3-3 ℓ 進類から整係数類へ

段 1（遷移との可換性）．$\exp(2\pi i/\ell^{\nu+1})^\ell=\exp(2\pi i/\ell^\nu)$ なので、$\varphi_{\nu+1}(1)^{\otimes i}$ の成分ごとの $\ell$ 乗は $\varphi_\nu(1)^{\otimes i}$ である。両辺は $\mathbf Z$ 加群の準同型で $1$ の像が一致するので可換である。
段 2（層の同型）．$X^{\mathrm{an}}$ の上の 1 の $\ell^\nu$ 乗根の層は $\mu_{\ell^\nu}(\mathbf C)$ に値をとる局所定数関数の層で、$G$ は $\mathbf C$ 上の自己同型で作用するので定数を動かさない。よって $\varphi_\nu^{\otimes i}$ は $(X^{\mathrm{an}},G)$ 上の層の同型で、段 1 により射影系の同型である。

段 1（列）．定数層の完全列 $0\to\mathbf Z\xrightarrow{\ell^\nu}\mathbf Z\to\mathbf Z/\ell^\nu\to0$ は $(Y,G)$ 上の層の完全列で、導来関手の長完全列 $H^j\xrightarrow{\ell^\nu}H^j\to H^j(Y,G;\mathbf Z/\ell^\nu)\to H^{j+1}\xrightarrow{\ell^\nu}H^{j+1}$ を与える。$\ell^\nu$ 倍の余核と核をとれば主張の完全列になる。
段 2（遷移）．図式
$$\begin{array}{ccccccc}0\to&\mathbf Z&\xrightarrow{\ell^{\nu+1}}&\mathbf Z&\to&\mathbf Z/\ell^{\nu+1}&\to0\\&\downarrow{\scriptstyle\ell}&&\downarrow{\scriptstyle\mathrm{id}}&&\downarrow&\\0\to&\mathbf Z&\xrightarrow{\ell^\nu}&\mathbf Z&\to&\mathbf Z/\ell^\nu&\to0\end{array}$$
は短完全列の射である。長完全列の自然性により、中央の恒等写像から左の項の射影、左端の $\ell$ 倍から右の項の $\ell$ 倍を得る。

段 1（普遍係数）．ここでの混合コホモロジーは群のコホモロジー $H^j(\mathbf Q,A)$（自明な作用）である。棒分解の余不変をとった複体は自由アーベル群の複体でホモロジーが $H_*(\mathbf Q,\mathbf Z)$ なので、引用する事実 4 (a)(d) により、任意の $A$ について $A$ に自然な同型 $H^2(\mathbf Q,A)\cong\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q,A)$ がある。
段 2（有限係数の消滅）．$\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q,\mathbf Z/\ell^\nu)$ の $\ell^\nu$ 倍は、第 1 引数の $\ell^\nu$ 倍（$\mathbf Q$ の自己同型）から来るので同型で、第 2 引数の $\ell^\nu$ 倍（$0$）から来るので $0$ である。よって $H^2(\mathbf Q,\mathbf Z/\ell^\nu)=0$ で、極限も $0$ である。
段 3（整係数の群）．$0\to\mathbf Z\to\mathbf Q\to\mathbf Q/\mathbf Z\to0$ と $\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q,\mathbf Q)=0$ から完全列 $\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf Q)\to\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf Q/\mathbf Z)\to\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q,\mathbf Z)\to0$ を得る。左端は可算である。準同型 $f\colon\mathbf Q\to\mathbf Q/\mathbf Z$ は $x_m:=f(1/m!)$ で決まり、条件は $m\,x_m=x_{m-1}$ だけなので、各 $m\ge2$ で $m$ 個の解から選べて、$f$ は非可算個ある。よって $V:=\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q,\mathbf Z)\ne0$ で、第 1 引数の $m$ 倍が同型なので $V$ は $\mathbf Q$ 線形空間である。
段 4（テンソル積）．$V\otimes_{\mathbf Z}\mathbf Z_\ell=V\otimes_{\mathbf Q}\mathbf Q_\ell\ne0$。(3.6) の像は $\prod_\ell H^2(\mathbf Q,\mathbf Z_\ell)=0$ に入る。

