3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約
等質ベクトル束が零切断に横断的な切断をもつとき、主束の各点の近くで、その切断を底の方向へ拡げた族の零点が、零点の数を次数とする有限エタール被覆になり、その被覆の上で構造群が部分群に簡約されることを示す。原論文が引く零サイクルの制限の補題は、原論文の対角線の議論に代えて零点の局所環の長さで証明し、原論文が「すぐ分かる」とする被覆性は接空間の計算と固有性で補う。
前提知識: ベクトル束, 主束, 等質空間, エタール射, 交叉積, Jacobiの判定法
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。空間は本書の読みの代数的空間（$k$ 上有限型の分離的な被約スキームを $k$ 点の集合と同一視したもの。既約とも連結とも限らない）で、位相は Zariski 位相である。$G$ を代数群（アフィンとは限らない）、$F$ を閉部分群で $G/F$ が完備なものとし、$N=\dim G/F$ とおく。$F$ の有理表現 $u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$ で $\dim V=N$ のものをとり、$G/F$ の上の等質ベクトル束を $V(u)=G\times^FV$、その大域切断の空間を $W(u)=\Gamma(G/F,V(u))$ と書く。構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ について、$f\colon P/F\to X$ を射影とし、$V(u,P)=P\times^FV\to P/F$、$W(u,P)=P\times^GW(u)\to X$ とおく（下の定義）。「不分岐な被覆」はいつも本書の読みの有限エタールの意味である（下の定義（不分岐な被覆（本書の読み）））。
本頁の主結果は次の三つである。
- 部分空間への零サイクルの制限（原論文 Lemme 4）：非特異な代数的空間 $Y$ の上の階数 $N$ のベクトル束 $E$ の正則切断 $s$ の零サイクル $Z$ が存在し、非特異な閉部分空間 $Y'$ と固有に交わるなら、$s$ の $Y'$ への制限 $s'$ の零サイクル $Z'$ は存在して、交叉積 $Z\cdot Y'$ に等しい。［条件付き：固有な交わりの重複度と長さ（交叉積の結合律、Cartier 因子の交わりの重複度が局所環の長さであること）、非特異な閉部分空間の局所方程式（Jacobi の判定法）、正則局所環のパラメータ系が正則列であることを引用］
- 横断的な零点の族は有限エタール被覆（Proposition 6 の前の主張）：$V(u)$ の正則切断 $s$ が零切断に横断的で、零点の総数 $d$ が $1$ 以上であるとする。$X$ が非特異で $x\in X$ のとき、$P$ の $x$ の上の点を選んで $s$ を $W(u,P)$ の $x$ でのファイバーの元と見、$x$ の近傍 $U$ の上の $W(u,P)$ の切断 $S$ で $S(x)=s$ となるものをとる。$S$ を $V(u,P)$ の $f^{-1}(U)$ の上の切断と見たときの零点の集合を $X'$ とすると、$U$ を $x$ のより小さい近傍に替えれば、$g=f|_{X'}\colon X'\to U$ は次数 $d$ の有限エタール被覆であり、$P'=g^{-1}(P)$ について $P'/F$ は $X'$ の上に自然な正則切断をもつ。［条件付き：本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』の主結果「主束への拡張と切断の同一視」、同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実、本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（等質空間の基本）の (1)（$G/F$ の非特異性）、Jacobi の判定法、不分岐な射とエタールな射の基本（エタールな点と準有限な点の集合は開、固有で準有限なら有限、次数は連結な底の上で一定、エタールな射は非特異性を保つ（(7)））を引用。足した仮定：零点の総数 $d\ge1$（原論文が暗に使う仮定で、本書が足した）、不分岐な被覆は有限エタール被覆］
- 構造群の簡約のための不分岐被覆（原論文 Proposition 6）：$V(u)$ が零切断に横断的で零点の総数 $d\ge1$ の正則切断をもつなら、非特異な底 $X$ の上の構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P$ と $x\in X$ に対し、$x$ の近傍 $U$ と、$U$ の $x$ で不分岐な次数 $d$ の被覆 $g\colon X'\to U$ があって、$P'=g^{-1}(P)$ の付随束 $P'/F$ は正則切断をもつ。すなわち $P'$ の構造群は $F$ に簡約される。［条件付き：2 による。本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』の主結果「主束への拡張と切断の同一視」も引用。足した仮定：零点の総数 $d\ge1$（原論文が暗に使う仮定で、本書が足した）、不分岐な被覆は有限エタール被覆］
三つとも交叉理論の枠組み（Chow 環の枠組み）を使わない（Chow 環の枠組みに依らない）。主結果 1 は Weil–Chevalley–Samuel の固有な交わりの理論だけを使い、主結果 2・3 は交叉の重複度さえ使わず、接空間と有限エタール射の基本で閉じる。本書の基準では、第 0 章の古典的な定理と、同じセミナーの第 1 講演に委ねられた事実、前の頁の条件付きの主結果を引くので、三つとも［条件付き］になる。主結果 2・3 の $d\ge1$ は、原論文が暗に使う仮定で、本書が足した仮定である（本書『0-5 記号と約束』の「本書が足した仮定」）。零点のない場合には被覆が空になり、Proposition 6 の主張（次数 $d$ の被覆）に当たらない（下の注意（零点の総数が 0 の場合））。
背景と動機
原論文 §3 の目的は、主束の構造群を部分群 $F$ に簡約するという非線形の問題を、線形の問題に置き換えることである。簡約とは付随束 $P/F\to X$ の切断のことで、そのファイバーは等質空間 $G/F$ である。前の頁（本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』）で、$G/F$ の上の等質ベクトル束 $V(u)$ の切断の空間 $W(u)$ が $G$ の有理表現になり、主束の族に拡げると底の上のベクトル束 $W(u,P)$ になることを見た。
本頁の考え方は次のとおりである。$V(u)$ の階数を $G/F$ の次元 $N$ に合わせると、一般の切断の零点は有限個の点になる。切断 $s$ が零切断に横断的なら、零点はちょうど $d$ 個の点で、どれも重複度 $1$ である。$s$ を $W(u,P)$ の切断 $S$ として底の方向へ拡げると、各ファイバー $f^{-1}(x')$ の上の零点の集合が $x'$ とともに動き、その全体 $X'$ は底の上の $d$ 枚の被覆になる。$X'$ の点は $P/F$ の点なので、$X'$ の上では $P/F$ に切断が一つ決まり、構造群が $F$ に簡約される。原論文はこれを Proposition 6 にまとめ（印字 5-11）、前の節の終わりの注意で期待した Proposition 5 の逆の代わりになる結果だと位置づける（本書『2-3 多重切断と交叉数』の主結果「横断的な代表をもつときの逆」と予想「横断的な代表の存在（原論文の期待）」）。
