0-2 線形代数群と旗多様体

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

本書で引用として使う代数群の基本（代数群・アフィン群・閉部分群・有理指標、等質空間の存在と準射影性、Borel 部分群と旗多様体、極大トーラスと単冪根基、連結根基、連結単冪群の構造、Rosenlicht の局所切断、半単純群の Bruhat 分解、余次元 1 の胞体と旗多様体の Picard 群、単連結な被覆、特殊線形群と斜交群）を集めた頁である。各項目は要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。本書の札の基準では、この頁の定理として引く事実を使う主結果は［条件付き］で、札に使った事実を名指す。頁内で証明する命題だけは完結の証明に使ってよい側に置き、項目ごとにそう明記する。案内に挙げる文献の該当箇所は、本書では確かめていない。代数的空間の読み・主束・有限エタール被覆・連接層は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』に、Chow 環の性質は本書『0-4 Chow 環の枠組み』に、記号と本書が足した仮定の一覧は本書『0-5 記号と約束』にある。
前提知識: 線形代数群, Borel部分群, 旗多様体, 可解群, 単冪群, Bruhat分解, 半単純代数群

代数群と等質空間

原論文は冒頭（PDF 2、印字 5-01）で、基礎体を前の講演と同じく代数的閉体 $k$ とし、代数群の定義を書かずに使う。§1・§4〜§6 の群はアフィンだが、§3 の群と定理 3 の群はアフィンとは限らない（定理 3 は特別群がアフィンになることを主張の一部に含む）。そこで、アフィンとは限らない代数群から始めて言葉を決める。空間はすべて本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（代数的空間（本書の読み））の意味の代数的空間で、「開」「閉」「稠密」は Zariski 位相の意味である。

代数群・アフィン群・有理指標

代数群とは、代数的空間 $G$ に群の構造が与えられ、積 $G\times G\to G$ と逆元 $G\to G$ が射であるものをいう。単位元を $e$ と書く。代数群の間の群準同型で射でもあるものを有理準同型という。代数群 $G$ の閉集合で部分群であるものを閉部分群という。単位元を含む既約成分を単位成分 $G^\circ$ といい、$G=G^\circ$ のとき $G$ は連結であるという。一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ の閉部分群に同型な代数群を線形群という。原論文の「groupe affine」（アフィン群）は、代数的空間としてアフィンな代数群で、これは線形群と同じものである。$G$ から乗法群 $\mathbf G_m=\mathrm{GL}(1)$ への有理準同型を $G$ の有理指標といい、その全体を $\hat G$ と書く。$\hat G$ は値の積で可換群になり、本書は加法的に書く。

アフィン群と線形群が同じであることは第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の主題の一つで、原論文もこれを引いて二つの語を区別せずに使う（Proposition 4 は「groupe linéaire connexe」、Lemme 5 は「groupe affine spécial」）。本書は以下、連結なアフィン群を「連結線形群」と呼ぶこともある。

等質空間の基本

$G$ を代数群、$F$ をその閉部分群とする。
(1) 商 $G/F$：左剰余類の集合 $G/F$ には、射 $\pi\colon G\to G/F$ が全射で開であり、$G$ の右から $F$ で不変な射 $G\to Y$ がすべて $\pi$ を経由して一意に分解する、という性質で決まる代数的空間の構造がある。$G/F$ は非特異で、$G$ は左移動で $G/F$ に推移的に作用し、$\dim G/F=\dim G-\dim F$ である。
(2) $F$ が正規なら $G/F$ は代数群で、$\pi$ は有理準同型である。さらに $G$ がアフィンで $F$ が正規なら、$G/F$ はアフィン群である。
(3) $G$ が線形なら、$G/F$ は準射影的である。
(4) 空間の積 $G\times Y$ に $F$ が $(g,y)f=(gf,f^{-1}y)$ の形で自由に作用するときの商（付随する空間）の構成は、本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』で述べる。

