4-1 特性準同型と特性部分環
連結アフィン群の Borel 部分群の有理指標に、旗多様体の上の付随直線束の第一 Chern 類を対応させる特性準同型を定め、その像である特性部分環が群に依存して旗多様体だけでは決まらないこと、群の準同型と両立すること、可解群と一般線形群では Chow 環の全体になることを示す。捩れのない群の定義と、次の頁で使う部分群の図式の記号もここで置く。
前提知識: 線形代数群, Borel部分群, 旗多様体, 有理指標, 直線束, Chow環, Chern類, 対称代数
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。$G$ を連結アフィン群（連結線形群）、$B$ をその Borel 部分群、$T\subset B$ を極大トーラス、$B_u$ を $B$ の単冪な元の全体とし、$B=T\cdot B_u$ と書く。$\hat B$、$\hat T$ は有理指標の群で、加法的に書く。$\chi\in\hat B$ について、$B$ が $k$ に $\chi$ で作用する付随直線束を $L_\chi=G\times^Bk_\chi\to G/B$ と書く（下の定義）。空間と Chow 環の記号は本書『0-5 記号と約束』のとおりである。
本頁の主結果は次の五つである。
- 指標の直線束と特性準同型（原論文 §4 冒頭、印字 5-13）：制限 $\hat B\to\hat T$ は同型で、各 $\chi\in\hat B$ について $L_\chi$ は $G/B$ の上の局所自明な直線束であり、$c_G(\chi)=c_1(L_\chi)$ で定まる $c_G\colon\hat T\to A^1(G/B)$ は群準同型である。［条件付き：線形群の構造（半直積 $B=T\cdot B_u$、旗多様体が非特異な射影的空間であること）と Rosenlicht の局所切断を引用し、第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「因子と直線束の対応」と、同じ巻の頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」による。足した仮定：$c_G(\chi)$ は $B$ が $\chi$ で作用する直線束の類。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 特性準同型の環準同型への延長（原論文の式 (4.1)、印字 5-13）：$c_G$ は次数付き環準同型 $S(\hat T)\to A(G/B)$ にただ一通りに延びる。［条件付き：1 と、第 6 巻の頁『1-1 データと公理と積の構造』の主結果「可換環の構造」による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 特性部分環は群に依存する（特性部分環の定義に添えた主張、印字 5-14）：特性部分環 $\operatorname{Im}c_G$ は $G$ に依存し、旗多様体 $G/B$ だけでは決まらない。実際、$\mathrm{SL}(2)$ と $\mathrm{PGL}(2)$ の旗多様体はどちらも $\mathbf P^1$ だが、特性部分環は $A(\mathbf P^1)$ の全体と、指数 $2$ の部分環 $\mathbf Z\oplus2\mathbf Zh$（$h$ は点の類）である。［条件付き：1・2 と、第 6 巻の頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「射影束公式」、頁『5-1』の主結果「Chow 環の射影束公式」による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 準同型と特性準同型の両立（原論文の式 (4.2)、印字 5-14）：連結アフィン群の有理準同型 $u\colon G\to G'$ と Borel 部分群 $B\subset G$、$B'\subset G'$ で $u(B)\subset B'$ となるものについて、誘導される射 $\bar u\colon G/B\to G'/B'$ は $\bar u^*\circ c_{G'}=c_G\circ S({}^tu)$ を満たす。［条件付き：1 と、本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「等質空間の基本」（商の普遍性）、第 6 巻の頁『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「関手性・正規化・加法性」による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 可解群と一般線形群は捩れなし（原論文 Définition 2 の後の例、印字 5-16）：連結可解アフィン群と一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ では $c_G$ は全射である。［条件付き：1・2 と、第 6 巻の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「非特異準射影多様体の Chow 環」の (2)、旗多様体の同一視（本書『0-2』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」）、第 6 巻の頁『2-3 旗束の環』の主結果「完全旗束の環」、頁『5-1』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」による。足した仮定：符号の約束は主結果 1 と同じ。Chow 環の枠組みの下では完結］
五つとも Chow 環の性質を使うので、本書の基準では［条件付き］である。札の「Chow 環の枠組みの下では完結」は、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の性質と第 0 章の古典的前提を認めれば、外部入力なしに頁の中で閉じるという意味である（本書『0-5 記号と約束』の「状態札の意味」）。頁の中で証明するのは、付随直線束の局所的な構成とその推移関数、直線束の射を比べる補題、$\mathrm{SL}(2)$・$\mathrm{PGL}(2)$・$\mathrm{GL}(n)$ の付随直線束の同定である。指標群が自由加群であること（第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの正則関数と指標」）と、単冪群の指標が自明であること（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の命題「単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標」の (1)）は、完結の入力として使う。
背景と動機
原論文の §3 は、主束の構造群を部分群へ簡約する問題を、等質ベクトル束の切断の零点の問題に移した。§2 は、局所等自明な束の全空間の Chow 環から一つのファイバーの Chow 環への制限の余核が、束を自明にする被覆の次数で消えることを示した。§4 は、この二つを旗多様体 $G/B$ の上でつなぐ。構造群 $G$ の主束 $P$ から作ったファイバー空間 $P/B$ の Chow 環を、ファイバー $G/B$ の Chow 環へ制限するとき、どの主束についても像に入る類がある。それが、$B$ の指標に付随する直線束の類とその積で、原論文はこれを特性準同型の像として取り出す。
