_iA^i(X)$ を余次元で次数付けて使い、その性質は同じ tome の前の講演（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の原典 Gro58b）が示したものを仮定として使う。本書はこの立場を「Chow 環の枠組み」と呼ぶ。使う性質の一覧、第 6 巻の頁と主結果との対応表、前の講演の番号引用の読み方は本書『0-4 Chow 環の枠組み』にある。公開本文では性質を番号でなく内容（「横断的な底変換」「完全性」など）で呼ぶ。

被覆の読み

原論文の「$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆」（revêtement non ramifié en $a$, de degré $m$）は、有限射 $g\colon X'\to X$ で、$a$ のある近傍の上でエタール（平坦かつ不分岐）であり、$g^{-1}(a)$ がちょうど $m$ 点のものと読む。$X'$ は連結とは限らない。原論文は被覆の定義をこの講演に書かず、同じセミナーの exposé 1 Ser58fib に依るとみられるが、本書は確かめていない。これは本書が足した仮定の一つで（下の「本書が足した仮定」）、定義は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（点で不分岐な被覆（本書の読み））にある。公開本文で「不分岐な被覆」と書くときは、必ず有限エタールの意であることを明記する。平坦性を外すと Proposition 4 が偽になる（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の反例）。

特性準同型の符号

連結アフィン群 $G$ の Borel 部分群 $B$ と指標 $\chi\in\hat B$ について、$c_G(\chi)$ は、$B$ が $k$ に $\chi$ で作用する付随直線束 $L_\chi=G\times^Bk_\chi\to G/B$ の第一 Chern 類とする。原論文は符号の約束を書かない。逆の約束をとると $c_G$ は $c_G\circ(-1)$ に替わるだけで、特性部分環・捩れなし・捩れ指数は何も変わらない（本書『4-1 特性準同型と特性部分環』）。

旗の類の符号

旗 $0=F_0\subset F_1\subset\cdots$ について、$\xi_i=c_1\bigl((F_i/F_{i-1})^\vee\bigr)$（各段の商の双対の第一 Chern 類）とする。原論文は斜交群の計算でだけ「双対の束に付随する類」と明記し（印字 5-24）、特殊線形群の計算では書かない（印字 5-23）。本書は特殊線形群でも同じ約束をとる。この約束は第 6 巻の旗束の分裂の因子の類（部分直線束の商そのものの $c_1$）と符号が逆で、射影束 $P(E)$ の上では本書の $\xi_1$ が第 6 巻の基本類 $\xi_E$ に等しい（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の注意（旗の類の符号と第 6 巻の分裂の因子））。この約束を外すと、正因子の類であることと次数 $1$ の主張が偽になる（本書『6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体』の反例）。

記号の衝突の読み分け

  • $n$：原論文は、§4 の冒頭（印字 5-13）で $\hat T\cong\mathbf Z^n$ の $n$（極大トーラスの次元）に、Théorème 2 の証明（印字 5-19）で $A^1(G/B)$ の階数に使う。$G$ が半単純なら二つは等しいが、一般には異なる。本書は後者を $r$ と書き、前者を書き分ける必要がある所では $r_0=\dim T$ と書く。
  • $m$：原論文は Théorème 2 の証明（印字 5-19）で、最大公約数を与える整数の組の名と、単項式 $\eta^\alpha$ の次数 $\chi(\eta^\alpha)$（切断の零点の数）の両方に $m$ を使い、Lemme 7 の後の倍率 $mD_i$（印字 5-20）にも $m$ を使う。本書は最大公約数を与える整数の組の名の次を $m_\alpha$ と書き、組は $m_i$ と書き、Lemme 7 の後の倍率は $\ell$ と書く（本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』の注意「印字の読み（Théorème 2 の証明の (iii)⇒(iv)）」の (b)）。
  • $G'$：原論文は、(4.3) の設定と Théorème 1 で $G$ を閉部分群として含む群に（§3 末の注意（印字 5-13）の $G'=\mathrm{GL}(n)$ も同じ意味）、Théorème 2 の証明（印字 5-18）と Lemme 8 の証明（印字 5-22）で半単純な商 $G/R$ に、Lemme 8 の証明で単連結な被覆にも $G'$ を使う。本書は最初の意味だけを $G'$ と書き、ほかは $\bar G=G/R$、$\tilde G$ と書く。
  • $\Delta$：原論文は対角（Lemme 4、印字 5-10）と正因子（Lemme 7、印字 5-20）の両方に $\Delta$ を使う。本書は対角を $\Delta_E$ と書き、正因子の $\Delta$ はそのまま使う。
  • $R$、$N$：頁 1-2 では $R$ は連結可解群、$N$ はその単冪根基を表す。他の頁では $R$ は連結根基、$N$ は $\dim G/B$ である。前者の意味は頁 1-2 と、頁 2-2 の主結果「連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形）」の証明で頁 1-2 の主結果を $R=B$ に当てる所と、頁 4-2 の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」の証明で $R=B'$、$R'=B$ に当てる所でだけ使う。
  • $p$：正の標数と、第 5 章の原論文のサイクル類写像の名、(4.3) の射の名（頁 4-1〜4-3）が重なる。本書はサイクル類写像を $\mathrm{cl}$ と書いてよい。