(1)(2) は Chevalley と Rosenlicht による商の存在で、(3) は線形群の場合に Chevalley が射影空間の中の軌道として商を作ることによる。(2) の後半（アフィン群の閉正規部分群による商はアフィン群）は、$F$ をちょうど核とする $G$ の有理表現をとり、$G/F$ をその像の線形群として実現することによる（Bor91 第 II 章、Hum75 §11。本書は該当箇所を確かめていない）。正規性は外せない。$G=\mathrm{SL}(2)$ と上三角の Borel 部分群 $B$ では、$G$ も $B$ もアフィンだが $G/B\cong\mathbf P^1$ は完備で 1 点でないのでアフィンでない（下の定理（線形群の構造）の (2)）。原論文はこれらを断りなく使う。

  • 使いどころ：全頁。(2) の後半は、本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の主結果「単冪群の主束はアフィンな底の上で自明」の帰納法（$G/G'$ がアフィン群で $X\times(G/G')$ がアフィン）と、本書『1-2 可解群の等質空間』の補題「正規化群を経由する主束」と主結果「可解群の等質空間のファイバー構造」の二重帰納法（$N''/N'$、$N/N'$、$N/N_1$ がアフィン群）。(3) は、$G$ が線形なときに $G/B$、$G'/G$、$G'/B$ が本書『0-4 Chow 環の枠組み』の非特異準射影空間の範囲に入ることを確かめる所（本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」、本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」）。§3 の群は線形とは限らないので、本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』では (3) を使わない。
  • 案内：等質空間、Ros56（等質空間と商）、Bor91 第 II 章、Spr98 第 5 章、Hum75 §12。

Borel 部分群と旗多様体

原論文 §4 の出発点（PDF 14、印字 5-13）は、連結アフィン群 $G$ の Borel 部分群 $B$、その単冪部分 $B_u$、極大トーラス $T$ と、半直積 $B=T\cdot B_u$ である。§2 の Lemme 2（PDF 7、印字 5-06）は、各元がある Borel 部分群に含まれることを使う。これらを一つにまとめる。

可解群・単冪群・Borel 部分群

$G$ を連結線形群とする。$\mathrm{GL}(n)$ の元 $g$ は、$g-1$ が冪零であるとき単冪であるという。線形群の元が単冪であることは、$\mathrm{GL}(n)$ への埋め込みの選び方によらない（第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果「半単純・単冪は実現によらない」の単冪についての部分）。すべての元が単冪な線形群を単冪群という。交換子の列が単位群で止まる代数群を可解群という。$\mathbf G_m^r$ に同型な代数群をトーラスという。$G$ の連結可解閉部分群のうち極大なものを Borel 部分群、極大なトーラスを極大トーラスという。$G$ の連結可解閉正規部分群のうち最大のものを連結根基 $R$ という。$R=\{e\}$ のとき $G$ は半単純であるという。Borel 部分群 $B$ について $G/B$ を $G$ の旗多様体という。

連結可解群 $B$ の単冪な元の全体 $B_u$ は連結閉正規部分群になる（下の定理（線形群の構造）の (4)）。原論文はこれを「partie unipotente」と呼び、$B^u$ とも $B_u$ とも書く（本書は $B_u$ に揃える）。

線形群の構造

$G$ を連結線形群とする。
(1) Borel 部分群は互いに共役である。$G$ の各元は、ある Borel 部分群に含まれる。
(2) 旗多様体 $G/B$ は射影的（とくに完備）で、非特異かつ既約である。閉部分群 $F$ について、$G/F$ が完備であることと、$F$ がある Borel 部分群を含むことは同値である。
(3) 極大トーラスは互いに共役で、どのトーラスもある極大トーラスに含まれる。Borel 部分群 $B$ はある極大トーラス $T$ を含む。
(4) 連結可解群 $B$ の単冪な元の全体 $B_u$ は連結閉正規部分群で、$B$ は $T$ と $B_u$ の半直積 $B=T\cdot B_u$ である。すなわち積 $T\times B_u\to B$ は代数的空間の同型で、$B/B_u\cong T$ は代数群の同型である。
(5) 連結根基 $R$ はすべての Borel 部分群に含まれる。$\bar G=G/R$ は半単純で、$B/R$ はその Borel 部分群であり、自然な射 $G/B\to\bar G/(B/R)$ は同型である。

(1)〜(3) は Borel の 1956 年の論文 Bor56 の主定理で、(4) は原論文が同じセミナーの講演 Gro57st の定理 3 として引く（PDF 14、印字 5-13）。(5) は、原論文が定理 2 と Lemme 8 の証明で $G$ を $G/R$ に替えるときに使う（PDF 19、印字 5-18。PDF 23、印字 5-22）。

