6-2 Schubert 類と Chevalley–Bott の補題

半単純群の旗多様体の Chow 環が、Borel 部分群の軌道の閉包の類（後代の Schubert 類）で生成されることを示し、それが基底をなし積の係数が根系だけで決まるという Chevalley の結果を引用する。これを使って、捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積に限るという Chevalley–Bott の補題を、原論文の略証どおり複素数体の上の位相的な結果に帰着して述べ、Dynkin 図式による判定にまとめる。補題は第 5 章の超越的な結果に依るので、本書は「原論文はこう述べる」の形で扱う。
前提知識: Bruhat分解, Schubert多様体, Weyl群, Dynkin図式, 半単純代数群, 単連結, Chow環

この頁で示すこと

$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。$G$ を連結半単純群、$T\subset B$ を極大トーラスと Borel 部分群、$W=N(T)/T$ を Weyl 群、$N=\dim G/B$ とする。$w\in W$ の $B$ 軌道（Bruhat 胞体）を $X_w=Bg_wB/B$、その次元を $\ell(w)$ とし（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義（Weyl 群・Bruhat 胞体・単連結））、閉包 $\overline{X_w}$ の類を
$$z(w)=[\overline{X_w}]\in A^{N-\ell(w)}(G/B)$$
と書く（後代の Schubert 類。原論文は名を付けず $z(w)$ と書く）。特性準同型 $c_G$、捩れなしは本書『4-1 特性準同型と特性部分環』のとおりである。連結線形群 $G$ が半単純でなくても、$G/B\cong\bar G/\bar B$（$\bar G=G/R$、$\bar B=B/R$）なので、以下の $A(G/B)$ についての主張はそのまま当てはまる。原論文はこの $\bar G$ と、その単連結な被覆 $\tilde G$ を、どちらも $G'$ と書く（本書『0-5 記号と約束』の記号の衝突の読み分け）。本頁の $\bar G$、$\tilde G$ はこの二つの意味で、$G'$ は使わない。
本頁の主結果は次の四つである。

1. Schubert 類による生成（原論文 Lemme 9 の略証の冒頭、印字 5-25）：$z(w)$（$w\in W$）は $A(G/B)$ を加法群として生成する。［条件付き：本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『3-2 線形同値の理論』の主結果「線形同値の理論の完全性とホモトピー」、頁『4-1 積空間と層別による生成』の主結果「アフィン空間の開集合との積」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「有理同値と線形同値の一致」「Chow 環の射影束公式」による。どれも第 6 巻で［条件付き］）と、半単純群の Bruhat 分解（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「Bruhat 分解と旗多様体の胞体」の (1)）と、線形群の構造（旗多様体の非特異性・射影性・既約性、同じ頁の定理「線形群の構造」の (2)）を引用。Chow 環の枠組みの下では完結］
2. Schubert 類の基底と構造定数の体によらなさ（同じ略証、Chevalley の結果の引用、印字 5-25〜5-26）：$z(w)$（$w\in W$）は $A(G/B)$ の基底で、積 $z(w)z(w')=\sum_{w''}c^{w''}_{w,w'}z(w'')$ の係数 $c^{w''}_{w,w'}\in\mathbf Z$ は根系（したがって Dynkin 図式）だけで決まり、基礎体にも標数にも依らない。［条件付き：原論文が公式を述べずに Chevalley に帰属させる結果を引用。1 にも依る。特殊線形群と斜交群での基底性だけは本頁の命題「特殊線形群と斜交群での基底性」で本書の中で閉じる］
3. 捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積（原論文 Lemme 9（Chevalley–Bott）、印字 5-23。略証 5-25〜5-26、§6 での完結 5-29）：半単純で捩れのない代数群は、$\mathrm{SL}(n)$ 型と $\mathrm{Sp}(n)$ 型の群の積に同型である。［条件付き：2 と、本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』の主結果「代数的な捩れ素数と位相的な捩れ素数の一致」「分類空間が捩れのない半単純群」（原論文が文献に無いと断って認めるサイクル類写像と、原論文が未公刊とする Bott の結果に依る）、半単純群の構造（単連結な被覆、単連結群の単純群への分解と Dynkin 図式による分類）、Chevalley の存在定理（複素数体の上の単連結群の存在）、本書『4-1 特性準同型と特性部分環』の主結果「準同型と特性準同型の両立」「特性準同型の環準同型への延長」を引用。原論文自身が、厳密には §6 冒頭の事実の証明と Bott の結果の公刊が要ると明記する］
4. Dynkin 図式による判定（同じ略証の後半、印字 5-26）：連結半単純群 $G$ について、(a) $A(G/B)$ の次数付き環の構造と、それが次数 $1$ の元で生成されるかどうかは Dynkin 図式だけで決まる。(b) 次数 $1$ の元で生成されるのは、図式が $A$ 型と $C$ 型の連結な図式の和のときに限る。(c) $G$ が捩れなしであることと、$G$ が単連結で $A(G/B)$ が次数 $1$ の元で生成されることと、$G$ が $\mathrm{SL}(n)$ と $\mathrm{Sp}(n)$ の型の群の積に同型であることは同値である。［条件付き：2・3 と、半単純群の構造を引用。(c) の最後の条件から捩れなしを出す向きは、本書『6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体』の主結果「特殊線形群の旗多様体の Chow 環」「斜交群の旗多様体の Chow 環」と Chow 環の枠組みの性質だけで閉じる］
   主結果 1 は、旗多様体の胞体分割に本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題を当てるだけで、Chow 環の枠組みの下で閉じる。主結果 2 は原論文が公式も文献番号も示さずに引く Chevalley の結果で、本書は証明しない。主結果 3 は、原論文の略証を四つの段に分け、各段の入力を名指す。そのうち一段は、第 5 章の、原論文自身が完全でないと認める超越的な議論に依る。主結果 4 は 2・3 のまとめである。