記号の一覧

体と空間

記号意味原論文
$k$、$p$代数的閉体と、その標数（正のとき）同
代数的空間、多様体上の「点の空間」の読みと、既約な代数的空間espace algébrique、variété
$V$非特異な準射影代数的空間の全体（Chow 環が定義される範囲）。$X\in V$ と書く$V$
$\dim_aX$$a$ を含む既約成分の次元（$X$ が非特異なら、その成分はただ一つ）言葉で
$T_xX$、$df_x$接空間と接写像同
$\mathbf A^1$、$\mathbf G_a$、$\mathbf G_m$アフィン直線、加法群、乗法群$k$、$k^*$
$k^m\times k^{*r}$アフィン空間とトーラスの積（頁 1-2）$k^n\times k^{*n}$（印字。下の誤植の一覧）

Chow 環の枠組み

記号意味原論文
$A(X)=\bigoplus_iA^i(X)$$X\in V$ の Chow 環。余次元で次数付け$A(X)$
$f^*$、$f_*$引き戻し（任意の射）、順像（固有射）同
$x\times y$外積同
$1_X$、$\varepsilon$単位元と増大。$X$ が既約なら $A^0(X)=\mathbf Z\cdot1_X$同
$\chi$$X$ が完備のとき、点への順像（次数）$A(X)\to\mathbf Z$$\chi$
$[Z]$、$[\mathrm{pt}]$閉部分・サイクルの類、点の類言葉で
$i_a\colon F_a\to E$ファイバー $F_a=f^{-1}(a)$ の包含。$i_a^*$ をしばしば $i^*$ と書く$i$、$i_a$
$c_i$、$c_1(L)$Chern 類、直線束の第一 Chern 類（$A^1(X)=\operatorname{Pic}(X)$）同
$P(E)$、$\xi_E$第 6 巻の規約：$E$ のファイバーの直線の空間と、$\xi_E=c_1(\mathcal O(1))$前の講演の (I.11)
$D(E)$完全旗束前の講演の Théorème 1 の系 1
$L^\times$直線束から零切断を除いた空間同
$B(X)$代数的同値によるサイクル類の群（頁 2-2 の主結果「代数的同値の変種」と本書『0-4 Chow 環の枠組み』だけ）$B(X)$

群と等質空間

記号意味原論文
$G$、$e$代数群とその単位元。第 4 章以後は連結アフィン群同
$B$、$T$、$B_u$Borel 部分群、その極大トーラス、単冪根基。$B=T\cdot B_u$$B$、$T$、$B_u$ と $B^u$（下の誤植の一覧）
$\hat B=\hat T$有理指標の群（加法的に書く）。制限 $\hat B\to\hat T$ は同型同
$r$$A^1(G/B)$ の階数（半単純な部分の階数）$n$（トーラスの次元と重なる）
$r_0$$\dim T$（$\hat T\cong\mathbf Z^{r_0}$）。$G$ が半単純なら $r_0=r$$n$
$N$$\dim G/B$同
$R$、$\bar G$、$\tilde G$連結根基、半単純な商 $G/R$、$\bar G$ の単連結な被覆$R$、$G'$（二つの意味）
$W=N(T)/T$Weyl 群同
$X_w$、$z(w)$$B$ 軌道（Bruhat 胞体）と、その閉包の類（後代の Schubert 類。頁では初出で断る）同
$D_1,\dots,D_r$余次元 1 の胞体の閉包（有効因子）。$G$ が半単純ならその類は $A^1(G/B)$ の基底同
$R$、$R'$、$N$、$N'$、$T''$頁 1-2 の連結可解群、その閉連結部分群、それぞれの単冪根基、補トーラス同（上の「記号の衝突の読み分け」）

ファイバー空間と被覆

記号意味原論文
$f\colon E\to X$ファイバー空間。ファイバーは $F$同
$P\to X$構造群 $G$ の主ファイバー空間（主束）。$G$ は右から自由に作用し $X=P/G$fibré principal
$P\times^GF$付随束fibré associé
局所自明各点に近傍 $U$ があって、$U$ の上で $P$ が $U\times G$ に同型（Zariski 位相）localement trivial
局所等自明各点 $x$ に近傍 $U$ と $x$ で不分岐な被覆 $U'\to U$ があって、引き戻しが自明localement isotrivial（exposé 1 を引く）
不分岐な被覆上の「被覆の読み」（本書が足した仮定）revêtement non ramifié en $a$, de degré $m$
有理切断空でない開集合の上の正則切断section rationnelle
簡約構造群の $F$ への簡約。$P/F\to X$ の切断と同じ言葉で
特別群構造群 $F$ の局所等自明な主束がすべて局所自明になる代数群groupe spécial

等質ベクトル束と切断

記号意味原論文
$u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$閉部分群 $F$ の有理表現$u$
$V(u)=G\times^FV$$G/F$ の上の等質ベクトル束。$f\cdot(g,v)=(gf,u(f)^{-1}v)$$V(u)$
$W(u)$、$v$$G/F$ が完備のとき $\Gamma(G/F,V(u))$ と、その上の誘導表現同
$V(u,P)$、$W(u,P)$主束 $P$ に付随する $P\times^FV\to P/F$ と $P\times^GW(u)\to X$同（resp. で圧縮して書く）
$\Delta_E$対角$\Delta$（正因子と重なる）
横断的な切断零切断の像に横断的な切断。零点は重複度 1transversal

