5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ

複素数体の上の連結アフィン群について、特性準同型をサイクル類写像で整係数コホモロジーへ送ったものが位相的な主束 $G\to G/B$ の特性準同型に一致することを示し、代数群としての捩れ素数が分類空間の整係数コホモロジーの捩れ素数に一致するという原論文の定理 4 を導く。原論文が未公刊とする Bott の結果と合わせて、捩れのない半単純群が特殊線形群と斜交群の積であることも述べる。原論文が認めるサイクル類写像と Bott の結果は引用として扱う。
前提知識: 特性準同型, 捩れ指数, 分類空間, Chern類, サイクル類写像, 極大コンパクト部分群, 複素化, 旗多様体

この頁で示すこと

本頁では $k=\mathbf C$ とし、通常の位相とコホモロジー $H^*(\cdot)=H^*(\cdot,\mathbf Z)$ の約束、サイクル類写像 $\mathrm{cl}$ は本書『5-1 サイクル類写像と胞体分割』のとおりとする。$G$ を連結アフィン群、$B=T\cdot B_u$ をその Borel 部分群、$\hat B=\hat T$ を有理指標の群、$c_G\colon S(\hat B)\to A(G/B)$ を特性準同型（本書『4-1 特性準同型と特性部分環』）、$N=\dim G/B$、$d$ を $G$ の捩れ指数（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』）とする。$d$ を割る素数を $G$ の捩れ素数という。$BG$ は位相群 $G=G(\mathbf C)$ の分類空間である。
本頁の主結果は次の三つである。

1. 特性準同型の位相的な解釈（原論文 §6 の Lemme 10 の後の段、印字 5-28）：$G\to G/B$ は通常の位相で構造群 $B$ の局所自明な主束で、合成 $\mathrm{cl}\circ c_G\colon S(\hat B)\to A(G/B)\to H^*(G/B)$ はこの主束の位相的な特性準同型に一致する。その余核は有限群で、位数を割る素数はちょうど $G$ の捩れ素数であり、それは $H^*(BG,\mathbf Z)$ の捩れ素数に一致する。［条件付き：本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「Rosenlicht の局所切断」と定理「線形群の構造」の (2)、本書『5-1 サイクル類写像と胞体分割』の主結果「サイクル類写像の環準同型」「旗多様体のサイクル類写像は同型」、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (1) と定理「固有な交わりの重複度と長さ」の (2)(3)、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「指標の直線束と特性準同型」「特性準同型の環準同型への延長」と補題「直線束の射の比較」、本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」、本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」「最高次の部分と捩れ指数の存在」、本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れ指数の五つの特徴づけ（訂正形）」による。原論文が認めるサイクル類写像、射影的な空間の直線束が大域切断で生成される二つの束の差であること（Serre）、位相の Chern 類と Lie 群の分類空間の基本、原論文が周知とする分類空間の捩れ素数の事実を引用］
2. 代数的な捩れ素数と位相的な捩れ素数の一致（原論文 Théorème 4、印字 5-28）：$\mathbf C$ 上の連結アフィン群 $G$ の捩れ素数は、位相群 $G$ の分類空間 $BG$ の整係数コホモロジーの捩れ素数にちょうど一致する。［条件付き：1 による］
3. 分類空間が捩れのない半単純群（原論文が引く Bott の結果とその帰結、印字 5-29）：$\mathbf C$ 上の半単純群 $G$ について、$H^*(BG,\mathbf Z)$ が捩れをもたないことと、$G$ が特殊線形群と斜交群の直積に同型であることは同値である。したがって $G$ が捩れなし（捩れ指数 $1$）であることも、この直積に同型であることと同値である。［条件付き：2 と、本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れのない群と捩れ指数 1」による。複素半単純群とコンパクト Lie 群の複素化の対応（分類空間のホモトピー同値を含む）と、原論文が未公刊とする Bott の結果を引用］
   三つとも、原論文が認めるサイクル類写像（主結果 1 の中で使う）と位相の事実に依るので［条件付き］で、Chow 環の枠組みの下でも完結しない。主結果 1 の余核の素数の段は、本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果を通して、同じセミナーの exposé 1 の事実と Bertini の定理にも依る。頁の中で示すのは、直線束の第一類がサイクル類写像で位相の第一 Chern 類に写ること、二つの特性準同型が生成元の上で一致すること、余核の素数が捩れ指数の素因子に一致することである。分類空間の捩れ素数の事実と Bott の結果は「原論文はこう述べる」の形で引き、証明したとは書かない。