原論文の証明は二つの主張に分かれる。第一は、$X'$ がファイバー $f^{-1}(x)$ と横断的に交わり、交点がちょうど $d$ 個であることで、原論文はこれを「重複度 1 の判定法」と零サイクルの制限の補題（Lemme 4）から「すぐ出る」とする。第二は、$f$ が固有なので、$U$ を縮めれば $X'$ が $U$ の次数 $d$ の不分岐な被覆になることで、これも「すぐ結論される」とだけ言う（印字 5-10〜5-11）。本書は Lemme 4 を主結果 1 として長さの計算で証明し、第一・第二の主張をまとめて主結果 2 として、接空間の計算とエタールな点の開集合性で証明する。Lemme 4 の原論文の証明（対角線の逆像の合成）は、印字の積を $Y$ 上のファイバー積と読めば通るが、固有性の確認を書かないので、注意で補う。
定義と準備
主結果の記号を定める。等質ベクトル束と主束の族の構成は前の頁で行ったので、使う部分だけを短く繰り返す。続けて、零点の局所環と零サイクル、切断の横断性を定め、横断性と重複度 1 の関係を補題として確かめる。
$G$ を代数群、$F$ を閉部分群、$u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$ を有理表現とする。$G\times V$ に $F$ を右から $(g,v)\tau=(g\tau,u(\tau)^{-1}v)$（$\tau\in F$）で作用させた商として $V(u)=G\times^FV$ と書き、$G/F$ の上の等質ベクトル束という。$G/F$ が完備なとき $W(u)=\Gamma(G/F,V(u))$ と書く。構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ について、$P/F=P\times^G(G/F)$、射影 $f\colon P/F\to X$、$V(u,P)=P\times^FV\to P/F$、$W(u,P)=P\times^GW(u)\to X$ とおく。点 $a\in P$ で $a$ の像が $x\in X$ のとき、$gF\mapsto(a g\text{ の }P/F\text{ での像})$ は同型 $\iota_a\colon G/F\to f^{-1}(x)$ を、$w\mapsto[a,w]$ は同型 $W(u)\to W(u,P)_x$ を与える。
前の頁の主結果「主束への拡張と切断の同一視」は、$f$ が固有な局所等自明なファイバー空間であること、$V(u,P)$ と $W(u,P)$ が局所自明なベクトル束であること、自然な同型 $W(u,P)\cong f_*V(u,P)$ があって、ファイバーでは $W(u,P)_x$ の元 $[a,w]$ が、$\iota_a$ で $G/F$ と同一視した $f^{-1}(x)$ の上の $V(u)$ の切断 $w$ に当たることを言う。本頁はこの形で使う（下の引用する事実 2）。
次に零点を扱う。ベクトル束の切断の零点の集合に、重複度を測るための局所環を付ける。
$Y$ を非特異な代数的空間、$E$ を $Y$ の上の階数 $N$ のベクトル束、$s$ をその正則切断とする。$y\in Y$ の近傍で $E$ を自明化して $s=(s_1,\dots,s_N)$（正則関数の組）と書くとき、局所環 $\mathcal O_{Y,y}$ のイデアル $I_y=(s_1,\dots,s_N)$ は自明化の取り方に依らない（自明化の取り替えは可逆な行列を掛けることだから）。$I$ の定める閉部分スキームを $s$ の零点スキーム、その点の集合（$s$ の零点の集合）を $|Z(s)|$ と書く。$|Z(s)|$ のどの既約成分も $Y$ で余次元 $N$ をもつ（空でもよい）とき、$s$ の零サイクルが存在するといい、
$$Z(s)=\sum_W\ell\bigl(\mathcal O_{Y,W}/I_W\bigr)\,[W]$$
（$W$ は $|Z(s)|$ の既約成分、$\mathcal O_{Y,W}$ はその生成点での局所環、$\ell$ は長さ）を $s$ の零サイクルという。零点が孤立した点 $y$ のとき、$\ell(\mathcal O_{Y,y}/I_y)$ を零点 $y$ の重複度という。零サイクルが存在し、零点が有限個の点 $y_1,\dots,y_d$ でどれも重複度 $1$ のとき、$d$ を零点の総数という。
原論文は零サイクルを、$t(y)=(0_y,s(y))$ で定まる $t\colon Y\to E\times E$ による対角の逆像 $t^{-1}(\Delta_E)$ として定める（印字 5-10）。本書は零点の局所環の長さで定めた。長さで定めると、下の引用する事実 5 により、零サイクルは局所的に $N$ 個の Cartier 因子 $\operatorname{div}(s_i)$ の交叉積に等しい。原論文は対角と正因子に同じ記号 $\Delta$ を使うので、本書は対角を $\Delta_E$ と書く。
上の定義の $s$ と零点 $y$ について、$y$ の近傍の自明化で $s=(s_1,\dots,s_N)$ と書くとき、微分 $ds_y=(ds_1(y),\dots,ds_N(y))\colon T_yY\to k^N$ が全射であることを、$s$ が $y$ で零切断に横断的であるという（$s(y)=0$ なので、自明化の取り替えは $ds_y$ に可逆な行列を掛けるだけで、条件は自明化に依らない）。すべての零点で横断的なとき、$s$ は零切断に横断的であるという（零点が無ければ条件は無い）。
これは、射 $s\colon Y\to E$ が零切断の像に横断的であること（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定義（射と部分多様体の横断性））の、自明化による言い換えである。階数と次元が等しいとき、横断性は零点の重複度が $1$ であることと同じになる。原論文が切断の零点について「どれも必然的に重複度 1 をもつ」と括弧書きする（印字 5-10）のはこのことである。
上の定義の $s$ と零点 $y$ について、$\dim_yY=N$ とする。次は同値である。
- $s$ は $y$ で零切断に横断的である。
- $\mathcal O_{Y,y}/I_y=k$、すなわち $y$ は孤立した零点で重複度が $1$ である。
さらにこのとき、$y$ の近傍で零点スキームは被約な一点 $\{y\}$ である。
段 1（接空間の双対）．$\mathfrak m=\mathfrak m_y$ とする。接空間は $T_yY=(\mathfrak m/\mathfrak m^2)^\vee$ で、関数 $h\in\mathfrak m$ の微分 $dh(y)$ は $h$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像に当たる。ゆえに 1 は、$s_1,\dots,s_N$ の $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ での像が一次独立であることと同値である。$y$ は非特異点で $\dim_yY=N$ なので $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=N$ であり、1 は、その像が $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を張ることと同値である。
