2-2 被覆の次数と余核の消滅
構造群が連結線形群のファイバー空間が、一点の近くで局所自明でなくても、次数 $m$ の有限エタール被覆の上で自明になるなら、全空間の Chow 環からその点のファイバーの Chow 環への制限の余核は $m$ 倍で消えることを示す。鍵は、連結線形群の元がファイバーの Chow 環に自明に作用することで、これは群の元と単位元をアフィン直線の開集合で結ぶことから出る。原論文の「不分岐な被覆」は平坦かつ有限の意味に読まないと主張が偽になることを、円錐曲線の族で確かめる。
前提知識: Chow環, 主束, エタール射, 有限射, Borel部分群, 円錐曲線, 代数的同値
この頁で示すこと
$k$ は代数的閉体で、標数は任意である。空間・$V$・Chow 環の記号は本書『2-1 局所自明な点でのファイバーへの制限』の「この頁で示すこと」の設定のとおりで、$f\colon E\to X$、$a\in X$、$F_a=f^{-1}(a)$、$i_a\colon F_a\to E$ もそこと同じである。構造群をもつファイバー空間と局所等自明性は下の定義（構造群をもつファイバー空間と局所等自明性（本書の読み））の意味で、「$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆」は本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（点で不分岐な被覆（本書の読み））の意味、すなわち、有限な射で $a$ のある近傍の上でエタールであり、$a$ の上にちょうど $m$ 点をもつもの（連結とは限らない）である。
本頁の主結果は次の六つである。
- アフィン空間の開集合で動く射の引き戻し（原論文 Lemme 3）：$S$ がアフィン空間の空でない開集合に同型で、$Y,W\in V$、$\varphi\colon S\times Y\to W$ が射なら、$\varphi_s=\varphi(s,\cdot)$ による $\varphi_s^*\colon A(W)\to A(Y)$ は $s\in S$ に依らない。［条件付き：本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「環の構造と射影公式」の (1) と定理「アフィン空間の開集合との積」を引用（第 6 巻『交叉理論の基本性質』の頁『1-1 データと公理と積の構造』の主結果「可換環の構造」、頁『4-1 積空間と層別による生成』の主結果「アフィン空間の開集合との積」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」。第 6 巻で Chow 環に当てた主張としては［条件付き］）。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形）（原論文 Lemme 2）：単位群でない連結線形群 $G$ の各元 $x$ について、$x$ と単位元 $e$ を含み、アフィン直線の空でない開集合に同型な $G$ の閉部分集合がある。［条件付き：本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」の (1)（各元はある Borel 部分群に含まれる）を引用。本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」（条件付き）による。Chow 環の枠組みにも外部入力にも依らない］原論文の形（単位群を除かない形）は反例「反例：単位群では元と単位元を結ぶ直線は無い」で破れる。
- 連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する（原論文 Lemme 1）：連結線形群 $G$ が $F\in V$ に作用するなら、各 $g\in G$ の作用 $g\colon F\to F$ について $g^*=g_*=\mathrm{id}_{A(F)}$ である。［条件付き：1・2 と、下の補題（同型の順像）（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「横断的な底変換」、第 6 巻の頁『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果「横断的な底変換公式」による）による。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 被覆の次数による余核の消滅（原論文 Proposition 4）：$E\to X$ を構造群が連結線形群 $G$、ファイバー $F$ の局所等自明なファイバー空間とし、$E,F,X\in V$ とする。$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆 $g\colon X'\to X$ で、$E$ が $g^{-1}(a)$ のある開近傍の上で（構造群 $G$ の束として）自明になるものがあれば、$\operatorname{coker}(i_a^*\colon A(E)\to A(F_a))$ は $m$ で消える。すなわち $m\,A(F_a)\subset i_a^*A(E)$ である。［条件付き：本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「完全性」の (1)、「横断的な底変換」、「環の構造と射影公式」（第 6 巻の頁『4-1 積空間と層別による生成』の主結果「開部分への制限の全射性」、頁『1-2 横断的な底変換と射影公式』の主結果「横断的な底変換公式」、頁『1-1 データと公理と積の構造』の主結果「可換環の構造」「外積と積の関係」、頁『5-1 Chow 環での公理の成立と最小理論の予想』の主結果「Chow 環は第 1・2 章の公理を満たす」）と、本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「不分岐な射とエタールな射の基本」の (1)(7)（下の引用する事実 5。エタールな射は非特異性を保つ）を引用。3 による。足した仮定：不分岐な被覆は $a$ の近傍の上の有限エタール被覆。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 次数の最大公約数による余核の消滅（原論文 Proposition 4 の系）：主結果 4 の条件を満たす次数 $m_1,m_2,\dots$ の最大公約数を $d$ とすると、余核は $d$ で消える。［条件付き：4 による。足した仮定：不分岐な被覆は $a$ の近傍の上の有限エタール被覆。Chow 環の枠組みの下では完結］