背景と動機

コンパクト連結 Lie 群 $K$ の整係数コホモロジーと分類空間 $BK$ のコホモロジーの捩れは、Borel Bor53 が調べていた。そこでは、極大トーラス $T_K$ の分類空間のコホモロジー $H^*(BT_K)$ が指標の対称代数であることと、ファイバー束 $K/T_K\to BT_K\to BK$ による特性準同型 $H^*(BT_K)\to H^*(K/T_K)$ が主役を演じる。有理係数ではこの準同型は全射だが、整係数では一般に全射でなく、その余核に捩れの素数が現れる。
原論文の §4 は、代数群の側で同じ形の準同型を立てた。旗多様体 $G/B$ の Chow 環への特性準同型 $c_G$ で、その余核の最高次の部分の位数が捩れ指数 $d$ である。§6 は、複素数体の上ではこの二つが同じものであることを示す。Chow 環とコホモロジーは旗多様体の上ではサイクル類写像で同型になり（本書『5-1 サイクル類写像と胞体分割』）、Chern 類の両立により代数的な特性準同型は位相的な特性準同型に写る。こうして代数的に定義した捩れ素数が位相の捩れ素数に一致する。原論文はこれを Théorème 4 として述べ、その系として、半単純群の場合に Bott の結果を引いて §5 の Lemme 9（本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』）の証明を締めくくる。
本書は依存の順に章を並べ、原論文の §6 を第 5 章、§5 を第 6 章に置いた（本書『0-1 本書の読み方』）。本頁の主結果「分類空間が捩れのない半単純群」は、本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積」の証明の段 3 で使われる。

定義と準備

位相の側の特性準同型と捩れ素数を定める。代数の側の $c_G$ と比べるには、指標の対称代数と Borel 部分群の分類空間のコホモロジーとの同一視が要る。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。1 は原論文が証明なしに認めるもの、5 は原論文が「よく知られている」とするもの、7 は原論文が未公刊と明記するものである。位相の基本事実は第 5 巻『Chern 類と離散群の線形表現』の頁『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』にまとめてあり、出典はそこに挙げた文献と Borel Bor53 である。どの文献についても、該当箇所は本頁では確かめていない。