原論文 §4 の冒頭（印字 5-13）は、$\hat B$ を $\hat T$ と同一視し、Rosenlicht の定理で $G\to G/B$ が局所自明であることから、指標ごとに $G/B$ の上の直線束が定まると述べる。そこから得られる写像が群準同型であることは「すぐに確かめられる」とだけ書かれる。像については、それが $G$ に依存し「多様体 $G/B$ だけによるのではない」と「明らかに」の一語で添えられる（印字 5-14）。本頁は、この二つの一言を証明として書き出す。後者には、旗多様体が同じ $\mathbf P^1$ になる二つの群 $\mathrm{SL}(2)$ と $\mathrm{PGL}(2)$ で特性部分環を計算して答える。
特性準同型という名は位相群の主束の特性準同型（Borel Bor53）と同じで、複素数体の上ではこの準同型が位相的なファイバー束 $G\to G/B$ の特性準同型に一致することを、本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』で見る。本頁の後、本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』は特性部分環を一般線形群への埋め込みでの引き戻しの像として特徴づけ、本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』はその指数から捩れ指数を取り出す。
定義と準備
付随直線束は、局所切断で作った座標の張り合わせとして定める。こうしておくと、推移関数が指標の値で与えられることが直接に見え、群準同型であることもそこから読める。
$G$ を連結アフィン群、$B$ をその Borel 部分群、$\pi\colon G\to G/B$ を商の射、$\chi\in\hat B$ とする。
(1) $B$ を $G\times k$ に右から $(g,v)\cdot b=(gb,\chi(b)^{-1}v)$ で作用させ、その軌道の集合を $L_\chi=G\times^Bk_\chi$ と書く。$(g,v)$ の軌道を $[g,v]$ と書き、$[g,v]\mapsto\pi(g)$ を射影とする。定義から $[gb,v]=[g,\chi(b)v]$ である。
(2) $G/B$ の開集合 $U$ の上の $\pi$ の局所切断 $s\colon U\to G$ について、$\psi_s\colon U\times k\to L_\chi|_U$、$(x,v)\mapsto[s(x),v]$ を $s$ の定める座標という。$G/B$ を覆う局所切断の族の座標で $L_\chi$ に代数的空間の構造を入れたものを、$\chi$ に付随する直線束という。
(3) $G$ は $L_\chi$ に左から $h\cdot[g,v]=[hg,v]$ で作用する。基点 $eB$ の上のファイバーは $\{[e,v]\}$ で、$b\in B$ は $[e,v]$ を $[b,v]=[e,\chi(b)v]$ に移す。すなわち基点の固定群 $B$ は基点の上のファイバーに $\chi$ で作用する。
局所切断の族は Rosenlicht の局所切断（下の引用する事実 2）で得られる。(2) の構造が矛盾なく定まり、局所自明な直線束になることは、下の主結果（指標の直線束と特性準同型）で確かめる。(3) が、札の足した仮定の「$B$ が $\chi$ で作用する」の意味である。逆の約束（基点の上で $\chi^{-1}$ で作用する束をとる）の影響は、下の注意（符号の約束）で述べる。
付随直線束の類を比べるたびに、具体的な直線束との間に写像を作って同型を確かめる。その型を補題にしておく。
$\varphi\colon Y\to Y'$ を代数的空間の射、$L\to Y$、$L'\to Y'$ を Zariski 位相で局所自明な直線束とし、射 $\Phi\colon L\to L'$ が $\varphi$ の上にあって（$L'$ の射影と $\Phi$ の合成が、$L$ の射影と $\varphi$ の合成に等しい）、各点 $y$ のファイバー $L_y\to L'_{\varphi(y)}$ が線形な同型であるとする。このとき $L\to\varphi^*L'=Y\times_{Y'}L'$、$l\mapsto(\text{射影}(l),\Phi(l))$ は直線束の同型である。とくに $Y,Y'\in V$ なら $c_1(L)=\varphi^*c_1(L')$ である。
段 1（局所的な形）．$y\in Y$ の近傍 $U$ と $\varphi(y)$ の近傍 $U'$ を、$\varphi(U)\subset U'$ で、$L|_U\cong U\times k$、$L'|_{U'}\cong U'\times k$ となるようにとる。この座標で $\Phi$ は $(x,v)\mapsto(\varphi(x),F(x,v))$ と書け、$F$ は $U\times k$ の上の正則関数である。各ファイバーで線形なので $F(x,v)=f(x)v$、$f(x)=F(x,1)$ で、$f$ は $U$ の上の正則関数である。
段 2（逆写像）．ファイバーで同型なので $f$ は $U$ の上で $0$ にならず、$1/f$ も正則である。$\varphi^*L'|_U\cong U\times k$ の座標で、$L\to\varphi^*L'$ は $(x,v)\mapsto(x,f(x)v)$、その逆は $(x,w)\mapsto(x,w/f(x))$ で、どちらも射である。これらは $Y$ の上で貼り合わさり、同型を与える。
段 3（類）．$Y,Y'\in V$ なら、第一 Chern 類は引き戻しと両立する（下の引用する事実 4 の (b)(c)）ので、$c_1(L)=c_1(\varphi^*L')=\varphi^*c_1(L')$ である。
補題の仮定の「ファイバーで線形な同型」は、以下ではいつも $v\mapsto v\cdot w$（$w$ は零でないベクトル）の形で確かめる。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は Borel Bor56、原論文が引く Grothendieck Gro57st、Rosenlicht Ros57（候補）と、Chow 環の性質については前の講演 Gro58b である。要点は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」「Rosenlicht の局所切断」「等質空間の基本」と、本書『0-4 Chow 環の枠組み』にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。
- 線形群の構造：連結線形群 $G$ の旗多様体 $G/B$ は非特異で既約な射影的空間で、とくに $V$ に属し完備である。$B$ は極大トーラス $T$ を含み、$B=T\cdot B_u$ は半直積で、$B/B_u\cong T$ である。$\mathrm{GL}(n)$ の上三角行列の群は Borel 部分群で、$G/B$ は完全旗の多様体 $D(k^n)$ に同型である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」）。
