4-2 特性部分環と引き戻しの像
連結アフィン群 $G$ を連結アフィン群 $G'$ の閉連結部分群とするとき、$G$ の特性部分環が $G'$ の旗多様体からの引き戻しの像に一致し、$G'$ が捩れなしなら $G'/B$ の中のファイバーへの制限の像にも一致することを示す（原論文の定理 1 とその系 1）。そこから、特性部分環を主束のファイバーへの制限の像として特徴づける。準備として、二つの Borel 部分群の間の商と、等質空間 $G'/G$ の上の束の性質（原論文の Lemme 6）を調べる。
前提知識: Borel部分群, 旗多様体, 主束, 局所自明なファイバー空間, 有理切断, Chow環, 特性類
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。$G'$ を連結アフィン群、$G$ をその閉連結部分群、$B$ を $G$ の Borel 部分群、$B'$ を $B$ を含む $G'$ の Borel 部分群とし、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の定義（部分群の図式）の射
$$i\colon G/B\to G'/B,\quad q\colon G'/B\to G'/G,\quad p\colon G'/B\to G'/B',\quad\varphi=p\circ i$$
を使う（$p$ は射の名で、標数ではない）。特性準同型 $c_G\colon S(\hat B)\to A(G/B)$ とその像（特性部分環）、捩れのない群は同じ頁のとおりである。
本頁の主結果は次の五つである。
- Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限（原論文 Lemme 6 の i・iii、印字 5-14〜5-15）：$p$ はファイバー $B'/B$ の局所自明なファイバー空間で、$p^*\colon A(G'/B')\to A(G'/B)$ は全射である。また制限 $\hat B'\to\hat B$ は全射である。［条件付き：Rosenlicht の局所切断、線形群の構造（極大トーラスの取り方と半直積）、等質空間の基本を引用し、第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「局所自明なファイバー空間」と、本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」と補題「部分トーラスの補トーラス」による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 有理切断と局所自明性の同値（Lemme 6 の ii）：$q$ は主束 $G'\to G'/G$ に付随するファイバー $G/B$ の束で、局所等自明である。さらに、$q$ が有理切断をもつこと、$G'\to G'/G$ が有理切断をもつこと、$G'\to G'/G$ が局所自明であることは同値である。［条件付き：同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実を引用。同値の部分は Rosenlicht の局所切断と本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「等質空間の基本」（推移的な作用）で閉じる。Chow 環の枠組みに依らない］
- 特性部分環と制限の像（Théorème 1、印字 5-15）：$\operatorname{Im}c_G=\varphi^*(\operatorname{Im}c_{G'})\subset\operatorname{Im}\varphi^*=\operatorname{Im}i^*$ である。［条件付き：1 と、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「準同型と特性準同型の両立」による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 捩れのない群への埋め込みでの一致（Théorème 1 の系 1、印字 5-16）：$G'$ が捩れなし（例：$\mathrm{GL}(n)$）なら $\operatorname{Im}c_G=\operatorname{Im}i^*=\operatorname{Im}\varphi^*$ である。［条件付き：3 による。例の $\mathrm{GL}(n)$ は本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 主束の制限による特性部分環の特徴づけ（Théorème 1 の系 2、印字 5-16）：$A(G/B)$ の元 $\zeta$ が特性部分環に入ることと、構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ で $P/B$ が非特異準射影であるものと $a\in P$ のすべてについて、$a$ の定める $j_a\colon G/B\to P/B$ の引き戻しの像 $\operatorname{Im}j_a^*$ に $\zeta$ が入ることは同値である。［条件付き：同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実を引用。4 と、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」と補題「直線束の射の比較」による。足した仮定：$P/B$ は非特異準射影］
五つとも本書の基準では［条件付き］である。1・3・4 は、Chow 環の枠組みの性質と第 0 章の古典的前提を認めれば頁の中で閉じる。2 と 5 は、主束 $G'\to G'/G$ や一般の主束に付随する空間の存在と局所等自明性を、原論文と同じく同じセミナーの第 1 講演に委ねる。2 のうち三つの条件の同値は、Rosenlicht の局所切断と平行移動だけで閉じ、Chow 環を使わない。1 の指標の制限の全射性は、原論文が引く文献の系を経ずに、本書『1-2 可解群の等質空間』の補題（部分トーラスの補トーラス）から導く。