- 代数的同値の変種（原論文 Proposition 4 の後の注意）：構造群を連結な代数群（線形とは限らない）とし、Chow 環を代数的同値によるサイクル類の群 $B$ に替えても、$\operatorname{coker}(B(E)\to B(F_a))$ は $m$ で消える。［条件付き：本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「代数的同値の理論」（外部入力。前の講演 §4 の注意、第 6 巻の頁『3-2 線形同値の理論』の主結果「特異な空間と代数的同値への拡張」、Fulton Ful98 第 10 章）を引用。ほかの入力は 4 と同じ。足した仮定：不分岐な被覆は $a$ の近傍の上の有限エタール被覆］
主結果 2 は Chow 環を使わない。主結果 1・3〜5 は Chow 環の枠組みの性質と第 0 章の古典的な事実だけで閉じ、主結果 6 だけが外部入力（代数的同値の理論）を使う。本書の札の基準では六つとも［条件付き］である。原論文は Lemme 1 を Lemme 2・3 から導く道筋を書かず、本書はそれを補う。原論文の Lemme 2 は単位群を除かない形では成り立たないので、主結果 2 はそれを除いた訂正形とした。例と反例の節では、その反例と、主結果 4 の被覆の読みから平坦性または有限性を外すと主張が偽になることを示す。
背景と動機
前の頁の Proposition 3 は、束が点 $a$ の近くで積なら、ファイバーの Chow 環の類はすべて全空間から来ることを示した。しかし原論文が第 3 章以後で扱う主束は、多くの場合 Zariski 位相で局所自明ではなく、有限エタールな被覆の上で初めて自明になる（同じセミナーの第 1 講演 Ser58fib の言葉で局所等自明）。そのとき制限 $i_a^*$ は全射とは限らない。本頁の Proposition 4 は、その余核が、束を自明にする被覆の次数で消えることを言う。
証明の考え方は、被覆の上に持ち上げて積の上でファイバーの類を作り、順像で全空間へ押し戻すことである。被覆は $a$ の上に $m$ 点をもつので、ファイバーの上では元の類の $m$ 個の写しが足される。$m$ 個の写しがどれも元の類と同じになるのは、写しどうしが構造群 $G$ の元の作用で移り合い、連結線形群の元は Chow 環に自明に作用するからである（Lemme 1）。原論文はこの自明性を、群の元と単位元をアフィン直線の開集合で結ぶこと（Lemme 2）と、アフィン空間の開集合で動く射の引き戻しが一定であること（Lemme 3）に分けて示す。
この命題は第 4 章で二度使われる。一般線形群への埋め込みを通して特性部分環の指数が有限であることを示す所（本書『4-3 捩れのない群と特性部分環の指数』の主結果「特性部分環の指数の有限性」）と、捩れ指数の特徴づけの (v) から (i) を出す所（本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』の主結果「捩れ指数の五つの特徴づけ（訂正形）」）である。Lemme 1 は単独でも、本書『4-4 捩れ指数と横断的な切断』と本書『6-3 特別群の特徴づけ』で使われる。
定義と準備
原論文は構造群をもつファイバー空間と局所等自明性を同じセミナーの第 1 講演に委ね、本講演では定義しない。本書は、Proposition 4 の証明が使う形に合わせて、次のように読む。
$G$ を代数群、$F$ を $G$ が左から作用する代数的空間とする。$X$ の上の構造群 $G$、ファイバー $F$ のファイバー空間とは、射 $f\colon E\to X$、構造群 $G$ の主束 $\pi\colon P\to X$（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（主束と局所自明性））、$X$ の上の射 $\alpha\colon P\times F\to E$（$f\circ\alpha=\pi\circ\mathrm{pr}_1$）の組で、$\alpha(pg,y)=\alpha(p,gy)$（$p\in P$、$g\in G$、$y\in F$）を満たし、各 $p\in P$ について $\alpha(p,\cdot)\colon F\to f^{-1}(\pi(p))$ が全単射であるものをいう。
(1) 射 $h\colon W\to X$ と、$\pi\circ q=h$ を満たす射 $q\colon W\to P$ について、$\Phi_q\colon W\times F\to W\times_XE$、$(w,y)\mapsto(w,\alpha(q(w),y))$ が同型であるとき、$E$ は $W$ の上で（$q$ により、構造群 $G$ の束として）自明になるという。
(2) $X$ の各点 $x$ に、開近傍 $U$ と、$x$ で不分岐な被覆 $U'\to U$ と、$E$ を $U'$ の上で自明にする $q$ があるとき、$E$ は局所等自明であるという。
主束 $P$ に付随する束 $P\times^GF$（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（付随束と等質ベクトル束））は、商写像を $\alpha$ とすれば、この意味のファイバー空間の主な例である。$P$ の持ち上げ $q$ があるとき $P\times^GF$ が $W$ の上で $W\times F$ に同型になることは、同じ頁の定理（局所等自明性の基本事実）の (2) の内容に当たると本書は読む。本頁の主結果は、この事実を使わず、上の定義の形で述べて証明する。
証明の最後の段では、同型の順像を引き戻しで書き直す。これは横断的な底変換から直ちに出る。
$Y,Y'\in V$ と同型 $s\colon Y\to Y'$ について、$s_*=(s^{-1})^*\colon A(Y)\to A(Y')$ である。
同型は固有で、接写像はどの点でも同型である。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「横断的な底変換」を $f=g=s$ に当てる。$Y\times_{Y'}Y$ は対角で $Y$ に同型、二つの射影はどちらも恒等写像に写るので、$s^*\circ s_*=\mathrm{id}$ を得る。一方、引き戻しの関手性により $s^*\circ(s^{-1})^*=(s^{-1}\circ s)^*=\mathrm{id}$、$(s^{-1})^*\circ s^*=\mathrm{id}$ で、$s^*$ は全単射である。ゆえに $s_*=(s^*)^{-1}=(s^{-1})^*$ である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。Chow 環の性質は本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理として引き、第 6 巻での所在はそこの対応表にある。