  • 使いどころ：(1) の後半は本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』の主結果「連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形）」。(2) は、旗多様体が完備なので次数 $\chi$ が使えること（第 4 章の全頁）と、本書『3-1 等質ベクトル束と誘導表現』の完備性の仮定。(3) は本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間のファイバー構造」（極大トーラスを $T'\subset T$ ととれること）と、本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」。(4) は本書『1-2 可解群の等質空間』と本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」、本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』の主結果「群の Chow 環の表示」。(5) は本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』の主結果「捩れ指数の倍数を零点の数の最大公約数として実現（訂正形）」と本書『6-3 特別群の特徴づけ』の主結果「積の次数が 1 になる正因子の類」。
  • 案内：Borel部分群、極大トーラス、Bor56、Bor91 第 IV 章、Hum75 §19〜§21、Spr98 第 6 章、Gro57st（原論文が引く講演。本書は開いていない）。
    原論文 §4 は、$\hat B$ を $\hat T$ と同一視するところから始める。この同一視の半分は、単冪群の指標が自明であるという初等的な事実で、頁内で閉じる。
単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標
  1. 単冪群 $U$（連結とは限らない）の有理指標は自明である。
  2. 連結線形群 $G$ の Borel 部分群 $B=T\cdot B_u$ について、制限 $\hat B\to\hat T$ は群の同型である。
  1. 有理指標 $\chi\colon U\to\mathrm{GL}(1)$ は有理準同型なので、単冪な元を単冪な元に移す（第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果「有理準同型は半単純元・単冪元を保つ」の単冪についての部分）。$\mathrm{GL}(1)=k^*$ の単冪な元 $c$ は $c-1$ が冪零な $1\times1$ 行列なので $c=1$ である。ゆえに $\chi(U)=\{1\}$。
  2. 単射：$\chi\in\hat B$ が $T$ の上で自明なら、(1) により $B_u$ の上でも自明で、$B=T\cdot B_u$ なので $\chi=0$（加法的に書いた自明な指標）である。全射：$\psi\in\hat T$ について、商の同型 $B/B_u\cong T$（上の定理（線形群の構造）の (4)）と射影 $B\to B/B_u$ の合成に $\psi$ を合成したものは $B$ の有理指標で、$T$ への制限は $\psi$ である。
  1. は第 7 巻の完結の結果と初等的な計算だけで閉じるので、本書はこれを完結の証明に使ってよい側に置く。(2) は上の定理（線形群の構造）の (4) を使うので、これに依る主結果は［条件付き］である。
  • 使いどころ：本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」（$\hat B=\hat T$）、本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」（$\hat B'\to\hat B$ の全射性）。
  • 案内：有理指標、Hum75 §16、Bor91 第 III 章。
一般線形群と特殊線形群の旗多様体

$G=\mathrm{GL}(n)$ で、$B$ を上三角行列、$T$ を対角行列、$B_u$ を対角成分が $1$ の上三角行列の群とする。$B$ は $k^n$ の標準的な旗 $0\subset ke_1\subset ke_1+ke_2\subset\dots\subset k^n$ の固定群で、$G$ は完全旗の全体 $D(k^n)$ に推移的に作用するので、$G/B\cong D(k^n)$（完全旗多様体）で、次元は $N=n(n-1)/2$ である。特殊線形群 $\mathrm{SL}(n)$ では $B\cap\mathrm{SL}(n)$ が Borel 部分群で、包含 $\mathrm{SL}(n)\to\mathrm{GL}(n)$ は旗多様体の同型 $\mathrm{SL}(n)/(B\cap\mathrm{SL}(n))\cong D(k^n)$ を与える（$\mathrm{SL}(n)$ も完全旗に推移的に作用する。原論文 PDF 24、印字 5-23 の観察）。$n=2$ では、$g$ に第 1 列の張る直線を対応させる写像が $\mathrm{SL}(2)/B\cong\mathbf P^1$ を与える。