背景と動機
前の頁で、特性部分環は旗多様体 $G/B$ の Chow 環の中の、指標の直線束の類で生成される部分環として定まった。そこでは $\mathrm{SL}(2)$ と $\mathrm{PGL}(2)$ を個別に計算した。原論文の定理 1 は、特性部分環を $G$ を含む大きな群から計算する方法を与える。$G$ を $G'$ に埋め込むと、$G$ の指標は $G'$ の指標の制限で尽くされ、$G$ の特性部分環は $G'$ の特性部分環の引き戻しになる。$G'$ として捩れのない $\mathrm{GL}(n)$ をとれば、特性部分環はただの引き戻しの像である。
この言い換えは §2 の問題と直接につながる。$i\colon G/B\to G'/B$ は、ファイバー空間 $q\colon G'/B\to G'/G$ の一つのファイバーの包含である。本書『2-1 局所自明な点でのファイバーへの制限』の主結果「局所自明な点でのファイバーへの制限の全射性」により、$q$ が局所自明なら $i^*$ は全射で、したがって $G$ も捩れなしになる（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「有理切断をもつ等質空間による捩れなしの判定」）。$q$ が局所自明かどうかは、Lemme 6 の ii により $G'\to G'/G$ が有理切断をもつかどうかで決まる。こうして特性部分環の指数は、等質空間 $G'/G$ の上の主束が局所自明になることへの障害を測る量になる。系 2 はこの見方を、埋め込みによらない形に言い直す。特性部分環は、どの主束についてもファイバーの外へ延びる類の全体である。
原論文の Lemme 6 は性格の違う三つの主張を並べる。i は Chow 環の引き戻しの全射性、iii は指標の制限の全射性、ii は主束の局所自明性で、ii の最初の主張だけが第 1 講演の事実に依る。本書は i・iii と ii を二つの主結果に分けた。
定義と準備
記号は前の頁の図式のとおりである。前の頁の定義を短く繰り返し、本頁で使う空間がどれも Chow 環の定義される範囲に入ることを確かめる。
$G'$ を連結アフィン群、$G$ をその閉連結部分群、$B$ を $G$ の Borel 部分群、$B'$ を $B$ を含む $G'$ の Borel 部分群とする。$i(gB)=gB$、$q(g'B)=g'G$、$p(g'B)=g'B'$、$\varphi=p\circ i$ で、$i$ は $q$ の点 $eG$ の上のファイバーの包含である。$T$ を $B$ の極大トーラス、$T'$ を $T$ を含む $B'$ の極大トーラスとする。制限 $\hat B'\to\hat B$ を $\mathrm{res}$ と書き、$S(\mathrm{res})\colon S(\hat B')\to S(\hat B)$ をそれが誘導する環準同型とする。
$T'$ はいつもとれる。$T$ は連結線形群 $B'$ のトーラスなので、$B'$ のある極大トーラスに含まれる（下の引用する事実 2）。この $T'$ は本頁だけの記号で、本書『1-2 可解群の等質空間』の部分トーラスの記号とは役割が違う。$B'$ の存在は前の頁の定義（部分群の図式）の後で確かめた。
$G/B$、$G'/B$、$G'/B'$、$G'/G$ は代数的空間で、はじめの三つは非特異な準射影的空間、すなわち $V$ に属する（下の引用する事実 3）。$G/B$ と $G'/B'$ は完備でもある。四つの射はどれも、剰余類の上で一定な射が商を経由することから定まる。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は Borel Bor56、Rosenlicht Ros57（候補）、同じセミナーの第 1 講演 Serre Ser58fib、Chow 環の性質については前の講演 Gro58b である。要点は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「Rosenlicht の局所切断」「線形群の構造」「等質空間の基本」、本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「局所等自明性の基本事実」、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「局所自明なファイバー空間」にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。第 1 講演は本書では開いておらず、節番号は書かない。
- Rosenlicht の局所切断：線形群 $H$ の連結可解閉部分群 $H_1$ について、$H\to H/H_1$ は局所切断をもつ。本頁では $G'\to G'/B$、$G'\to G'/B'$、$B'\to B'/B$、$G\to G/B$ に使う。
- 線形群の構造：連結線形群のトーラスは、ある極大トーラスに含まれる。Borel 部分群 $B$ は $B=T\cdot B_u$ と半直積に分かれる。旗多様体は非特異な射影的空間である。
- 等質空間の基本：閉部分群 $F$ による商 $G'\to G'/F$ は開な全射で、右から $F$ で不変な射はただ一通りに $G'/F$ を経由する。$G'/F$ は非特異で、$G'$ が線形なら準射影的である。
- 局所等自明性の基本事実：(a) 代数群 $H$ の閉部分群 $F$ について、$H\to H/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。(b) 構造群 $H$ の局所等自明な主束 $P\to X$ と、$H$ が左から作用する空間 $Y$ について、付随束 $P\times^HY$ は代数的空間として存在し、$X$ の上で局所等自明である。$H$ の閉部分群 $F$ について $P/F=P\times^H(H/F)$ とおくと、$P\to P/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。(c) 有理表現に付随するベクトル束は局所自明である。