特性環と捩れ指数

記号意味原論文
$k_\chi$、$L_\chi$$B$ が $\chi$ で作用する $k$ と、付随直線束 $G\times^Bk_\chi\to G/B$同
$c_G$特性準同型。$c_G(\chi)=c_1(L_\chi)$（上の「特性準同型の符号」）を対称代数へ延ばした次数付き環準同型 $S(\hat T)\to A(G/B)$(4.1)（符号を書かない）
$\operatorname{Im}c_G$特性部分環sous-anneau caractéristique（anneau caractéristique とも）
$i$、$q$、$p$、$\varphi$(4.3) の設定：$G\subset G'$、$B\subset B'$ で $i\colon G/B\to G'/B$、$q\colon G'/B\to G'/G$、$p\colon G'/B\to G'/B'$、$\varphi=p\circ i$同
$j\colon G/B\to P/B$主束 $P$ と $a\in P$ の定めるファイバーの包含同
捩れなし$c_G$ が全射であることsans torsion（Définition 2）
$d$捩れ指数：$\operatorname{Im}c_G\cap A^N(G/B)=d\,\mathbf Z[\mathrm{pt}]$、$d>0$indice de torsion（Définition 3）
$\ell$ 捩れ、捩れ素数素数 $\ell$ が $d$ を割ること、そのような $\ell$$\ell$-torsion
$\eta_j$、$\eta^\alpha$、$m_\alpha$特性部分環の次数 1 の正因子の類、その単項式、$\chi(\eta^\alpha)$（零点の数）$\eta_j$、$m$（組の名と重なる）
$d'$、$m_i$Théorème 2 の正の整数と、最大公約数が $d'$ の正の整数の組同
$A^+(G)$$\bigoplus_{i>0}A^i(G)$（頁 4-6 の訂正形）無し（印字は環全体の $A(G)$）

旗多様体の計算

記号意味原論文
$F_0\subset F_1\subset\cdots$旗と、旗多様体の上の標準的な部分束の列同
$\xi_i$$c_1\bigl((F_i/F_{i-1})^\vee\bigr)$（上の「旗の類の符号」）$\xi_i$（斜交群でだけ双対と明記）
$\eta_i=\xi_1+\dots+\xi_i$Plücker 埋め込みの超平面の類。正因子の類同
$\alpha=(\alpha_i)$単項式の指数。特殊線形群では $0\le\alpha_i\le n-i$、斜交群では $0\le\alpha_i\le2n+1-2i$同（斜交群の上限の印字は誤植。下の一覧）
$\omega$、$V_i$、$V_i^\perp$斜交形式、等方部分空間とその直交$f$、同

位相（第 5 章）

記号意味原論文
$\mathrm{cl}\colon A(X)\to H^{2*}(X,\mathbf Z)$サイクル類写像。原論文が証明なしに認める性質（直積・逆像・固有な順像との両立、非特異なサイクルでの Poincaré 双対）をもつ$p$
$BG$、$K$位相群 $G$ の分類空間、極大コンパクト部分群同
$H^*$整係数の特異コホモロジー同

後代の名称（torsor、エタール位相、Schubert 類、Chow 群、分類空間の Chow 環、Grothendieck–Serre の予想）は説明と「その後の発展」で使うが、原論文自身の表記として帰属させない。

本書が足した仮定

原論文が暗黙に使う仮定のうち、定義からも紙面の他の文からも出ないものを、本書は足した仮定として明示する。足した仮定の下での判定は、主結果の札と頁の注意の両方に書く。頁では番号でなく内容で呼ぶ。被覆の読みは被覆を使う全体に掛かる読みなので、札には被覆を直接構成するか使う主結果にだけ書き、それを定理として引くだけの主結果には書かない。ほかの六つは、直接使う主結果のすべての札に書く。足した仮定は次の七つである。表の最後の行は、一度は足した仮定として立てたが、定理の主張から従うので不要と判明した読みで、記録として残す。