段 1（右の項の極限）．上の補題（Bockstein の列の射影系）の右の項の射影系 $(H^{j+1}[\ell^\nu])_\nu$ は、遷移が $\ell$ 倍である。$H^{j+1}$ は有限型なので、その $\ell$ 準素捩れ部分群は有限で、ある $\ell^N$ で消える。極限の元 $(x_\nu)_\nu$ は $x_\nu=\ell^Nx_{\nu+N}=0$ を満たすので、$\varprojlim_\nu H^{j+1}[\ell^\nu]=0$ である。
段 2（左の項の極限）．射影極限は左完全なので $0\to\varprojlim_\nu H^j/\ell^\nu\to H^j(Y,G;\mathbf Z_\ell)\to\varprojlim_\nu H^{j+1}[\ell^\nu]=0$ で、$\varprojlim_\nu H^j/\ell^\nu\cong H^j(Y,G;\mathbf Z_\ell)$。$H^j\cong\mathbf Z^r\oplus T$（$T$ は有限）なら標準写像 $H^j\otimes\mathbf Z_\ell\to\varprojlim_\nu H^j/\ell^\nu\cong\mathbf Z_\ell^r\oplus T_\ell$（$T_\ell$ は $\ell$ 準素成分）は同型で、(3.10) はこの二つの同型の合成である。
段 3（(3.6) の単射性）．同じ長完全列で $H^j\to H^j(Y,G;\mathbf Z/n)$ の核は $nH^j$ なので、(3.6) の核は $\bigcap_nnH^j$ で、$H^j\cong\mathbf Z^r\oplus T$ では $0$ である。

段 1（スペクトル系列）．引用する事実 3 のスペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z))\Rightarrow H^{p+q}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)$ を使う。ここで $H^q(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z)$ は層コホモロジーで、$G$ はそれに作用する。
段 2（空間の側の有限性）．引用する事実 2 により $H^q(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z)$ は特異コホモロジーに一致し、引用する事実 1 により有限型で、ある $N$ より大きい $q$ で $0$ である。
段 3（群の側の有限性）．$L_*$ を $\mathbf Z$ の有限型自由 $\mathbf Z[G]$ 分解、$L_p\cong\mathbf Z[G]^{r_p}$ とする。有限型の $G$ 加群 $M$ について $H^p(G,M)$ は複体 $\operatorname{Hom}_G(L_*,M)$ のコホモロジーで、$\operatorname{Hom}_G(L_p,M)\cong M^{r_p}$ は有限型である。$\mathbf Z$ はネーター環なので、その部分商 $H^p(G,M)$ も有限型である。
段 4（極限の有限性）．段 2・3 により $E_2^{p,q}$ はすべて有限型で、全次数 $n$ を固定すると $0$ でない項は $0\le q\le N$ の有限個である。$E_\infty^{p,q}$ は $E_2^{p,q}$ の部分商なので有限型で、$H^n(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)$ は有限個の $E_\infty^{p,n-p}$ を順に拡大したものなので有限型である。

本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』の主結果「算術的類は超越的類の還元」により、各 $\nu$ で $c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)$ を比較同型と $(\varphi_\nu^{\otimes i})^{-1}$ で移した類は、$c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ の mod $\ell^\nu$ の還元に等しい。両辺の系を $\nu$ について並べれば主張になる。

段 1（$\mathbf Z_\ell$ 係数への移行）．$c_i(\mathbb E)(\ell)\mapsto c_i(\mathbb E)(\ell)_0$ は $\mathbf Z_\ell$ 加群の同型で与えられるので、捩れであることと位数は保たれる。上の系により、$c:=c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ の $H\to H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z_\ell)$ による像を調べればよい。
段 2（像の単射な表示）．上の補題（Bockstein の列の射影系）により各 $\nu$ で $H/\ell^\nu H\to H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ は単射で、射影極限は左完全なので $\varprojlim_\nu H/\ell^\nu H\to H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z_\ell)$ も単射である。$H$ は有限型なので $\varprojlim_\nu H/\ell^\nu H\cong H\otimes\mathbf Z_\ell$（上の定理（全次数で有限型なら (3.10) は同型で (3.6) は単射）の証明の段 2）。よって $c$ の像が捩れであることと、$c\otimes1\in H\otimes\mathbf Z_\ell$ が捩れであることは同値で、位数も等しい。
段 3（有限型の群での計算）．$H=F\oplus T$（$F\cong\mathbf Z^r$、$T$ は有限）と分け、$c=(a,t)$ とする。$H\otimes\mathbf Z_\ell=\mathbf Z_\ell^r\oplus T_\ell$（$T_\ell$ は $T$ の $\ell$ 準素成分）で、$c\otimes1=(a,t_\ell)$（$t_\ell$ は $t$ の $\ell$ 準素成分）。$\mathbf Z_\ell^r$ は捩れを含まず $\mathbf Z^r\to\mathbf Z_\ell^r$ は単射なので、$c\otimes1$ が捩れであることは $a=0$、すなわち $c$ が捩れであることと同値である。そのとき $c\otimes1=t_\ell$ で、その位数は $c$ の $\ell$ 準素成分の位数に等しい。