段 2（Nakayama の補題）．$I_y\subset\mathfrak m$ である。像が $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を張ることは $I_y+\mathfrak m^2=\mathfrak m$ と同じで、Nakayama の補題によりこれは $I_y=\mathfrak m$ と同値である。$I_y=\mathfrak m$ は $\mathcal O_{Y,y}/I_y=\mathcal O_{Y,y}/\mathfrak m=k$ と同じである。ゆえに 1 と 2 は同値である。
段 3（近傍での形）．$I_y=\mathfrak m$ なら、$s_1,\dots,s_N$ は $y$ の近傍で $y$ だけを零点にもち（$\mathfrak m$ の生成元の共通零点は $y$ の近傍で $\{y\}$）、零点スキームの $y$ での局所環は $k$ で被約である。
補題は、階数と次元が等しいときに「横断的な零点」と「重複度 1 の零点」を同一視してよいことを言う。とくに零切断に横断的な $s$ の零サイクルは、存在すれば相異なる点の和 $[y_1]+\dots+[y_d]$ で、$d$ はその点の数である。
最後に、被覆の読みを繰り返す。
$X$ を代数的空間、$x\in X$、$m$ を正の整数とする。$x$ で不分岐な次数 $m$ の被覆とは、有限な射 $g\colon X'\to X$ で、$x$ のある開近傍の上でエタールであり、$g^{-1}(x)$ がちょうど $m$ 点からなるものをいう。$X'$ は連結とは限らない。有限でエタールな全射を有限エタール被覆という。
これは本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（点で不分岐な被覆（本書の読み））と同じで、原論文の「revêtement non ramifié」を本書がこう読むことは、本書が足した仮定の一つである。主結果 2・3 は被覆を直接構成するので、札にこの仮定を書いた。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。事実 1・4 の要点は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「局所等自明性の基本事実」と定理「不分岐な射とエタールな射の基本」に、事実 3 は第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『0-2 代数多様体・横断性・射影束と旗多様体』の定理（Jacobi の判定法）に、事実 5・6 は本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理（固有な交わりの重複度と長さ）にある（事実 6 は同じ定理の (5)）。原典は、事実 1 が同じセミナーの第 1 講演 Ser58fib、事実 3・4 が Zariski Zar47、事実 5・6 が Weil Wei46 と Samuel Sam55 である。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。
- 局所等自明性の基本事実：構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ と閉部分群 $F$ について、付随束 $P/F\to X$ は局所等自明である。すなわち $X$ の各点 $x$ に、開近傍 $U_1$ と、$x$ で不分岐な被覆 $h\colon U''\to U_1$ があって、$(P/F)\times_{U_1}U''$ は $U''$ の上で $U''\times(G/F)$ に同型である。
- 主束への拡張と切断の同一視（本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』の主結果「主束への拡張と切断の同一視」）：$G/F$ が完備なら、$f\colon P/F\to X$ は固有で、$V(u,P)$、$W(u,P)$ は局所自明なベクトル束であり、自然な同型 $W(u,P)\cong f_*V(u,P)$ がある。ファイバーでは、上の定義（等質ベクトル束と主束の族）の同一視のもとで、$W(u,P)_x$ の元 $[a,w]$ に対応する $f^{-1}(x)$ の上の $V(u,P)$ の切断は、$\iota_a$ と $V(u)\to V(u,P)$、$[g,v]\mapsto[ag,v]$ で移した $w$ である。
- Jacobi の判定法：非特異な点 $y$ の近傍の正則関数 $h_1,\dots,h_r$ が $h_i(y)=0$ を満たし、微分 $dh_i(y)$ が一次独立なら、$y$ の近傍で零点スキーム $V(h_1,\dots,h_r)$ は非特異（とくに被約）で純余次元 $r$ であり、$y$ での接空間は $\bigcap_i\ker dh_i(y)$ である。逆に、非特異な閉部分空間は、各点の近傍で、微分が一次独立な余次元の個数の関数で（被約な閉部分としてのイデアルが）生成される。
- 不分岐な射とエタールな射の基本：(a) エタールな点の全体と準有限な点の全体は開集合である。固有で準有限な射は有限である。固有な射は閉写像である。(b) 有限エタールな射のファイバーの点の数は、底の連結成分の上で一定である。(c) エタールな射は底変換で保たれる。(d) 射 $\varphi\colon M'\to M$ が $y'$ でエタールなら、$M$ が $\varphi(y')$ で非特異であることと $M'$ が $y'$ で非特異であることは同値で、そのとき $\dim_{y'}M'=\dim_{\varphi(y')}M$ で、$d\varphi_{y'}$ は同型である。逆に $M'$、$M$ が非特異で $d\varphi_{y'}$ が同型なら、$\varphi$ は $y'$ でエタールである。
- 固有な交わりの重複度と長さ：非特異な空間の中で、固有な交わりの交叉積は可換かつ結合的で、重複度は成分の生成点の近くだけで決まる。有効 Cartier 因子 $D_1,\dots,D_r$（局所方程式 $h_1,\dots,h_r$）の交わりの成分 $W$ の余次元が $r$ なら、交叉積 $D_1\cdots D_r$ の $W$ での重複度は $\ell(\mathcal O_{W}/(h_1,\dots,h_r))$（$\mathcal O_W$ は $W$ の生成点での局所環）に等しい。
- 正則局所環のパラメータ系：次元 $n$ の正則局所環 $R$ の元 $h_1,\dots,h_n$ について $R/(h_1,\dots,h_n)$ が長さ有限なら、$h_1,\dots,h_n$ は正則列で、各 $j$ について $(h_1,\dots,h_j)$ の極小素イデアルはどれも高さ $j$ である（正則局所環は Cohen–Macaulay で、パラメータ系の一部が生成するイデアルは混合をもたない）。
