3-1 等質ベクトル束と誘導表現
代数群の閉部分群の線形表現から、等質空間の上のベクトル束を作り、その大域切断の空間が群の有理表現になること、主束の族に拡げても切断の空間が底の上のベクトル束になることを示す。有理性の証明は、有限個の点での値から係数を取り出す線形代数で閉じる。原論文が読者に委ねた族での同一視は、切断を主束の上の同変な関数とみて、同じ取り出し方で確かめる。
前提知識: 代数群, 等質空間, ベクトル束, 主束, 付随束, 有理表現, 誘導表現
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。空間は本書の読みの代数的空間（既約とも連結とも限らない）である。$G$ は代数群で、アフィンとは限らない。$F$ は $G$ の閉部分群、$u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$ は有限次元のベクトル空間 $V$ の上の有理表現である。$G\times V$ を $F$ の右作用 $(g,v)\tau=(g\tau,u(\tau)^{-1}v)$（$\tau\in F$）で割ったものを $V(u)=G\times^FV$ と書く（下の定義）。
本頁の主結果は次の四つである。
- 等質ベクトル束の局所自明性（原論文 §3 冒頭の等質ベクトル束の定義に添えた主張）：$G\to G/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束で、$V(u)$ は $G/F$ の上の局所自明なベクトル束である。$G$ は左移動によって $V(u)$ にベクトル束の構造を保って作用し、この作用は $G/F$ への左移動をおおう。［条件付き：同じセミナーの第 1 講演の局所等自明性の基本事実（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（局所等自明性の基本事実）の (1)〜(3)。付随束の商の性質を含む）と、等質空間の基本（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（等質空間の基本）の (1)）を引用］
- 不変な切断空間の表現の有理性（§3 の命題）：代数群 $G$ が空間 $X$ の上のベクトル束 $E$ にベクトル束の構造を保って作用し、有限次元の正則切断の空間 $W$ が $G$ で不変なら、$G$ の $W$ の上の表現は有理的である。［完結（Chow 環の枠組みに依らない）］
- 誘導表現の有限次元性と有理性（誘導表現の定義に添えた主張）：$G/F$ が完備なら、$W(u)=\Gamma(G/F,V(u))$ は有限次元で、$G$ の $W(u)$ の上の表現は有理的である。［条件付き：1 と、完備な空間の上の連接層の切断の空間が有限次元であること（Serre。本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（連接層とアフィンな空間の基本）の (4)）を引用。2 にも依る］
- 主束への拡張と切断の同一視（族への拡張。原論文は検証を読者に委ねる）：$P\to X$ を構造群 $G$ の局所等自明な主束とし、$G/F$ は完備とする。$f\colon P/F\to X$ は固有で局所等自明なファイバー空間、$P\to P/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束で、$V(u,P)=P\times^FV\to P/F$ と $W(u,P)=P\times^GW(u)\to X$ は局所自明なベクトル束である。さらに $X$ の各開集合 $U$ について、$U$ の上の $W(u,P)$ の切断と $f^{-1}(U)$ の上の $V(u,P)$ の切断は、制限と $\mathcal O(U)$ の作用と両立する形で自然に一対一に対応する。すなわち $W(u,P)\cong f_*V(u,P)$ で、各点 $x$ でファイバー $W(u,P)_x$ は $f^{-1}(x)$ の上の $V(u,P)$ の切断の空間と同一視される。［条件付き：1 と同じ第 1 講演の基本事実、不分岐な射とエタールな射の基本（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（不分岐な射とエタールな射の基本）の (3)。有限エタールな射の次数が連結な底の上で一定であること）、有限エタール被覆に沿った降下（同じ頁の定理（有限エタール被覆に沿った降下）の (2)。固有性の部分）を引用。3 にも依る］
四つとも Chow 環の性質を使わない。主結果 2 は、ベクトル束と作用の定義と有限次元の線形代数だけで頁の中で閉じる。主結果 1・3・4 は、等質空間と付随束が代数的空間として存在し局所等自明であることを第 1 講演に、完備な空間の有限性を Serre の定理に負うので［条件付き］であり、それらを認めれば、切断と同変な関数の対応と係数の取り出しは頁の中で閉じる。
背景と動機
原論文の第 3 節の題は「線形表現を使った束の切断の構成」である。主束 $P\to X$ の構造群 $G$ を閉部分群 $F$ に簡約することは、付随束 $P/F\to X$ に切断を与えることと同じで、これは非線形の問題である。原論文はこれを、ベクトル束の切断の零点という線形の問題に移す。$F$ の線形表現 $u$ から $G/F$ の上のベクトル束 $V(u)$ を作り、$P/F$ の上でも同じ形のベクトル束 $V(u,P)$ を作る。$V(u,P)$ の切断の零点は $P/F$ の中の部分集合で、それが底の上で有限エタールになれば、その上で $P/F$ に切断ができる（本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』）。