- 局所自明なファイバー空間：$X,E\in V$ で、$f\colon E\to X$ がファイバーがアフィン空間の開集合に同型な、Zariski 位相で局所自明なファイバー空間なら、$f^*\colon A(X)\to A(E)$ は全射である（第 6 巻の頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「局所自明なファイバー空間」。原論文の言う前の講演の定理 3 の系 1）。
本書の他の頁から、完結の側の二つの結果を使う。本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の命題「主束の切断と自明性」（主束が自明であることと大域切断をもつことの同値、局所自明なら有理切断をもつこと。定義だけで閉じる）と、本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の補題「部分群による商の束」の 3（局所自明な主束からの、軌道の上で一定な射は底を経由する）である。
主結果と証明
定理 1 の証明は、式 (4.2) を包含 $G\subset G'$ に当てたものに、二つの全射性（$p^*$ と指標の制限）を合わせるだけである。その二つの全射性を先に示す。
Borel 部分群の間の商
上の定義（部分群の図式の記号）の設定で、次が成り立つ。
(1) $G'/B'$ の開集合 $U$ の上の $G'\to G'/B'$ の局所切断 $s\colon U\to G'$ について、$U\times(B'/B)\to p^{-1}(U)$、$(x,b'B)\mapsto s(x)b'B$ は $U$ の上の同型である。したがって $p$ はファイバー $B'/B$ の Zariski 位相で局所自明なファイバー空間である。
(2) $B'/B$ はアフィン空間の開集合に同型で、$p^*\colon A(G'/B')\to A(G'/B)$ は全射である。
(3) 制限 $\mathrm{res}\colon\hat B'\to\hat B$ は全射で、したがって $S(\mathrm{res})\colon S(\hat B')\to S(\hat B)$ も全射である。
段 1（局所自明化の写像）．$B'$ は線形群、$B$ はその連結可解閉部分群なので、引用する事実 1 により $B'\to B'/B$ は局所自明で、$U\times B'\to U\times(B'/B)$ も局所自明な主束である。$U\times B'\to G'/B$、$(x,b')\mapsto s(x)b'B$ は射で $B$ の右作用で一定なので、本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の補題「部分群による商の束」の 3 により射 $\alpha\colon U\times(B'/B)\to G'/B$ を経由する。$p(s(x)b'B)=s(x)B'=x$ なので $\alpha$ の像は $p^{-1}(U)$ に入り、$\alpha$ は $U$ への射影と両立する。
段 2（逆写像）．$\pi^{-1}(p^{-1}(U))\subset G'$（$\pi\colon G'\to G'/B$）の上で $\beta_0(g')=\bigl(x,\,s(x)^{-1}g'B\bigr)$、$x=g'B'$ とおく。$s(x)B'=x=g'B'$ なので $s(x)^{-1}g'\in B'$ で、$\beta_0$ は射の合成で与えられる射である。$b\in B$ について $\beta_0(g'b)=\beta_0(g')$ なので、$G'\to G'/B$ の局所自明性（引用する事実 1）と同じ補題の 3 により、射 $\beta\colon p^{-1}(U)\to U\times(B'/B)$ を経由する。$\beta(\alpha(x,b'B))=(x,s(x)^{-1}s(x)b'B)=(x,b'B)$、$\alpha(\beta(g'B))=s(x)s(x)^{-1}g'B=g'B$ なので、$\alpha$ と $\beta$ は互いに逆である。引用する事実 1 により $G'/B'$ はこのような $U$ で覆われるので、(1) が成り立つ。
段 3（ファイバーと全射性）．$B'$ は連結可解アフィン群、$B$ はその閉連結部分群なので、本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」を $R=B'$、$R'=B$ に当てると、$B'/B$ はアフィン空間の開集合に同型である。上の定義の後で見たとおり $G'/B$、$G'/B'\in V$ なので、引用する事実 5 により $p^*$ は全射である。
段 4（指標の制限）．本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の命題「単冪群の有理指標と Borel 部分群の指標」の (2) により、制限 $\hat B\to\hat T$ と $\hat B'\to\hat T'$ は同型である。制限は合成と両立するので、$\hat B'\to\hat B\to\hat T$ は $\hat B'\to\hat T'\to\hat T$ に等しい。したがって $\hat T'\to\hat T$ が全射であることを示せばよい。$T$ はトーラス $T'$ の連結閉部分群なので、本書『1-2 可解群の等質空間』の補題「部分トーラスの補トーラス」を（その補題の $T$ を $T'$、$T'$ を $T$ として）当てると、トーラス $T''\subset T'$ があって積 $T''\times T\to T'$ は代数群の同型である。$\psi\in\hat T$ に対し、この同型の逆と第 2 成分への射影と $\psi$ の合成 $\tilde\psi$ は $T'$ の有理指標で、$T$ への制限は $\psi$ である。ゆえに $\hat T'\to\hat T$ は全射である。