- Rosenlicht の局所切断：線形群 $G$ の連結可解閉部分群 $H$ について、$G\to G/H$ は局所切断をもつ。$G/H$ は局所切断の定義域で覆われる。
- 等質空間の基本：$G\to G/F$ は開な全射で、右から $F$ で不変な射はただ一通りに $G/F$ を経由する。
- Chow 環の性質：$X,Y\in V$ について次が成り立つ。(a) $A(X)$ は次数付き可換環で、射による引き戻しは単位的な次数付き環準同型である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「環の構造と射影公式」の (1)。第 6 巻の頁『1-1 データと公理と積の構造』の主結果「可換環の構造」と頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」）。(b) 直線束に第一 Chern 類を対応させると群の同型 $\operatorname{Pic}(X)\cong A^1(X)$ が得られ、正則な切断が零切断に横断的なら $c_1(L)$ はその零点集合の類である（同じ頁の定理「因子と Chern 類」の (1)。第 6 巻の頁『0-3 サイクル・Chow 環・K 群と対称式』の定理「因子と直線束の対応」）。(c) Chern 類は引き戻しと両立し、完全列について乗法的である（同じ定理の (2)。第 6 巻の頁『2-2 Chern 類と分裂の関係式』の主結果「関手性・正規化・加法性」）。(d) 階数 $2$ の自明な束の射影束 $\mathbf P^1$ では $A(\mathbf P^1)=\mathbf Z\cdot1\oplus\mathbf Z\xi$、$\xi^2=0$、$\xi=c_1(\mathcal O(1))$ で、$k^n$ の完全旗の多様体 $D(k^n)$ の Chow 環は、標準旗 $0=W_0\subset W_1\subset\dots\subset W_n$ の $\xi_i=c_1\bigl((W_i/W_{i-1})^\vee\bigr)$ で環として生成される（同じ頁の定理「射影束公式と旗束の環」の (1)(2) で底を一点にとったもの。第 6 巻の頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「射影束公式」、頁『2-3 旗束の環』の主結果「完全旗束の環」、頁『5-1』の主結果「Chow 環の射影束公式」）。
完結の入力として使うものが二つある。本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の命題「単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標」は、(1) 単冪群の有理指標は自明、(2) 制限 $\hat B\to\hat T$ は同型、と述べる。(1) は第 7 巻の完結の結果と初等的な計算だけで閉じ、(2) は事実 1 の半直積を使う。第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの正則関数と指標」（第 7 巻で完結）は、トーラス $k^{*n}$ の有理指標がちょうど単項式 $X_1^{a_1}\cdots X_n^{a_n}$ であること、したがって $\hat T\cong\mathbf Z^{\dim T}$ を与える。
主結果と証明
まず付随直線束が直線束であることと、その推移関数を確かめる。推移関数が指標の値で書けることから、特性準同型が群準同型であることもそのまま出る。
指標の直線束
$G$ を連結アフィン群、$B=T\cdot B_u$ をその Borel 部分群とする。
(1) 制限 $\hat B\to\hat T$ は群の同型である。以下これで $\hat B=\hat T$ と同一視する。
(2) $\chi\in\hat B$ について、上の定義（指標に付随する直線束）の座標は矛盾なく $L_\chi$ に代数的空間の構造を定め、$L_\chi\to G/B$ は Zariski 位相で局所自明な直線束である。局所切断 $s\colon U\to G$、$s'\colon U'\to G$ について $\beta=s^{-1}s'\colon U\cap U'\to B$ は射で、座標の取り替えは $\psi_s^{-1}\circ\psi_{s'}(x,v)=(x,\chi(\beta(x))v)$ である。構造は局所切断の族の取り方によらず、$G\times k\to L_\chi$、$(g,v)\mapsto[g,v]$ は射である。
(3) $L_{\chi+\chi'}\cong L_\chi\otimes L_{\chi'}$ で、$L_0$ は自明である。したがって $c_G(\chi)=c_1(L_\chi)$ とおくと、$c_G\colon\hat T=\hat B\to A^1(G/B)$ は群準同型である。
段 1（指標の同一視）．(1) は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の命題「単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標」の (2) である。単射であることは単冪群 $B_u$ の指標が自明であることから、全射であることは $\hat T$ の元を $B\to B/B_u\cong T$ で引き戻すことから出る（引用する事実 1）。
段 2（取り替えの射）．引用する事実 2 により、$G/B$ は局所切断 $s_i\colon U_i\to G$ の定義域 $U_i$ で覆われる。$x\in U\cap U'$ で $\pi(s(x))=\pi(s'(x))=x$ なので $\beta(x)=s(x)^{-1}s'(x)\in B$ である。$\beta$ は $G$ の逆元と積と $s$、$s'$ の合成なので $G$ への射で、値は閉部分群 $B$ に入るから $B$ への射である。
段 3（座標の取り替え）．$[gb,v]=[g,\chi(b)v]$ により $\psi_{s'}(x,v)=[s(x)\beta(x),v]=[s(x),\chi(\beta(x))v]=\psi_s(x,\chi(\beta(x))v)$ である。したがって取り替えは $(x,v)\mapsto(x,\chi(\beta(x))v)$ で、$\chi\circ\beta$ は $U\cap U'$ の上の零にならない正則関数だから、これは $(U\cap U')\times k$ の直線束としての自己同型である。三つの局所切断について $\beta$ は $s^{-1}s''=(s^{-1}s')(s'^{-1}s'')$ を満たすので、取り替えは貼り合わせの条件を満たす。
段 4（座標は全単射）．$x\in U$ の上の $L_\chi$ の元は $[g,v]$（$\pi(g)=x$）で、$g=s(x)b$（$b=s(x)^{-1}g\in B$）と書けるので $[g,v]=[s(x),\chi(b)v]$ は $\psi_s$ の像にある。$[s(x),v]=[s(x),v']$ なら $s(x)b=s(x)$ となる $b$ があり $b=e$ なので $v=v'$ である。ゆえに $\psi_s$ は $U\times k$ から $L_\chi|_U$ への全単射で、段 3 により $L_\chi$ は $U_i\times k$ を線形な推移関数で貼り合わせた直線束である。別の局所切断の族を合わせても段 3 は成り立つので、構造は族の取り方によらない。