事実 4 の (d) は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（不分岐な射とエタールな射の基本）では、前半の「底が非特異なら源も非特異」が (7)、次元と $d\varphi_{y'}$ の同型の部分が (4) の後半、逆向き（源が非特異で $d\varphi_{y'}$ が同型なら $\varphi$ はエタール）が (4) の前半にあたる。(a)(b)(c) も同じ定理の (2)(3)(1) にあたる。(7) の「底が非特異なら源も非特異」の向きは、平坦で不分岐な局所環の準同型が正則性を保つという局所環の事実による。事実 5・6 は主結果 1 に、事実 1〜4 は主結果 2 に使う。
主結果と証明
零サイクルの部分空間への制限
原論文は主結果 2 の横断性を導く道具として、零サイクルを部分空間に制限する補題を置く。零サイクルを長さで定めたので、証明は零点の局所環を二通りに見比べるだけになる。
$Y$ を非特異な代数的空間、$Y'\subset Y$ を非特異な閉部分空間、$E$ を $Y$ の上の階数 $N$ のベクトル束、$E'=E|_{Y'}$ とする。$s$ を $E$ の正則切断、$s'=s|_{Y'}$ を $E'$ の切断としての制限とする。$s$ の零サイクル $Z$ が存在し、$Z$ と $Y'$ が固有に交わる（$|Z(s)|\cap Y'$ のどの既約成分 $W$ も、$W$ での $Y'$ の余次元を $c$ として、$Y$ で余次元 $N+c$ をもつ）なら、$s'$ の零サイクル $Z'$ は存在し、$Z'=Z\cdot Y'$ である。
段 1（$Z'$ の存在）．$E$ の局所的な自明化で $s=(s_1,\dots,s_N)$ と書くと、$E'$ の自明化で $s'=(s_1|_{Y'},\dots,s_N|_{Y'})$ なので、$|Z(s')|=|Z(s)|\cap Y'$ である。その既約成分 $W$ は仮定により $Y$ で余次元 $N+c$、したがって $Y'$ で余次元 $N$ をもつ。ゆえに $s'$ の零サイクル $Z'$ は存在する。
段 2（成分の近くの設定）．$|Z(s)|\cap Y'$ の既約成分 $W$ を一つとり、$R=\mathcal O_{Y,W}$ とおく。$Y$ は非特異なので $R$ は次元 $N+c$ の正則局所環である。上の引用する事実 3 の後半により、$W$ の生成点の近くのアフィン開集合 $U$ で、$E|_U$ が自明で、$Y'\cap U$（被約な閉部分としてのイデアル）が $c$ 個の関数 $g_1,\dots,g_c$ で生成されるものがとれる。$R/(g_1,\dots,g_c)=\mathcal O_{Y',W}$ で、$W$ は $|Z(s)|\cap Y'=V(s_1,\dots,s_N,g_1,\dots,g_c)$ の成分なので $R/(s_1,\dots,s_N,g_1,\dots,g_c)$ は長さ有限である。引用する事実 6 により、$s_1,\dots,s_N,g_1,\dots,g_c$ は $R$ の正則列で、途中までの元が生成するイデアルの極小素イデアルの高さは元の個数に等しい。$U$ を $W$ の生成点の近くでさらに縮め、$W$ を含まない成分を取り除けば、$V(s_1,\dots,s_j)$、$V(s_1,\dots,s_N,g_1,\dots,g_j)$ の $U$ での成分はすべて期待される余次元をもち、$s_i$、$g_j$ は $U$ の上の有効 Cartier 因子 $\operatorname{div}(s_i)$、$\operatorname{div}(g_j)$ を定める。
段 3（二つのサイクルを因子の積で表す）．$U$ の上で、$|Z(s)|$ の成分はどれも余次元 $N$ で、その重複度は定義により零点の局所環の長さなので、引用する事実 5 により $Z|_U=\operatorname{div}(s_1)\cdots\operatorname{div}(s_N)$ である。同じく $Y'\cap U=V(g_1,\dots,g_c)$ の成分での局所環 $\mathcal O_{Y,Y'}/(g_1,\dots,g_c)$ は $Y'$ の関数体（$(g_1,\dots,g_c)$ は被約な $Y'$ のイデアルだから）で長さ $1$ なので、$[Y'\cap U]=\operatorname{div}(g_1)\cdots\operatorname{div}(g_c)$ である。
段 4（結合律）．段 2 により関係するすべての交わりは $U$ の上で固有なので、交叉積の可換性と結合律（引用する事実 5）により、$U$ の上で
$$Z\cdot Y'=\operatorname{div}(s_1)\cdots\operatorname{div}(s_N)\cdot\operatorname{div}(g_1)\cdots\operatorname{div}(g_c)$$
である。右辺の $W$ での重複度は、引用する事実 5 により $\ell\bigl(R/(s_1,\dots,s_N,g_1,\dots,g_c)\bigr)$ である。重複度は $W$ の生成点の近くだけで決まるので、これが $Z\cdot Y'$ の $W$ での係数である。
段 5（比較）．$Z'$ の $W$ での係数は、定義により $\ell\bigl(\mathcal O_{Y',W}/(s'_1,\dots,s'_N)\bigr)$ で、$\mathcal O_{Y',W}/(s'_1,\dots,s'_N)=R/(g_1,\dots,g_c)/(s_1,\dots,s_N)=R/(s_1,\dots,s_N,g_1,\dots,g_c)$ だから、段 4 の値に等しい。$W$ は任意なので $Z'=Z\cdot Y'$ である。
証明が使ったのは、零点の局所環が $Y'$ の側から見ても $Y$ の側から見ても同じ環 $R/(s,g)$ になることと、正則局所環での完全交叉の長さが交叉の重複度に等しいことの二つだけである。原論文の証明はこれと違う道をとるので、その段を注意で見ておく。
原論文の証明（印字 5-10）は数行である。$Z=t^{-1}(\Delta_E)$、$Z'=t'^{-1}(\Delta_{E'})$（$t'(y')=(0_{y'},s'(y'))$）とし、包含 $i\colon Y'\to Y$、$j\colon E'\to E$ について、$Z\cdot Y'=i^{-1}(Z)=(t\circ i)^{-1}(\Delta_E)=((j\times j)\circ t')^{-1}(\Delta_E)$ と逆像を合成し、$(j\times j)^{-1}(\Delta_E)=\Delta_{E'}$ は「すぐ確かめられる」として $Z\cdot Y'=Z'$ を結ぶ。印字は $E\times E$ と書くが、$t(y)=(0_y,s(y))$ の二つの成分は同じファイバー $E_y$ にあるので、$k$ の上の積と読むと、定義の段 $Z=t^{-1}(\Delta_E)$ からすでに固有でない（$\Delta_E$ の $E\times E$ での余次元 $\dim Y+N$ が $\dim Y$ を超え、$Z$ が意味をなさない）。ゆえに $Y$ の上のファイバー積 $E\times_YE$ と読む。この読みでは $\Delta_E$ の余次元も $\Delta_{E'}$ の余次元も $N$ で、次の各段の逆像は固有である（$Y$ は純次元 $n$、$Y'$ は余次元 $c$ とする）。