- 環の構造（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「環の構造と射影公式」）：引き戻しは次数を保つ単位的な環準同型で、$(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$。$x\times y=\mathrm{pr}_1^*(x)\,\mathrm{pr}_2^*(y)$。互いに交わらない開かつ閉な部分の和の Chow 環は各部分の Chow 環の直和であり（同じ頁の命題（胞体分割による生成）の証明の段 3）、引き戻しと順像は成分ごとに働く（サイクルの定義から）。
- 完全性とアフィン空間（同じ頁の定理「完全性」の (1)、定理「アフィン空間の開集合との積」）：空でない開部分への制限は全射である。$S$ がアフィン空間の空でない開集合に同型なら、$A(Y)\to A(Y\times S)$、$y\mapsto y\times1_S$ は全射である。
- 横断的な底変換（同じ頁の定理「横断的な底変換」）：固有な $f\colon Z\to T$ と射 $g\colon Y\to T$ で $f\times g$ が対角に横断的なら、$Z\times_TY\in V$ で $g^*f_*=\psi_*\varphi^*$。$f$ がエタールなら、$f\times g$ は任意の $g$ について対角に横断的である（同じ定理の後の段）。
- 有限射とエタール射（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「不分岐な射とエタールな射の基本」の (1)(3) と命題「被覆の縮小と非交和」の (1)）：有限射とエタール射は底変換で保たれ、有限射は閉写像である。有限エタールな射の点の数は底の連結成分の上で一定である。有限な $g\colon X'\to X$ と $g^{-1}(a)$ を含む開集合 $W'$ について、$U=X-g(X'-W')$ は $a$ の開近傍で $g^{-1}(U)\subset W'$ である。
- エタールな射は非特異性を保つ：代数的空間の射 $g\colon X'\to X$ が $x'$ でエタールで、$X$ が $g(x')$ で非特異なら、$X'$ は $x'$ で非特異である。局所環の準同型 $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{X',x'}$ は平坦なので次元は下がらず、$\mathcal O_{X',x'}$ の極大イデアルは $\mathcal O_{X,x}$ の極大イデアルの生成元で生成されるからである（Zar47、SGA1。本書は該当箇所を確かめていない）。本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「不分岐な射とエタールな射の基本」の (7)（(4) の後半の逆向きの主張）で、第 0 章の古典的な事実である。
- 線形群の構造（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定理「線形群の構造」の (1)）：連結線形群の各元は、ある Borel 部分群に含まれる。Borel 部分群は連結な閉部分群である（本書『0-2 線形代数群と旗多様体』の定義（可解群・単冪群・Borel 部分群））。
事実 1〜3 は Chow 環の枠組みの性質で、事実 4〜6 は第 0 章の古典的な事実である。主結果 6 ではさらに本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「代数的同値の理論」を引用し、例と反例では本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「曲線と円錐曲線の族の基本」を引用する。
主結果と証明
原論文は Proposition 4 を先に述べ、その証明の途中で Lemme 1 を必要とし、Lemme 1 を Lemme 2・3 に帰着させる。本書は依存の順に、Lemme 3、Lemme 2、Lemme 1、Proposition 4 の順で示す。
アフィン空間の開集合で動く射
$S$ をアフィン空間 $k^n$ の空でない開集合に同型な空間、$Y,W\in V$、$\varphi\colon S\times Y\to W$ を射とし、$s\in S$ について $\varphi_s\colon Y\to W$ を $\varphi_s(y)=\varphi(s,y)$ で定める。このとき $\varphi_s^*\colon A(W)\to A(Y)$ は $s$ に依らない。
段 1（点での切り口）．$S$ は非特異かつ準射影的なので $S\times Y\in V$ である。$\iota_s\colon Y\to S\times Y$ を $\iota_s(y)=(s,y)$ とすると $\varphi_s=\varphi\circ\iota_s$ で、引用する事実 1 により $\varphi_s^*=\iota_s^*\circ\varphi^*$ である。したがって $\iota_s^*\colon A(S\times Y)\to A(Y)$ が $s$ に依らないことを示せばよい。
段 2（引き戻しの全射性）．$p\colon S\times Y\to Y$ を射影とする。引用する事実 2 により $y\mapsto y\times1_S$ は全射で、$y\times1_S=p^*(y)\cdot\mathrm{pr}_S^*(1_S)=p^*(y)$ なので、$A(S\times Y)$ の元はどれも $p^*(y)$ の形である。
段 3（切り口は一定）．$p\circ\iota_s=\mathrm{id}_Y$ なので $\iota_s^*(p^*y)=(p\circ\iota_s)^*(y)=y$ である。ゆえに $\iota_s^*$ は $p^*(y)\mapsto y$ で決まり、$s$ に依らない。
$S$ が一点なら主張は自明である。原論文は $S$、$V$、$W$ を「多様体」とし、$V$ と $W$ に非特異かつ準射影的であることを求める（印字 5-06）。本書は $V$ を空間の全体の記号に使うので、原論文の $V$ を $Y$ と書いた。
元と単位元を結ぶ直線
次の補題は Chow 環を使わず、群の構造だけから出る。可解群の等質空間がアフィン空間の開集合であること（本書『1-2 可解群の等質空間』）が、ここで初めて使われる。