可解群と単冪群

原論文 §1 の二つの命題は、連結単冪群を一次元ずつ剥がす帰納法で証明される。その帰納法を支えるのが、単冪群の構造と Rosenlicht の局所切断である。原論文は前者を同じセミナーの講演 Gro56（第 7 巻の原典）と Gro58car に、後者を「Rosenlicht の定理」（文献番号なし）に委ねる（PDF 2〜3、印字 5-01〜5-02）。

連結単冪群と連結可解群の構造
  1. 1 次元の連結単冪群は加法群 $\mathbf G_a$ に同型である。
  2. 連結単冪群 $U$ の次元が $2$ 以上なら、$U$ の連結閉正規部分群 $U'$ で $\{e\}\ne U'\ne U$ となるものがある。連結単冪群は冪零群である。
  3. 単冪群の閉部分群は単冪群で、単冪群の閉正規部分群による商は単冪群である。
  4. 連結冪零群 $N$ の連結閉部分群 $N'\ne N$ について、$N'$ の $N$ での正規化群の単位成分は $N'$ より真に大きい。
  5. 連結可解群 $R$ の単冪な元の全体 $R_u$ は連結閉正規部分群で、$R$ の極大トーラス $T$ について $R=T\cdot R_u$（半直積）である。$R$ の連結閉部分群 $R'$ について、$R'$ の極大トーラス $T'$ を含む $R$ の極大トーラス $T$ がとれ、$R'_u=R'\cap R_u$ である。
  6. 単冪根基の正規列：連結可解群 $B$ について、$B_u$ の連結閉部分群の列 $B_u=U_0\supset U_1\supset\dots\supset U_s=\{e\}$ で、どの $U_i$ も $B$ で正規であり、$\dim U_i/U_{i+1}=1$ となるものがある。
  1. は原論文が Gro58car の定理 4 として引き、(3) の商の単冪性は Gro56 の Théorème 3 の系として引く（PDF 2、印字 5-01）。(3) のうち閉部分群の部分は定義から直ちに出る。商の部分は、商がアフィン群であること（上の定理（等質空間の基本）の (2) の後半）を認めれば、商の元がどれも単冪な元の像であり、単冪な元の像が単冪であること（第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果「有理準同型は半単純元・単冪元を保つ」の単冪についての部分。第 7 巻で完結）から出る。(4) は原論文が Gro58car の N° 1 の補題として使う（PDF 4、印字 5-03）。(5) は上の定理（線形群の構造）の (3)(4) を連結可解群に当てたものである。(6) は Borel の構造論の事実で（Bor56、Hum75 §19、Bor91 第 III 章。本書は該当箇所を確かめていない）、原論文は群の Chow 環の表示（PDF 22、印字 5-21）の証明を書かず、本書はその証明でこれを使う。各段の商 $U_i/U_{i+1}$ は 1 次元の連結単冪群なので、(1) により $\mathbf G_a$ に同型である。
  • 使いどころ：(1)(2)(3) は本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の主結果「単冪群の主束はアフィンな底の上で自明」の帰納法。(2)(4)(5) は本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間のファイバー構造」の二重帰納法。(1)(6) は本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』の主結果「群の Chow 環の表示」（$G\to G/B$ をアフィン線形の束の列に分ける所）。(3) の閉部分群の部分は、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」で $B_u$ の指標を消す所（上の命題（単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標）の (1)）にも現れる。
  • 案内：単冪群、冪零群、Bor91 第 IV 章 §10、Hum75 §17・§19、Gro58car（本書は開いていない）。
Rosenlicht の局所切断

$G$ を線形群、$H$ をその連結可解閉部分群とする。このとき $\pi\colon G\to G/H$ は局所切断をもつ。すなわち $G/H$ の各点の近傍 $U$ と射 $s\colon U\to G$ で $\pi\circ s=\mathrm{id}_U$ となるものがある。したがって $G\to G/H$ は構造群 $H$ の局所自明な主束（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（主束と局所自明性））である。

原論文は出典を書かずに「Rosenlicht の定理」とだけ言う（PDF 2、PDF 3、PDF 14）。本書は出典の候補として Ros57 を挙げるが、該当する定理の番号は確かめていない。