仮定内容使う頁外したとき
被覆の読み「$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆」は、$a$ のある近傍の上でエタールな有限射で、$a$ の上にちょうど $m$ 点をもつもの（連結とは限らない）0-3、2-2、2-3、3-2、3-3、4-3、4-5、6-3平坦性を外して、閉埋め込みのような不分岐だが平坦でない成分を許すと、Proposition 4 が偽になる。有限性を外しても同じである（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の二つの反例。標数 $2$ でない体の上の円錐曲線の族）。Proposition 5 は、平坦性を外すと同じ円錐曲線の族で偽になり（本書『2-3 多重切断と交叉数』の注意「被覆の読みと平坦性」）、有限性を外すと証明に使う順像が定義されない
旗多様体の束の空間$A(P/B)$ を使う主張では、主束 $P$ は $P/B$ が非特異かつ準射影的になるものに限る4-2、4-5$A(P/B)$ が定義されず、主張が意味をもたない。原論文は Théorème 2 (i) で「$P$ は準射影的かつ非特異」と書き、Théorème 1 の系 2 では条件を書かない。$P$ の条件から $P/B$ の準射影性が出るかは、本書は確かめていない
特性準同型の符号$c_G(\chi)$ は $B$ が $\chi$ で作用する直線束の類4-1外しても主張は変わらない。逆の約束では $c_G$ が $c_G\circ(-1)$ に替わり、像は同じ
旗の類の符号旗の類 $\xi_i$ は各段の商の双対の第一 Chern 類6-1特殊線形群で部分直線束の商そのものの類をとると、$\mathrm{SL}(2)$ で $\eta_1=c_1(\mathcal O(-1))$、$\chi(\eta_1)=-1$ となり、「$\eta_i$ は正因子の類」と「$\chi(\eta_1)=1$」がともに偽になる
零点の総数は $1$ 以上Proposition 6 の前の主張と Proposition 6（とその系、§3 の末の注意）では、横断的な切断の零点の総数 $d$ を $1$ 以上とする（原論文が暗に使う仮定）3-2、3-3$\mathrm{SL}(2)$ の Borel 部分群 $B$ の自明な 1 次元表現では、$0$ でない定数の切断が零切断に横断的で零点をもたず（$d=0$）、零点の族は空になって、次数 $d$ の被覆（次数は正の整数）が得られない（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の注意「零点の総数が 0 の場合」）
逆の被覆は連結とは限らないProposition 5 の後の注意（逆の十分条件）では、被覆に連結でないものを許す2-3$a$ が底の孤立点のとき壊れる。底が一点、$E=\mathbf P^1$、$d=2$ では、連結な有限エタール被覆は次数 $1$ だけなので、次数の最大公約数はちょうど $2$ にならない。底を一点と $\mathbf A^1$ の非交和にしても同じで、底の次元が $1$ 以上というだけでは足りない（$a$ を含む成分の次元が $1$ 以上なら外せることは本書『2-3 多重切断と交叉数』の注意）
系 1 の底は連結Proposition 5 の系 1 では底 $X$ を連結とする2-3底を一点 $\{a\}$ と $\mathbf A^1$ の非交和、$E=\{a\}$、$d=1$ とすると、$\ker f^*$ は $1$ で消えず、$f_*z=1_X$ も成り立たない
（不要と判明）零点をもたない単項式を除くThéorème 2 の (iii)⇒(iv) では、次数 $\chi(\eta^\alpha)=0$ の単項式を除くなし（4-4 の注意「零点をもたない単項式」に観察として残す）仮定として要らない。Lemme 7 の正因子 $D'$ は超平面の引き戻しにとれる（定理の主張の最後の文）ので、順に交わらせたサイクルは消えず、どの単項式も $\chi(\eta^\alpha)\ge1$ である。仮に $0$ の単項式があっても、除いて最大公約数は変わらない