$G$ を単位群でない連結線形群、$x\in G$ とする。このとき $x$ と単位元 $e$ を含む $G$ の閉部分集合 $C$ で、アフィン直線 $k$ の空でない開集合に同型なものがある。
段 1（Borel 部分群に入れる）．$x\ne e$ なら $y=x$、$x=e$ なら $e$ と異なる $G$ の元 $y$ をとる（$G$ は単位群でない）。引用する事実 6 により $y$ はある Borel 部分群 $B$ に含まれ、$e\in B$ である。$B$ は連結で、2 点 $e,y$ を含むので $\dim B\ge1$ である。
段 2（アフィン空間の開集合）．$B$ は連結可解アフィン群なので、本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」を $R=B$、$R'=\{e\}$ に当てると、多様体の同型 $\psi\colon B\to U$ で $U$ がアフィン空間 $k^{\dim B}$（$\dim B\ge1$）の開集合であるものがある。
段 3（直線）．$x\ne e$ なら $\psi(x)\ne\psi(e)$ を通る $k^{\dim B}$ の直線を、$x=e$ なら $\psi(e)$ を通る任意の直線を $\ell$ とする。$\ell\cap U$ は $\ell\cong k$ の開集合で、$\psi(x)$、$\psi(e)$ を含むので空でない。$C=\psi^{-1}(\ell\cap U)$ とおくと、$\ell\cap U$ は $U$ の閉部分なので $C$ は $B$ の閉部分で、$B$ は $G$ で閉なので $C$ は $G$ で閉である。$\psi$ は $C$ を $\ell\cap U$ の上へ同型に写す。
証明が使ったのは、各元が Borel 部分群に入ることと、Borel 部分群がアフィン空間の開集合として実現されることだけで、交叉理論は現れない。連結性と線形性はどちらも段 1 で使われる。線形でない群、たとえばアーベル多様体では、元と単位元を有理曲線で結べるとは限らない。代数的同値の変種で群の線形性が要らなくなるのは、この補題を使わずに済むからである（下の主結果 6）。
- 原論文の Lemme 2 の証明（印字 5-06）は、可解群がアフィン空間の開集合に同型であることを「Proposition 2 の系 1」から引く。Proposition 2 の系は一つだけで番号が無いので、その系（本書『1-2 可解群の等質空間』の主結果「可解群の等質空間はアフィン空間とトーラスの積」）と読む。同じ引き方は印字 5-15 にもある。
- 同じ証明は「二点を結ぶアフィン直線」との交わりをとるが、$x=e$ のときは二点が一致して直線が決まらない。$e$ を通る任意の直線をとればよい（上の証明の段 3）。原論文は Borel 部分群に入ることを文献 [5]（Gro57st）で引く。
- 原論文の Lemme 2 は $G$ が単位群でないことを書かない。$G=\{e\}$ なら主張はそのままでは成り立たず（下の反例「反例：単位群では元と単位元を結ぶ直線は無い」）、近くに正しい形を与える文も無いので、本書はこれを誤植でなく主張の偽として扱い、主張に「単位群でない」を入れた訂正形を主結果とした（本書『0-5 記号と約束』の「主張の偽と証明の段の不備」）。この場合、Lemme 1 は自明なので（作用は恒等写像だけ）、原論文の用途には影響しない。
群の作用の自明性
二つの補題を組み合わせる。原論文は「二つの補題の結合から出る」とだけ書く（印字 5-06）。
連結線形群 $G$ が $F\in V$ に作用する（作用 $G\times F\to F$ が射である）とする。このとき各 $g\in G$ について、$g$ の作用 $g\colon F\to F$ は $g^*=g_*=\mathrm{id}_{A(F)}$ を満たす。
段 1（単位群の場合）．$G=\{e\}$ なら作用は恒等写像だけで、示すことは無い。以下 $G\ne\{e\}$ とし、$g\in G$ を固定する。
段 2（直線の上の族）．上の定理（連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形））により、$g$ と $e$ を含む閉部分集合 $C\subset G$ で、アフィン直線の空でない開集合に同型なものがある。作用を $C\times F$ に制限した射を $\varphi\colon C\times F\to F$ とする。$\varphi_c$ は $c\in C$ の作用で、$\varphi_e=\mathrm{id}_F$、$\varphi_g=g$ である。
段 3（引き戻し）．上の定理（アフィン空間の開集合で動く射の引き戻し）を $S=C$、$Y=W=F$ に当てると、$g^*=\varphi_g^*=\varphi_e^*=\mathrm{id}$ である。
段 4（順像）．$g$ は逆 $g^{-1}$ をもつ同型なので、上の補題（同型の順像）により $g_*=(g^{-1})^*$ で、段 3 を $g^{-1}$ に当てて $g_*=\mathrm{id}$ を得る。
これで、ファイバーの上の二つの写しを群の元が結ぶなら、その二つが Chow 環の上で同じ類を与えることが保証された。群の連結性は外せない。たとえば位数 $2$ の群（線形だが連結でない）が 2 点からなる空間 $F=\{p_1,p_2\}$ に入れ替えとして作用すれば、$A(F)=\mathbf Z[p_1]\oplus\mathbf Z[p_2]$ の上で二つの基底を入れ替え、恒等写像でない。
原論文は Lemme 1 が Lemme 2 と Lemme 3 の結合から出るとだけ述べ、組み合わせ方を書かない。上の段 2〜3 のとおり、元と単位元を結ぶ曲線 $C$ を Lemme 3 の $S$ にとり、作用を $C\times F$ に制限すれば引き戻しが一定になる。引き戻しと順像の両方で自明であることは、原論文の Proposition 4 の証明が順像 $(s_{1,i})_*$ の形で使うので、本書は段 4 で順像まで確かめた。
被覆の次数による余核の消滅
準備が整ったので、本頁の中心の命題を示す。証明は四段で、近傍への縮小、被覆の上での持ち上げと底変換、ファイバーの上での計算、群の作用による同一視である。
$(f\colon E\to X,\ \pi\colon P\to X,\ \alpha)$ を構造群が連結線形群 $G$、ファイバー $F$ の局所等自明なファイバー空間とし、$E,F,X\in V$ とする。$a\in X$、$m$ を正の整数とし、$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆 $g\colon X'\to X$ と、$g^{-1}(a)$ を含む $X'$ の開集合 $W$ と、$\pi\circ q=g|_W$ を満たす射 $q\colon W\to P$ で、$E$ が $W$ の上で $q$ により自明になるものがあるとする。このとき $m\,A(F_a)\subset i_a^*A(E)$ である。