  • 使いどころ：本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の帰納法（$G\to G/G'$ の局所自明性）、本書『1-2 可解群の等質空間』（$N\to N/N'$ の局所自明性）、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」（$G\to G/B$ が局所自明なので $L_\chi$ が局所自明な直線束になる）、本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」と「有理切断と局所自明性の同値」、本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』の主結果「群の Chow 環の表示」。
  • 案内：主束、Ros57（候補。本書は該当箇所を確かめていない）、Bor91 第 II 章、Spr98 第 5 章。
一般線形群から射影直線への局所切断

$G=\mathrm{GL}(2)$、$B$ を上三角行列の群とし、$G/B\cong\mathbf P^1$ を $g$ に第 1 列の張る直線を対応させて同一視する。開集合 $U_0=\{[1:t]\}$ の上では $s_0(t)=\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}$ が、$U_1=\{[u:1]\}$ の上では $s_1(u)=\begin{pmatrix}u&1\\1&0\end{pmatrix}$（行列式 $-1$）が $\pi$ の切断である。どちらも第 1 列が指定の直線を張るからである。$U_0\cup U_1=\mathbf P^1$ なので、$G\to G/B$ は局所自明である。この形の局所切断（下三角の単冪行列と置換行列の平行移動）は $\mathrm{GL}(n)$ の場合にも同じように作れ、Rosenlicht の定理の最も簡単な場合に当たる。

三次の単冪上三角群の正規列

$U=\left\{\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\right\}$ は代数的空間として $k^3$ に同型な連結単冪群である。行列の積で $(a,b,c)(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab')$ となるので、$c$ だけを動かす部分群 $Z=\{a=b=0\}$ は中心に含まれる 1 次元の連結閉正規部分群で、$U/Z\cong\mathbf G_a^2$（$(a,b)$ で与えられる）である。$Z$ も $U/Z$ も上の定理（連結単冪群と連結可解群の構造）の (1)(2) の型で剥がせ、$U$ は 1 次元の加法群を三つ積み上げたものになる。本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の帰納法は、この積み上げを主束の側で一段ずつたどるものである。

半単純群と Bruhat 分解

第 4 章以後で旗多様体 $G/B$ の Chow 環を数えるとき、原論文は $G/B$ の胞体分割を何度も使う。系 4 と捩れ指数の定義（PDF 18、印字 5-17）は胞体分割を同じセミナーの講演 Laz58 に、定理 2 の証明（PDF 19〜20、印字 5-18〜5-19）は余次元 1 の胞体の閉包の類が $A^1(G/B)$ の基底になることを講演 Che58sl に、Lemme 8 の証明（PDF 23〜24、印字 5-22〜5-23）は単連結な被覆の存在を講演番号 23 の命題に、Lemme 9 の略証（PDF 26〜27、印字 5-25〜5-26）は Weyl 群と $B$ 軌道の対応を再び Laz58 に委ねる。原論文の文献表は [1]〜[10] で番号 23 の項目は無く、講演番号 23 が文献 [3]（Che58ex）の講演番号と一致するので、本書はこれを最も自然な読みとして採る（文献 [2] の Che58iso の可能性も否定できない。読み方は本書『0-5 記号と約束』と本書『6-3 特別群の特徴づけ』）。

Weyl 群・Bruhat 胞体・単連結

$G$ を連結半単純群、$T\subset B$ を極大トーラスと Borel 部分群とする。$T$ の正規化群を $N(T)$ と書き、有限群 $W=N(T)/T$ を Weyl 群という。$W$ は共役によって $T$ に、したがって $\hat T$ に作用する。$w\in W$ の代表 $g_w\in N(T)$ をとり、点 $g_wB\in G/B$ の $B$ 軌道 $X_w=Bg_wB/B$ を Bruhat 胞体という（$g_w$ の選び方によらない）。半単純群の間の全射な有理準同型で核が有限なものを同種写像といい、核が中心に含まれるとき中心的という。連結半単純群 $G$ は、極大トーラスの指標群 $\hat T$ が根系から決まる重み格子の全体に等しいとき単連結であるという。

原論文は単連結性を、$\hat B\to A^1(G/B)$ が全射であることと言い換える（PDF 27、印字 5-26）。次の定理の (2)(3) により、二つの言い方は同じことを言う。