段 5（$G\times k\to L_\chi$ は射）．$\pi^{-1}(U)\times k$ の上で $(g,v)\mapsto\psi_s\bigl(\pi(g),\chi(s(\pi(g))^{-1}g)\,v\bigr)$ と書け、右辺は射の合成である。
段 6（積と群準同型）．同じ局所切断の族で、$L_\chi\otimes L_{\chi'}$ の推移関数は $\chi(\beta)\chi'(\beta)=(\chi+\chi')(\beta)$（加法的に書いた指標の和は値の積）で、$L_{\chi+\chi'}$ の推移関数と同じである。ゆえに $L_{\chi+\chi'}\cong L_\chi\otimes L_{\chi'}$ で、$L_0$ は推移関数が $1$ なので自明である。引用する事実 1 により $G/B\in V$ で、引用する事実 4 の (b) により $c_1\colon\operatorname{Pic}(G/B)\to A^1(G/B)$ は群の同型だから、$c_G(\chi+\chi')=c_G(\chi)+c_G(\chi')$、$c_G(0)=0$ である。
$G\to G/B$ の推移関数 $\beta$ は $B$ に値をとり、指標 $\chi$ はそれを乗法群 $k^*$ の値に写す。付随直線束はその像の推移関数で貼った束で、原論文の言う「構造群 $B$ の主束に付随する構造群 $k^*$ の主束」を直線束と見たものである。原論文が「すぐに確かめられる」とした群準同型の性質は、段 6 の推移関数の積に尽きる。
原論文は、指標に付随させる直線束の向き（基点の上のファイバーに $B$ が $\chi$ で作用するか $\chi^{-1}$ で作用するか）を書かない。本書は $\chi$ で作用する方をとる（本書が足した仮定。本書『0-5 記号と約束』）。逆の約束をとり $c'_G(\chi)=c_1(L_{-\chi})$ とおくと、上の定理の (3) により $c'_G(\chi)=-c_G(\chi)=c_G(-\chi)$ で、対称代数へ延ばしたもの（下の定理（特性準同型の環準同型への延長））は $c'_G=c_G\circ S(-1)$ である。$S(-1)$ は $\hat T$ の $-1$ 倍が誘導する $S(\hat T)$ の環の自己同型なので、$c'_G$ と $c_G$ の像は同じである。したがって、特性部分環、捩れのない群、捩れ指数（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』）はどちらの約束でも同じで、変わるのは個々の類 $c_G(\chi)$ の符号だけである。旗の各段の類 $\xi_i$ の符号の約束（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の注意「旗の類の符号と第 6 巻の分裂の因子」）は別の約束で、こちらは次数の値に効く。
対称代数への延長
$A(G/B)$ は可換な次数付き環なので、次数 $1$ の類の積をとれば、指標の多項式の類が得られる。
$S(\hat T)=\bigoplus_{j\ge0}S^j(\hat T)$ を $\mathbf Z$ 加群 $\hat T$ の対称代数とし、$\hat T=S^1(\hat T)$ を次数 $1$ に置く。上の定理（指標の直線束と特性準同型）の $c_G\colon\hat T\to A^1(G/B)$ は、単位的な環準同型 $c_G\colon S(\hat T)\to A(G/B)$ で $S^j(\hat T)$ を $A^j(G/B)$ に写すものに、ただ一通りに延びる。$\hat T$ は階数 $\dim T$ の自由加群で、$S(\hat T)$ は $\dim T$ 変数の多項式環に同型である。
段 1（延長）．引用する事実 4 の (a) により $A(G/B)$ は単位的な可換環である。対称代数の普遍性により、加群の準同型 $\hat T\to A(G/B)$ は単位的な環準同型 $S(\hat T)\to A(G/B)$ にただ一通りに延びる。
段 2（次数）．$S^j(\hat T)$ は $\chi_1\cdots\chi_j$ の形の元で生成され、その像は $c_G(\chi_1)\cdots c_G(\chi_j)\in A^1\cdots A^1\subset A^j(G/B)$ である（次数付き環）。
段 3（自由性）．$T\cong k^{*r_0}$（$r_0=\dim T$）とすると、第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの正則関数と指標」により、有理指標はちょうど単項式 $X_1^{a_1}\cdots X_{r_0}^{a_{r_0}}$（$a\in\mathbf Z^{r_0}$）で、$\hat T\cong\mathbf Z^{r_0}$ である。自由加群の対称代数は基底を変数とする多項式環である。
これが原論文の式 (4.1) である。原論文は $\hat T\cong\mathbf Z^n$ の $n$ を $G$ の「階数」と呼ぶ（印字 5-13）。本頁の段 3 の $r_0$ がこれに当たる。本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』で現れる $A^1(G/B)$ の階数を原論文は同じ $n$ で書くが、本書はそれを $r$ と書き分ける（本書『0-5 記号と約束』）。$G$ が半単純なら二つは等しく（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「Bruhat 分解と旗多様体の胞体」の (2)：余次元 $1$ の胞体の閉包が $A^1(G/B)$ の基底で、個数は $r=\dim T$）、$\mathrm{GL}(n)$ では $\dim T=n$、$A^1(G/B)$ の階数は $n-1$ で異なる（下の例「一般線形群の旗多様体」）。
上の定理（特性準同型の環準同型への延長）の $c_G\colon S(\hat T)\to A(G/B)$ を $G$ の特性準同型といい、その像 $\operatorname{Im}c_G$ を $A(G/B)$ の特性部分環（原論文の sous-anneau caractéristique）という。$\operatorname{Im}c_G$ は $A(G/B)$ の次数付き部分環で、$A^0(G/B)=\mathbf Z\cdot1$ を含む。
特性部分環は、指標の直線束の $c_1$ で生成される部分環である。$A(G/B)$ 全体が指標の直線束で生成されるかどうかが、原論文の「捩れ」の問題になる（下の定義（捩れのない群））。
群に依存すること