背景と動機

原論文の Théorème 3（本書『6-3 特別群の特徴づけ』）の十分性は、捩れのない連結アフィン群 $G$ の旗多様体に、積の次数が $1$ になる正因子の類があるという Lemme 8 に帰着された（印字 5-22）。原論文はまず、Lemme 8 の仮定と結論が $G$ を $\bar G=G/R$ に替えても変わらないこと（$G/B\cong\bar G/\bar B$）を述べ、次に単連結な半単純群 $\tilde G$ と、根の指数がすべて $1$ の同種写像 $\tilde G\to\bar G$ をとって、$\tilde G/\tilde B\cong\bar G/\bar B$ を示す（印字 5-22〜5-23）。原論文によれば、捩れなしの仮定は「$A(G/B)$ が次数 $1$ の元で生成される」という形でしか使わないので、こうして $G$ は単連結な半単純群で $A(G/B)$ が次数 $1$ で生成されるもの、すなわち捩れのない半単純群としてよい。そこで原論文が述べるのが Lemme 9 である（印字 5-23）。
Lemme 9 により Lemme 8 は $\mathrm{SL}(n)$ と $\mathrm{Sp}(n)$ の場合に帰着され、その二つは直接の計算で確かめられる（本書『6-1 特殊線形群と斜交群の旗多様体』）。原論文は Lemme 9 の証明の「原理」を示す（印字 5-25〜5-26）。旗多様体の Chow 環は Borel 部分群の軌道の閉包の類で生成され、Chevalley によればそれは基底で、積の係数は基礎体に依らない。したがって次数 $1$ の生成を問うには複素数体の上の群で調べれば足り、そこでは位相的な方法（原論文 §6、本書の第 5 章）が使える、という筋である。原論文は §5 の注意 1° で、この証明が超越的な性格のものであると断り、Chevalley の公式を使う代数的な検証は「原理的には」可能だが計算が「解きほぐせないほど複雑」に見えると述べる（印字 5-26）。
本書は章の順を原論文と入れ替え、原論文 §6 の位相的な結果を第 5 章に先に置いた（本書『0-1 本書の読み方』）。これで、本頁の Lemme 9 の証明が引くのはすべて前の頁になる。