段 5（対称代数）．$S(\hat B)$ は次数 $1$ の元で環として生成され、$S(\mathrm{res})$ は環準同型で次数 $1$ の上で全射なので、全射である。
(1)(2) が原論文の Lemme 6 の i、(3) が iii である。ファイバー $B'/B$ がアフィン空間の開集合であることは本書『1-2 可解群の等質空間』の結果で、その頁の予告どおり、ここで Chow 環の引き戻しの全射性に変わる。段 4 は $G'$ の側の極大トーラスを $T$ に合わせてとることが要点で、$T'$ の指標を $T$ に制限しても何も失われない。
原論文は i の証明（印字 5-15）で、ファイバー $B'/B$ がアフィン空間の開集合であることを「corollaire 1 à la proposition 2」から、$p^*$ の全射性を前の講演の「corollaire 1 au théorème 3」から引く。前者の Proposition 2 の系には番号が付かないので、Proposition 2 の系（本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」）と読む。同じ引き方は Lemme 2 の証明にもある（本書『2-2 被覆の次数と余核の消滅』）。後者は第 6 巻の頁『4-2 局所から大域へと射影束公式』の主結果「局所自明なファイバー空間」である（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の対応表）。iii の証明は、極大トーラスへの帰着の後、$\hat T'\to\hat T$ の全射性を文献 [4]（Gro56、第 7 巻の原典）の定理 2 の系 3 に含まれるとする。その系は系 3 c)（第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『3-2 指標群との双対性』の主結果「閉部分群と指標群の部分群の対応」の 5、すなわち $\hat D/A^\circ\cong\hat A$）で、第 7 巻の基準では［条件付き］である。本書はそれを経ず、本書『1-2 可解群の等質空間』の補題「部分トーラスの補トーラス」（第 7 巻の頁『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの閉部分群の構造」から導かれる）で示した。部分群がトーラスなので補トーラスがあり、指標は補トーラスの上で自明に延ばせる。結論はどちらの経路でも同じである。
等質空間の上の束
次の主結果は Chow 環を使わない。$q$ が局所自明かどうかを、$G'\to G'/G$ の有理切断で判定する。
上の定義（部分群の図式の記号）の設定で、次が成り立つ。
(1) $q\colon G'/B\to G'/G$ は、構造群 $G$ の主束 $G'\to G'/G$ に付随するファイバー $G/B$ の束 $G'\times^G(G/B)$ に同型で、局所等自明である。
(2) 次の三つは同値である。(a) $q$ は有理切断をもつ。(b) $G'\to G'/G$ は有理切断をもつ。(c) $G'\to G'/G$ は局所自明である。すなわち $G'/G$ の各点に開近傍 $U$ があって、$U\times G\to G'|_U$、$(y,h)\mapsto\sigma(y)h$ が同型になる局所切断 $\sigma\colon U\to G'$ がある。
段 1（付随束）．引用する事実 4 の (a) により $G'\to G'/G$ は構造群 $G$ の局所等自明な主束で、(b) により付随束 $G'\times^G(G/B)=G'/B$ は存在して $G'/G$ の上で局所等自明である。ここで (b) の $P/B$ は、$P=G'$ の $B$ による商として、商の普遍性（引用する事実 3）により等質空間 $G'/B$ と同一視され、そのとき射影は $g'B\mapsto g'G$、すなわち $q$ である。これで (1) が成り立つ。以下の段は (1) を使わない。
段 2（(b) ⇒ (a)）．$s\colon V\to G'$ を $G'/G$ の空でない開集合 $V$ の上の $G'\to G'/G$ の切断とすると、$y\mapsto s(y)B$ は射で、$q(s(y)B)=s(y)G=y$ なので $q$ の $V$ の上の切断である。
段 3（(a) ⇒ (b)）．$\sigma\colon U\to G'/B$ を空でない開集合 $U$ の上の $q$ の切断とする。引用する事実 1 により $G'\to G'/B$ は局所切断 $\tau\colon W\to G'$ をもつ。$g\in G'$ について $z\mapsto g\,\tau(g^{-1}z)$ は $gW$ の上の局所切断で、$G'$ は $G'/B$ に推移的に作用するので $gW$ は $G'/B$ を覆う。そこで $W\cap\sigma(U)\neq\emptyset$ としてよい。$U_1=\sigma^{-1}(W)$ は $U$ の空でない開集合で、$y\in U_1$ について $\tau(\sigma(y))\in G'$ の $G'/B$ での像は $\sigma(y)$、$G'/G$ での像は $q(\sigma(y))=y$ である。ゆえに $\tau\circ\sigma$ は $U_1$ の上の $G'\to G'/G$ の切断である。
段 4（(b) ⇒ (c)）．$s\colon V\to G'$ を空でない開集合 $V$ の上の切断とする。$g\in G'$ について $s_g(y)=g\,s(g^{-1}y)$ は $gV$ の上の切断で（左からの掛け算は右からの $G$ の作用と可換）、$gV$ は $G'/G$ を覆う。切断 $\sigma$ をもつ開集合 $U$ の上で、$U\times G\to G'|_U$、$(y,h)\mapsto\sigma(y)h$ は射で、逆写像 $g'\mapsto\bigl(g'G,\,\sigma(g'G)^{-1}g'\bigr)$ も射である（$\sigma(g'G)^{-1}g'$ は閉部分群 $G$ に入る）。ゆえに (c) が成り立つ。