そのためには、ファイバー $G/F$ の上の切断を、底の各点の近くで族として動かせなければならない。原論文は、$G/F$ が完備なら $V(u)$ の大域切断の空間 $W(u)$ は有限次元の $G$ の有理表現になり（誘導表現）、それを主束 $P$ に付随させたベクトル束 $W(u,P)$ の切断が $V(u,P)$ の切断と同じものになることを述べる（印字 5-08〜5-10。最後の点の検証は読者に委ねられている）。ファイバーの上の一つの切断 $s\in W(u)$ は $W(u,P)$ のファイバーの元とみなせ、$W(u,P)$ は局所自明なので、底の点の近傍の切断 $S$ に拡げられる。これが次の頁の出発点である。
本頁の主結果 2 は、この構成の有理性の部分を一般のベクトル束で述べたもので、原論文は主束に引き戻して積の上の関数の分解に帰着させる。本書は、有限個の点での値から係数を取り出す、より短い証明を採る。第 7 巻『アフィン代数群と可換アフィン代数群』の頁『1-1 行列係数と有限性の補題』の主結果「有理性の判定」は、表現の係数が正則であることと有理性の同値を述べるが、主結果 2 の証明は係数の正則性を直接示すので、そこには依らずに閉じる。
定義と準備
まずベクトル束と群の作用を、本頁で使う形に定める。
$X$ を代数的空間、$r$ を非負の整数とする。$X$ の上の階数 $r$ のベクトル束とは、射 $\pi\colon E\to X$ と、各ファイバー $E(x)=\pi^{-1}(x)$ の $k$ ベクトル空間の構造の組で、$X$ の各点の開近傍 $U$ と、ファイバーごとに線形な $U$ の上の同型 $\pi^{-1}(U)\cong U\times k^r$（局所自明化）があるものをいう。開集合 $U$ の上の正則な切断 $s\colon U\to E$（$\pi\circ s=\mathrm{id}_U$）の全体を $\Gamma(U,E)$ と書く。これは $\mathcal O(U)$ 加群で、$U\mapsto\Gamma(U,E)$ は局所自由な連接層である。代数群 $G$ が $E$ にベクトル束の構造を保って作用するとは、射 $G\times X\to X$、$G\times E\to E$ で与えられる作用があって、$\pi$ が $G$ 同変で、各 $g\in G$ が $E(x)\to E(gx)$ の線形写像を与えることをいう。このとき $w\in\Gamma(X,E)$ と $g\in G$ に
$$(g\cdot w)(x)=g\bigl(w(g^{-1}x)\bigr)$$
を対応させると、$g\cdot w$ は射の合成なので正則な切断で、$G$ は $\Gamma(X,E)$ に線形に作用する。
有限次元のベクトル空間 $W$ の上の $G$ の表現 $\rho\colon G\to\mathrm{GL}(W)$ が有理的とは、$\rho$ が代数群の射であることをいう（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義（代数群・アフィン群・有理指標）の有理準同型）。$W$ の基底をとって $\rho(g)$ を行列 $(c_{lk}(g))$ で書くと、$\mathrm{GL}(W)$ はアフィン空間の閉集合 $\{(A,t):t\det A=1\}$ なので、$\rho$ が射であることは、係数 $c_{lk}$ と $\det\rho(g)^{-1}$ が $G$ の上の正則関数であることと同じである。$\det\rho(g)^{-1}=\det\rho(g^{-1})$ は $c_{lk}$ と逆元の射の合成なので、係数 $c_{lk}$ が正則であれば足りる。
次に、原論文の等質ベクトル束と誘導表現を定める。付随束の一般の定義は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（付随束と等質ベクトル束）にある。
$G$ を代数群、$F$ をその閉部分群、$u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$ を有理表現とする。$G\times V$ に $F$ を右から $(g,v)\tau=(g\tau,u(\tau)^{-1}v)$（$\tau\in F$）で作用させた商 $V(u)=G\times^FV$ を、$u$ に付随する $G/F$ の上の等質ベクトル束という（原論文の fibré vectoriel homogène）。$(g,v)$ の類を $[g,v]$ と書く。射 $V(u)\to G/F$ は $[g,v]\mapsto gF$ で、点 $gF$ の上のファイバーには $v\mapsto[g,v]$ でベクトル空間の構造を入れる。$G$ は $g'\cdot[g,v]=[g'g,v]$ で $V(u)$ に作用する。
ファイバーの線形構造は代表 $g$ の取り方によらない。$[g\tau,v]=[g,u(\tau)v]$ で、$u(\tau)$ は線形だからである。本頁では $F$ の元を $\tau$ と書き、文字 $f$ は射影 $P/F\to X$ に使う。
上の定義の記号で $G/F$ が完備なとき、$W(u)=\Gamma(G/F,V(u))$ の上の $G$ の表現（上の定義（ベクトル束と群の作用）の作用）を、$u$ から誘導された $G$ の表現といい、$v$ と書く（原論文の représentation linéaire induite）。$P\to X$ を構造群 $G$ の主束とするとき、$P$ を $P\to P/F$ の構造群 $F$ の主束とみて $u$ に付随させたもの $V(u,P)=P\times^FV\to P/F$ と、$P$ を $v$ に付随させたもの $W(u,P)=P\times^GW(u)\to X$ を考える。$f\colon P/F\to X$ を射影とする。