定義と準備

Schubert 類は上の「この頁で示すこと」の設定で定めた。$\overline{X_w}$ は一般に特異なので、その類は既約な閉部分集合の類（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定義「非特異準射影空間の Chow 環」の (2)）として考える。$w_0$ を $\ell(w_0)=N$ となる元（ただ一つ）とすると $z(w_0)=1_{G/B}$、単位元 $e$ について $X_e$ は一点 $eB$ で $z(e)=[\mathrm{pt}]$ である。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典は、旗多様体の胞体については原論文が引く講演 Laz58、単連結な被覆については Che58ex、Chevalley の結果については原論文の紙面（公式も文献番号も無い）とその後に公刊された Che94、位相的な結果については本書の第 5 章が引く文献である。要点は本書『0-2 線形代数群と旗多様体』と本書『0-4 Chow 環の枠組み』にある。どの文献についても、該当箇所は本頁では確認していない。

1. Bruhat 分解：$G/B$ は $B$ 軌道 $X_w$（$w\in W$）の非交和で、$w\mapsto X_w$ は全単射、$X_w\cong k^{\ell(w)}$、各 $\overline{X_w}$ は $X_w$ と次元のより小さいいくつかの軌道の和である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「Bruhat 分解と旗多様体の胞体」の (1)）。
2. 半単純群の構造：単連結な半単純群 $G$ では、指標に付随直線束の類を対応させる写像は同型 $\hat T\cong A^1(G/B)$ である。連結半単純群 $G$ には、単連結な $\tilde G$ と、$\tilde T$ を $T$ の上に写し根の指数がすべて $1$ の中心的同種写像 $u\colon\tilde G\to G$ があり、$u$ は同型 $\tilde G/\tilde B\cong G/B$ を誘導する。単連結な半単純群は単連結な単純群の直積に同型で、単連結な単純群は連結な Dynkin 図式で決まり、$A_{n-1}$ 型は $\mathrm{SL}(n)$、$C_n$ 型は $\mathrm{Sp}(n)$ である（同じ定理の (3)〜(6)）。また、代数的閉体 $k$ の上の半単純群の Dynkin 図式 $\Delta$ について、複素数体の上にも図式が $\Delta$ の単連結な半単純群がある（Chevalley の存在定理。同じ定理の (6)、Che58。原論文は略証でこれを断りなく使う）。
3. 胞体分割による生成：純次元の $X\in V$ が、アフィン空間に同型な互いに交わらない局所閉部分集合の有限個の和で、各閉包が胞体の和であるなら、胞体の閉包の類は $A(X)$ を加法群として生成する（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」）。
4. Chevalley の結果：$z(w)$（$w\in W$）は $A(G/B)$ の $\mathbf Z$ 基底で、$z(w)z(w')=\sum_{w''}c^{w''}_{w,w'}z(w'')$ の係数は、自由アーベル群 $\hat T$ の中の根系の配置（$W$ をその自己同型の群とみる）、あるいは Dynkin 図式だけで表され、基礎体に依らない（原論文 印字 5-25〜5-26。原論文は公式を述べない）。
5. 第 5 章の位相的な結果：$k=\mathbf C$ のとき、連結アフィン群の代数群としての捩れ素数は、位相群としての分類空間 $BG$ の整係数コホモロジーの捩れ素数に一致する（本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』の主結果「代数的な捩れ素数と位相的な捩れ素数の一致」。同じ頁の主結果「特性準同型の位相的な解釈」を経る）。複素半単純群 $G$ について、$BG$ の整係数コホモロジーが捩れをもたないのは $G$ が $\mathrm{SL}(n)$ と $\mathrm{Sp}(n)$ の積のときに限る（同じ頁の主結果「分類空間が捩れのない半単純群」。原論文が未公刊とする Bott の結果）。
   事実 5 の二つは、原論文が証明なしに認めるサイクル類写像の性質と、原論文が未公刊とする Bott の結果に依る（本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』）。本頁はそれを引くだけで、証明したとは書かない。
   次の補題は、捩れなしという条件を、旗多様体の Chow 環の二つの性質に分ける。原論文の Lemme 8 の証明の「すなわち」（印字 5-23）と、Lemme 9 の略証の最後の段（印字 5-26）が使う言い換えである。

1. は半単純群の構造を使わず、特性準同型の定義と Chow 環が次数付き環であることだけで閉じる。(2) は半単純群の構造を使う。原論文は (2) を「単連結（すなわち $\hat B\to A^1(G/B)$ が全射）」と一言で書く（印字 5-26）。