段 5（(c) ⇒ (b)）．空でない開集合の上の局所切断はそのまま有理切断である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の命題「主束の切断と自明性」の (2) と同じ）。
段 2〜5 は Rosenlicht の局所切断と、$G'$ の平行移動（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「等質空間の基本」の推移的な作用による）しか使わない。第 1 講演の事実は (1) の、$q$ が付随束として局所等自明であるという部分にだけ入る。原論文の証明は (a)(b) の同値を構造群の簡約として述べる。
原論文は ii の証明（印字 5-15）で、$q$ が開集合 $U$ の上で切断をもつことは主束 $G'|_U$ の構造群を $G$ から $B$ に簡約できることだと言い、Rosenlicht の定理により、そのとき主束は $U$ の上で局所自明になり、平行移動で $G'/G$ 全体で局所自明になる、と述べる。簡約された構造群 $B$ の主束 $Q\subset G'|_U$ は、$\sigma(U)$ の $G'\to G'/B$ による逆像であり、それが局所切断をもつ理由は $G'\to G'/B$ が局所切断をもつこと（Rosenlicht の定理を $B\subset G'$ に当てたもの）である。上の証明の段 3 は、この局所切断を直接に使って簡約の言葉を省いたものである。
定理 1
二つの全射性がそろったので、式 (4.2) から定理 1 が出る。
上の定義（部分群の図式の記号）の設定で、
$$\operatorname{Im}c_G=\varphi^*(\operatorname{Im}c_{G'})\subset\operatorname{Im}\varphi^*=\operatorname{Im}i^*$$
である。言い換えると、$A(G/B)$ の特性部分環は $A(G'/B')$ の特性部分環の $\varphi^*$ による像で、$i^*$ と $\varphi^*$ の像は同じである。
段 1（式 (4.2) の当てはめ）．包含 $u\colon G\to G'$ は $u(B)=B\subset B'$ を満たし、誘導される射 $\bar u\colon G/B\to G'/B'$ は $gB\mapsto gB'$、すなわち $\varphi$ である。${}^tu$ は制限 $\mathrm{res}$ なので、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「準同型と特性準同型の両立」により $\varphi^*\circ c_{G'}=c_G\circ S(\mathrm{res})$ である。
段 2（第 1 の等式）．上の定理（Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限）の (3) により $S(\mathrm{res})$ は全射なので、$\operatorname{Im}c_G=c_G\bigl(S(\mathrm{res})(S(\hat B'))\bigr)=\varphi^*\bigl(c_{G'}(S(\hat B'))\bigr)=\varphi^*(\operatorname{Im}c_{G'})$ である。
段 3（包含と第 2 の等式）．$\operatorname{Im}c_{G'}\subset A(G'/B')$ なので $\varphi^*(\operatorname{Im}c_{G'})\subset\operatorname{Im}\varphi^*$ である。$\varphi=p\circ i$ なので $\varphi^*=i^*\circ p^*$（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「環の構造と射影公式」の (1)）で、上の定理（Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限）の (2) により $p^*$ は全射だから、$\operatorname{Im}\varphi^*=i^*(A(G'/B))=\operatorname{Im}i^*$ である。
段 2 は $u$ が単射であることを使っていない。指標の転置が全射でありさえすれば、有理準同型 $u$ について $\operatorname{Im}c_G=\bar u^*(\operatorname{Im}c_{G'})$ が同じ証明で成り立つ（下の例「射影線形群を三次の一般線形群で表す」）。段 3 の $\operatorname{Im}\varphi^*=\operatorname{Im}i^*$ は、$i$ が $q$ のファイバーの包含であることを通して、特性部分環をファイバーへの制限と結びつける。
原論文の Théorème 1 の証明（印字 5-15）は、第 1 の等式を「(4.1) の可換性」と Lemme 6 の iii から出るとする。(4.1) は特性準同型そのものの式で、可換な図式は (4.2) なので、(4.2) と読む。
捩れのない群への埋め込み
上の定義（部分群の図式の記号）の設定で $G'$ が捩れなしなら、$\operatorname{Im}c_G=\operatorname{Im}i^*=\operatorname{Im}\varphi^*$ である。とくに $G'=\mathrm{GL}(n)$ にとれる。
$G'$ が捩れなしなら $\operatorname{Im}c_{G'}=A(G'/B')$ なので、上の定理（特性部分環と制限の像）の $\varphi^*(\operatorname{Im}c_{G'})$ は $\operatorname{Im}\varphi^*$ に等しく、主張の等式を得る。$\mathrm{GL}(n)$ は本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」により捩れなしである。