原論文の引き方

  • 「原論文」は Grothendieck Gro58c、すなわち Séminaire C. Chevalley 第 2 年（1958 年）「Anneaux de Chow et applications」CheACh58 の exposé 5 を指す。1958 年 6 月 16 日の講演を、同年 9 月にいくつかの点を補って書いたものである（原論文の題の下の注記）。頁は印字頁 5-01〜5-29 で引き、「印字 5-18」のように書く。Numdam で公開されている PDF の頁番号 $n$ は印字 5-$(n-1)$ に当たる（PDF の 1 頁目は Numdam の表紙）。
  • 原論文の構成は次のとおりである（節の題は本書の訳）。§1 可解アフィン群の等質空間（印字 5-01〜5-04）、§2 ファイバー空間の上のサイクル類（5-04〜5-08）、§3 線形表現による切断の構成（5-08〜5-13）、§4 特性環と捩れ（5-13〜5-21）、§5 特別な代数群の特徴づけ（5-22〜5-27）、§6 ホモロジー的な捩れとの関係（5-27〜5-29）、文献表 [1]〜[10]（5-29）。脚注は無い。原論文は節を「numéro」と呼ぶ。本書は §5 と §6 の順を入れ替え、§6 を第 5 章、§5 を第 6 章に置いた（本書『0-1 本書の読み方』）。
  • 番号付きの主張は、原論文の語のまま「Proposition 4」「Lemme 7」「Théorème 2」と引く。本文では「命題 4」「補題 7」「定理 2」と訳してもよいが、ボックスの名前と「この頁で示すこと」の名前には番号を入れない。原論文の番号は Proposition 1〜6、Lemme 1〜10、Théorème 1〜4 である。定義は、特別群の定義（番号なし、印字 5-11）、Définition 2（捩れなし、印字 5-15）、Définition 3（捩れ指数と $\ell$ 捩れ、印字 5-17）である。系は「Proposition 5 の系 1」「Théorème 1 の系 4」のように親の主張の名を付けて引く。番号の付かない系（Proposition 2・3・4 の系、Proposition 6 の系）は「Proposition 2 の系」と引く。注意は「Proposition 4 の後の注意」「Théorème 2 の後の注意 2°」「§5 の注意 3°」のように引く。式の番号は (1)、(4.1)、(4.2)、(4.3) の四つだけである。
    原論文の主張と本書の頁の対応は次のとおりである。
    原論文印字頁本書の頁
    Proposition 1、その後の注意5-011-1
    Proposition 2 とその系5-01〜5-041-2
    §2 冒頭の枠組みの宣言、Proposition 3、式 (1)、系、系の後の注意5-04〜5-052-1
    Proposition 4 とその系、Lemme 1〜3、Proposition 4 の後の注意5-05〜5-072-2
    Proposition 5、系 1、系の後の注意5-07〜5-082-3
    §3 冒頭の等質ベクトル束、切断の空間の表現、誘導表現、主束への拡張5-08〜5-103-1
    Lemme 4、零点の族が被覆になる主張、Proposition 65-10〜5-113-2
    特別群の定義と例、Lemme 5、Proposition 6 の系、§3 末の注意5-11〜5-133-3
    §4 冒頭の特性準同型、(4.1)、特性部分環、(4.2)、(4.3)、Définition 2、捩れのない群の例5-13〜5-164-1
    Lemme 6、Théorème 1、その系 1・系 25-14〜5-164-2
    Théorème 1 の系 3、特別群は捩れなし、系 4、超越定理についての注意、最高次の部分、Définition 35-16〜5-174-3
    Théorème 2 の証明の (iii)⇒(iv)、原論文が未証明と明記する主張、Lemme 75-18〜5-204-4
    Théorème 2、系 1・系 2、注意 1°5-18〜5-214-5
    Théorème 2 の後の注意 2°5-214-6
    §6 冒頭のサイクル類写像の仮定、胞体分割の主張、Lemme 105-27〜5-285-1
    特性準同型の位相的解釈、Théorème 4、Bott の結果、§6 末の注意5-28〜5-295-2
    特殊線形群と斜交群の旗多様体の計算（Lemme 8 の証明の中の計算）、§5 の注意 2°5-23〜5-266-1
    Chevalley の Schubert 類の結果の引用、Lemme 9、Dynkin 図式による判定、§5 の注意 1°5-23、5-25〜5-266-2
    Théorème 3 とその証明、Lemme 85-22〜5-256-3
    §5 の注意 3°（予想、その必要性、部分的な成立）5-26〜5-276-4
  • 原論文が外に引くものは三種類ある。一つ目は同じセミナーの二つの講演で、局所等自明性と特別群の基本事実を委ねる exposé 1（Serre Ser58fib）と、Chow 環の性質を委ねる前の講演 exposé 4（Gro58b。番号引用の読み方は本書『0-4 Chow 環の枠組み』）である。本書は exposé 1 の本文を開いていないので、その節番号を書かない。二つ目は文献表 [1]〜[10] で、本書のラベルとの対応は下の表のとおりである。三つ目は文献番号の無い引用で、Rosenlicht の局所切断（本書は Ros57 を候補とするが該当箇所は確かめていない）、Chevalley の Schubert 類の公式（公式は述べられない）、Bott の分類空間の結果（未公刊と明記される）である。
    原論文の番号本書のラベル原論文が引く所
    [1]Che58slThéorème 2 の証明の (iii)⇒(iv)（旗多様体の因子の類の群、印字 5-18）
    [2]Che58iso本文での引用なし（「[23]」の読みの候補）
    [3]Che58exLemme 8 の証明（根の指数）
    [4]Gro56Proposition 1・2 とその系の証明、Lemme 6 iii の証明（第 7 巻の原典）。印字 5-17 の「[4] proposition 7」は誤植（下の一覧）
    [5]Gro57stLemme 2 の証明、§4 冒頭（$B=T\cdot B_u$）
    [6]Gro58carProposition 1・2 の証明（1 次元の連結単冪群）
    [7]Gro57fac完備な空間の連接層の大域切断の有限次元性（§3）
    [8]Laz58旗多様体の胞体（§4、§5）
    [9]Ser55Lemme 5 の証明（Nakayama の補題）
    [10]Ser56§6 冒頭（代数的空間は解析空間）
    原論文の文献表は [1]〜[3] を Chevalley セミナーの「t. 1」とするが、Numdam ではこの三つは同じセミナーの tome 2 に収められている。原論文自身の確信度（Proposition・Lemme・Théorème・Remarque の別、「aussitôt」「facilement」「bien connu」「laissée au lecteur」の省略、「admettrons」の仮定、「(BOTT)」の未公刊の帰属、「plausibilité」の控えめな所見）は各頁の本文で添える。本書の状態札とは別のものである。