$P=G$、$X=\mathrm{pt}$ とすれば $V(u,P)=V(u)$、$W(u,P)=W(u)$ である。主結果 4 は、この二つの構成が底の上で切断の空間として一致することを言う。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は、原論文が定義と基本事実を委ねる同じセミナーの第 1 講演 Serre Ser58fib、完備な空間の有限性について原論文が引く Gro57fac、降下について SGA1 で、要点は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。
- 等質空間の存在：代数群 $G$ の閉部分群 $F$ について、商 $G/F$ は非特異な代数的空間で、$G$ は左移動で $G/F$ に作用する（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（等質空間の基本）の (1)）。
- 局所等自明性の基本事実：(a) $G\to G/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。(b) 構造群 $H$ の局所等自明な主束 $Q\to Y$ と、$H$ が左から作用する空間 $Z$ について、付随束 $Q\times^HZ$ は代数的空間として存在し、$Y$ の上で局所等自明（$Y$ の各点の近くの被覆 $Y'$ の上で $Y'\times Z$ に同型）である。$H$ の閉部分群 $H'$ について、$Q\to Q/H'$ は構造群 $H'$ の局所等自明な主束である。(c) 有理表現に付随するベクトル束 $Q\times^HV$ は局所自明である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（局所等自明性の基本事実）の (1)〜(3)）。
- 付随束の商の性質：上の (b) の付随束について、$Q\times Z\to Q\times^HZ$ は構造群 $H$ の主束（とくに商）であり、付随束の作り方は底変換と両立する。したがって、$H$ の有理表現 $\rho\colon H\to\mathrm{GL}(V)$ について、$Y$ の開集合 $U$ の上の $Q\times^HV$ の正則な切断 $s$ は、$s(\pi(q))=[q,\psi(q)]$ によって、$H$ 同変な射 $\psi\colon Q|_U\to V$（$\psi(qh)=\rho(h)^{-1}\psi(q)$）と一対一に対応し、この対応は $\mathcal O(U)$ 加群の構造と制限に両立する（付随束の構成に含まれる事実として、(b) と同じ出典）。
- 完備な空間の有限性：完備な代数的空間の上の連接層の大域切断の空間は有限次元である（Serre の定理。本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（連接層とアフィンな空間の基本）の (4)）。
- 固有性の降下：有限エタールな全射 $U'\to U$ について、$U$ の上の射が固有であることは、$U'$ への底変換が固有であることと同値である（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（有限エタール被覆に沿った降下）の (2)）。固有性は底の開被覆の上で確かめてよい。
事実 3 を等質ベクトル束に当てると、次の形になる。以下の計算はすべてこの形で行う。
上の定義（等質ベクトル束）の記号で、$G/F$ の開集合 $U$ の上の $V(u)$ の正則な切断 $s$ は、$s(gF)=[g,w(g)]$ によって、$U$ の $G$ での逆像の上の正則な関数 $w$ で $w(g\tau)=u(\tau)^{-1}w(g)$（$\tau\in F$）をみたすものと一対一に対応する。$U=G/F$ のとき、$h\in G$ の作用は $(h\cdot w)(g)=w(h^{-1}g)$ である。
前半は引用する事実 3 を、主束 $G\to G/F$（事実 2 の (a)）と表現 $u$ に当てたものである。後半：$(h\cdot s)(gF)=h\cdot s(h^{-1}gF)=h\cdot[h^{-1}g,w(h^{-1}g)]=[g,w(h^{-1}g)]$ なので、$h\cdot s$ に対応する関数は $g\mapsto w(h^{-1}g)$ である。
この補題の後半により、誘導表現 $v$ は、$F$ 同変な関数の空間の上の左移動の表現である。等質空間の上のベクトル束の切断を群の上の関数として扱うこの見方は、後代に Borel–Weil の定理の形で広く使われる（下の「その後の発展」）。
主結果と証明
等質ベクトル束
原論文は §3 の冒頭で、代数群 $F'$ への一般の正則な表現に付随する主束が局所等自明であることを述べ、$F'$ が一般線形群のときには局所自明になって、ベクトル束 $V(u)$ が得られるとする。本書はその線形の場合を主結果として述べる。
$G$ を代数群、$F$ をその閉部分群、$u\colon F\to\mathrm{GL}(V)$ を有理表現とする。$G\to G/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束で、$V(u)=G\times^FV$ は $G/F$ の上の局所自明なベクトル束である。$G$ は $g'\cdot[g,v]=[g'g,v]$ によって $V(u)$ にベクトル束の構造を保って作用し、射 $V(u)\to G/F$ はこの作用と左移動について $G$ 同変である。