- $E\times_YE$ は非特異で次元 $n+2N$、$\Delta_E$ は局所的に $b_i-a_i$（微分は一次独立）で切られる非特異な余次元 $N$ の閉部分。$t^*(b_i-a_i)=s_i$ なので $Z=t^{-1}(\Delta_E)$ の存在は、その重複度が引用する事実 5 により零点の局所環の長さに等しいことと合わせて、本書の定義の $Z$ と一致する。
- $i^{-1}(Z)=Z\cdot Y'$：仮定（$Z$ と $Y'$ が固有に交わる）による。
- $i^{-1}t^{-1}(\Delta_E)=(ti)^{-1}(\Delta_E)$：$t^{-1}(\Delta_E)$ とその $i$ による逆像がともに固有なので、逆像の結合律（引用する事実 5 の型）が使える。
- $j\times j\colon E'\times_{Y'}E'\to E\times_YE$ は余次元 $c$ の非特異な閉部分への埋め込みで、$(j\times j)^{-1}(\Delta_E)$ の台は $\Delta_{E'}$、余次元は $N$ なので固有。$\Delta_E$ の接空間は底の方向 $T_yY$ 全体に射影するので $T\Delta_E+T(E'\times_{Y'}E')=T(E\times_YE)$、すなわち横断的で、重複度 $1$：$(j\times j)^{-1}(\Delta_E)=\Delta_{E'}$ はサイクルの等式として成り立つ。
- $((j\times j)t')^{-1}(\Delta_E)=t'^{-1}(\Delta_{E'})=Z'$：4 と $t'^{-1}(\Delta_{E'})$ の固有性により結合律が使える。
すなわち、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理（固有な交わりの重複度と長さ）の (1)(2)(4) だけで、原論文の証明はこの読みでそのまま通る。原論文が書かないのは固有性の確認と、積を $Y$ 上のファイバー積と明示することだけであり、証明の段そのものが不当なのではない。上の証明（本頁の主結果 1）は、どちらの読み方にも依らないよう、零点の局所環の長さで直接書いた。原論文の証明は別証として成り立つ。
主結果 1 は、次の小節で零点の族とファイバーの交わりを数えるときに、原論文の筋を確かめる道具として現れる。ただし被覆であることの証明には、交わりの重複度より強い、接空間の情報が要る。
零点の族は被覆になる
切断 $s$ を底の方向へ拡げ、各ファイバーの零点を集める。ファイバーの上で横断的なら、拡げた切断は全空間の中でも横断的で、零点の族は底の上で次元を失わずに広がる。その族が底の上でエタールで、しかも固有であることから、底を縮めれば有限エタール被覆になる。
$G$ を代数群、$F$ を閉部分群で $G/F$ が完備なもの、$N=\dim G/F$、$u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$ を $\dim V=N$ の有理表現とする。$s\in W(u)$ が零切断に横断的で、零点の総数 $d$ が $1$ 以上であるとする。$X$ を非特異な代数的空間、$P\to X$ を構造群 $G$ の局所等自明な主束、$x\in X$、$a\in P$ を $x$ の上の点とし、$[a,s]\in W(u,P)_x$ をとる。$x$ の開近傍 $U$ の上の $W(u,P)$ の正則切断 $S$ で $S(x)=[a,s]$ となるものをとり、上の引用する事実 2 の同型 $W(u,P)\cong f_*V(u,P)$ で $S$ を $f^{-1}(U)$ の上の $V(u,P)$ の切断と見て、その零点の集合を $X'\subset f^{-1}(U)$ とする。このとき $x$ の開近傍 $U_0\subset U$ があって、$X'_0=X'\cap f^{-1}(U_0)$ について $g=f|_{X'_0}\colon X'_0\to U_0$ は次数 $d$ の有限エタール被覆である。とくに $g$ は $x$ で不分岐な次数 $d$ の被覆である。さらに $P'=g^{-1}(P)$ について、$P'/F=X'_0\times_{U_0}(P/F)$ は $X'_0$ の上に正則切断 $x'\mapsto(x',x')$ をもつ。
$W(u,P)$ は局所自明なベクトル束（上の引用する事実 2）なので、$x$ の近傍で自明化して値が一定の切断をとれば、$S(x)=[a,s]$ となる $S$ は存在する。以下 $n=\dim_xX$ とし、$U$ は連結で次元 $n$ としてよい（$X$ は非特異なので $x$ を含む既約成分はただ一つで、他の成分を除けばよい）。
段 1（ファイバーの上の零点）．引用する事実 2 により、$\iota_a\colon G/F\to f^{-1}(x)$ と $V(u)\to V(u,P)|_{f^{-1}(x)}$ で同一視すると、$S$ の $f^{-1}(x)$ への制限は $s$ である。ゆえに $X'\cap f^{-1}(x)$ は $s$ の零点の像で、相異なる $d$ 点 $y_1,\dots,y_d$ からなり、各 $y_i$ で $S|_{f^{-1}(x)}$ は零切断に横断的である。
段 2（$P/F$ の $y_i$ での形）．引用する事実 1 により、$x$ の開近傍 $U_1\subset U$ と、$x$ で不分岐な被覆 $h\colon U''\to U_1$ と、同型 $(P/F)\times_{U_1}U''\cong U''\times(G/F)$ がある。$x''\in h^{-1}(x)$ をとる。$h$ は $x''$ でエタールで $X$ は $x$ で非特異なので、引用する事実 4 の (d) により $U''$ は $x''$ で非特異、$\dim_{x''}U''=n$ で、$dh_{x''}$ は同型である。$y=y_i$ とし、$\tilde y=(y,x'')$ をファイバー積の点とする。$G/F$ は非特異（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（等質空間の基本）の (1)）なので、$U''\times(G/F)$ は $\tilde y$ で非特異で、次元は $n+N$、接空間は $T_{x''}U''\oplus T(G/F)$ である。第 1 成分の射影 $q\colon(P/F)\times_{U_1}U''\to P/F$ は $h$ の底変換なので $\tilde y$ でエタール（引用する事実 4 の (c)）で、同じ (d) により $P/F$ は $y$ で非特異、$\dim_y(P/F)=n+N$ で、$dq_{\tilde y}$ は同型である。$f\circ q=h\circ\mathrm{pr}$（$\mathrm{pr}$ は $U''$ への射影）を微分すると $df_y\circ dq_{\tilde y}=dh_{x''}\circ d\mathrm{pr}_{\tilde y}$ で、右辺は全射なので $df_y\colon T_y(P/F)\to T_xX$ は全射である。その核は次元 $N$ で、ファイバー $f^{-1}(x)\cong G/F$（非特異、次元 $N$）の接空間 $T_y(f^{-1}(x))$ を含むので、$\ker df_y=T_y(f^{-1}(x))$ である。
