4-6 群の Chow 環と捩れ素数

段 1（中間の商）．引用する事実 3 の列 $U_i$ について $H_i=T\cdot U_i$ とおく。$U_i$ は $B$ で正規なので $H_i$ は部分群で、引用する事実 2 の同型 $T\times B_u\cong B$ による閉集合 $T\times U_i$ の像なので閉であり、連結可解である。$H_0=B$、$H_s=T$ で、引用する事実 1 により $G/H_i\in V$ である。$q_i\colon G/H_{i+1}\to G/H_i$ を剰余類の射とすると、$\pi=q_0\circ q_1\circ\dots\circ q_{s-1}$ である。
段 2（ファイバーの同一視）．$H_i=U_i\cdot T$ の元を $ut$（$u\in U_i$、$t\in T$）と書く。$(ut)(vt')=u\,(tvt^{-1})\,tt'$ で、$v\in U_{i+1}$ なら $tvt^{-1}\in U_{i+1}$ なので、$ut\mapsto uU_{i+1}$ は右から $H_{i+1}$ で不変な射 $H_i\to U_i/U_{i+1}$ で、$H_i/H_{i+1}\to U_i/U_{i+1}$ を引き起こす（引用する事実 1）。$uU_{i+1}\mapsto uH_{i+1}$ がその逆で、$H_i/H_{i+1}\cong U_i/U_{i+1}\cong\mathbf G_a=k$ である。この同一視で、$h=ut\in H_i$ の左からの作用は $y\mapsto\bar u+\gamma_t(y)$ となる。ここで $\bar u$ は $u$ の像、$\gamma_t$ は $t$ による共役が $U_i/U_{i+1}\cong\mathbf G_a$ に引き起こす代数群の自己同型である。$\mathbf G_a$ の代数群の自己同型は $k$ の多項式の自己同型なので一次式で、$y\mapsto cy$（$c\in k^*$）の形である。ゆえに $H_i$ は $H_i/H_{i+1}\cong k$ にアフィン変換で作用する。
段 3（各段はアフィン直線の束）．引用する事実 4 により $G\to G/H_i$ は局所切断 $\sigma\colon\Omega\to G$ をもつ。本書『4-2 特性部分環と引き戻しの像』の主結果「Borel 部分群の間の引き戻しと指標の制限」の (1) の証明（段 1・2）は、$B'\supset B$ を連結可解な閉部分群 $H_i\supset H_{i+1}$ に替えてもそのまま通り、$\Omega\times(H_i/H_{i+1})\to q_i^{-1}(\Omega)$、$(x,yH_{i+1})\mapsto\sigma(x)yH_{i+1}$ は同型である。別の局所切断 $\sigma'=\sigma\beta$（$\beta\colon\Omega\cap\Omega'\to H_i$ は射）への取り替えは、ファイバーの座標を $\beta(x)$ の左からの作用で写すので、段 2 によりアフィン変換 $y\mapsto a(x)y+b(x)$ で、$a$、$b$ は正則関数（$a$ は零にならない）である。したがって $q_i$ は、ファイバー $k$、変換関数がアフィン変換の Zariski 位相で局所自明な束で、引用する事実 5 により $q_i^*$ は全単射である。合成して (1) を得る（引き戻しは環準同型）。
段 4（トーラスの束の分解）．$\hat T$ の基底により $\psi=(\chi_1,\dots,\chi_{r_0})\colon T\to\mathbf G_m^{r_0}$ は代数群の同型である（第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『3-1 トーラスの関数環と閉部分群』の主結果「トーラスの正則関数と指標」により、有理指標は単項式で、基底の取り替えは $\mathbf Z^{r_0}$ の可逆な整数行列で、それが $\mathbf G_m^{r_0}$ の自己同型を与える）。$T_j=\{t\in T:\chi_1(t)=\dots=\chi_j(t)=1\}$、$Y_j=G/T_j$ とおくと、$T_0=T$、$T_{r_0}=\{e\}$、$Y_{r_0}=G$ で、引用する事実 1 により $Y_j\in V$ である。$L'_j$ は本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の定義（指標に付随する直線束）の $B$ を $T$ に替えたもので、同じ頁の主結果「指標の直線束と特性準同型」の (2) の証明はそのまま通り、$G/T$ の上の局所自明な直線束である。$M_j$ を $L'_j$ の $Y_{j-1}$ への引き戻しとし、$\Theta_j\colon Y_j\to M_j^\times$、$gT_j\mapsto(gT_{j-1},[g,1])$ とおく。$t\in T_j$ なら $[gt,1]=[g,\chi_j(t)]=[g,1]$ なので矛盾なく定まる。$G\to G/T$ の局所切断 $s\colon\Omega\to G$ の上で $Y_j|_\Omega\cong\Omega\times T/T_j\cong\Omega\times(k^*)^j$（$\psi$ の最初の $j$ 成分で）、$M_j^\times|_\Omega\cong\Omega\times(k^*)^{j-1}\times k^*$ と座標をとると、$[s(x)t,1]=[s(x),\chi_j(t)]$ により $\Theta_j$ は恒等写像 $(x,c_1,\dots,c_j)\mapsto(x,c_1,\dots,c_j)$ になる。ゆえに $\Theta_j$ は $Y_{j-1}$ の上の同型である。