段 1（主束と付随束）．引用する事実 1 により $G/F$ は代数的空間で、事実 2 の (a) により $G\to G/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。事実 2 の (b)(c) を、この主束と $F$ の $V$ への左作用 $\tau\cdot v=u(\tau)v$ に当てると、$V(u)=G\times^FV$ は代数的空間として存在し、$G/F$ の上の局所自明なベクトル束である。ここでのベクトル束の構造は、上の定義（等質ベクトル束）でファイバーに $v\mapsto[g,v]$ で入れた線形構造で、事実 2 の (c) の局所自明化はこの構造についてファイバーごとに線形である。
段 2（作用の射）．$G\times(G\times V)\to V(u)$、$(g',(g,v))\mapsto[g'g,v]$ は射で、$F$ の作用 $(g,v)\mapsto(g\tau,u(\tau)^{-1}v)$ で不変である（$[g'g\tau,u(\tau)^{-1}v]=[g'g,v]$）。引用する事実 3 により $G\times V\to V(u)$ は構造群 $F$ の主束で、その $G\times V(u)$ への底変換 $G\times(G\times V)\to G\times V(u)$ も主束なので、上の射は射 $G\times V(u)\to V(u)$ を経由する。これが作用 $g'\cdot[g,v]=[g'g,v]$ で、群の作用の規則は $G\times V$ の上で明らかである。
段 3（構造の保存）．$[g,v]\mapsto gF$ は $[g'g,v]\mapsto g'gF$ に移るので、射影は同変である。点 $gF$ の上のファイバーは $v\mapsto[g,v]$ で $V$ と同一視され、$g'$ はそれを $v\mapsto[g'g,v]$、すなわち点 $g'gF$ の上のファイバーの同じ同一視に写すので、ファイバーの間の線形同型を与える。
原論文は、局所自明性を第 1 講演に委ね（「loc. cit.」）、作用が商に降りることを「構造の移送で」と一言で述べる。段 2 はその中身で、付随束の商の性質だけを使う。
切断の空間の有理性
主結果 2 は、作用で不変な有限次元の切断の空間が、自動的に代数群の表現としてよい性質をもつことを言う。$W$ の基底の各元の値を有限個の点で見れば、表現の係数がそれらの値の一次結合として書け、値は群の元について正則に動く。
代数群 $G$ が代数的空間 $X$ の上のベクトル束 $\pi\colon E\to X$ にベクトル束の構造を保って作用し、$W\subset\Gamma(X,E)$ が $G$ の作用で不変な有限次元の部分空間であるとする。このとき $G$ の $W$ の上の表現 $\rho\colon G\to\mathrm{GL}(W)$、$\rho(g)w=g\cdot w$ は有理的である。
段 1（表現であること）．$(gh)\cdot w=g\cdot(h\cdot w)$ と $e\cdot w=w$ は作用の規則から出るので、$\rho$ は群準同型である。$r=\dim W$ とし、$W$ の基底 $w_1,\dots,w_r$ をとって $g\cdot w_k=\sum_lc_{lk}(g)w_l$ と書く。上の定義（ベクトル束と群の作用）の後の段により、係数 $c_{lk}$ が $G$ の上の正則関数であることを示せばよい。
段 2（評価点の選び方）．点 $x\in X$ と、ファイバー $E(x)$ の上の線形形式 $\lambda$ の組ごとに、$W$ の上の線形形式 $w\mapsto\lambda(w(x))$ が定まる。$w\in W$ がこれらすべてで $0$ なら、どの点でも $w(x)=0$ なので $w=0$ である。ゆえにこれらの線形形式は双対空間 $W^\vee$ を張り、そのうち $r$ 個 $(x_1,\lambda_1),\dots,(x_r,\lambda_r)$ を $W^\vee$ の基底になるように選べる。行列 $M=(\lambda_j(w_l(x_j)))_{j,l}$ は可逆である。
段 3（値の正則性）．各 $j,k$ について、$G\to E$、$g\mapsto(g\cdot w_k)(x_j)=g\bigl(w_k(g^{-1}x_j)\bigr)$ は、逆元、$G\times X\to X$、$w_k$、$G\times E\to E$ の合成なので射で、値はファイバー $E(x_j)$ に入る。$x_j$ の近傍の局所自明化 $\pi^{-1}(U)\cong U\times k^{r'}$ を通せば、$E(x_j)\cong k^{r'}$ の上の線形形式 $\lambda_j$ は $\pi^{-1}(U)$ の上の正則関数の制限なので、$\phi_{jk}(g)=\lambda_j\bigl((g\cdot w_k)(x_j)\bigr)$ は $G$ の上の正則関数である。
段 4（係数の取り出し）．$(g\cdot w_k)(x_j)=\sum_lc_{lk}(g)\,w_l(x_j)$ に $\lambda_j$ を当てると $\phi_{jk}(g)=\sum_lM_{jl}c_{lk}(g)$ である。ゆえに
$$c_{lk}(g)=\sum_j(M^{-1})_{lj}\,\phi_{jk}(g)$$
で、右辺は正則関数の定数係数の一次結合なので、$c_{lk}$ は正則である。
これで、切断の空間が有限次元でさえあれば、群の作用はそこへ代数的に伝わることが分かった。証明は Chow 環も第 0 章の定理も使わず、ベクトル束と作用の定義だけで閉じる。残るのは、等質ベクトル束の大域切断の空間が有限次元になるかどうかで、そこに $G/F$ の完備性が効く。