原論文は、特性部分環が $G$ に依存し $G/B$ だけでは決まらないことを、証明を付けずに述べる。旗多様体が同じ $\mathbf P^1$ になる二つの群で計算して確かめる。まず $\mathbf P^1$ の Chow 環と、その上の標準的な直線束の類を定めておく。$\mathbf P^1$ は $k^2$ の直線の空間で、$\mathcal O(-1)\subset\mathbf P^1\times k^2$ を点 $[w]$ の上のファイバーが直線 $kw$ である部分直線束（標準的な部分直線束）、$\mathcal O(-2)=\mathcal O(-1)^{\otimes2}$、$\mathcal O(1)=\mathcal O(-1)^\vee$ とする。
$h\in A^1(\mathbf P^1)$ を一点の類とする。
(1) $A(\mathbf P^1)=\mathbf Z\cdot1\oplus\mathbf Zh$、$h^2=0$ で、$c_1(\mathcal O(1))=h$、$c_1(\mathcal O(-1))=-h$、$c_1(\mathcal O(-2))=-2h$ である。
(2) $G=\mathrm{SL}(2)$、$B$ を上三角行列の群、$T=\{\mathrm{diag}(t,t^{-1})\}$、$\omega\in\hat T$ を $\omega(\mathrm{diag}(t,t^{-1}))=t$ とする。$gB\mapsto[ge_1]$ による同一視 $G/B\cong\mathbf P^1$ のもとで $L_\omega\cong\mathcal O(-1)$、$c_G(\omega)=-h$ で、$\operatorname{Im}c_G=A(\mathbf P^1)$ である。
(3) $G=\mathrm{PGL}(2)=\mathrm{GL}(2)/k^*$、$B$ を上三角行列の群の像、$T$ を対角行列の群の像、$\alpha\in\hat T$ を $\alpha(\mathrm{diag}(a,d))=a/d$ とする。$\hat T=\mathbf Z\alpha$ で、$g\bmod k^*$ の $B$ 剰余類に $[ge_1]$ を対応させる同一視 $G/B\cong\mathbf P^1$ のもとで $L_\alpha\cong\mathcal O(-2)$、$c_G(\alpha)=-2h$ で、$\operatorname{Im}c_G=\mathbf Z\cdot1\oplus2\mathbf Zh$ である。
(4) $A(\mathbf P^1)$ の環の自己同型で、(2) の特性部分環を (3) の特性部分環に写すものは無い。したがって特性部分環は旗多様体だけでは決まらない。
段 1（$\mathbf P^1$ の Chow 環）．引用する事実 4 の (d) により $A(\mathbf P^1)=\mathbf Z\cdot1\oplus\mathbf Z\xi$、$\xi^2=0$、$\xi=c_1(\mathcal O(1))$ である。$\mathcal O(1)$ の大域切断 $\lambda$ として零でない一次形式 $\lambda\colon k^2\to k$ をとると、$\lambda$ は直線 $kw$ の上で $w\mapsto\lambda(w)$ を与え、零点は直線 $\ker\lambda$ の一点である。$\ker\lambda=ke_1$ とすれば、$[1:t]$ の近くの座標 $t$ で切断は $t$ の一次式で表され、零点は重複度 $1$、すなわち零切断に横断的である。引用する事実 4 の (b) により $\xi=[\mathrm{pt}]=h$ である。同じ (b) の群の同型から $c_1(\mathcal O(-1))=-h$、$c_1(\mathcal O(-2))=2c_1(\mathcal O(-1))=-2h$ である。
段 2（$\mathrm{SL}(2)$ の局所切断）．$G=\mathrm{SL}(2)$ で、$gB\mapsto[ge_1]$ は同型 $G/B\cong\mathbf P^1$ を与える（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」）。$U_0=\{[1:t]\}$ の上の $s_0(t)=\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}$ と、$U_1=\{[u:1]\}$ の上の $s_1(u)=\begin{pmatrix}u&-1\\1&0\end{pmatrix}$ は、どちらも行列式 $1$ で第 1 列が指定の直線を張るので、$G\to G/B$ の局所切断で、$U_0\cup U_1=\mathbf P^1$ である。
段 3（$\mathrm{SL}(2)$ の付随直線束）．$\omega$ は $B$ の上で $b\mapsto b_{11}$（左上の成分）で与えられる。$\Phi_0\colon G\times k\to\mathcal O(-1)$、$(g,v)\mapsto([ge_1],\,v\cdot ge_1)$ とおく。$b\in B$ について $gbe_1=b_{11}\,ge_1$ なので、$\Phi_0(gb,\omega(b)^{-1}v)=([ge_1],\,\omega(b)^{-1}v\,b_{11}\,ge_1)=\Phi_0(g,v)$ で、$\Phi_0$ は $L_\omega$ からの写像 $\Phi\colon[g,v]\mapsto([ge_1],v\cdot ge_1)$ を定める。段 2 の座標では $\Phi(\psi_{s_i}(x,v))=(x,\,v\cdot s_i(x)e_1)$ で射である。$ge_1\ne0$ なのでファイバーの上で $v\mapsto v\cdot ge_1$ は線形な同型である。上の補題（直線束の射の比較）により $L_\omega\cong\mathcal O(-1)$、$c_G(\omega)=-h$ である。
段 4（$\mathrm{SL}(2)$ の特性部分環）．$T\cong k^*$（$\mathrm{diag}(t,t^{-1})\mapsto t$）なので $\hat T=\mathbf Z\omega$、$S(\hat T)=\mathbf Z[\omega]$ である。$c_G(\omega^j)=(-h)^j$ は $j\ge2$ で $0$ なので、$\operatorname{Im}c_G=\mathbf Z\cdot1+\mathbf Zh=A(\mathbf P^1)$ である。
段 5（$\mathrm{PGL}(2)$ の指標と局所切断）．$\mathrm{diag}(a,d)\mapsto a/d$ はスカラー行列で割った対角行列の群から $k^*$ への同型を与える（逆は $t\mapsto\mathrm{diag}(t,1)\bmod k^*$）ので、$\hat T=\mathbf Z\alpha$ である。$\alpha$ は $B$ の上で $b\mapsto b_{11}/b_{22}$（代表の行列の対角成分の比。代表の取り方によらない）で与えられる。同一視 $G/B\cong\mathbf P^1$ は、$k$ が代数的閉体なので $\mathrm{PGL}(2)$ の各元 $\bar g$ が $\mathrm{SL}(2)$ に代表 $g$ をもつことにより、$\bar gB\mapsto[ge_1]$ で与える。これは本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」の $\mathrm{SL}(2)/B\cong\mathbf P^1$（$gB\mapsto[ge_1]$）と、例「特殊線形群と射影線形群」の同型 $\bar u\colon\mathrm{SL}(2)/B\to\mathrm{PGL}(2)/B$（$\bar u(gB)=\bar gB$）を合わせたものに等しく、$gB\mapsto[ge_1]$ と $\bar u$ はどちらも同型なので、その合成も同型である。段 2 の $s_0$、$s_1$ の $\mathrm{PGL}(2)$ への像が局所切断を与える。