Bruhat 分解と旗多様体の胞体

$G$ を連結半単純群、$T\subset B$、$W$ を上の定義のとおりとし、$r=\dim T$（$G$ の階数）、$N=\dim G/B$ とする。
(1) Bruhat 分解：$G/B$ は有限個の $B$ 軌道の非交和で、$w\mapsto X_w$ は $W$ から $B$ 軌道の全体への全単射である。各 $X_w$ はアフィン空間 $k^{\ell(w)}$ に同型である（$\ell(w)$ は $w$ の長さ）。$0$ 次元の軌道は点 $eB$ ただ一つで、次元 $N$ の軌道もただ一つあり、$G/B$ の稠密な開集合である。各軌道の閉包は、その軌道と、次元のより小さいいくつかの軌道の和である。
(2) 余次元 1 の胞体：余次元 $1$ の軌道はちょうど $r$ 個あり、その閉包 $D_1,\dots,D_r$ は $G/B$ の既約な有効因子（正因子）である。$D_1,\dots,D_r$ の類は $\operatorname{Pic}(G/B)=A^1(G/B)$ の基底で、$A^1(G/B)$ は階数 $r$ の自由加群である。
(3) $G$ が単連結なら、指標 $\chi$ に付随直線束 $G\times^Bk_\chi$ の類を対応させる写像は同型 $\hat T\cong A^1(G/B)$ を与える。
(4) 単連結な被覆：連結半単純群 $G$ に対し、単連結な連結半単純群 $\tilde G$ と中心的同種写像 $u\colon\tilde G\to G$ で、極大トーラス $\tilde T$ を $T$ の上に写し、根の指数がすべて $1$ であるものがある。$\tilde B=u^{-1}(B)$ は $\tilde G$ の Borel 部分群で、$u$ は同型 $\tilde G/\tilde B\cong G/B$ を誘導する。
(5) 単連結な連結半単純群は、単連結な単純群（真の連結閉正規部分群をもたない非可換な群）の直積に同型である。
(6) 単連結な単純群は連結な Dynkin 図式で同型を除いて決まる。$A_{n-1}$ 型（$n\ge2$）は特殊線形群 $\mathrm{SL}(n)$、$C_n$ 型（$n\ge1$）は $2n$ 次元の斜交群 $\mathrm{Sp}(n)$ で、$C_1=A_1$、$\mathrm{Sp}(1)=\mathrm{SL}(2)$ である。Chevalley の存在定理：どの代数的閉体の上でも、連結な Dynkin 図式のそれぞれについて、それを図式にもつ単連結な単純群がある。とくに $k$ の上の半単純群の Dynkin 図式と同じ図式をもつ単連結な半単純群が、複素数体の上にもある（(5) により単純群の直積をとればよい）。

$G$ が半単純とは限らない連結線形群なら、上の定理（線形群の構造）の (5) により $G/B\cong\bar G/\bar B$（$\bar G=G/R$、$\bar B=B/R$）なので、(1)(2) は $G/B$ にもそのまま当てはまる（$r$ は $\bar G$ の階数）。(4) の同型は、原論文の Lemme 8 の証明では、等質性により双有理であれば足り、開いた胞体どうしの同型は Laz58 の結果と根の指数の定義（Che58ex）から出る、と述べられる（PDF 23〜24）。(6) の型の名前は後代の通称で、原論文は「$S\ell(n)$ の型」「$\mathrm{Sp}(n)$ の型」と書く。(6) の存在定理は Chevalley の分類のセミナー Che58 による（本書は該当箇所を確かめていない）。原論文は Lemme 9 の略証で、同じ図式の複素数体の上の群へ移る所でこれを断りなく使う（本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』）。

  • 使いどころ：(1) は、$A(G/B)$ が胞体の閉包の類で生成され、$\chi\colon A^N(G/B)\to\mathbf Z$ が同型であること（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」「最高次の部分と捩れ指数の存在」）、本書『5-1 サイクル類写像と胞体分割』の主結果「旗多様体のサイクル類写像は同型」、本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「Schubert 類による生成」、本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「素数ごとの捩れの判定」（どれも本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」を経る）。(2) は本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』の主結果「重複度 1 で交わる正因子（係数を大きくした形）」「捩れ指数の倍数を零点の数の最大公約数として実現（訂正形）」。(3)〜(6) は本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「単純単連結群への帰着」、本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積」「Dynkin 図式による判定」、本書『6-3 特別群の特徴づけ』の主結果「積の次数が 1 になる正因子の類」。
  • 案内：Bruhat分解、Weyl群、Dynkin図式、Hum75 §28・§31・§32、Bor91 第 IV 章 §14、Spr98 第 8〜9 章、Laz58・Che58sl・Che58ex（原論文が引く講演。本書は開いていない）。
射影直線と三次の旗多様体の胞体