1. 原論文が認めるサイクル類写像：本書『5-1 サイクル類写像と胞体分割』の引用する事実 1 のとおり。とくに、逆像と両立し、非特異な閉部分では基本類の Poincaré 双対を与える。
2. 大域切断で生成される直線束（Serre Ser55）：射影的な空間 $X$ を射影空間に埋め込み、$\mathcal O_X(1)$ を超平面の直線束の制限とする。$X$ 上の直線束 $L$ について、$m$ が十分大きければ $L\otimes\mathcal O_X(m)$ と $\mathcal O_X(m)$ は有限個の大域切断で生成される。
3. 位相の Chern 類（第 5 巻の同じ頁の定理「複素ベクトル束の Chern 類」の (1)(5) と、定理「射影束のコホモロジーと Leray–Hirsch の定理」の (3)）：複素直線束の第一 Chern 類 $c_1\in H^2$ は連続写像による引き戻しと両立し、$c_1(L\otimes L')=c_1(L)+c_1(L')$、$c_1(L^\vee)=-c_1(L)$ を満たす。射影空間 $\mathbf P^M$ では $c_1(\mathcal O(1))$ は超平面の類 $h$、すなわち超平面の基本類の Poincaré 双対で、$H^*(\mathbf P^M)=\mathbf Z[h]/(h^{M+1})$ である（向きは複素構造の標準の向きとする）。
4. Lie 群の分類空間（第 5 巻の同じ頁の定理「Lie 群の分類空間と極大コンパクト部分群」の (1)(2)(3)(5)）：(1) Lie 群 $H$ に普遍主束 $EH\to BH$ があり、パラコンパクトな $Y$ の上の主 $H$ 束 $P$ は分類写像 $f_P\colon Y\to BH$ で $EH$ の引き戻しに同型である。付随束は引き戻しと両立する：$f_P^*(EH\times^HF)\cong P\times^HF$。(2) 連結成分が有限個の Lie 群 $H$ の極大コンパクト部分群 $K$ について $BK\to BH$ はホモトピー同値である。(3) 可縮な閉正規部分群 $U\subset H$ について $BH\to B(H/U)$ はホモトピー同値である。$\mathbf C$ 上の連結可解群 $B=T\cdot B_u$ では $B_u\cong\mathbf C^m$ は可縮なので $BB\simeq BT$ で、$T\cong(\mathbf C^*)^r$ について $BT\simeq(\mathbf{CP}^\infty)^r$、$H^*(BT)=\mathbf Z[x_1,\dots,x_r]$（$x_j$ は $j$ 番目の座標の指標の普遍な直線束の第一 Chern 類、次数 $2$）である。したがって $\chi\mapsto c_1(ET\times^T\mathbf C_\chi)$ は群の同型 $\hat T\cong H^2(BT)$ で、環の同型 $S(\hat T)\cong H^*(BT)\cong H^*(BB)$ に延びる。
5. 分類空間の捩れ素数（原論文は「よく知られている」とし、余核が有限であることからは初等的でもあると添える。本書は確かめていない）：$\mathbf C$ 上の連結アフィン群 $G$ と Borel 部分群 $B$ について、位相的な特性準同型 $S(\hat B)\to H^*(G/B)$ の余核が有限なら、その位数を割る素数は $BG$ の捩れ素数にちょうど一致する。
6. 複素化の対応：$\mathbf C$ 上の連結半単純群 $G$ の $G(\mathbf C)$ の極大コンパクト部分群 $K$ は連結なコンパクト半単純 Lie 群で、$G(\mathbf C)$ は $K$ の複素化であり、$BK\simeq BG$ である（第 5 巻の同じ頁の定理「Chern–Weil 理論」の (3) と、上の 4 の (2)）。この対応で、代数群の同型類とコンパクト群の同型類が一対一に対応し、直積は直積に、特殊線形群 $\mathrm{SL}(n)$ は特殊ユニタリ群 $\mathrm{SU}(n)$ に、斜交群 $\mathrm{Sp}(n)$ はコンパクトな斜交群 $\mathrm{USp}(n)=\mathrm{Sp}(n)(\mathbf C)\cap\mathrm U(2n)$ に対応し、$K$ が半単純であることは、Chevalley の複素化の理論（Che46、本書は該当箇所を確かめていない）による。
7. Bott の結果（原論文は「(BOTT)」とだけ書き、未公刊と明記する。後代の所在は Borel Bor61tor とされる。本書は確かめていない）：連結なコンパクト半単純 Lie 群 $K$ について、$H^*(BK,\mathbf Z)$ が捩れをもたないのは、$K$ が $\mathrm{SU}(n)$ 型と $\mathrm{USp}(n)$ 型の群の直積であるときに限る。逆にそのような直積の分類空間のコホモロジーは捩れをもたない。
8. 群と旗多様体の構造（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』）：定理「線形群の構造」の (2)（旗多様体は非特異で既約な射影的空間）、定理「Rosenlicht の局所切断」（$G\to G/B$ は Zariski 位相で局所切断をもつ）。
   事実 6 の $\mathrm{USp}(n)$ は、原論文の「unitaires symplectiques」で、代数群の $\mathrm{Sp}(n)$（$2n$ 次元の斜交群）と記号が重ならないように本書が付けた名である。
   サイクル類写像が位相の第一 Chern 類と両立することを、補題として示す。原論文は一般の Chern 類との両立を述べるが、本頁で使うのは直線束の第一類だけである。