状態札の意味

  • 状態札は ［完結］／［条件付き：何を引用したか］／［未完結：何が足りないか］ の三つである。本書の基準は第 4〜7 巻と同じで、第 0 章に名指しした古典的前提を引いた主結果も［条件付き］とする。
  • ［完結］は、定義から出るもの、初等的な代数（線形代数、有限生成アーベル群、整数の最大公約数など）、本書の他の頁で［完結］とした主張だけで閉じるものである。第 0 章の頁が頁の中で証明を与えた事実があれば、それも完結の側に数える。第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の結果を引くときは第 7 巻の札を引き継ぎ、第 7 巻で［完結］の結果だけを完結の側に数える。
  • ［条件付き］は、次のどれかを引いた段が一つでもあるものである。(a) 第 0 章に集めた古典的前提。線形代数群の構造、Borel 部分群と旗多様体、連結単冪群の構造、Rosenlicht の局所切断、半単純群と Bruhat 分解（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』）、非特異点の基本、アフィンな空間と連接層の基本、不分岐な射とエタールな射の基本、曲線の基本（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』）、固有な交わりの重複度と長さ（本書『0-4 Chow 環の枠組み』）である。(b) Chow 環の枠組みの性質（本書『0-4 Chow 環の枠組み』）。第 6 巻では、それらは Chow 環の上の主張としては［条件付き］である。(c) 第 7 巻で［条件付き］の結果。(d) 外部入力。同じセミナーの exposé 1 に委ねられた局所等自明性の基本事実、有限エタール被覆に沿った降下、代数的同値の理論、超平面切断の Bertini の定理、Chevalley の Schubert 類の公式、原論文が認めるサイクル類写像、分類空間のコホモロジーの事実、Bott の結果、Borel–Moore ホモロジーである。
  • ［条件付き］の札には何を引用したかを書く。Chow 環の枠組みは第 6 巻の頁と主結果の名前で、第 7 巻の結果は第 7 巻の頁と主結果の名前で、古典的前提と外部入力は内容の名前で書く。条件は依存する主結果に伝わる。原論文に証明が無くても、本書が外部入力を使った証明を与えたものは［条件付き］である。
  • ［条件付き］の札の理由には、「Chow 環の枠組みの下では完結」と一文添えることがある。証明が、本書の頁の中の議論、Chow 環の枠組みの性質、第 0 章の古典的前提だけで閉じ、上の (c)(d) を使わないという意味である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の注意（Chow 環の枠組みに依る主結果の札））。Chow 環の枠組みを使わない主結果には「Chow 環の枠組みに依らない」と書き添えることがある。どちらも札の種類ではなく、札の理由の補足である。
  • ［未完結］は、原論文にも本書にも、外部入力を使った証明も無いものである。原論文が事実として述べ、証明も精確な形も無い主張、原論文が未証明と明記する主張も、主結果として立てて［未完結］とする。原論文が証明なしに認めるサイクル類写像と、原論文が未公刊とする Bott の結果は、「原論文はこう述べる」と書き、「証明した」とは書かない。
  • 本書が足した仮定に依る主結果は、札に「足した仮定：…」と内容で書く（上の「本書が足した仮定」）。
  • 原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、訂正した主張を主結果とし、名前に「訂正形」と入れ、原論文の形がどの反例で破れるかを札の後に添える。原論文の印字と反例は、その頁の注意と反例のボックスに書く。したがって札に［偽］は現れない。
  • 定義、前提、設定、所見、予想、問いは主結果にしない。予想は &&&conj、所見と問いは &&&rem に置き、札を付けない。原論文の一つの主張の中で部分ごとに札が違うものは、部分ごとに主結果を分けて立てた（Lemme 6 の i・iii と ii、Chevalley の Schubert 類の結果の生成と基底、Théorème 2 の後の注意 1° の十分条件と単純単連結群への帰着）。
  • 例と反例は主結果に数えない。反例は「例と反例」の節に置き、どの条件を外すとどの結論が壊れるかを最初に書く。例と反例が何に依るかは本文に書く。
  • 第 0 章の頁は引用の頁なので札を付けない。札の読み方と全体の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。

主張の偽と証明の段の不備

本書は原論文の不備を三つに分ける。
一つ目は誤植である。印字のままの主張や式が成り立たなくても、近くの式や文が正しい形を与え、誤った形に理由（その形でよい根拠）が添えられていなければ、誤植として訂正した形で読み、主結果は訂正形で数える。番号・記号・綴りの誤りもここに入れる。一覧は下の「原論文の誤植の読み方」にある。
二つ目は主張の偽で、印字のままの主張に反例があり、近くに正しい形を与える文が無いものである。本書に当たるのは四件である。

  1. Proposition 1 の後の注意の「群が連結でなくても結果は成り立つ」は、既約とは限らない底では偽で、本書は主結果「既約な底の上の非連結な単冪群（訂正形）」とし、反例「反例：可約な底では非連結な単冪群の主束は自明とは限らない」を置いた（本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』）。