原論文（印字 5-09）は、$E$ に付随する一般線形群の主束 $P$ をとり、$E$ の切断を $P$ から $k^n$ への同変な関数とみなして、自明な束 $P\times k$ の場合に帰着させ、その場合は $G\times P$ の上の正則関数が $\varphi(g)\psi(p)$ の形の関数の一次結合であることから出る、と述べる。印字の「$\varphi(\psi)$ est une fonction régulière sur $G(P)$」は、「$\varphi$（それぞれ $\psi$）は $G$（それぞれ $P$）の上の正則関数」を括弧で圧縮した書き方である。この筋は、積の上の正則関数が因子ごとの関数の積の和に書けること（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（連接層とアフィンな空間の基本）の (5)）を引くので、本書の基準では［条件付き］の証明になる。上の証明はそれを使わずに閉じる。
誘導表現
主結果 2 を等質ベクトル束に当てれば、残るのは切断の空間の有限次元性だけである。
上の定理（等質ベクトル束の局所自明性）の設定で、$G/F$ が完備なら、$W(u)=\Gamma(G/F,V(u))$ は有限次元で、$G$ の $W(u)$ の上の表現は有理的である。
上の定理（等質ベクトル束の局所自明性）により $V(u)$ は局所自明なベクトル束で、その切断の層は局所自由な連接層である。$G/F$ は完備なので、引用する事実 4 により $W(u)$ は有限次元である。同じ定理により $G$ は $V(u)$ にベクトル束の構造を保って作用し、$W(u)$ は大域切断の全体なので $G$ で不変である。上の定理（不変な切断空間の表現の有理性）を $X=G/F$、$E=V(u)$、$W=W(u)$ に当てれば、表現は有理的である。
原論文は、この有限次元性を「Serre による周知の定理」として Gro57fac を引く（印字 5-09）。§3 の $G$ は線形とは限らないので、$G/F$ の準射影性（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理（等質空間の基本）の (3) は $G$ が線形の場合だけ）は使わず、完備性から直接に有限次元性を出している。$G$ が連結線形群なら、$G/F$ が完備であることは $F$ がある Borel 部分群を含むことと同じで（同じ頁の定理（線形群の構造）の (2)）、代表的な場合は $F=B$ である。
主束への拡張
原論文は続けて、構造群 $G$ の局所等自明な主束 $P\to X$ をとり、ファイバー $G/F$ の上の構成を $P$ に沿って族にする。$W(u,P)$ の切断と $V(u,P)$ の切断が同じものになることの確かめは、読者に委ねられている（印字 5-10）。本書は、どちらの切断も $P$ の上の同変な関数とみなし、主結果 2 と同じ評価点による係数の取り出しで、二つの関数の空間の間の対応が正則であることを確かめる。
上の定理（等質ベクトル束の局所自明性）の設定で $G/F$ は完備とし、$\pi\colon P\to X$ を構造群 $G$ の局所等自明な主束とする。上の定義（誘導表現と主束に付随するベクトル束）の記号で、次が成り立つ。
(1) $P/F=P\times^G(G/F)$ は代数的空間で、$f\colon P/F\to X$ はファイバー $G/F$ の局所等自明なファイバー空間であり、固有である。$P\to P/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。
(2) $V(u,P)\to P/F$ と $W(u,P)\to X$ は局所自明なベクトル束である。
(3) $X$ の各開集合 $U$ について、$U$ の上の $W(u,P)$ の正則な切断の全体から $f^{-1}(U)$ の上の $V(u,P)$ の正則な切断の全体への、$\mathcal O(U)$ 加群の自然な同型があり、開集合の制限と両立する。すなわち $W(u,P)$ の切断の層は $f_*V(u,P)$ に同型である。
(4) 各点 $x\in X$ で、ファイバー $W(u,P)_x$ は $f^{-1}(x)$ の上の $V(u,P)$ の正則な切断の空間と、$[p,w]\mapsto\bigl(pgF\mapsto[pg,w(g)]\bigr)$ によって同一視される（$p\in\pi^{-1}(x)$、$w$ は上の補題（等質ベクトル束の切断と同変な関数）の関数）。
段 1（(1) の前半）．引用する事実 2 の (b) を主束 $P$ と $G$ の $G/F$ への左移動に当てると、$P/F$ は代数的空間として存在し、$f$ はファイバー $G/F$ の局所等自明なファイバー空間である。同じ (b) の後半により、$P\to P/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束である。
段 2（(1) の固有性）．$x\in X$ をとる。局所等自明性により、$x$ の開近傍 $U$ と、$x$ で不分岐な被覆 $g\colon U'\to U$ で $P$ の引き戻しが自明になるものがある。$g$ は $x$ のある近傍の上でエタールで、$x$ の上に点をもち、有限エタールな射の次数は連結な底の上で一定なので（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理（不分岐な射とエタールな射の基本）の (3)）、$U$ を $x$ の連結な開近傍に縮めれば $g$ は有限エタールな全射である。付随束の作り方は底変換と両立する（事実 3）ので、$P/F$ の $U'$ への引き戻しは $(U'\times G)\times^G(G/F)\cong U'\times G/F$ で、$G/F$ が完備なので射影 $U'\times G/F\to U'$ は固有である。引用する事実 5 により $f^{-1}(U)\to U$ は固有で、$X$ はこのような $U$ で覆われるので $f$ は固有である。