段 3（$X'$ は $y_i$ で非特異で、$U$ の上でエタール）．$y$ の近傍で $V(u,P)$ を自明化し、$S=(S_1,\dots,S_N)$ と書く。段 1 の横断性により、$dS_y$ の $T_y(f^{-1}(x))$ への制限 $T_y(f^{-1}(x))\to k^N$ は全射で、次元が等しいので同型である。とくに $dS_y\colon T_y(P/F)\to k^N$ は全射で、$dS_1(y),\dots,dS_N(y)$ は一次独立である。引用する事実 3 により、$y$ の近傍で $S$ の零点スキームは非特異で純余次元 $N$、とくに $X'$ は $y$ の近傍で非特異で次元 $n$ であり、$T_yX'=\ker dS_y$ である。$dS_y$ は $T_y(f^{-1}(x))$ の上で単射なので $T_yX'\cap T_y(f^{-1}(x))=0$ で、段 2 により $d(f|_{X'})_y\colon T_yX'\to T_xX$ は単射である。両辺の次元はともに $n$ なので同型で、引用する事実 4 の (d) の後半により、$f|_{X'}\colon X'\to U$ は $y$ でエタールである。
段 4（固有性と底の縮小）．$X'$ は $f^{-1}(U)$ の閉集合で、$f$ は固有（引用する事実 2）なので、$f|_{X'}\colon X'\to U$ は固有である。$X'$ のうち $f|_{X'}$ がエタールかつ準有限な点の全体を $\Omega$ とすると、引用する事実 4 の (a) により $\Omega$ は開で、段 1・3 により $y_1,\dots,y_d$ を含む（$x$ の上のファイバーは有限なので各 $y_i$ は準有限な点である）。$f|_{X'}$ は閉写像なので $U_2=U-f(X'-\Omega)$ は $x$ を含む開集合で、$f^{-1}(U_2)\cap X'\subset\Omega$ である。$U_0\subset U_2$ を $x$ の連結な開近傍とし、$X'_0=X'\cap f^{-1}(U_0)$、$g=f|_{X'_0}$ とおくと、$g$ は固有で準有限でエタールなので、引用する事実 4 の (a) により有限エタールである。ファイバーの点の数は連結な $U_0$ の上で一定（同じ (b)）で、$x$ の上で $d\ge1$ なので、$g$ は全射で、次数 $d$ の有限エタール被覆である。とくに上の定義（不分岐な被覆（本書の読み））の意味で $x$ で不分岐な次数 $d$ の被覆である。
段 5（切断）．付随束の構成は底変換と両立するので、$P'=X'_0\times_{U_0}P$ について $P'/F=X'_0\times_{U_0}(P/F)$ である。$X'_0\subset P/F$ で $g(x')=f(x')$ だから、$x'\mapsto(x',x')$ は射で、$P'/F\to X'_0$ の切断である。
段 2〜3 が原論文の「すぐ出る」の中身で、底 $X$ の非特異性はここで、$P/F$ の点の次元と接空間を底の側から決めるのに使った。段 4 が「$f$ は固有なので」の中身で、被覆がエタールであること（とくに平坦であること）と、$x$ の近傍の上で有限になることを、別々の事実から得ている。
原論文は、$X'$ がファイバー $f^{-1}(x)$ と横断的に交わり交点がちょうど $d$ 個であることを、重複度 1 の判定法と Lemme 4 から「すぐ出る」とし、$f$ が固有なので $U$ を縮めれば $X'$ は次数 $d$ の不分岐な被覆になると「すぐ結論する」（印字 5-10〜5-11）。主結果 1 の側からこの筋を見ると次のようになる。上の証明の段 3・4 の後、$U_0$ をさらに縮めれば、$Y=f^{-1}(U_0)$ は非特異で、$S$ の零点スキームは $X'_0$ に沿って被約で純余次元 $N$ なので、$S$ の零サイクルは $[X'_0]$ である（段 2 の議論は $f^{-1}(x)$ のどの点でも通り、$P/F$ の非特異な点の集合と $X'$ の上で $dS$ の階数が $N$ の点の集合は開なので、段 4 と同じく固有性で底を縮めればよい）。ファイバー $Y'=f^{-1}(x)$ との交わりは有限個の点で固有だから、主結果 1 により $[X'_0]\cdot f^{-1}(x)$ は $s$ の零サイクル $[y_1]+\dots+[y_d]$ に等しく、交点の重複度はすべて $1$ である。これが原論文の第一の主張の交叉の側の意味である。しかし重複度 $1$ はファイバーとの交わりについての情報で、それだけでは $X'\to U$ が $y_i$ でエタールであること、$x$ の近傍の上で有限であることは言えない。本書はエタール性を接空間の計算（段 2・3）で、有限性をエタールで準有限な点の開集合性と固有性（段 4）で補った。原論文の「不分岐な被覆」を、有限で $x$ の近くでエタールな被覆と読む本書の読み（上の定義）は、この段で得られる性質そのものである。
零切断に横断的な切断が零点をもたない場合もある。たとえば $G=\mathrm{SL}(2)$、$F$ を上三角行列の群 $B$、$u$ を $B$ の自明な 1 次元表現とすると、$N=\dim G/B=1$ で、$V(u)$ は $\mathbf P^1$ の上の自明な直線束であり、$0$ でない定数の切断は零点をもたず、零切断に横断的である（条件は空）。このとき $X'$ は空で、上の定理の段 4 の結論は空な被覆になり、被覆の定義（次数は正の整数）に当たらない。原論文の Proposition 6 は次数 $d$ の被覆を主張するので、$d\ge1$ を暗に前提していると読み、本書は主結果 2・3 の主張に $d\ge1$ を書き添えた。$d\ge1$ なら、段 4 の全射性により $X'_0$ は空でない。
原論文は零点の族の段の最後（印字 5-11）で、$P'/F$ の自然な切断が「$U$ の上に」あると書く。$P'=g^{-1}(P)$ は $X'$ の上の主束なので、$P'/F$ は $X'$ の上の空間であり、「$X'$ の上に」と読む。すぐ後の Proposition 6 の主張は底を書かずに「付随束 $P'/F$ は正則切断をもつ」と述べていて、この読みと合う。
構造群の簡約
二つの主張をまとめると Proposition 6 になる。前の定理は切断 $S$ の選び方を含んでいたが、主張としては、横断的な切断が一つあれば、どの主束も各点の近くで被覆の上で簡約されるという形にまとまる。
$G$ を代数群、$F$ を閉部分群で $G/F$ が完備なもの、$N=\dim G/F$ とする。$F$ の有理表現 $u$ で階数 $N$ のものがあって、$V(u)$ が零切断に横断的で零点の総数 $d\ge1$ の正則切断をもつとする。このとき、非特異な代数的空間 $X$ の上の構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P$ と $x\in X$ に対し、$x$ の開近傍 $U$ と、$x$ で不分岐な次数 $d$ の被覆 $g\colon X'\to U$ で、$P'=g^{-1}(P)$ の付随束 $P'/F\to X'$ が正則切断をもつものがある。$g$ は次数 $d$ の有限エタール被覆にとれる。すなわち $P'$ の構造群は $F$ に簡約される。