$G=\mathrm{SL}(2)$ では $W=\{e,s\}$ で、$G/B\cong\mathbf P^1$ の $B$ 軌道は点 $X_e=\{[e_1]\}$ と、その補集合 $X_s\cong k$ の二つである。$r=1$、$N=1$ で、余次元 1 の胞体は点 $X_e$ そのものなので、$D_1=X_e$、その類は $\mathbf P^1$ の点の類 $h$ で、$A^1(\mathbf P^1)=\mathbf Zh$ の基底である。$G=\mathrm{SL}(3)$ では $W$ は 3 次の対称群で、完全旗多様体 $D(k^3)$（点と直線の組 $\ell\subset H$ の全体、$N=3$）の胞体の次元は $0,1,1,2,2,3$ である。標準的な旗 $V_1=ke_1\subset V_2=ke_1+ke_2$ について、余次元 1 の胞体の閉包は $D_1=\{(\ell,H):\ell\subset V_2\}$ と $D_2=\{(\ell,H):V_1\subset H\}$ の二つである。$D_1$ は射影平面 $P(k^3)$ の直線 $P(V_2)$ の、$D_2$ は双対射影平面の直線（$V_1$ を含む平面の全体）の、それぞれ $(\ell,H)\mapsto\ell$、$(\ell,H)\mapsto H$ による引き戻しである。

特殊線形群と射影線形群

$\mathrm{PGL}(2)=\mathrm{GL}(2)/\mathbf G_m$（スカラー行列で割ったもの）は連結半単純群で、自然な $u\colon\mathrm{SL}(2)\to\mathrm{PGL}(2)$ は中心的同種写像である。核は $\{\pm1\}$ で、標数 $2$ では点の核は単位群だけになるが、$u$ は代数的空間の同型ではない。$\mathrm{SL}(2)$ は単連結で、$\mathrm{PGL}(2)$ は単連結でない。どちらの旗多様体も $\mathbf P^1$ で、$u$ はその同型を誘導する（上の定理（Bruhat 分解と旗多様体の胞体）の (4)）。旗多様体が同じでも特性部分環が違うことは、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の例「特殊線形群と射影線形群の特性部分環」で見る。

斜交群とその旗多様体

$V=k^{2n}$ に非退化な交代形式 $\omega$ をとり、$\omega$ を保つ線形変換の群を $\mathrm{Sp}(n)=\mathrm{Sp}(V,\omega)$ と書く。次元は $n(2n+1)$、階数は $n$ で、適当な基底で $\mathrm{diag}(t_1,\dots,t_n,t_1^{-1},\dots,t_n^{-1})$ の全体が極大トーラスである。$\omega$ が $0$ になる部分空間を等方的という。等方的な部分空間の旗 $V_1\subset\dots\subset V_n$（$\dim V_i=i$）の全体が $\mathrm{Sp}(n)$ の旗多様体で、次元は $N=(n(2n+1)-n)/2=n^2$ である。$n=1$ では $\omega(x,y)=\det(x,y)$ ととれ、$\det(x,y)$ を保つことは行列式が $1$ であることと同じなので、$\mathrm{Sp}(1)=\mathrm{SL}(2)$ である。旗多様体の Chow 環の計算は本書『6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体』で行う。

他の巻から引く群の結果

本書は、第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の結果を引く。本書の札の基準では、第 7 巻で［条件付き］の結果に依る主結果は［条件付き］とし、札に第 7 巻の頁と結果名を書く。第 7 巻で［完結］の部分だけに依るなら、完結の入力として使ってよい。本書の主結果の証明が使うのは、次のとおり第 7 巻で［完結］の結果（または［完結］の部分）だけである。