段 3（(2)）．段 1 により $P\to P/F$ は構造群 $F$ の局所等自明な主束なので、引用する事実 2 の (c) により $V(u,P)=P\times^FV$ は $P/F$ の上の局所自明なベクトル束である。上の定理（誘導表現の有限次元性と有理性）により $v$ は有限次元の有理表現なので、同じく $W(u,P)=P\times^GW(u)$ は $X$ の上の局所自明なベクトル束である。
段 4（切断を関数とみる）．$U\subset X$ を開集合とし、$P|_U=\pi^{-1}(U)$ と書く。$f^{-1}(U)$ の $P$ での逆像は $P|_U$ である。引用する事実 3 により、$U$ の上の $W(u,P)$ の切断は、正則な射 $\Phi\colon P|_U\to W(u)$ で $\Phi(pg)=g^{-1}\cdot\Phi(p)$（$g\in G$）をみたすものと、$f^{-1}(U)$ の上の $V(u,P)$ の切断は、正則な射 $\Psi\colon P|_U\to V$ で $\Psi(p\tau)=u(\tau)^{-1}\Psi(p)$（$\tau\in F$）をみたすものと、それぞれ一対一に対応する。$W(u)$ の元は、上の補題（等質ベクトル束の切断と同変な関数）により、$w(g\tau)=u(\tau)^{-1}w(g)$ をみたす $G$ の上の正則関数 $w\colon G\to V$ とみなし、$h\in G$ の作用は $(h\cdot w)(g)=w(h^{-1}g)$ である。
段 5（対応の構成）．$\Phi$ に $\Psi(p)=\Phi(p)(e)$ を対応させる。$W(u)\to V$、$w\mapsto w(e)$ は線形写像なので $\Psi$ は正則である。$\tau\in F$ について
$$\Psi(p\tau)=\Phi(p\tau)(e)=\bigl(\tau^{-1}\cdot\Phi(p)\bigr)(e)=\Phi(p)(\tau)=u(\tau)^{-1}\Phi(p)(e)=u(\tau)^{-1}\Psi(p)$$
なので、$\Psi$ は $F$ 同変である。
段 6（逆の対応）．$F$ 同変な $\Psi$ が与えられたとする。各 $p\in P|_U$ について $\Phi(p)\colon G\to V$ を $\Phi(p)(g)=\Psi(pg)$ で定める。$g\mapsto\Psi(pg)$ は正則で、$\Phi(p)(g\tau)=\Psi(pg\tau)=u(\tau)^{-1}\Phi(p)(g)$ なので、$\Phi(p)\in W(u)$ である。$h\in G$ について $\Phi(ph)(g)=\Psi(phg)=\Phi(p)(hg)=(h^{-1}\cdot\Phi(p))(g)$ なので $\Phi(ph)=h^{-1}\cdot\Phi(p)$ で、$\Phi(p)(e)=\Psi(p)$ である。逆に段 5 の条件 $\Phi(p)(e)=\Psi(p)$ をみたす $G$ 同変な $\Phi$ は、$\Phi(p)(g)=(g^{-1}\cdot\Phi(p))(e)=\Phi(pg)(e)=\Psi(pg)$ をみたすので、この $\Phi$ に限る。
段 7（逆の対応の正則性）．残るのは $p\mapsto\Phi(p)$ が射であることである。$r=\dim W(u)$ とし、$W(u)$ の基底 $w_1,\dots,w_r$ をとる。主結果 2 の証明の段 2 と同じく、$w\mapsto\lambda(w(g))$（$g\in G$、$\lambda\in V^\vee$）の形の線形形式は $W(u)^\vee$ を張るので、$g_1,\dots,g_r\in G$ と $\lambda_1,\dots,\lambda_r\in V^\vee$ を、$M=(\lambda_j(w_l(g_j)))_{j,l}$ が可逆になるように選べる。$\Phi(p)=\sum_lc_l(p)w_l$ と書くと、$\lambda_j(\Psi(pg_j))=\lambda_j(\Phi(p)(g_j))=\sum_lM_{jl}c_l(p)$ なので
$$c_l(p)=\sum_j(M^{-1})_{lj}\,\lambda_j\bigl(\Psi(pg_j)\bigr)$$
で、$p\mapsto\Psi(pg_j)$ は射なので $c_l$ は $P|_U$ の上の正則関数である。ゆえに $\Phi$ は射である。
段 8（(3)(4)）．段 5〜7 により、$U$ の上の $W(u,P)$ の切断と $f^{-1}(U)$ の上の $V(u,P)$ の切断は一対一に対応する。$a\in\mathcal O(U)$ を掛けることは $\Phi$、$\Psi$ に $a\circ\pi$ を掛けることで、評価 $\Phi(p)\mapsto\Phi(p)(e)$ と可換である。開集合への制限は $\Phi$、$\Psi$ の制限で、これも可換である。これで (3) が示された。(4) は、$x$ の上のファイバー $\pi^{-1}(x)$（1 点の上の構造群 $G$ の主束）に同じ議論を当てたものである。$p\in\pi^{-1}(x)$ を選べば $\pi^{-1}(x)=pG$ で、$[p,w]\in W(u,P)_x$ に対応する $\Phi$ は $\Phi(pg)=g^{-1}\cdot w$、段 5 の $\Psi$ は $\Psi(pg)=(g^{-1}\cdot w)(e)=w(g)$ で、これは $f^{-1}(x)$ の上の切断 $pgF\mapsto[pg,w(g)]$ に当たる。