  2. Lemme 2 は群が単位群でないことを書かず、単位群では偽である。本書は主結果「連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形）」とし、反例「反例：単位群では元と単位元を結ぶ直線は無い」を置いた（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』）。原論文の用途（Lemme 1）には影響しない。
  3. Théorème 2 の (iii)⇔(iv) と (iv)⇔(v) は、旗多様体が一点（$N=0$、群が可解）で $d'>1$ のとき偽である。本書は主結果「捩れ指数の倍数を零点の数の最大公約数として実現（訂正形）」と主結果「捩れ指数の五つの特徴づけ（訂正形）」に $N\ge1$ を入れ、反例「反例：旗多様体が一点なら倍数は零点の数で実現できない」を置いた（本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』『4-5 捩れ指数の特徴づけ』）。$N=0$ の場合は本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の注意「旗多様体が一点の場合と訂正の選び方」で別に述べる。
  4. Théorème 2 の後の注意 2° の「$A(G)$ は有限環」は、$A^0(G)=\mathbf Z$ なので偽で、本書は主結果「群の Chow 環の正次数部分の有限性（訂正形）」とし、反例「反例：群の Chow 環は有限環でない」を置いた（本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』）。
    1 と 4 は原論文が証明を書かずに付言した一文で、2 と 3 は境界の場合（単位群、旗多様体が一点）を除く仮定の書き落としである。
    三つ目は、主張は正しいが原論文の証明の段が不備で、そのままでは通らないものである。本書に当たるのは次の七件で、主張の札には影響させず、その頁の注意に「原論文の段は…で、そのままでは通らない。本書は…で示す」と書く。
  5. Proposition 1 の帰納法の順序（本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』）。
  6. Proposition 3 の系で選ぶ類の斉次成分（本書『2-1 局所自明な点でのファイバーへの制限』）。
  7. Proposition 4・5 の被覆の読み。Proposition 4 も Proposition 5 も被覆の平坦性と有限性を要する（Proposition 5 の有限性は証明に使う順像のため）（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の注意「原論文の被覆の定義と本書の読み」、本書『2-3 多重切断と交叉数』の注意「被覆の読みと平坦性」）。
  8. Proposition 6 の前の「零点の族は近傍を縮めれば被覆になる」という段。原論文の引く重複度 1 の判定と Lemme 4 からは被覆であることまでは出ない（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』）。
  9. Théorème 1 の系 2 と Théorème 2 (i) が使う $A(P/B)$ の空間の条件（本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』『4-5 捩れ指数の特徴づけ』）。
  10. Théorème 2 の (iii)⇒(iv) を捩れ指数そのものの場合に帰着する段。(iv) は最大公約数がちょうど $d'$ であることを求めるので、$N\ge1$ のときは倍数の場合を含まない段の不備で、本書は一つの因子だけを倍にして埋めた（本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』）。$N=0$ のときは帰着の先の主張そのものが偽で、上の二つ目の分類の 3 に当たる。
  11. §6 の胞体分割をもつ空間のサイクル類写像の段。原論文はコンパクトな空間の CW 分割を念頭に置き、コンパクトでない場合を区別しない。また胞体のコホモロジー類と原論文が認めるサイクル類写像の値の一致は、原論文の仮定から直接には出ない（本書『5-1 サイクル類写像と胞体分割』の注意「原論文の段とコンパクトでない場合」）。
    Lemme 4 の証明の対角線の議論はこの一覧に入れない。印字の $E\times E$ を底の上のファイバー積 $E\times_YE$ と読めば、各段の逆像は固有で、原論文の証明は本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「固有な交わりの重複度と長さ」の (1)(2)(4) だけで通り、欠けているのは固有性の確認と積の記号の明示だけだからである（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の注意「原論文の対角線の議論」）。$k$ の上の積と読むと定義の段から固有でなくなるが、その読みは式の意味に合わないので、本書は採らない。
    原論文の予想の設定の中の書き落とし（§5 の注意 3° の Borel 部分群の言い換えに「連結」が無いこと）は、主張ではなく設定なので偽に数えず、誤植の一覧に留保として置く。