段 1（近傍への縮小）．$g$ は $a$ のある開近傍 $U_0$ の上でエタールである。$W'=W\cap g^{-1}(U_0)$ は $g^{-1}(a)$ を含む開集合なので、引用する事実 4 により $U=X-g(X'-W')$ は $a$ の開近傍で $g^{-1}(U)\subset W'$ である。$g$ は有限なので、$a$ のアフィンな開近傍 $U_1$ で $g^{-1}(U_1)$ がアフィンなものがあり（本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定義（不分岐な射とエタールな射）の有限性）、$U_1$ の座標環の元 $c$ で $a\in D(c)\subset U\cap U_1$ となるものをとれば、$X_0=D(c)$ はアフィンで、$X'_0=g^{-1}(X_0)=D(g^*c)$ もアフィンである。$X_0\in V$ で、$g_0=g|_{X'_0}\colon X'_0\to X_0$ は有限（底変換）かつエタール（$X'_0\subset W'$）である。引用する事実 5 により $X'_0$ は非特異で、アフィンなので準射影的、すなわち $X'_0\in V$ である。$E_0=f^{-1}(X_0)$ は $E$ の開部分で $E_0\in V$、引用する事実 2 により $A(E)\to A(E_0)$ は全射で、$i_a$ は $E_0$ を経由するので、$i_a^*A(E)=i_a^*A(E_0)$ である。以下 $X$、$E$ を $X_0$、$E_0$ に替える。
段 2（持ち上げと底変換）．$E'=X'_0\times_{X}E$ とし、$h\colon E'\to E$ を第 2 射影とする。$h$ は有限エタールな $g_0$ の底変換なので、引用する事実 4 により有限エタールで、とくに固有である。仮定により $\Phi_q\colon X'_0\times F\to E'$ は同型なので、$E'\in V$ で、$h\circ\Phi_q(x',y)=\alpha(q(x'),y)$ である。以下 $E'$ を $X'_0\times F$ と同一視する。$g^{-1}(a)=\{a'_1,\dots,a'_m\}$ とすると、$h^{-1}(F_a)=\bigsqcup_{k=1}^m\{a'_k\}\times F$ で、$h_k\colon F\to F_a$、$h_k(y)=\alpha(q(a'_k),y)$ はファイバーの同型である（$\Phi_q$ の $a'_k$ の上のファイバーへの制限と、$E'$ の $a'_k$ の上のファイバーから $F_a$ への同型の合成）。引用する事実 3 により $h\times i_a$ は対角に横断的で、$j\colon h^{-1}(F_a)\to E'$ を包含、$\bar h\colon h^{-1}(F_a)\to F_a$ を $h$ の制限とすると
$$i_a^*\circ h_*=\bar h_*\circ j^*$$
である。
段 3（ファイバーの上での計算）．$\xi\in A(F)$ について $z'=\mathrm{pr}_2^*(\xi)=1_{X'_0}\times\xi\in A(E')$ とおく。第 $k$ 成分の包含 $F\cong\{a'_k\}\times F\to X'_0\times F$ と $\mathrm{pr}_2$ の合成は恒等写像なので、$j^*z'$ の第 $k$ 成分は $\xi$ である。引用する事実 1（非交和の上で順像は成分ごと）により
$$i_a^*\bigl(h_*z'\bigr)=\bar h_*(j^*z')=\sum_{k=1}^m(h_k)_*(\xi)$$
である。
段 4（群の作用による同一視）．$q(a'_k)$ と $q(a'_1)$ はどちらも主束 $P$ の $a$ の上のファイバーの点なので、$G$ はそこに自由かつ推移的に作用し、$q(a'_k)=q(a'_1)\,g_k$ となる $g_k\in G$ がある。すると $h_k(y)=\alpha(q(a'_1)g_k,y)=\alpha(q(a'_1),g_ky)=h_1(g_ky)$、すなわち $h_k=h_1\circ g_k$ である。上の定理（連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する）により $(g_k)_*=\mathrm{id}$ なので $(h_k)_*=(h_1)_*\circ(g_k)_*=(h_1)_*$ で、段 3 から $i_a^*(h_*z')=m\,(h_1)_*(\xi)$ を得る。$h_1$ は同型なので $(h_1)_*\colon A(F)\to A(F_a)$ は全単射（上の補題（同型の順像））で、$A(F_a)$ の任意の元は $(h_1)_*\xi$ の形である。ゆえに $m\,A(F_a)\subset i_a^*A(E)$ である。
段 2 で被覆の平坦性（エタール性）が、横断的な底変換を使うために要る。段 1 と段 2 で有限性が、近傍を縮めることと順像 $h_*$ を定義することに要る。局所等自明性は仮定の被覆の存在の形でしか使っていない。どちらかを外すと主張が偽になることは、例と反例の節で見る。
原論文の Proposition 4（印字 5-05）は「$a$ で不分岐な、次数 $m$ の被覆」を定義せずに使う。同じセミナーの第 1 講演に依るとみられるが、本書はその講演を開いておらず、確かめていない。本書は、有限な射で $a$ のある近傍の上でエタール（平坦かつ不分岐）であり、$a$ の上にちょうど $m$ 点をもつもの、と読み、これを本書が足した仮定とする。この読みの有限性と平坦性はどちらも主張の正しさに効く（下の反例「反例：被覆の平坦性を外すと余核の消滅は破れる」と反例「反例：被覆の有限性を外すと余核の消滅は破れる」）。被覆が連結であることは求めない。原論文の証明の「$a$ の適当な開近傍に替えてよい」は上の段 1 で、「$E'$ を $X'\times F$ と同一視する」は定義の $\Phi_q$ である。原論文の「引き戻しが自明」は構造群 $G$ の束として自明という意味に読んだ。ファイバー空間として $X'\times F$ と同型であるだけでは、段 4 の $h_k$ どうしが $G$ の元で結ばれるとは限らない。