連結アフィン群はいつも線形群なので（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義「代数群・アフィン群・有理指標」）、ある $\mathrm{GL}(n)$ の閉連結部分群として実現できる。この系により、どの連結アフィン群の特性部分環も、$\mathrm{GL}(n)$ の旗多様体からの引き戻しの像として、あるいは $\mathrm{GL}(n)/B$ の中のファイバー $G/B$ への制限の像として計算できる。原論文は系 1 を「par exemple $G'=\mathrm{Gl}(n)$」と添えて述べるだけで、証明を書かない。
主束による特徴づけ
系 1 は埋め込みを一つ選んで特性部分環を与える。系 2 は、すべての主束を並べて、埋め込みに依らない形で同じものを与える。主束 $P\to X$ と $a\in P$ について、$j_a\colon G/B\to P/B$ を $j_a(gB)=(ag)B$ で定める。$j_a$ は $a$ を通るファイバーの包含である。
$G$ を連結アフィン群、$B$ をその Borel 部分群とする。構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ で $P/B=P\times^G(G/B)$ が非特異準射影（$P/B\in V$）であるもの（本書が足した仮定）と $a\in P$ の組の全体を $\mathcal P$ とする。$\zeta\in A(G/B)$ について、次の二つは同値である。
(1) $\zeta\in\operatorname{Im}c_G$。
(2) $\mathcal P$ のすべての組 $(P,a)$ について $\zeta\in\operatorname{Im}\bigl(j_a^*\colon A(P/B)\to A(G/B)\bigr)$。
さらに、(1) ⇒ (2) の証明は各組ごとに $\operatorname{Im}c_G\subset\operatorname{Im}j_a^*$ を与え、(2) ⇒ (1) には $\mathcal P$ の組を一つ（$G\subset\mathrm{GL}(n)$ についての $P=\mathrm{GL}(n)$、$a=e$）使うだけでよい。
段 1（$P/B$ と $j_a$）．引用する事実 4 の (b) により $P/B$ は存在し、$P\to P/B$ は構造群 $B$ の局所等自明な主束である。$G\to P$、$g\mapsto ag$ と $P\to P/B$ の合成は $B$ の右作用で一定なので、引用する事実 1 と本書『1-1 単冪群を構造群とする主束』の補題「部分群による商の束」の 3 により、射 $j_a\colon G/B\to P/B$ を経由する。
段 2（主束の特性準同型）．$\chi\in\hat B$ について、$B$ が $k$ に $\chi$ で作用する表現に付随する $P$ の束 $L^P_\chi=P\times^Bk_\chi\to P/B$（$(pb,\chi(b)^{-1}v)$ と $(p,v)$ を同一視したもの）は、引用する事実 4 の (b)(c) により存在して局所自明な直線束である。$\hat B=\hat T$ は自由加群なので（本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「特性準同型の環準同型への延長」）、基底 $e_1,\dots,e_{r_0}$（$r_0=\dim T$）をとり、$S(\hat B)$ を多項式環 $\mathbf Z[e_1,\dots,e_{r_0}]$ とみて、環準同型 $c_P\colon S(\hat B)\to A(P/B)$ を $c_P(e_l)=c_1(L^P_{e_l})$ で定める。
段 3（ファイバーへの制限）．$G\times k\to P\times k$、$(g,v)\mapsto(ag,v)$ は $B$ の右作用と両立するので、付随直線束の射 $L_\chi\to L^P_\chi$、$[g,v]\mapsto[ag,v]$ を $j_a$ の上に定める。$G\to G/B$ の局所切断 $s\colon U\to G$ の座標では $(x,v)\mapsto[a\,s(x),v]$ と書け、$U\times k\to P\times k\to L^P_\chi$ の合成なので射である。各ファイバーでは、$[g,v]$ を $[ag,v]$ に送る線形な同型である。本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の補題「直線束の射の比較」により $L_\chi\cong j_a^*L^P_\chi$ で、$j_a^*c_1(L^P_\chi)=c_1(L_\chi)=c_G(\chi)$ である。$j_a^*\circ c_P$ と $c_G$ はどちらも環準同型で、生成元 $e_l$ の上で一致するので等しい。ゆえに $\operatorname{Im}c_G=j_a^*(\operatorname{Im}c_P)\subset\operatorname{Im}j_a^*$ で、(1) ⇒ (2) が成り立つ。
段 4（(2) ⇒ (1)）．$G$ を $G'=\mathrm{GL}(n)$ の閉連結部分群として実現し（上の定理（捩れのない群への埋め込みでの一致）の後の段落）、$B'\supset B$ を $G'$ の Borel 部分群とする。引用する事実 4 の (a) により $P=G'\to X=G'/G$ は構造群 $G$ の局所等自明な主束で、上の定理（有理切断と局所自明性の同値）の証明の段 1 により $P/B=G'/B$ である。上の定義の後で見たとおり $G'/B\in V$ なので、$(G',e)\in\mathcal P$ である。$j_e(gB)=gB$ は $i$ に等しい。(2) により $\zeta\in\operatorname{Im}i^*$ で、上の定理（捩れのない群への埋め込みでの一致）により $\operatorname{Im}i^*=\operatorname{Im}c_G$ である。