$P\to X$ は全射なので、$x$ の上の点 $a\in P$ がとれる。仮定の切断を $s\in W(u)$ として、上の定理（横断的な零点の族は有限エタール被覆）を $P$、$x$、$a$、$s$ に当てると、$x$ の開近傍 $U_0$ と次数 $d$ の有限エタール被覆 $g\colon X'_0\to U_0$ で、$P'/F$ が $X'_0$ の上に正則切断をもつものが得られる。$U=U_0$、$X'=X'_0$ とすればよい。$P'/F\to X'$ の切断を与えることは、定義により $P'$ の構造群を $F$ に簡約することである（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（局所等自明性・有理切断・簡約）の (3)）。
これで、横断的な切断の零点の数 $d$ が、主束を局所的に簡約するのに要る被覆の次数を与えることが分かった。簡約された主束がさらに局所自明になるかどうかは部分群 $F$ の性質の問題で、$F$ が特別群なら被覆の上で主束そのものが自明になる（本書『3-3 特別群と主束の自明化』の主結果「特別な部分群への簡約による自明化」）。底の非特異性は上の定理の段 2・3 で使っただけで、$G$ がアフィンなら外せる（同じ頁の主結果「アフィン群では底の非特異性は要らない」）。
例と反例
射影直線 $\mathbf P^1=\mathrm{SL}(2)/B$ の上で、零点が 1 個の場合と 2 個の場合を計算し、最後に横断性を外すと零点の族が被覆にならないことを見る。どの例でも $G/F=\mathbf P^1$、$N=1$ で、$V(u)$ は直線束である。$\mathrm{SL}(2)/B$ と $\mathbf P^1$ の同一視は、$g$ に第 1 列の張る直線 $g\cdot ke_1$ を対応させるものである（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」）。
$G=\mathrm{SL}(2)$、$B$ を上三角行列 $b=\left(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\0&\alpha^{-1}\end{smallmatrix}\right)$ の群とし、$u(b)=\alpha$（$b$ の $ke_1$ への作用）とする。射 $G\times k\to\mathbf P^1\times k^2$、$(g,v)\mapsto(g\cdot ke_1,\,v\,ge_1)$ は、$(gb,u(b)^{-1}v)\mapsto(g\cdot ke_1,\,\alpha^{-1}v\,gbe_1)=(g\cdot ke_1,\,v\,ge_1)$ なので $V(u)$ から射を引き起こし、各ファイバーの上で直線 $g\cdot ke_1$ への線形同型である。ゆえに $V(u)$ は $\mathbf P^1$ の標準的な部分直線束 $\mathcal O(-1)=\{(l,w):w\in l\}$ に同型で、その双対 $V(u^{-1})$ は $\mathcal O(1)$ に同型である（表現の双対は束の双対に、指標の積は束のテンソル積に当たる。どちらも定義から直ちに分かる）。この計算と大域切断の決定は、本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』の例「射影直線の上の等質直線束」で詳しく行った。
$k^2$ の線形形式 $\lambda$ は、$l\mapsto\lambda|_l\in l^\vee$ により $\mathcal O(1)$ の正則切断を与える。$\lambda=x$（第 1 座標）とすると、$\lambda|_l=0$ となる直線は $l_0=ke_2$ だけである。$l_0$ の近くの直線を $(z,1)$ の張る直線で表し、$\mathcal O(1)$ を $(z,1)$ での値で自明化すると、切断は $z\mapsto x(z,1)=z$ で、$z=0$ での微分は $1\ne0$ である。ゆえにこの切断は零切断に横断的で、零点の総数は $d=1$ である。上の定理（構造群の簡約のための不分岐被覆）により、非特異な底の上の構造群 $\mathrm{SL}(2)$ の局所等自明な主束は、各点の近くで次数 $1$ の被覆の上で構造群が $B$ に簡約される。次数 $1$ の有限エタール被覆は同型である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（不分岐な射とエタールな射の基本）の (3)）から、被覆は要らず、各点の近傍で $B$ に簡約される。$B$ は連結可解なので、本書『3-3 特別群と主束の自明化』の主結果「特別な部分群への簡約による自明化」により、この主束は局所自明になる。
二次の一般線形群・特殊線形群では、零点が 1 個の切断がとれるので被覆が要らない（一般の次数では本書『6-3 特別群の特徴づけ』の補題「零点が一つの横断的な切断」による）。射影線形群では事情が違う。
$G=\mathrm{PGL}(2)=\mathrm{GL}(2)/k^*$、$\bar B$ を上三角行列の像とし、$\bar u\left(\left(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\0&\gamma\end{smallmatrix}\right)\right)=\gamma/\alpha$（スカラー倍で変わらない）とおく。$G$、$\bar B$ の Lie 環を $\mathfrak g$、$\bar{\mathfrak b}$ とすると、$\bar B$ は $\mathfrak g/\bar{\mathfrak b}=k\cdot E_{21}$（$E_{21}$ は $(2,1)$ 成分だけが $1$ の行列の像）に随伴で作用し、$\mathrm{Ad}(\mathrm{diag}(\alpha,\gamma))E_{21}=(\gamma/\alpha)E_{21}$ なので、$\bar u$ はこの随伴表現である。等質空間の接束を左移動の微分で書く古典的な同一視によれば $V(\bar u)$ は $\mathbf P^1$ の接束であるが、以下の計算はこの同一視を使わない。
射影 $\pi\colon\mathrm{SL}(2)\to\mathrm{PGL}(2)$ は $B$ を $\bar B$ に写し、旗多様体の同型 $\mathrm{SL}(2)/B\to\mathrm{PGL}(2)/\bar B$（どちらも第 1 列の張る直線で $\mathbf P^1$ と同一視すれば恒等写像）を与える。$[g,v]\mapsto[\pi(g),v]$ は $V(\bar u\circ\pi)\to V(\bar u)$ の、この同型の上のファイバーごとに線形同型な射なので、直線束の同型である。$B$ の上で $\bar u\circ\pi(b)=\alpha^{-1}/\alpha=\alpha^{-2}$ だから、上の例（標準直線束の切断と次数 1）により $V(\bar u)\cong\mathcal O(1)^{\otimes2}=\mathcal O(2)$ である。