段 6（$\mathrm{PGL}(2)$ の付随直線束）．$g\in\mathrm{GL}(2)$ を代表とする元 $\bar g$ について、$\Phi_0(\bar g,v)=\bigl([ge_1],\,v\cdot(ge_1)^{\otimes2}/\det g\bigr)\in\mathcal O(-2)$ とおく。スカラー $\lambda$ 倍で $(ge_1)^{\otimes2}$ も $\det g$ も $\lambda^2$ 倍になるので、代表の取り方によらない。$b$ の代表を $\begin{pmatrix}a&*\\0&d\end{pmatrix}$ とすると $gbe_1=a\,ge_1$、$\det(gb)=ad\det g$ で、
$$\Phi_0\bigl(\bar g\bar b,\alpha(\bar b)^{-1}v\bigr)=\Bigl([ge_1],\,\frac da\,v\,\frac{a^2(ge_1)^{\otimes2}}{ad\det g}\Bigr)=\Phi_0(\bar g,v)$$
である。段 3 と同じく、$L_\alpha$ から $\mathcal O(-2)$ への $\mathbf P^1$ の恒等写像の上の射で、ファイバーで線形な同型なものが得られ、上の補題（直線束の射の比較）により $L_\alpha\cong\mathcal O(-2)$、$c_G(\alpha)=-2h$ である。$c_G(\alpha^j)=(-2h)^j$ は $j\ge2$ で $0$ なので、$\operatorname{Im}c_G=\mathbf Z\cdot1+2\mathbf Zh$ である。
段 7（比較）．環の自己同型は全単射なので、$A(\mathbf P^1)$ 全体をそれ自身に写し、真の部分環 $\mathbf Z\cdot1\oplus2\mathbf Zh$（$h$ を含まない）には写さない。旗多様体はどちらも $\mathbf P^1$ で同型だから、特性部分環は旗多様体の同型類からは決まらない。
二つの群は中心的同種写像 $u\colon\mathrm{SL}(2)\to\mathrm{PGL}(2)$ でつながり、旗多様体の同型を誘導する（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「特殊線形群と射影線形群」）。違いは指標の側にある。$\mathrm{PGL}(2)$ の指標 $\alpha$ を $u$ で引き戻すと $\mathrm{SL}(2)$ の $2\omega$ になり、$\omega$ 自身は $\mathrm{PGL}(2)$ の指標から来ない。特性部分環の指数 $2$ はこの $2$ である。この比較を一般の準同型で述べたのが次の式 (4.2) である。
準同型との両立
$G$、$G'$ を連結アフィン群、$u\colon G\to G'$ を有理準同型、$B\subset G$、$B'\subset G'$ を Borel 部分群で $u(B)\subset B'$ とする。
(1) $\bar u\colon G/B\to G'/B'$、$gB\mapsto u(g)B'$ は矛盾なく定まる射である。
(2) ${}^tu\colon\hat B'\to\hat B$、$\chi'\mapsto\chi'\circ u$ は群準同型で、次数付き環準同型 $S({}^tu)\colon S(\hat B')\to S(\hat B)$ を誘導する。
(3) $\chi'\in\hat B'$ について $\bar u^*L_{\chi'}\cong L_{\chi'\circ u}$ である。
(4) $\bar u^*\circ c_{G'}=c_G\circ S({}^tu)\colon S(\hat B')\to A(G/B)$ である。すなわち次の図式は可換である。
$$\begin{array}{ccc}S(\hat B)&\xrightarrow{\ c_G\ }&A(G/B)\\ \uparrow{\scriptstyle S({}^tu)}&&\uparrow{\scriptstyle\bar u^*}\\ S(\hat B')&\xrightarrow{\ c_{G'}\ }&A(G'/B')\end{array}$$
段 1（$\bar u$ は射）．$G\to G'\to G'/B'$ は、$u(gb)B'=u(g)u(b)B'=u(g)B'$ なので $B$ の右作用で不変である。引用する事実 3 により $G/B$ からの射 $\bar u$ を経由する。
段 2（転置）．$\chi'\circ u$ は有理準同型の合成なので $B$ の有理指標で、$(\chi'_1+\chi'_2)\circ u=\chi'_1\circ u+\chi'_2\circ u$（値の積）である。群準同型は対称代数の環準同型に延びる。
段 3（付随直線束の比較）．$\chi=\chi'\circ u$ とおき、$\Phi_0\colon G\times k\to L_{\chi'}$、$(g,v)\mapsto[u(g),v]$ とする。$b\in B$ について $\Phi_0(gb,\chi(b)^{-1}v)=[u(g)u(b),\chi'(u(b))^{-1}v]=[u(g),v]$ なので、$\Phi\colon L_\chi\to L_{\chi'}$、$[g,v]\mapsto[u(g),v]$ が定まり、$\bar u$ の上にある。$G/B$ の局所切断 $s\colon U\to G$ と $G'/B'$ の局所切断 $s'\colon U'\to G'$ を $\bar u(U)\subset U'$ となるようにとると、$\beta(x)=s'(\bar u(x))^{-1}u(s(x))\in B'$ は射で、$\Phi(\psi_s(x,v))=[s'(\bar u(x))\beta(x),v]=\psi_{s'}\bigl(\bar u(x),\chi'(\beta(x))v\bigr)$ である。ゆえに $\Phi$ は射で、ファイバーの上で零にならない数 $\chi'(\beta(x))$ を掛ける線形な同型である。上の補題（直線束の射の比較）により $L_\chi\cong\bar u^*L_{\chi'}$ で、$c_G(\chi'\circ u)=\bar u^*c_{G'}(\chi')$ である。
段 4（環準同型の一致）．$\bar u^*$ は環準同型（引用する事実 4 の (a)）なので、(4) の両辺は $S(\hat B')$ からの環準同型である。段 3 により、両辺は $S(\hat B')$ を生成する次数 $1$ の元 $\chi'\in\hat B'$ の上で一致する。ゆえに両辺は等しい。