必要性の段 3 は、特性部分環の元がどの主束の $P/B$ にも延びることを、$P$ の上で指標の直線束を作り直して示している。原論文は $c_P$ を「主束 $P$ の特性準同型」と呼んでよいと添え、$S(\hat B)$ から $A(P/B)$ と $A(G/B)$ への三角形の図式の可換性を「関手性から明らか」とする（印字 5-16）。本書は $c_P$ を基底の上で定めたので、$\chi$ が基底の元でないときに $c_P(\chi)=c_1(L^P_\chi)$ となることは使っていない。十分性は $\mathrm{GL}(n)$ の中の等質空間という一つの主束で足りるので、主束の族を狭めても（たとえば $P$ 自身も非特異準射影なものに限っても）、その族が $\mathrm{GL}(n)\to\mathrm{GL}(n)/G$ を含む限り特徴づけは変わらない。
原論文の系 2（印字 5-16）は、主束 $P$ とその底 $X$ に条件を付けずに $A(P/B)$ を書く。Chow 環 $A(P/B)$ が定義されるのは $P/B$ が非特異準射影のときだけなので、本書は $P/B\in V$ を足した仮定として置いた（本書『0-5 記号と約束』の「本書が足した仮定」）。原論文の Théorème 2 の (i)（印字 5-18）は「$P$ は準射影的かつ非特異」と $P$ の側に条件を書く。$P$ の条件から $P/B$ の準射影性が出るかどうかは、本書は確かめていない。上の証明の十分性で使う $P=\mathrm{GL}(n)$ は、$P$ も $P/B$ も非特異準射影なので、どちらの読みでも系 2 の結論は同じである。同じ仮定は本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れ指数の五つの特徴づけ（訂正形）」の (i) でも使う。
原論文の系 2 の証明（印字 5-16）の三角形の図式は、下端を $A(G/B')$ と打つ。$c_G$ の値域でもあり $j^*$ の行き先でもあるのは $A(G/B)$ なので、$A(G/B)$ と読む。
例と反例
一つ目の例は閉部分群の包含で、主結果がそのまま当てはまる。二つ目の例は単射とは限らない表現で、定理 1 の第 1 の等式の証明が単射性を使わないことを、前の頁の $\mathrm{PGL}(2)$ の計算と突き合わせて確かめる。
$G'=\mathrm{GL}(n)$、$B'$ を上三角行列の群、$G=\mathrm{SL}(n)$、$B=B'\cap\mathrm{SL}(n)$ とする。$B$ は $\mathrm{SL}(n)$ の Borel 部分群で、$\varphi\colon G/B\to G'/B'$ は完全旗の多様体 $D(k^n)$ の同型である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」）。したがって $\operatorname{Im}\varphi^*=A(G/B)$ で、上の定理（捩れのない群への埋め込みでの一致）により $\operatorname{Im}c_{\mathrm{SL}(n)}=A(G/B)$、すなわち $\mathrm{SL}(n)$ は捩れなしである。指標の制限も直接に見える。$\mathrm{SL}(n)$ の対角行列の群 $T$ は $(t_1,\dots,t_{n-1})$ を座標に $k^{*(n-1)}$ に同型で、その指標は $t_1,\dots,t_{n-1}$ の単項式、すなわち $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}$ の制限の積である。$n=2$ では、$\omega=\varepsilon_1|_T$ について $c_{\mathrm{SL}(2)}(\omega)=\varphi^*c_{\mathrm{GL}(2)}(\varepsilon_1)=\varphi^*c_1(W_1)=c_1(\mathcal O(-1))=-h$ で、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「特性部分環は群に依存する」の (2) と一致する。この場合 $G'/G\cong k^*$（行列式）で、$y\mapsto\mathrm{diag}(y,1,\dots,1)$ が $G'\to G'/G$ の大域切断を与えるので、上の定理（有理切断と局所自明性の同値）により $q$ は局所自明である。
$V=k^2$ の二次の対称積 $\mathrm{Sym}^2V$ に基底 $e_1^2,\ e_1e_2,\ e_2^2$ をとり、$g\in\mathrm{GL}(2)$ に $\rho(g)=\mathrm{Sym}^2(g)\cdot\det(g)^{-1}\in\mathrm{GL}(3)$ を対応させる。スカラー $\lambda$ では $\mathrm{Sym}^2(\lambda)=\lambda^2=\det(\lambda)$ なので、$\rho$ は有理準同型 $u\colon\mathrm{PGL}(2)\to\mathrm{GL}(3)$ を定める（標数は任意）。$b=\begin{pmatrix}a&c\\0&d\end{pmatrix}$ は $e_1^2\mapsto a^2e_1^2$、$e_1e_2\mapsto ac\,e_1^2+ad\,e_1e_2$ と写すので、$\rho(b)$ はこの基底で上三角で、対角成分は $a/d$、$1$、$d/a$ である。したがって $u(B)\subset B'$（上三角行列の群）で、${}^tu(\varepsilon_1)=\alpha$、${}^tu(\varepsilon_2)=0$、${}^tu(\varepsilon_3)=-\alpha$ となり、${}^tu$ は $\hat T=\mathbf Z\alpha$ の上へ全射である。上の定理（特性部分環と制限の像）の段 1・段 2 は単射性を使わないので、$\operatorname{Im}c_{\mathrm{PGL}(2)}=\bar u^*(\operatorname{Im}c_{\mathrm{GL}(3)})=\operatorname{Im}\bar u^*$ である（二つ目の等号は $\mathrm{GL}(3)$ が捩れなし、すなわち $\operatorname{Im}c_{\mathrm{GL}(3)}=A(D(k^3))$ であること（本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」）による）。