原論文の誤植の読み方

誤植と記号の揺れは主結果に数えず、各頁の注意に「原論文の印字は…、…と読む」と書く。上の「記号の衝突の読み分け」に挙げた多重使用と、軽いタイプの崩れ（打ち損じ・綴り）はこの一覧に含めない。「留保」は、読みを一つに確定できないか、どの読みでも主張が変わらないものである。一覧は次のとおりである。

箇所原論文の印字本書の読み頁
印字 5-01、Proposition 1 の証明「d'où $O_X$ désigne」où（打ち損じ）1-1
印字 5-02、Proposition 2 の系$k^n\times k^{*n}$、$k^{n+n}$$k^m\times k^{*r}$、$k^{m+r}$（二つの次元は一般に異なる）1-2
印字 5-02、Proposition 2 の証明「$T/T'$ à $T^*$」$T''$（次の式が $T''$ と書く）1-2
印字 5-02、同じ証明「[4], corollaires 3, 4 au théorème 2, p. 4」[4] の Théorème 2 の系 3・系 4（内容の補トーラスの存在は第 7 巻で確かめられる。「p. 4」との対応は留保）1-2
印字 5-03、同じ証明「de $T''\times T'\times N$ dans $G$」$R$ の中へ（Proposition 2 に $G$ は無い）1-2
印字 5-03、同じ証明$g_0(rr')$ の式の $t^*$$t''$（直前の式と同じ形）1-2
印字 5-03、同じ証明「récurrence sur dim(N') = n」$\dim N=n$ についての帰納法1-2
印字 5-04、Proposition 3 の証明「i.」「prouve (i)」先行稿の番号の名残で、内容に影響しない2-1
印字 5-05、Proposition 4「entier $n$」「de degré $n$」$m$（系と証明が $m$ と書き、結論も $m$ で消える）2-2
印字 5-06、5-15、Lemme 2 と Lemme 6 i の証明「corollaire 1 à la proposition 2」Proposition 2 の系（番号は付かない）2-2、4-2
印字 5-06、Lemme 2$x$ と $e$ を結ぶ直線（$x=e$ の場合を書かない）$x=e$ なら $e$ を通る任意の直線2-2
印字 5-07〜5-08、Proposition 5 の証明$n_i$ と $m_i$ の役割が入れ替わる（「$\chi(i_a^*(z'_i))=m_i$」など）主張どおり $n_i$ を被覆の次数と読む（証明末の $\sum n_im_i=d$ が正しい役割を与える）2-3
印字 5-07、同じ証明「soit … la classe de $Z_i$」の記号が潰れる$z_i$（次の頁の $h_{i*}(z_i)$）2-3
印字 5-07、同じ証明「$F_i=h^{-1}(F)$」$h_i^{-1}(F)$2-3
印字 5-10、Lemme 4 の証明積 $E\times E$ とその対角底の上のファイバー積 $E\times_YE$ とその対角（$k$ の上の積では定義の段から交わりが固有でない）3-2
印字 5-11、Proposition 6 の前「section … de $P'/F$ au-dessus de $U$」$X'$ の上の切断（$P'/F$ は $X'$ の上の空間）3-2
印字 5-12、Lemme 5「de groupe $G$」$F$（主張の他の部分と証明が $F$ と書く）3-3
印字 5-12、Lemme 5 の証明「l'ensemble des $a\in G$」$a\in F'$（同じ文が $F'$ の開集合と書く）3-3
印字 5-13、§4 冒頭「fibré principal principal」語の重複4-1
印字 5-13、同$B^u$ と $B_u$同じもの4-1
印字 5-15、Théorème 1 の証明「la commutativité dans (4.1)」(4.2)（(4.1) は写像で、図式は (4.2)）4-2
印字 5-16、Théorème 1 の系 2三角図式の下端の $A(G/B')$$A(G/B)$（$c_G$ の値域）4-2
印字 5-17、Théorème 1 の系 4 の証明「([8] et [4] proposition 7)」[4] は前の講演（第 6 巻の原典）の Proposition 7（本書『0-4 Chow 環の枠組み』）4-3
印字 5-20、Théorème 2 の証明「$\ell_1$ et $\ell_2$ … premiers entre eux et premiers à $d$」互いに素で足りる（「$d$ と素」は不要だが害は無い）4-4
印字 5-21、Théorème 2 の系 1「(définition 1)」Définition 2（捩れなしの定義）4-5
印字 5-21、Théorème 2 の系 2写像の列 $S(\hat B)\to A(G/B)\to A(G/B)\to\mathbf Z/\ell$二つ目を $A^N(G/B)$ への射影と読む（留保。どちらの読みでも主張は正しい）4-5
印字 5-21、Théorème 2 の後の注意 1°「dans dans」語の重複4-5
印字 5-22、Lemme 8「$(i\le1\le N)$」$1\le i\le N$6-3
印字 5-22、Lemme 8 の証明「([23] proposition 1)」文献表に [23] は無い。文献 [3]（講演番号 23）との取り違えが最も自然で、[2] の可能性も否定できない（留保）6-3
印字 5-23、特殊線形群の計算次元を $p$ と書く箇所と、範囲「$(0\le i\le p-1)$」$p$ は $n$、範囲の下限は $1$（$\eta_0$ は定義されない）6-1
印字 5-23、同$\chi$ が消える条件の比較記号次数が $N$ 未満の単項式と読む6-1
印字 5-24、同「$\prod(1+\xi_i)=0$」$=1$（印字のままでは次数 $0$ の成分で $1=0$ になる）6-1
印字 5-24、斜交群の計算「$\prod(1+\xi_i)(1-\xi_i)=0$」「$\prod(1-\xi_i^2)=0$」$=1$（同じ段の「$\xi_i^2$ の基本対称式が消える」という帰結が正しい形を与える）6-1
印字 5-24、同基底の範囲「$(0\le\alpha_i\le2n-1-2i)$」$0\le\alpha_i\le2n+1-2i$（印字のままでは $i=n$ で上限が負）6-1
印字 5-24、同「base du Z-module D」$A(D)$ の基底6-1
印字 5-24、同「comme $E'$ est trivial」$E$（留保。どちらも自明な束で結論は同じ）6-1
印字 5-24、同「pour $i< n$」と「$i\le n$」$i\le n$（$i=n$ でラグランジュ部分空間）6-1
印字 5-25、同範囲「$(0\le i\le n)$」下限は $1$6-1
印字 5-25、同$\chi$ の式の左辺の指数と条件の変数が揃わない$\alpha\ne(2n-1,2n-3,\dots,1)$ なら $\chi(\xi^\alpha)=0$（次の行の等式が正しい形を与える）6-1
印字 5-25、同$\eta_i$ を外冪への既約表現に付随させる外冪 $\Lambda^iV$ の中の最高重みの既約成分（$n\ge2$、$i\ge2$ では $\Lambda^iV$ は既約でない）6-1
印字 5-26、§5 の注意 3°Borel 部分群の言い換え「sous-groupe fermé linéaire résoluble maximal」連結な極大可解閉部分群と読む（留保。予想の設定なので偽に数えない）6-4
印字 5-27、§5 の注意 3° の続き射影 $f$ が定義されずに使われる$E=P/B\to X$ の射影6-4

画像で確かめたが印字に誤りの無い点は一覧に入れない。印字 5-04 の図式の下の矢印は $j$ で、印字 5-23 の特殊線形群の基底の範囲 $0\le\alpha_i\le p-i$ は（$p$ を $n$ と読めば）正しい。
誤植ではなく、紙面の語の読み方を本書が決めたものもある。「espace algébrique」の読み（上の「点の空間」）、「revêtement non ramifié」の読み（上の「被覆の読み」）、特性準同型と旗の類の符号（上の二つの約束）である。原論文の「sous-anneau caractéristique」は本書の特性部分環、「indice de torsion」は捩れ指数である。

頁の読み方の約束

  • 第 1 章以後の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。
  • 頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』の主結果「…」」の形で書く。別の巻への参照は「第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『n-m 名前』の主結果「…」」「第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『n-m 名前』の主結果「…」」の形で書く。巻の題名は作業題である。
  • 定理類はボックスに書き、ボックスは名前で引く（「上の定理（名前）」）。主結果の名前は各頁の「この頁で示すこと」の名前と同じである。
  • 原論文の文言の引用は短い句に限り、訳して述べる。
  • 「その後の発展」は時点を明記し、本書が文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。
  • 「例」「反例」を使い、反例ではどの条件を外したかを最初に書く。

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