原論文はこの証明を、次数 $1$ の元に限れば「直線束の類の関手性」から出る、と一文で済ませる（印字 5-14）。段 3 はその関手性を付随直線束の間の写像として書いたものである。$u$ が単射である必要は無い。上の $\mathrm{SL}(2)\to\mathrm{PGL}(2)$ も、次の頁で使う閉部分群の包含も、この定理の特別な場合である。
特性部分環は Borel 部分群の取り方によらない。Borel 部分群は互いに共役（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」の (1)）なので、$B$ と $B'=gBg^{-1}$ を比べればよい。内部自己同型 $u(x)=gxg^{-1}$ は $u(B)=B'$ を満たし、上の定理（準同型と特性準同型の両立）により $\bar u^*\circ c_{G,B'}=c_{G,B}\circ S({}^tu)$ である。$u$ は逆 $x\mapsto g^{-1}xg$ をもつので、$\bar u\colon G/B\to G/B'$ は同型で、${}^tu\colon\hat B'\to\hat B$ も同型である。ゆえに $\bar u^*$ は $B'$ で作った特性部分環を $B$ で作った特性部分環の上へ写す。極大トーラス $T\subset B$ の取り方は、上の定理（指標の直線束と特性準同型）の (1) の同一視 $\hat B=\hat T$ を通してしか現れない。
部分群の図式
次の頁は、式 (4.2) を閉部分群の包含に当てて使う。そのための記号を置く。
$G'$ を連結アフィン群、$G$ をその閉連結部分群、$B$ を $G$ の Borel 部分群、$B'$ を $B$ を含む $G'$ の Borel 部分群とする。次の射を考える（原論文の式 (4.3) の図式）。
$$i\colon G/B\to G'/B,\quad q\colon G'/B\to G'/G,\quad p\colon G'/B\to G'/B',\quad\varphi=p\circ i\colon G/B\to G'/B'.$$
どれも剰余類を剰余類に送る写像 $gB\mapsto gB$、$g'B\mapsto g'G$、$g'B\mapsto g'B'$、$gB\mapsto gB'$ で、$i$ は $q$ の点 $eG$ の上のファイバーの包含である。ここの $p$ は射の名で、標数の $p$ とは別である。
$B'$ はいつもとれる。$B$ を含む $G'$ の連結可解閉部分群のうち次元が最大のもの $H$ をとると、$H$ を真に含む連結可解閉部分群は次元がより大きい（連結な閉部分群は既約だから）ので存在せず、$H$ は Borel 部分群である。四つの写像が射であることは、上の定理（準同型と特性準同型の両立）の段 1 と同じく商の普遍性から分かる。
捩れのない群
連結アフィン群 $G$ は、特性部分環が $A(G/B)$ 全体であるとき、すなわち $c_G\colon S(\hat T)\to A(G/B)$ が全射であるとき、捩れなし（原論文の sans torsion）であるという（原論文 Définition 2、印字 5-15）。上の注意（Borel 部分群の取り方）により、これは $B$ の取り方によらない。
原論文は捩れのない群の特徴づけを §5 に送り、ここでは二つの例だけを挙げる。可解群については「自明に」、一般線形群については前の講演の旗多様体の計算による、とする（印字 5-16）。
- 連結可解アフィン群は捩れなしである。
- $G=\mathrm{GL}(n)$、$B$ を上三角行列の群、$T$ を対角行列の群、$\varepsilon_i\in\hat T$ を第 $i$ 対角成分とする。$G/B\cong D(k^n)$ を $gB\mapsto(gF_1\subset\dots\subset gF_n)$（$F_i=ke_1+\dots+ke_i$）で同一視し、標準旗を $W_1\subset\dots\subset W_n$、$\xi_i=c_1\bigl((W_i/W_{i-1})^\vee\bigr)$ とすると、$L_{\varepsilon_i}\cong W_i/W_{i-1}$ で、$c_G(\varepsilon_i)=-\xi_i$ である。とくに $\mathrm{GL}(n)$ は捩れなしである。
段 1（可解群）．$G$ が連結可解なら、$G$ 自身が極大な連結可解閉部分群なので $B=G$ で、$G/B$ は一点である。$A(\mathrm{pt})=\mathbf Z\cdot1$（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「環の構造と射影公式」の (5)）で、$c_G(1)=1$ なので $c_G$ は全射である。
段 2（一般線形群の付随直線束）．同一視 $G/B\cong D(k^n)$ は引用する事実 1 の例である。$W_i$ は点 $(gF_1\subset\dots)$ の上のファイバーが $gF_i$ の部分束で、$\Phi_0\colon G\times k\to W_i/W_{i-1}$、$(g,v)\mapsto v\cdot ge_i\bmod gF_{i-1}$ とおく。$b\in B$ について $be_i=b_{ii}e_i+\sum_{j< i}b_{ji}e_j$ なので $gbe_i\equiv b_{ii}\,ge_i\bmod gF_{i-1}$、ゆえに $\Phi_0(gb,\varepsilon_i(b)^{-1}v)=\Phi_0(g,v)$ で、$\Phi\colon L_{\varepsilon_i}\to W_i/W_{i-1}$ が定まる。局所切断 $s\colon U\to G$ の上では $W_i$ は $s(x)e_1,\dots,s(x)e_i$ を基底にもち、$\Phi(\psi_s(x,v))=v\cdot s(x)e_i\bmod W_{i-1}$ は射である。$ge_i\notin gF_{i-1}$ なのでファイバーで線形な同型である。上の補題（直線束の射の比較）により $L_{\varepsilon_i}\cong W_i/W_{i-1}$ で、$c_G(\varepsilon_i)=c_1(W_i/W_{i-1})=-\xi_i$ である（引用する事実 4 の (b) の群の同型で $c_1(L^\vee)=-c_1(L)$）。
段 3（全射）．引用する事実 4 の (d) により $A(D(k^n))$ は $\xi_1,\dots,\xi_n$ で環として生成される。$\xi_i=c_G(-\varepsilon_i)$ はどれも $\operatorname{Im}c_G$ に入り、$\operatorname{Im}c_G$ は部分環なので $A(D(k^n))$ 全体である。
段 2 は、旗の各段の商が指標の直線束であることを示している。本書の旗の類 $\xi_i$ は各段の商の双対の類なので、$\xi_i$ はちょうど指標 $-\varepsilon_i$ の像である。原論文はこの全射性を前の講演の旗多様体の計算（第 6 巻の頁『2-3 旗束の環』の主結果「完全旗束の環」）に委ねるだけで、どの指標がどの類に当たるかは書かない。
原論文の §4 冒頭（印字 5-13）には軽い乱れが二つある。(a) 指標から作る束を「fibré principal principal」と語を重ねて打つ。一つの「主束」と読む。(b) $B$ の単冪部分を最初に上付きの $B^u$ と書き、同じ段落の半直積の所で下付きの $B_u$ と書く。同じものである（本書は $B_u$ に揃える）。どちらも内容に影響しない。