この像を直接に計算する。$\bar u\colon\mathbf P^1\to D(k^3)$ は $[w]$（$w=ge_1$）を旗 $kw^2\subset w\cdot V$ に送る。標準旗を引き戻すと、$\bar u^*W_1$ は $w^2$ の張る直線で、$w\otimes w\mapsto w^2$ により $\mathcal O(-2)$ に同型、$\bar u^*W_2=w\cdot V$ は $w\otimes x\mapsto wx$ により $\mathcal O(-1)\otimes V$ に同型である（$w\ne0$ なら $x\mapsto wx$ は単射）。$c_1(\bar u^*W_1)=-2h$、$c_1(\bar u^*W_2)=-2h$ なので、Chern 類の乗法性により $\bar u^*\xi_1=2h$、$\bar u^*\xi_2=-c_1(\bar u^*W_2/\bar u^*W_1)=0$、$\bar u^*\xi_3=-c_1(V/\bar u^*W_2)=-2h$ である。$A(D(k^3))$ は $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ で生成されるので、$\operatorname{Im}\bar u^*=\mathbf Z\cdot1\oplus2\mathbf Zh$ となり、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「特性部分環は群に依存する」の (3) の特性部分環と一致する。指標の側からも、$\bar u^*c_{\mathrm{GL}(3)}(\varepsilon_1)=c_{\mathrm{PGL}(2)}(\alpha)=-2h=-\bar u^*\xi_1$ と、同じ頁の主結果「可解群と一般線形群は捩れなし」の $c_{\mathrm{GL}(3)}(\varepsilon_1)=-\xi_1$ が合う。本書はこの $u$ が閉部分群としての埋め込みであるかを確かめていないので、$G'/G$ とファイバーの包含 $i$ についてはここでは述べない。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- 群の Chow 環（本書『4-6 群の Chow 環と捩れ素数』）：原論文は定理 2 の後の注意で、群そのものの Chow 環が $A(G/B)$ を指標の類の生成するイデアルで割ったものになることを述べる。本頁の特性部分環は、その正次数の部分がどれだけ残るかを測る。
- 分類空間の Chow 環（Totaro Tot99、1999 年、Tot14、2014 年）：代数群の分類空間の Chow 環が定義され、主束の特性類はそこからの引き戻しとして扱われるようになったとされる。系 2 のすべての主束にわたる条件は、分類空間の有限次元の近似という一つの普遍的な主束に置き換えて読める、と理解される。
- 同変 Chow 群（Edidin と Graham EdiGra98、1998 年）：群が作用する空間の同変 Chow 群が定義され、旗多様体の Chow 環は Borel 部分群の同変 Chow 環から計算される、という形で本頁の引き戻しが読み直されたとされる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の §4 の、Lemme 6 から Théorème 1 の系 2 までである。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（部分群の図式の記号） | 式 (4.3) | 5-14 |
| 定理（Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限） | Lemme 6 の i・iii とその証明 | 5-14〜5-15 |
| 注意（原論文の Lemme 6 の証明の引用と本書の経路） | Lemme 6 の i・iii の証明 | 5-15 |
| 定理（有理切断と局所自明性の同値） | Lemme 6 の ii とその証明 | 5-14〜5-15 |
| 注意（原論文の Lemme 6 の ii の証明の道） | Lemme 6 の ii の証明 | 5-15 |
| 定理（特性部分環と制限の像）、注意（印字の読み（Théorème 1 の証明）） | Théorème 1 とその証明 | 5-15 |
| 定理（捩れのない群への埋め込みでの一致） | Théorème 1 の系 1 | 5-16 |
| 定理（主束の制限による特性部分環の特徴づけ）、注意（原論文の系 2 の空間の条件）、注意（印字の読み（系 2）） | Théorème 1 の系 2 とその証明 | 5-16 |
| 例（特殊線形群を一般線形群に埋め込む） | 系 1 の「par exemple」の $\mathrm{Gl}(n)$ | 5-16 |
| 例（射影線形群を三次の一般線形群で表す） | 原論文には無い（本書の検算） | — |
参考文献
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