  • 第 7 巻の頁『4-2 準同型と閉部分群と Jordan 分解』の主結果「有理準同型は半単純元・単冪元を保つ」と「半単純・単冪は実現によらない」：第 7 巻ではどちらも［条件付き］で、単冪な元についての部分は［完結］。本書が使うのは単冪な元についての部分だけで（上の定義（可解群・単冪群・Borel 部分群）、上の命題（単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標）の (1)、上の定理（連結単冪群と連結可解群の構造）の (3) の商の部分、本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』、本書『1-2 可解群の等質空間』）、そこは完結の入力になる。
  • 第 7 巻の頁『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの閉部分群の構造」（第 7 巻で［完結］）：トーラス $T$ の部分トーラス $T'$ に補トーラス $T''$ があって $T=T'\times T''$ となること（本書『1-2 可解群の等質空間』の補題「部分トーラスの補トーラス」）に使い、そこから閉部分トーラスへの指標の制限が全射であること（本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」）を導く。同じ頁の主結果「トーラスの正則関数と指標」（［完結］）は、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』と本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』で使う。
  • 原論文が補トーラスの存在の根拠に引く Gro56 の定理 2 の系 3 c) は、第 7 巻の頁『3-2 指標群との双対性』の主結果「閉部分群と指標群の部分群の対応」（第 7 巻で［条件付き］）に当たる。本書はこれを原論文の道筋の説明（本書『1-2 可解群の等質空間』と本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の注意）でだけ挙げ、主結果の証明には使わない。
    このほか本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の注意と反例は、第 7 巻の頁『4-1 乗法的 Jordan 分解と単冪性』の主結果「標数 0 の加法群の有理表現」と頁『5-1 可換群の直積分解と標数 0 の単冪群』の主結果「正標数の非連結な可換単冪群」（どちらも第 7 巻で［完結］）を引く。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

  • 簡約群の構造（1956〜1965 年）：Chevalley は Classification セミナー Che58 で、代数的閉体の上の半単純群を根系と Dynkin 図式で分類し、同種写像と単連結な被覆の理論を整えた。Borel 部分群・放物型部分群・Bruhat 分解の理論は、Borel と Tits により一般の体の上の簡約群へ広げられた。教科書としては Bor91（初版 1969 年）、Hum75、Spr98 がある。
  • 群スキーム（1962〜1970 年）：Demazure と Grothendieck の SGA 3 SGA3 は、半単純群の構造論を任意の底の上の簡約群スキームへ広げた。本書の点の枠組みの「代数群」は、代数的閉体の上の被約な群スキームの $k$ 点に当たる（Mil17）。
  • Schubert 計算（1973〜1974 年）：旗多様体の胞体の閉包（後代の Schubert 多様体）の類の積は、Bernstein–Gelfand–Gelfand BGG73 と Demazure Dem74 により差分作用素で計算されるようになった。本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』で触れる。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Gro58c である。本頁は前提の頁で、原論文の主張の証明は含まない。印字頁は PDF の頁番号から 1 を引いたもの（PDF $n$ が印字 5-$(n-1)$）である。

本頁原論文印字頁
定義（代数群・アフィン群・有理指標）、定理（等質空間の基本）冒頭、§3 冒頭、Proposition 4、Lemme 55-01、5-08、5-05、5-12
定義（可解群・単冪群・Borel 部分群）、定理（線形群の構造）Lemme 2 の証明、§4 冒頭、定理 2 の証明、Lemme 8 の証明5-06、5-13、5-18、5-22
命題（単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標）§4 冒頭（$\hat B$ と $\hat T$ の同一視）5-13
定理（連結単冪群と連結可解群の構造）、定理（Rosenlicht の局所切断）Proposition 1・2 とその証明、§4 冒頭5-01〜5-03、5-13
定義（Weyl 群・Bruhat 胞体・単連結）、定理（Bruhat 分解と旗多様体の胞体）系 4 と Définition 3、定理 2 の証明、Lemme 8・9 とその証明、§5 の Dynkin 図式の段5-17、5-18〜5-19、5-22〜5-26
例（一般線形群と特殊線形群の旗多様体）、例（斜交群とその旗多様体）§5 の $\mathrm{SL}(n)$ と $\mathrm{Sp}(n)$ の計算5-23〜5-25

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