原論文の Proposition 4 の主張（印字 5-05）は、被覆の次数を「正の整数 $n$」「次数 $n$」と打ちながら、結論を「$m$ で消える」と書く。系が「$m$ について考えた条件」と言い、証明が $a$ の上の点を $a'_i$（$1\le i\le m$）と書いて最後に $m\xi$ を得るので、次数は $m$ と読む。
系
最大公約数への移行は整数の算術だけで済む。
上の定理（被覆の次数による余核の消滅）の設定で、その仮定を満たす被覆の次数 $m$ の全体の最大公約数を $d$ とする（そのような次数が少なくとも一つあるとする）。このとき $d\,A(F_a)\subset i_a^*A(E)$ である。
正の整数の集合の最大公約数は、その有限部分集合 $\{m_1,\dots,m_r\}$ の最大公約数として実現され、Bezout の等式により $d=\sum_ic_im_i$（$c_i\in\mathbf Z$）と書ける。上の定理により各 $m_iA(F_a)\subset i_a^*A(E)$ で、$i_a^*A(E)$ は部分群なので、$y\in A(F_a)$ について $dy=\sum_ic_i(m_iy)\in i_a^*A(E)$ である。
原論文は系を「直ちに導かれる」とだけ書く。次数が互いに素な二つの被覆があれば $d=1$ で、$i_a^*$ は全射になる。これは、局所自明でなくても、互いに素な次数の被覆で自明になる束では、ファイバーの Chow 環に障害が無いことを言う。
代数的同値の変種
原論文は Proposition 4 の後に、「まったく同様に証明される」変種として、有理同値を代数的同値に替え、代わりに群は連結であることだけを仮定するものを挙げる（印字 5-07）。
$B(Y)$ を $Y\in V$ のサイクルを代数的同値で割った群とする。上の定理（被覆の次数による余核の消滅）で、構造群 $G$ を連結な代数群（線形とは限らない）に替え、ほかの仮定は同じとする。このとき $m\,B(F_a)\subset i_a^*B(E)$ である。
上の定理の証明の段 1〜4 を $B$ で繰り返す。本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「代数的同値の理論」の (1) により、$B$ は引き戻しの関手性、外積、開部分への制限の全射性、横断的な底変換を $A$ と同じ形でもち、非交和の上で成分ごとに働く。したがって段 1〜3 と上の補題（同型の順像）はそのまま成り立つ。段 4 で使った上の定理（連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する）の代わりに、同じ定理の (2) を作用 $\varphi\colon G\times F\to F$ に当てる。$\varphi_g^*$ は $g$ に依らず $\varphi_e^*=\mathrm{id}$ なので $g^*=\mathrm{id}$、$g_*=(g^{-1})^*=\mathrm{id}$ が $B(F)$ の上で成り立つ。残りは同じである。
群の線形性は、上の定理（連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形））で元と単位元を有理曲線で結ぶためにだけ使っていた。代数的同値では、連結な群そのものが元と単位元を結ぶ族の助変数になるので、この一段が要らない。その代わり、代数的同値の理論が Chow 環の枠組みと同じ性質をもつことを引用に頼る。
例と反例
最初に、主結果 2 から単位群を除く仮定が外せないことを確かめる。
上の定理（連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形））から、$G$ が単位群でないという仮定を外す。$G=\{e\}$ は連結な線形群（$\mathrm{GL}(1)$ の閉部分群 $\{1\}$）で、$x=e$ とする。$G$ の閉部分集合は $\emptyset$ と $\{e\}$ だけで、$x$ と $e$ を含むものは $\{e\}$ だけである。一方、アフィン直線 $k$ の空でない開集合は有限個の点を除いたもので、$k$ は代数的閉体なので無限集合である。したがって一点 $\{e\}$ はそのどれにも同型でなく、結論が破れる。証明で崩れるのは段 1 で、$e$ と異なる元 $y$ がとれない。
次に、一つの円錐曲線の族で、主結果 4 がちょうど最良であること（余核が $\mathbf Z/2$）と、被覆の読みの二つの要素がどちらも外せないことを見る。族の設定と、ファイバーへの制限の次数がすべて偶数であることは次の例にまとめ、二つの反例はそれを引く。
標数が $2$ でないとする。
(a) 族．$X=\mathbf G_m^2$（座標 $s,t$）、$E=\{((s,t),(x:y:z)):x^2+sy^2+tz^2=0\}\subset X\times\mathbf P^2$、$f$ を射影とする。偏微分 $(2x,2sy,2tz)$ は $s,t\ne0$ で同時に $0$ にならないので、$E$ は非特異、各ファイバーは非特異な円錐曲線で、$f$ の接写像はどの点でも全射である。$E$ は $X\times\mathbf P^2$ の閉部分なので準射影的で、$f$ は固有である。$X,E\in V$ である。
(b) 群とファイバー．$q_0(a,b,c)=ab+c^2$、$C_0=\{q_0=0\}\subset\mathbf P^2$ とする。$\nu(\alpha:\beta)=(\alpha^2:-\beta^2:\alpha\beta)$ は同型 $\mathbf P^1\cong C_0$ である。$G$ を平面の射影変換のうち $C_0$ を自分自身に写すものの群とする。既約な $C_0$ で消える二次形式は $q_0$ の定数倍なので、$[B]\in G$ は ${}^tBQ_0B\in k^*Q_0$（$Q_0$ は $q_0$ の行列）と同値で、$G$ は $\mathrm{PGL}(3)$ の閉部分群、すなわち線形群である。$M\in\mathrm{GL}(2)$ について $\nu\circ M=S(M)\circ\nu$ となる $S(M)\in\mathrm{GL}(3)$（二次の対称冪）があり、$[S(M)]\in G$ である。逆に $[B]\in G$ は $C_0\cong\mathbf P^1$ の自己同型を引き起こし、それはある $[M]\in\mathrm{PGL}(2)$ で与えられる。$C_0$ は、どの 3 点も同一直線上にない 4 点を含み（直線は $C_0$ と高々 2 点で交わる）、平面の射影変換はそのような 4 点の像で決まるので、$[B]=[S(M)]$ である。ゆえに $G$ は連結な $\mathrm{PGL}(2)$ の像で、連結な線形群である。$G$ は $C_0$ に作用し、$C_0\in V$ である。