これで、ファイバーの上の一つの切断 $s\in W(u)$ を、底の点 $x$ の近傍の切断 $S$ に拡げ、それを $V(u,P)$ の $f^{-1}(U)$ の上の切断とみなす、という原論文の §3 の操作がすべて正当化された。$W(u,P)$ が局所自明なので、ファイバー $W(u,P)_x\cong W(u)$ の元はいつも近傍の切断に拡がる。次の頁は、この $S$ の零点の集合を調べる。
原論文（印字 5-09〜5-10）は、$P/F\to X$ が固有であることを断言し、$P\to P/F$ が構造群 $F$ の局所等自明な主束であることを「すぐ分かる」とし、$W(u,P)$ の切断と $V(u,P)$ の切断の同一視と、ファイバーの同一視の検証を読者に委ねる。上の証明は、固有性にだけ有限エタール被覆に沿った降下を使い、同一視は同変な関数の言葉で直接示した。同一視を、被覆の上で $P$ を自明にして同型を確かめ、降下で戻す道もある。その道では、固有射による連接層の順像と平坦な底変換の交換も要るので、本書は採らなかった。なお (4) のファイバーの同一視だけでは (3) の層の同型は出ない。各点のファイバーで同型な層の射でも、層の同型とは限らないからで、(3) は段 7 の正則性の確認を要する。
例と反例
射影直線の上で、等質直線束の切断を具体的に計算する。最後の反例は完備性を外す。以下 $G=\mathrm{SL}(2)$、$B$ を上三角行列の群、$\chi\colon B\to\mathbf G_m$ を左上の成分をとる指標、$U_+=\{\left(\begin{smallmatrix}1&c\\0&1\end{smallmatrix}\right)\}$ とする。$G/B\cong\mathbf P^1$ は $g$ に第 1 列 $ge_1$ の張る直線を対応させる同一視である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の例「一般線形群と特殊線形群の旗多様体」）。
整数 $m$ について、$B$ の 1 次元の表現 $\chi^m$ に付随する $V(\chi^m)$ の大域切断を求める。上の補題（等質ベクトル束の切断と同変な関数）により、切断は $G$ の上の正則関数 $w$ で $w(gb)=\chi(b)^{-m}w(g)$ をみたすものである。(a) $U_+$ の元を右から掛けても $w$ は変わらない。$g\mapsto ge_1$ は $G$ から $k^2-\{0\}$ への射で、そのファイバーはちょうど剰余類 $gU_+$ である（第 1 列が同じで行列式が $1$ の二つの行列は $U_+$ の元だけ違う）。この射は局所切断 $(x,y)\mapsto\left(\begin{smallmatrix}x&0\\y&x^{-1}\end{smallmatrix}\right)$（$x\ne0$）、$(x,y)\mapsto\left(\begin{smallmatrix}x&-y^{-1}\\y&0\end{smallmatrix}\right)$（$y\ne0$）をもつので、$w$ は $k^2-\{0\}$ の上の正則関数 $\bar w(x,y)$ で $w(g)=\bar w(ge_1)$ と書ける。$k^2-\{0\}$ の正則関数は、$k[x,y,x^{-1}]\cap k[x,y,y^{-1}]=k[x,y]$ の元、すなわち多項式である。(b) 対角行列 $t=\mathrm{diag}(c,c^{-1})$ を右から掛けると第 1 列は $c$ 倍になり、$\chi(t)=c$ なので、条件は $\bar w(cx,cy)=c^{-m}\bar w(x,y)$（すべての $c\in k^*$）である。$k$ は無限体なので、$\bar w$ は $-m$ 次の斉次多項式である。ゆえに $m>0$ なら $W(\chi^m)=0$、$m\le0$ なら $W(\chi^m)$ は $x,y$ の $-m$ 次の斉次多項式の空間で、次元は $1-m$ である。$G$ の作用は $(h\cdot\bar w)(x,y)=\bar w(h^{-1}(x,y))$ で、$m=-1$ では 1 次形式の空間の上の標準表現の双対になる（$\mathrm{SL}(2)$ ではこれは標準表現に同型である）。$[g,c]\mapsto(ge_1\text{ の張る直線},\ c\,ge_1)$ は $V(\chi)$ から $\mathbf P^1\times k^2$ への射で（$[gb,\chi(b)^{-1}c]$ も同じ点に写る）、$V(\chi)$ を $\mathbf P^1$ の上の直線の束 $\mathcal O(-1)$ と同一視する。同様に $V(\chi^{-1})$ は $\mathcal O(1)$ で、$V(\chi^{-m})$ の大域切断が $m$ 次形式であることは $\mathcal O(m)$ のよく知られた計算と一致する。
$\mathfrak g=\mathfrak{sl}(2)$、$\mathfrak b$ を上三角の部分とし、$B$ の $\mathfrak g/\mathfrak b$ への随伴表現を $u$ とする。$\mathfrak g/\mathfrak b$ は $E_{21}=\left(\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}\right)$ の類で張られ、$b=\left(\begin{smallmatrix}c&c'\\0&c^{-1}\end{smallmatrix}\right)$ について $bE_{21}b^{-1}=\left(\begin{smallmatrix}c'c^{-1}&-c'^2\\c^{-2}&-c'c^{-1}\end{smallmatrix}\right)$ なので、$\mathfrak b$ を法として $u(b)=c^{-2}=\chi(b)^{-2}$ である（標数によらない）。