段 2 で、サイクル類写像の逆像との両立は、射影空間の超平面という非特異なサイクルを引き戻す所だけで使った。特異かもしれない因子 $\operatorname{div}(s)$ の類を直接 Poincaré 双対で読む必要は無い。

主結果と証明

補題で、指標の直線束の類が代数の側と位相の側で一致することが分かった。あとは、特性準同型が次数 $1$ の元で決まる環準同型であることと、旗多様体の上ではサイクル類写像が同型であることを合わせればよい。

特性準同型の位相的な解釈

段 1〜3 は、代数の特性準同型が位相の特性準同型の「代数的な実現」であることを言う。原論文はこれを、Chern 類の両立と、$B$ の分類空間のコホモロジーが $S(\hat B)$ と同一視されることが「よく知られている」ことの二点で済ませる（印字 5-28）。段 4 は原論文が「定義 3 と定理 2 の系 2」を参照して述べる部分で、本書は定理 2 の (ii) と最高次の部分から直接示した。段 5 の位相の事実だけは、原論文も本書も証明しない。

捩れ素数の一致

これが原論文の Théorème 4 である。左辺は Chow 環の中の特性部分環という代数的なデータで決まり、任意の標数で意味をもつ。右辺は位相群の分類空間のホモトピー型だけで決まる。原論文の証明はこの二つを、旗多様体の上のサイクル類写像の同型と Chern 類の両立でつなぐ。$G$ の捩れがないこと（捩れ指数 $1$）は、本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れのない群と捩れ指数 1」により捩れ素数が無いことと同じなので、定理の特別な場合として、$G$ が捩れなしであることと $H^*(BG,\mathbf Z)$ が捩れをもたないことは同値である。

Bott の結果と半単純群

原論文（印字 5-29）は、半単純な $G$ はコンパクト半単純群 $K$ に付随する代数群と同型で、分類空間は $K$ のものとホモトピー同値だと述べ、Bott の結果を引いて「これで §5 の Lemme 9 の証明が終わり、したがって Théorème 3 も」と結ぶ。本書では、(2) の「捩れなし ⇒ 直積」の向きが、本書『6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題』の主結果「捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積」の証明の段 3 になる。その主結果は Chevalley の Schubert 類の結果による還元（同じ図式の $\mathbf C$ 上の単連結群に移すこと）を経てここに来るので、任意の標数の主張になる。そこから本書『6-3 特別群の特徴づけ』の定理 3 の後半に伝わり、どちらも本頁と同じく［条件付き］である。

例と反例

定理 4 の両辺を、小さい群で別々に確かめる。一つ目は捩れのない場合、二つ目は捩れ素数 $2$ が両辺に現れる場合である。

二つの例はどちらも定理を確かめるもので、定理の証明には使っていない。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

• コンパクト Lie 群の捩れ（Borel Bor61tor、1961 年）：コンパクト連結 Lie 群の可換部分群と捩れを調べた論文で、原論文が未公刊とした Bott の結果（分類空間が捩れのない群の決定）はここで公刊されたとされる。
• 分類空間の Chow 環（Totaro Tot99、1999 年、Tot14、2014 年）：代数群 $G$ の分類空間の Chow 環 $A^*(BG)$ が定義され、サイクル類写像 $A^*(BG)\to H^{2*}(BG,\mathbf Z)$ が一般には単射でも全射でもないことが調べられた。原論文の特性部分環と捩れ指数は、この枠組みで $A^*(BT)\to A^*(G/B)$ の像として読み直されるとされる。
• 位相的 Chern 類と分類空間の Chow 環：第 5 巻『Chern 類と離散群の線形表現』の頁『1-2 序論の構想と群のトポス』の注意「位相の定理とスキームの定理」は、Grothendieck が 1968 年の論文で、分類空間の整係数コホモロジーが（捩れを除き、群が連結なら）Chow 環と解釈できることを、本頁の原論文で指摘済みとして引く所を記録している。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Torsion homologique et sections rationnelles Gro58c の §6 の後半である。