$k^2$ の二次形式 $q$ は、$l\mapsto q|_l\in(l^\vee)^{\otimes2}$ により $\mathcal O(2)$ の正則切断を与える。$q=xy$ とすると、$q|_l=0$ となる直線は $ke_2$（$x=0$）と $ke_1$（$y=0$）の二つである。$ke_2$ の近くでは $(z,1)$ での値で自明化して $q(z,1)=z$、$ke_1$ の近くでは $(1,w)$ での値で自明化して $q(1,w)=w$ で、どちらも単純な零点である。ゆえにこの切断は零切断に横断的で、$d=2$ である。上の定理（構造群の簡約のための不分岐被覆）により、非特異な底の上の構造群 $\mathrm{PGL}(2)$ の局所等自明な主束は、各点の近くで次数 $2$ の有限エタール被覆の上で $\bar B$ に簡約される。
この $F=\bar B$ では、$d$ を奇数にはできない。$\bar B$ の有理指標は $\mathrm{diag}(\alpha,\gamma)$ の類の上の値で決まり（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の命題（単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標）の (2)）、対角部分の像は $\gamma/\alpha$ で乗法群に同型なので、有理指標は $(\gamma/\alpha)^m$（$m\in\mathbf Z$）である。同じ計算で $V((\gamma/\alpha)^m)\cong\mathcal O(2m)$ となり、$\mathcal O(2m)$ の正則切断は $2m$ 次の二元形式（$m<0$ なら $0$ だけ）なので（本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』の例「射影直線の上の等質直線束」の計算）、横断的な切断の零点は $2m$ 個の相異なる根で、$d$ はいつも偶数である。円錐曲線の族として現れる $\mathrm{PGL}(2)$ の束は、本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の例「$\mathrm{PGL}(2)$ の束としての円錐曲線の族」で扱う。
最後の例は、横断性の仮定を外すと、零点の族がファイバーの上で点を失い、被覆にならないことを示す。
上の定理（横断的な零点の族は有限エタール被覆）から、$s$ が零切断に横断的という仮定を外す。上の例（射影直線の接束の切断と次数 2 の被覆）の $G=\mathrm{PGL}(2)$、$F=\bar B$、$V(\bar u)\cong\mathcal O(2)$ で、$s=x^2$ とする。$s$ の零点は $ke_2$ だけで、$(z,1)$ での自明化では $s=z^2$ なので、零点の局所環は $k[z]_{(z)}/(z^2)$、長さ $2$ の被約でない零点である。底を $X=\mathbf A^1$（座標 $t$）、$P=X\times G$ を自明な主束とすると、$W(\bar u,P)=X\times W(\bar u)$ で、$S(t)=x^2-ty^2$ は $S(0)=s$ となる切断である。$X'$ は $\{(t,l):S(t)|_l=0\}$ で、$ke_1$ の近くでは $S(t)(1,w)=1-tw^2$ が $w=0$ で消えないので、$X'$ は $(z,1)$ の座標で $\{(t,z):z^2=t\}$ であり、$X'\to X$ は $z\mapsto z^2$ である。$t=0$ の上の点は $z=0$ の一点だけで、微分 $2z$ はそこで $0$（標数 $2$ ならどこでも $0$）なので、$X'\to X$ は $z=0$ でエタールでない。次数 $2$ の有限エタール被覆なら $0$ の連結な近傍の上のどのファイバーも 2 点をもつはずなので、$0$ のどの近傍の上でも $X'$ は次数 $2$ の被覆にならない。破れたのは、ファイバーの上の横断性から全空間での横断性を得る段（上の定理の証明の段 3）である。なお自明な主束はもちろん簡約をもつ（たとえば上の例の横断的な切断 $xy$ を使えばよい）ので、この例が破るのは零点の族による構成であって、Proposition 6 の結論ではない。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- 零点の数と Chern 類（Fulton Ful98、初版 1984 年）：後代の交叉理論の言葉では、階数 $N$ のベクトル束の零切断に横断的な切断の零サイクルの類は最高次の Chern 類 $c_N$ で、$N$ 次元の完備な空間の上では零点の総数 $d$ は $c_N(V(u))$ の次数に等しく、切断の選び方に依らないとされる。原論文は第 4 節で、零点の数を特性部分環の元の次数として捉え直す（本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』）。
- torsor の構造群の簡約（1960 年代以後）：主束を群スキームの torsor と見ると、構造群の $F$ への簡約は $P/F$ の切断、局所等自明性はエタール局所自明性にあたり、Proposition 6 は、横断的な切断が一つあれば、どの torsor もエタール局所的に、次数を $d$ に抑えた有限エタール被覆の上で $F$ に簡約されることを言う形に読める。torsor を分解する被覆の次数とその最大公約数は、後に Serre の報告 Ser94 などで torsor の指数として論じられた。本書は該当箇所を確かめていない。
- 零点サイクルと横断性の一般的な扱いは、第 3 巻『Chern 類の公理的理論』の頁『1-3 正則切断・零点サイクル・横断性』にもある。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の第 3 節の中ほどである。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（等質ベクトル束と主束の族） | §3 冒頭の等質ベクトル束と、主束への拡張 | 5-08〜5-10 |
| 定義（零点の局所環と零サイクル）、定義（零切断に横断的な切断）、補題（横断性と重複度 1） | Proposition 6 の前の設定（零点の重複度についての括弧書き）、Lemme 4 の零サイクル | 5-10 |
| 定理（部分空間への零サイクルの制限）、注意（原論文の対角線の議論） | Lemme 4 とその証明 | 5-10 |
| 定理（横断的な零点の族は有限エタール被覆）、注意（原論文の段と重複度 1 の判定） | Proposition 6 の前の主張（零点の族がファイバーと横断的に交わり、被覆になること）とその証明 | 5-10〜5-11 |
| 注意（印字の読み（Proposition 6 の前）） | 「$P'/F$ の $U$ の上の切断」 | 5-11 |
| 注意（零点の総数が 0 の場合）、定理（構造群の簡約のための不分岐被覆） | Proposition 6 と、直後の「構造群は $F$ に簡約される」 | 5-11 |
| 定義（不分岐な被覆（本書の読み）） | Proposition 6 の「revêtement non ramifié」 | 5-11 |
| 例（標準直線束の切断と次数 1）、例（射影直線の接束の切断と次数 2 の被覆）、例（横断的でない切断） | （原論文には無い。主張を確かめるための例） | — |
参考文献
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