ゆえに $V(u)=V(\chi^{-2})$ で、上の例により大域切断は $x,y$ の 2 次形式の 3 次元の空間で、$V(u)$ は $\mathcal O(2)$ に当たる。Bor91 第 II 章の基点での接空間 $T_{eF}(G/F)=\mathfrak g/\mathfrak f$（本書は該当箇所を確かめていない）を左移動で運べば、$\mathfrak g/\mathfrak f$ への随伴表現に付随する $V(\mathrm{Ad})$ が $G/F$ の接束に当たることが分かる：$\pi\colon G\to G/F$ は分離的で $d\pi_e$ は全射、核は $\mathfrak f$ なので、$[g,X]\mapsto d(l_g)_{eF}(d\pi_eX)$ は $V(\mathrm{Ad})\to T(G/F)$ のファイバーごとに線形な同型を与え、代表の取り替え $[g\tau,\mathrm{Ad}(\tau)^{-1}X]$（$\tau\in F$）でも $l_\tau\circ\pi\circ c_{\tau^{-1}}=\pi$ により値は変わらない。これによれば、$V(u)=V(\chi^{-2})$ は $\mathbf P^1$ の接束で、次数 $2$ の直線束であることとも合う。$-1\in G$ は 2 次形式に自明に作用するので、$W(u)$ は $\mathrm{PGL}(2)=G/\{\pm1\}$ の表現でもあり、$\mathrm{PGL}(2)$ の旗多様体 $\mathbf P^1$ の上でも同じ束が得られる。相異なる二根をもつ 2 次形式に当たる切断は、その二根の点でちょうど二つの単純な零点をもつ。これが本書『3-2 横断的な切断の零点と構造群の簡約』の例「射影直線の接束の切断と次数 2 の被覆」の出発点で、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』でも同じ束が現れる。
主結果 3 から $G/F$ の完備性を外す。$G=\mathbf G_a$（加法群）、$F=\{0\}$、$V=k$、$u$ を自明な表現とすると、$G/F=\mathbf A^1$ で、$V(u)=\mathbf A^1\times k$ は自明な直線束、その大域切断の空間 $\Gamma(\mathbf A^1,V(u))=k[t]$ は無限次元である。$h\in G$ は $(h\cdot w)(t)=w(t-h)$ で作用する。次数が $N$ 以下の多項式の空間は有限次元で不変なので、主結果 2 によりその上の表現は有理的である（実際、係数は $h$ の多項式である）。しかし切断の空間全体は有限次元でなく、誘導表現は定義されない。$G=B$、$F=T$（$\mathrm{SL}(2)$ の上三角群と対角群）でも $G/F\cong\mathbf A^1$ で、同じことが起こる。壊れたのは主結果 3 の証明の引用する事実 4 の段である。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。
- Borel–Weil の定理（1954 年ごろ。教科書では Bor91、Spr98）：連結簡約群 $G$ の Borel 部分群 $B$ と指標 $\lambda$ について、$G/B$ の上の直線束 $G\times^Bk_\lambda$ の大域切断の空間は、（符号の規約により $\lambda$ または $-\lambda$ が）支配的なときにだけ $0$ でなく、そのとき切断の空間（またはその双対）は最高重みの既約表現に当たる（標数 $0$）。上の例（射影直線の上の等質直線束）はその最も小さい場合で、本頁の規約（$B$ は上三角、$\chi$ は左上の成分）では $-\lambda$ が支配的なときに当たる。正標数では切断の空間は一般に既約でなく、Weyl 加群の双対として調べられる。本書は該当箇所を確かめていない。
- 捩りとしての付随束（Serre Ser58fib、1958 年）：主束 $P$ による表現の捩り $P\times^GW$ は、後代にトーサーによる捩りとして定式化され、$W(u,P)$ はその典型である。
- 降下の理論（Grothendieck、1959〜1961 年、SGA1）：有限エタールな被覆、さらに忠実平坦な射に沿った層と射の降下が体系化され、局所等自明な束の上の構成を被覆の上で確かめて戻す議論は標準的な手法になった。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の第 3 節の前半である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（ベクトル束と群の作用） | §3 の命題の設定 | 5-09 |
| 定義（等質ベクトル束）、定理（等質ベクトル束の局所自明性） | §3 冒頭 | 5-08 |
| 補題（等質ベクトル束の切断と同変な関数） | §3 の命題の証明の「同変な関数」 | 5-09 |
| 定理（不変な切断空間の表現の有理性）、注意（原論文の証明の筋） | §3 の命題とその証明 | 5-09 |
| 定義（誘導表現と主束に付随するベクトル束）、定理（誘導表現の有限次元性と有理性） | 誘導表現の定義 | 5-09 |
| 定理（主束への拡張と切断の同一視）、注意（読者に委ねられた検証と降下） | 族への拡張と、読者に委ねられた検証 | 5-09〜5-10 |
| 例（射影直線の上の等質直線束）、例（射影空間の等質ベクトル束と接束）、反例（完備性を外すと切断の空間は有限次元でない） | （原論文には無い。構成を確かめるための例） | — |
参考文献
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