(c) 主束．$Q_{s,t}=\mathrm{diag}(1,s,t)$ とし、$P=\{((s,t),[A])\in X\times\mathrm{PGL}(3):{}^tAQ_{s,t}A\in k^*Q_0\}$（$A$ が $C_0$ を $E$ の $(s,t)$ の上のファイバーへ写す条件）、$\pi$ を第 1 射影、$G$ の右作用を $[A]\cdot[B]=[AB]$ とする。$k$ は代数的閉体で標数が $2$ でないので、非退化な三変数の二次形式はどれも同値で、$\pi$ は全射である。$(p,[B])\mapsto(p,p[B])$ は $P\times G\to P\times_XP$ の同型で、逆は $((x,[A]),(x,[A']))\mapsto((x,[A]),[A^{-1}A'])$ である。$X'=\mathbf G_m^2$（座標 $u,t$）、$g(u,t)=(-u^2,t)$ とすると、$k[X']=k[X]\oplus u\,k[X]$ で微分 $2u$ は $0$ にならないので、$g$ は有限エタールで各点の上に 2 点をもつ。$A_0(u,t)$ を $(a,b,c)\mapsto\bigl((ta+b)/2,\ (b-ta)/(2u),\ c\bigr)$ の行列とすると、$x-uy=ta$、$x+uy=b$ なので $q_{s,t}(A_0w)=t\,q_0(w)$（$s=-u^2$）で、$\sigma(u,t)=(g(u,t),[A_0(u,t)])$ は $\pi\circ\sigma=g$ を満たす。さらに $A_0(-u,t)=A_0(u,t)B_1(t)$、$B_1(t)(a,b,c)=(b/t,\ ta,\ c)$ で、$q_0(B_1w)=q_0(w)$ なので $[B_1(t)]\in G$ である。$P$ から $Y$ への $G$ 不変な射 $\varphi$ について、$\varphi\circ\sigma$ は $u\mapsto-u$ で不変である。$k[X']$ の $u\mapsto-u$ での不変部分は $k[X]$ で、同じことが $k[X]$ の元 $c$ による局所化 $k[X'][1/g^*c]$ でも成り立ち、有限な $g$ は閉写像なので、$Y$ のアフィン開集合ごとに議論して $\varphi\circ\sigma=\psi\circ g$ となる射 $\psi\colon X\to Y$ がただ一つある。$P$ の点はどれも $\sigma(x')[B]$ の形なので $\psi\circ\pi=\varphi$ である。ゆえに $X=P/G$ で、$\pi$ は構造群 $G$ の主束である。
(d) ファイバー空間の構造．$\alpha\colon P\times C_0\to E$、$\alpha(((s,t),[A]),w)=((s,t),Aw)$ は $\alpha(p[B],w)=\alpha(p,Bw)$ を満たし、各 $p$ で $\alpha(p,\cdot)$ はファイバーへの同型である。$\Phi_\sigma\colon X'\times C_0\to X'\times_XE$、$((u,t),w)\mapsto((u,t),\alpha(\sigma(u,t),w))$ は、$A_0^{-1}$ で逆が書けるので同型である。$g$ は $X$ のどの点でも不分岐な次数 $2$ の被覆なので、$E$ は構造群 $G$、ファイバー $C_0$ の局所等自明なファイバー空間で、上の定理（被覆の次数による余核の消滅）が $m=2$ で使える。どの $a\in X$ でも $2A(F_a)\subset i_a^*A(E)$ である。
(e) 次数はすべて偶数．$a\in X$ と $z\in A^1(E)$ について $\chi(i_a^*z)$ は偶数である。実際、本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「因子と Chern 類」の (1)(2) により $z=c_1(L)$ となる直線束 $L$ があり、$i_a^*z=c_1(L|_{F_a})$ で、$\chi(i_a^*z)$ は $L|_{F_a}$ の次数である。$f$ は固有で、ファイバーの次元が一定な非特異な空間の間の射なので平坦であり（Har77 第 III 章 §10。本書は該当箇所を確かめていない）、本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「曲線と円錐曲線の族の基本」の (3) により、この次数は生成点の上のファイバー $C_\eta$（$K=k(s,t)$ の上の円錐曲線 $x^2+sy^2+tz^2=0$）での次数に等しい。$C_\eta$ は $K$ 有理点をもたない。仮にあれば、分母を払って $x,y,z\in k[s,t]$ を公約数なしにとれる。$t=0$ を代入した $x_0,y_0\in k[s]$ は $x_0^2=-sy_0^2$ を満たすが、$s$ についての位数は左辺が偶数、右辺は $y_0\ne0$ なら奇数なので、$x_0=y_0=0$ である。ゆえに $t$ は $x,y$ を割り、$tz^2=-x^2-sy^2$ は $t^2$ で割り切れて $t$ は $z$ を割り、公約数なしに反する。次数が奇数 $2e+1$ なら、標準束（次数 $-2$）の $e$ 乗で捩って次数 $1$ の直線束を得て、同じ定理の (2) により $C_\eta$ は $K$ 有理点をもち、矛盾する。
(f) 余核はちょうど $\mathbf Z/2$．$F_a\cong\mathbf P^1$ なので $A(F_a)=\mathbf Z\cdot1\oplus\mathbf Z\cdot[\mathrm{pt}]$ で、$\chi$ は $A^1(F_a)\cong\mathbf Z$ を与える（本書『0-4 Chow 環の枠組み』の定理「射影束公式と旗束の環」の (1) を一点の上の $k^2$ に当てる）。$i_a^*(1_E)=1$ で、$\mathbf P^2$ の $\mathcal O(1)$ を引き戻した直線束の $c_1$ は、$F_a$ に接しない直線の定める切断が $F_a$ と相異なる 2 点で横断的に交わるので、$2[\mathrm{pt}]$ に制限される。(e) と合わせて $i_a^*A(E)=\mathbf Z\cdot1\oplus2\mathbf Z\cdot[\mathrm{pt}]$、余核は $\mathbf Z/2$ である。上の定理の $m=2$ はこの族で最良である。本書『2-1 局所自明な点でのファイバーへの制限』の主結果「局所自明な点でのファイバーへの制限の全射性」により、$E$ は $X$ のどの点でも局所自明でない。