段 5（Chow 環の計算）．引用する事実 5 を $Y_j\cong M_j^\times\to Y_{j-1}$ に当てると、$A(Y_{j-1})\to A(Y_j)$ は全射で、核は $c_1(M_j)A(Y_{j-1})$ である。$c_1(M_j)$ は $c_1(L'_j)$ の引き戻しなので、$j$ についての帰納法により、$A(G/T)\to A(Y_j)$ は全射で、核は $c_1(L'_1),\dots,c_1(L'_j)$ の生成するイデアルである（$A(G/T)\to A(Y_{j-1})$ が全射なので、$c_1(M_j)A(Y_{j-1})$ の逆像は $c_1(L'_j)A(G/T)$ と前の段の核の和である）。$j=r_0$ で (2) の後半を得る。
段 6（直線束の比較）．$G\times k\to L_{\chi_j}$、$(g,v)\mapsto[g,v]_B$ は右から $T$ で不変なので、$L'_j\to L_{\chi_j}$、$[g,v]_T\mapsto[g,v]_B$ が $\pi$ の上に定まる。局所切断の座標で射であり、各ファイバーで線形な同型である（$[g,v]_B=[g,v']_B$ なら $v=v'$）。本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の補題「直線束の射の比較」により $L'_j\cong\pi^*L_{\chi_j}$、$c_1(L'_j)=\pi^*c_G(\chi_j)$ である。
段 7（結論）．$\rho$ は $G=Y_{r_0}\to G/T\xrightarrow{\pi}G/B$ の合成なので、段 5・6 と (1) により $\rho^*$ は全射で、核は $\pi^*$ で $c_G(\chi_1),\dots,c_G(\chi_{r_0})$ の生成するイデアルに対応する。$c_G$ は加法的で $\chi_j$ は $\hat B=\hat T$ の基底なので、このイデアルは $c_G(\hat B)$ の生成するイデアルで、上の定義の後の段落により $A(G/B)\,(\operatorname{Im}c_G)_+$ に等しい。

段 1（記号）．$A=A(G/B)$、$R=\operatorname{Im}c_G$、$R_+=(\operatorname{Im}c_G)_+$、$I=A\,R_+$ とおく。$R$ は次数付き部分環で $R^0=A^0=\mathbf Z\cdot1$、$I$ は $A_+=A(G/B)_+$ に含まれる斉次イデアルで、次数 $k$ の成分は $I^k=\sum_{j\ge1}A^{k-j}R^j$ である。上の定理（群の Chow 環の表示）により、$\rho^*$ は次数を保つ全射で核が $I$ なので、$A^+(G)\cong A_+/I$ である。
段 2（有限性）．$G/B$ は Bruhat 胞体の有限個の和なので、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」により $A$ は有限生成のアーベル群で、$A_+/I$ も有限生成である。本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」により $A/R$ は有限なので、その位数 $e$ について $eA\subset R$ である。$x\in A_+$ なら $ex\in R\cap A_+=R_+\subset I$ なので、$A_+/I$ は $e$ で消える。有限生成で捩れしかないアーベル群は有限なので、(1) が成り立つ。
段 3（$d$ で消えること）．$N=0$ なら $G/B$ は一点で $A_+=0$ なので、(2) は自明に成り立つ。$N\ge1$ なら、本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れ指数の五つの特徴づけ（訂正形）」の (iii)⇒(ii) を $d'=d$ で使うと $dA\subset R$ で、段 2 と同じく $dA_+\subset R_+\subset I$ である。ゆえに $A^+(G)$ は $d$ で消える。$d$ で消える有限アーベル群の位数を割る素数は $d$ を割るので、(2) が成り立つ。
段 4（逆向き）．素数 $\ell$ が $A_+/I$ の位数を割らないとする。有限群 $A_+/I$ の元の位数は $\ell$ と素なので、各 $x\in A_+$ に $\ell$ と素な正の整数 $m$ で $mx\in I$ となるものがある。次数 $k$ についての帰納法で、「各 $x\in A^k$ に、$\ell$ と素な正の整数 $m$ で $mx\in R^k$ となるものがある」ことを示す。$k=0$ では $A^0=R^0$ なので $m=1$ でよい。$k\ge1$ で $x\in A^k$ とすると、$\ell$ と素な $m$ で $mx=\sum_{j\ge1}a_jr_j$（$a_j\in A^{k-j}$、$r_j\in R^j$ の有限和）と書ける。帰納法の仮定により $\ell$ と素な $m_j$ で $m_ja_j\in R^{k-j}$ となるものがあり、$M=\prod_jm_j$ とおくと $Mmx=\sum_j(M/m_j)(m_ja_j)r_j\in R^k$ で、$Mm$ は $\ell$ と素である。$k=N$ で $x=[\mathrm{pt}]$ にとると、$\ell$ と素な $m'$ で $m'[\mathrm{pt}]\in R^N=d\,\mathbf Z[\mathrm{pt}]$ となり、$d$ は $m'$ を割るので $\ell$ は $d$ を割らない。対偶をとれば (3) である。