主結果と証明

Schubert 類

原論文は、胞体の閉包の類が Chow 環を生成することを「すでに注意した」とし、前の講演の Proposition 7 と $A(k^n)=\mathbf Z$ から出ると書く（印字 5-25）。前の講演の Proposition 7（第 6 巻の主結果「層別による生成」）は閉部分の列がどれも非特異であることを求め、胞体の閉包は一般に特異なので、そのままは当たらない。本書は本書『0-4 Chow 環の枠組み』の命題「胞体分割による生成」で受ける。

生成系が得られたので、次は一次独立性と積の構造である。こちらは原論文も証明を与えず、Chevalley に帰属させる。

原論文は「Chevalley の公式」を述べないと明言し（印字 5-25）、係数が基礎体によらないという性質だけを「重要な性質」として挙げる。Lemme 9 の略証が使うのはこの性質だけである。一次独立性のほうは、特殊線形群と斜交群では前の頁の計算から数えられる。

これで、主結果 2 のうち特殊線形群と斜交群での基底性は、Chow 環の枠組みの下で本書の中で閉じた。一般の型の一次独立性と、係数が基礎体によらないことは、Chevalley の結果に頼るほかない。

Chevalley–Bott の補題

いよいよ Lemme 9 に進む。原論文の略証（印字 5-25〜5-26）は、Chevalley の結果で問題を複素数体の上の群に移し、そこで位相的な方法を使う。証明の完結は §6 の最後（印字 5-29）で、Bott の結果による。

段 2 が Chevalley の結果を、段 3 が第 5 章の二つの結果を使う。段 3 の後半の Bott の結果は、原論文の時点で未公刊で、原論文はそれを「知られている」とだけ書いて「(BOTT)」と帰属させる（印字 5-29）。

補題の結論を Dynkin 図式の言葉でまとめると、次のようになる。これは原論文の略証の後半の文をそのまま主張にしたものである。

(c) の (iii)⇒(i) の向きは、第 5 章の結果も Chevalley の結果も使わず、前の頁の計算と Chow 環の枠組みの性質だけで閉じる。残りの向きは、どれかの段で上の定理（捩れのない半単純群は特殊線形群と斜交群の積）か Chevalley の結果を通る。

これで、捩れのない半単純群は二つの型の積に限られ、その二つの型の旗多様体の計算は前の頁で済んでいる。次の頁は、この二つを合わせて Lemme 8 を一般の捩れのない連結アフィン群で示し、特別群の特徴づけ（Théorème 3）を完成させる。

例と反例

最初の例は、小さい群で Schubert 類を前の頁の旗の類で書き、主結果 1・2 を確かめる。二つ目は主結果 4 から捩れをもつ群を読み取る。最後の反例は、補題（半単純群の捩れなしの言い換え）の二条件のうち単連結性を外せないことを示す。

その後の発展

以下は後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書は文献を開いて確かめていない）。

• Chevalley の結果の公刊（Chevalley Che94、1994 年）：原論文が 1958 年に公式を述べずに引いた旗多様体の胞体分割と Schubert 類の積の公式は、Chevalley の未公刊の原稿として長く引かれ、1994 年に公刊されたとされる。本書はそれが原論文の引く時点の形と同じかを確かめていない。
• Schubert 計算（Bernstein–Gelfand–Gelfand BGG73、1973 年。Demazure Dem74、1974 年）：Schubert 類を Borel の表示（$\hat T$ の対称代数の商）の中で差分作用素によって表す方法が得られ、整数係数での扱いと、構造定数が基礎体によらないことの代数的な理解が進んだとされる。
• 捩れの代数的な計算（Kac Kac85、1985 年。Totaro Tot05a、Tot05b、2005 年）：簡約群の Chow 環と捩れの関係、各単純群の捩れ指数の計算がなされ、原論文が「解きほぐせないほど複雑」とした代数的な検証の方向で、どの型にどの素数の捩れが現れるかが決められたとされる。スピン群の捩れ指数は Tot05b の主題である。
• Bott の結果の公刊（Borel Bor61tor、1961 年）：分類空間の整係数コホモロジーが捩れをもたないコンパクト連結 Lie 群の決定は、この論文に所在があるとされる（本書『5-2 代数的な捩れと位相的な捩れ』）。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Grothendieck Gro58c の §5 と、§6 の最後の段である。