この族は、局所等自明だがどの点でも局所自明でない束の、最も小さい種類の例である。原論文の Proposition 4 の被覆から平坦性または有限性を外した読みを、この族で試す。
上の定理（被覆の次数による余核の消滅）の被覆の読みから、$a$ の近くでの平坦性を外す。すなわち「$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆」を、有限な射で $a$ のある近傍の上で不分岐（平坦とは限らない）であり、$a$ の上にちょうど $m$ 点をもつもの、と読み替える。上の例の $E\to X$、$a\in X$、二重被覆 $g\colon X'\to X$、切断 $\sigma$ をとり、$X''=X'\sqcup\{a\}\to X$ を、$X'$ の上では $g$、一点 $\{a\}$ の上では包含とする。これは有限で（有限射の非交和と閉埋め込み）、どの点でも不分岐（エタールな射と閉埋め込みは不分岐。本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「不分岐な射とエタールな射の基本」の (1)）で、$a$ の上に 3 点をもつ。$\{a\}$ の点では平坦でない。$\mathfrak m_a\otimes k\to\mathcal O_{X,a}\otimes k$ は $\mathfrak m_a/\mathfrak m_a^2\ne0$ を $0$ に写し、単射でないからである。$E$ は $X'$ の上で $\sigma$ により、$\{a\}$ の上で $P$ の $a$ の上の任意の点 $p$ により自明になる（$\alpha(p,\cdot)\colon C_0\to F_a$ は同型）。読み替えた主張が正しければ $3A(F_a)\subset i_a^*A(E)$ で、$\chi(i_a^*z)=3$ となる $z$ があることになり、上の例の (e) に反する。本書の読みでの証明で崩れるのは段 2 で、成分 $\{a\}$ の上では $h$ は包含 $F_a\to E$ になり、$F_a\times F_a$ の像の接空間と対角の接空間は $T(E\times E)$ を張らないので、横断的な底変換が使えない。
上の定理（被覆の次数による余核の消滅）の被覆の読みから、有限性を外す。すなわち「$a$ で不分岐な次数 $m$ の被覆」を、$a$ のある近傍の上でエタール（有限とは限らない）であり、$a$ の上にちょうど $m$ 点をもつ射、と読み替える。上の例の二重被覆で $g^{-1}(a)=\{a'_1,a'_2\}$ とし、$X'''=X'-\{a'_2\}\to X$ を $g$ の制限とする。これはどの点でもエタールで、$a$ の上に 1 点しかもたず、ほかの点の上には 2 点をもつので有限でない（連結な $X$ の上の有限エタールな射は点の数が一定：本書『0-3 ファイバー空間と有限エタール被覆』の定理「不分岐な射とエタールな射の基本」の (3)）。$E$ は $X'''$ の上で $\sigma$ の制限により自明になる。読み替えた主張が正しければ次数 $1$ で $i_a^*$ が全射になり、$\chi(i_a^*z)=1$ となる $z$ があることになって、上の例の (e) に反する。本書の読みでの証明で崩れるのは段 1 と段 2 で、$X'''\times_XE\to E$ は固有でないので順像 $h_*$ が定義されず、近傍を縮めて被覆全体の上で自明にする段も有限射の閉性に依っている。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である。本書は文献の該当箇所を確かめていない。
- 捩れ指数と分解体の次数（Totaro Tot05a、2005 年）：原論文の第 4 章は、この頁の命題を旗の束に当て、捩れ指数を主束を自明にする被覆の次数の最大公約数として特徴づける（本書『4-5 捩れ指数の特徴づけ』）。後代にはこれが、一般のトーサーを分解する有限次拡大の次数の最大公約数という形で述べられ、Totaro は例外群を含む多くの群の捩れ指数を計算した。
- 互いに素な次数の拡大で分解するトーサー（Serre Ser94、1995 年）：本頁の系は、互いに素な次数の被覆で自明になる束ではファイバーの Chow 環に障害が無いことを言う。そのような束（トーサー）がそもそも自明かという問いは、Serre の報告で問題として挙げられている。本書『6-4 局所自明性の予想』で再び触れる。
- 代数的同値（Fulton Ful98 第 10 章、初版 1984 年）：サイクルの代数的同値と、連結な群の作用が代数的同値の類に自明に働くことは、交叉理論の標準的な部分として扱われる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Grothendieck Gro58c の §2 の中ほどである。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（構造群をもつファイバー空間と局所等自明性（本書の読み））、注意（原論文の被覆の定義と本書の読み） | Proposition 4 の設定（第 1 講演への参照） | 5-05 |
| 補題（同型の順像） | Proposition 4 の証明の $(s_{1,i})_*$ | 5-06 |
| 定理（アフィン空間の開集合で動く射の引き戻し） | Lemme 3 とその証明 | 5-06〜5-07 |
| 定理（連結線形群の元と単位元を結ぶ直線（訂正形））、注意（印字の読み（Lemme 2 とその証明））、反例（単位群では元と単位元を結ぶ直線は無い） | Lemme 2 とその証明 | 5-06 |
| 定理（連結線形群の作用は Chow 環に自明に作用する）、注意（原論文の Lemme 1 の導き方） | Lemme 1 | 5-06 |
| 定理（被覆の次数による余核の消滅）、注意（印字の読み（Proposition 4）） | Proposition 4 とその証明 | 5-05〜5-06 |
| 定理（次数の最大公約数による余核の消滅） | Proposition 4 の系 | 5-05 |
| 定理（代数的同値の変種） | Proposition 4 の後の注意 | 5-07 |
| 例（$\mathrm{PGL}(2)$ の束としての円錐曲線の族）、反例（被覆の平坦性を外すと余核の消滅は破れる）、反例（被覆の有限性を外すと余核の消滅は破れる） | （原論文には無い。被覆の読みを確かめるための例） | — |
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