以下 $T=T^\ell_{i-1}$、$S=S^\ell_{i-1}$ と書く。
段 1（包含）．$0\to T\to H_{i-1}\to S\to0$ に $\operatorname{Ext}^*(-,\mathbf Z)$ を当てる。$T$ は捩れ群なので $\operatorname{Hom}(T,\mathbf Z)=0$、また $\operatorname{Ext}^2=0$ なので（引用する事実 4 (b)）、完全列
$$(3.14)\qquad0\to\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)\to\operatorname{Ext}^1(H_{i-1},\mathbf Z)\to\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)\to0$$
を得る。これと (3.12) の左の包含を合成して 1 を得る。
段 2（Hom の部分の消滅）．$c\in H^i$ が無限に $\ell$ で割れるとする。$\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)$ の中で無限に $\ell$ で割れる元 $u$ は、各 $x\in H_i$ で $u(x)\in\bigcap_\nu\ell^\nu\mathbf Z=0$ なので $0$ である。$c$ の像も無限に $\ell$ で割れるので $0$ で、(3.12) により $c\in\operatorname{Ext}^1(H_{i-1},\mathbf Z)$（原論文 (3.13)）。これで 3 の前半を得る。$H^i(Y_G;\mathbf Q)\cong\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Q)$（引用する事実 4 (a) を $A=\mathbf Q$ に当て、$\operatorname{Ext}^1(-,\mathbf Q)=0$）で、$H^i\to H^i(Y_G;\mathbf Q)$ は $\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Q)$ を経由するので、3 の後半も従う。この合成の後半 $\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Q)$ は単射である。
段 3（Ext の中でも割れる）．$c=\ell^\nu d_\nu$（$d_\nu\in H^i$）と書く。$d_\nu$ の $\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)$ での像は $\ell^\nu$ 倍が $0$ で、$\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)$ は捩れを含まないので $0$ である。よって $d_\nu\in\operatorname{Ext}^1(H_{i-1},\mathbf Z)$ で、$c$ は $\operatorname{Ext}^1(H_{i-1},\mathbf Z)$ の中で無限に $\ell$ で割れる。
段 4（捩れの部分の消滅）．$c$ の $\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)$ での像 $\phi$ も無限に $\ell$ で割れる。引用する事実 4 (c) により $\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)\cong\operatorname{Hom}(T,\mathbf Q/\mathbf Z)$ である。$T$ の有限部分群 $U$ への制限 $\phi|_U$ は、有限 $\ell$ 群 $\operatorname{Hom}(U,\mathbf Q/\mathbf Z)$ の中で無限に $\ell$ で割れるので $0$ である（その群は $|U|$ 倍で消える）。$T$ は捩れ群なので、その有限生成な部分群は有限で、$T$ はそれらの和集合である。よって $\phi=0$ で、(3.14) により $c\in\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)$。
段 5（逆向き）．$S$ は $\ell$ 捩れを含まないので、$\ell$ 倍 $S\to S$ は単射である。$\operatorname{Ext}^1(-,\mathbf Z)$ は単射を全射に送るので、$\ell$ 倍 $\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)\to\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)$ は全射である（加法的関手なので、$S$ の $\ell$ 倍が誘導する写像は $\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)$ の $\ell$ 倍である）。したがって $\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)$ の元は、その中で、よって $H^i$ の中で無限に $\ell$ で割れる。段 2〜5 で 2 を得る。
段 6（有理像が $0$ の元）．$\ell^NT=0$ とする。$c$ の有理像が $0$ なら、段 2 の単射性から $c$ の $\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Z)$ での像は $0$ で、$c\in\operatorname{Ext}^1(H_{i-1},\mathbf Z)$。$\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)\cong\operatorname{Hom}(T,\mathbf Q/\mathbf Z)$ は $\ell^N$ で消えるので、(3.14) により $\ell^Nc\in\operatorname{Ext}^1(S,\mathbf Z)$ で、2 により $m=\ell^N$ について $mc$ は無限に $\ell$ で割れる。逆に $mc$ が無限に $\ell$ で割れるなら、3 により $mc$ の有理像は $0$ で、有理コホモロジーは $\mathbf Q$ 線形空間なので $c$ の有理像も $0$ である。$H_{i-1}$ が有限型なら $T$ は有限で、仮定を満たす。