例と反例
主結果の計算を数値で確かめる。一つ目は主結果 3 の二つの群を準同型で比べ、二つ目は一般線形群で特性準同型の核を見る。
上の定理（特性部分環は群に依存する）の記号で、$u\colon\mathrm{SL}(2)\to\mathrm{PGL}(2)$ を自然な準同型とする。$u$ は上三角行列の群を上三角行列の群の像に写し、$\bar u\colon\mathrm{SL}(2)/B\to\mathrm{PGL}(2)/B$ は、二つの同一視 $G/B\cong\mathbf P^1$ のもとで恒等写像である（$g$ 自身が $u(g)$ の代表で、どちらも $[ge_1]$ を与える）。${}^tu(\alpha)=\alpha\circ u$ は $\mathrm{diag}(t,t^{-1})\mapsto t/t^{-1}=t^2$ なので $2\omega$ である。上の定理（準同型と特性準同型の両立）は $c_{\mathrm{SL}(2)}(2\omega)=\bar u^*c_{\mathrm{PGL}(2)}(\alpha)$ を与え、左辺は $2\cdot(-h)$、右辺は $-2h$ で一致する。次数で見れば $\chi(c_{\mathrm{SL}(2)}(\omega))=-1$、$\chi(c_{\mathrm{PGL}(2)}(\alpha))=-2$ である。最高次 $A^1(\mathbf P^1)=\mathbf Zh$ との共通部分は、$\mathrm{SL}(2)$ では $\mathbf Zh$、$\mathrm{PGL}(2)$ では $2\mathbf Zh$ で、本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の捩れ指数はそれぞれ $1$ と $2$ になる。上の注意（符号の約束）の逆の約束では類は $h$、$2h$ になり、特性部分環は変わらない。計算は標数によらない（標数 $2$ では $u$ は点の上で単射だが同型でない。本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「特殊線形群と射影線形群」）。
$G=\mathrm{GL}(2)$ では $G/B=D(k^2)=\mathbf P^1$、$W_1=\mathcal O(-1)$、$W_2=\mathbf P^1\times k^2$ である。上の定理（可解群と一般線形群は捩れなし）により $c_G(\varepsilon_1)=c_1(\mathcal O(-1))=-h$ で、完全列 $0\to W_1\to W_2\to W_2/W_1\to0$ と Chern 類の乗法性（引用する事実 4 の (c)）から $c_1(W_2/W_1)=0-c_1(W_1)=h$、すなわち $c_G(\varepsilon_2)=h$ である。したがって $c_G(\varepsilon_1+\varepsilon_2)=0$ となる。これは一般に、$G$ 全体の有理指標 $\chi$ を $B$ に制限した指標の類が消えることの例である。実際、$G\times k\to(G/B)\times k$、$(g,v)\mapsto(gB,\chi(g)v)$ は $(gb,\chi(b)^{-1}v)$ を同じ点に送るので、$L_{\chi|_B}$ から自明な直線束への、ファイバーで線形な同型な射を与え、上の補題（直線束の射の比較）により $L_{\chi|_B}$ は自明である。$\mathrm{GL}(n)$ では $\det=\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_n$ なので $c_G(\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_n)=-(\xi_1+\dots+\xi_n)=0$ で、これは旗多様体の関係式 $\sigma_1(\xi)=0$ の一つ目にほかならない。$\hat T$ の階数は $n$、$A^1(D(k^n))$ の階数は $n-1$（$\xi_1,\dots,\xi_{n-1}$ が基底）で、二つの階数は異なる。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- 位相の特性準同型（Borel Bor53、1953 年）：コンパクト連結 Lie 群の旗多様体の有理係数コホモロジーは、極大トーラスの指標の対称代数を Weyl 群の不変式の正次数部分で割ったものに同型で、とくに有理係数では特性準同型が全射になるとされる。整数係数での余核が、本書の特性部分環の指数に当たる。
- 整数係数の不変式（Demazure Dem73、1973 年）：Weyl 群の整係数の不変式と捩れの関係を調べた論文で、特性準同型の余核と捩れ指数が扱われているとされる。
- 簡約群の Chow 環（Kac Kac85、1985 年）：コンパクト Lie 群のコホモロジーの捩れと簡約群の Chow 環を比べ、特性部分環と群の Chow 環（本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』）の関係を一般の群で調べたとされる。
- 分類空間の言葉（Totaro Tot99、1999 年、Tot14、2014 年。Edidin と Graham EdiGra98、1998 年）：Borel 部分群の分類空間の Chow 環は $S(\hat T)$ で、特性準同型は旗多様体を分類空間の間のファイバーとみたときの引き戻しとして読み直されるとされる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の §4 の前半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（指標に付随する直線束）、定理（指標の直線束と特性準同型） | §4 冒頭（$\hat B$ と $\hat T$ の同一視、指標の直線束、$c_G$ が群準同型であること） | 5-13 |
| 注意（符号の約束） | 同（符号の約束は書かれない） | 5-13 |
| 定理（特性準同型の環準同型への延長） | 式 (4.1) | 5-13 |
| 定義（特性部分環）、定理（特性部分環は群に依存する） | 特性部分環の定義と、$G$ に依存するという添え書き | 5-14 |
| 定理（準同型と特性準同型の両立） | 式 (4.2) とその証明 | 5-14 |
| 注意（Borel 部分群の取り方） | 原論文には無い（本書の補い） | — |
| 定義（部分群の図式） | 式 (4.3) | 5-14 |
| 定義（捩れのない群） | Définition 2 | 5-15 |
| 定理（可解群と一般線形群は捩れなし） | Définition 2 の後の二つの例 | 5-16 |
| 注意（印字の読み（§4 冒頭）） | §4 冒頭 | 5-13 |
| 例（特殊線形群と射影線形群の特性部分環） | 特性部分環の添え書き（原論文は例を書かない） | 5-14 |
参考文献
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