上の系（ℓ 進類は整係数類の像）により、$c_i(\mathbb E)(\ell)=0$ はすべての $\nu$ で $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})$ の mod $\ell^\nu$ の還元が $0$ であることと同値で、上の補題（Bockstein の列の射影系）によりこれは $c_i(\mathbb E^{\mathrm{an}})\in\bigcap_\nu\ell^\nu H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)$ と同値である。下の定理（自由鎖複体での二つの読みの一致）により $H^{2i}(X^{\mathrm{an}},G;\mathbf Z)$ は Borel 構成の特異コホモロジーと係数について関手的に同一視されるので、上の定理（無限に ℓ で割れる元の特定）の 2・3 から残りが従う。

段 1（各次数の自由分解）．各 $j$ について、自由アーベル群 $F^{(j)}_0$ から $H_j(C)$ への全射をとり、その核を $F^{(j)}_1$ とする。$F^{(j)}_1$ は自由アーベル群の部分群なので自由である。$F^{(j)}_0$ は自由なので、全射を輪体 $Z_j(C)$ への写像 $\alpha_j\colon F^{(j)}_0\to Z_j(C)\subset C_j$ に持ち上げられる。$\alpha_j(F^{(j)}_1)$ は境界 $B_j(C)=d(C_{j+1})$ に入るので、$F^{(j)}_1$ の自由性から $\beta_j\colon F^{(j)}_1\to C_{j+1}$ で $d\circ\beta_j=\alpha_j|_{F^{(j)}_1}$ となるものがある。
段 2（複体と鎖写像）．$L_j:=F^{(j)}_0\oplus F^{(j-1)}_1$ とし、微分 $L_j\to L_{j-1}$ を、$F^{(j-1)}_1$ の上では包含 $F^{(j-1)}_1\hookrightarrow F^{(j-1)}_0$、$F^{(j)}_0$ の上では $0$ と定める。$L_j\to C_j$ を $F^{(j)}_0$ の上で $\alpha_j$、$F^{(j-1)}_1$ の上で $\beta_{j-1}$ と定めると、$d\alpha_j=0$ と $d\beta_{j-1}=\alpha_{j-1}|_{F^{(j-1)}_1}$ により鎖写像である。
段 3（擬同型）．$L$ の次数 $j$ のホモロジーは $F^{(j)}_0/F^{(j)}_1\cong H_j(C)$ で、鎖写像はこれを段 1 の全射が誘導する同型として $H_j(C)$ に写す。

上の定理の証明が $Y_G$ の特異鎖複体について使ったのは、(i) $H^i$ の普遍係数の完全列 (3.12) と、$\mathbf Q$ 係数の同型 $H^i(-;\mathbf Q)\cong\operatorname{Hom}(H_i,\mathbf Q)$、(ii) $0\to\operatorname{Hom}(C_*,\mathbf Z)\xrightarrow{\ell^\nu}\operatorname{Hom}(C_*,\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(C_*,\mathbf Z/\ell^\nu)\to0$ の完全性、(iii) $\operatorname{Ext}$ の計算、の三つだけである。$L$ は自由な複体で $H_i(L)=H_i(C)$ なので、(i) は引用する事実 4 (a) により成り立ち、(ii) は $L_j$ が自由であることから成り立つ。(iii) は複体によらない。よって証明はそのまま通る。

段 1（自由な複体）．$C$ が自由なら恒等写像 $C\to C$ を擬同型にとれ、(i)〜(iii) は $L=C$ で成り立つ。特異鎖複体は特異単体を基底とする自由な複体である。
段 2（層コホモロジーへの適用）．$X^{\mathrm{an}}$ は局所可縮な Hausdorff パラコンパクト空間で（引用する事実 2）、引用する事実 3 の同一視は係数と余境界について関手的なので、還元、Bockstein の列、有理化を特異コホモロジーの側に移す。段 1 と上の定理から従う。原論文はこの一致を「よく知られた」事実とする（印字 p. 255）。