8-2 構造論による帰着と定理の証明
原論文の付録 §7 の段 c)・d) に沿って、複素代数群の複素点の群を、単位成分への移行、可縮な単冪部分群を割る段、同種写像を順に使って、可換群と半単純群の積に帰着する。その帰着の要になる代数群の構造の補題（Lemme 7.4）を構造論の事実から組み立て、Théorème 7.1 と二つの系を証明する。
前提知識: 分類空間, 平坦束, 代数群, Chevalley分解, 単冪根基, 簡約群, 群のコホモロジー
この頁で示すこと
$\Gamma$ は離散群、$G$ は Lie 群、$u\colon\Gamma\to G$ は準同型、$B_u\colon B_\Gamma\to B_G$ はそれが誘導する分類空間の写像、$k$ は標数 $0$ の体で、コホモロジーは特異コホモロジーである（$k$ は係数体で、第 2〜6 章の基礎体の $k$ とは別である）。Lie 群 $G$ が性質 (M) をもつとは、標数 $0$ のすべての体 $k$、すべての離散群 $\Gamma$ と $u\colon\Gamma\to G$ について $B_u^*\colon H^i(B_G,k)\to H^i(B_\Gamma,k)$ が $i>0$ で $0$ になることをいう（本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定義「主束の特性類と性質 (M)」）。複素代数群とは $\mathbf C$ 上有限型の群スキームのことで、その複素点の群 $G(\mathbf C)$ に通常の位相を入れて複素 Lie 群とみる。
本頁の主結果は次の五つである。
- 単位成分と同種写像による帰着（原論文 Théorème 7.1 の証明の段 c)、印字 p. 299）：成分群が有限な Lie 群は、単位成分が性質 (M) をもてば性質 (M) をもつ。連結な Lie 群の同種写像 $G\to G'$ は標数 $0$ 係数の分類空間のコホモロジーの同型を誘導し、$G'$ が性質 (M) をもてば $G$ ももつ。［条件付き：有限指数部分群への制限の単射性、分類空間のファイブレーションと Serre のスペクトル系列を引用］
- 代数群の構造の補題（原論文 Lemme 7.4、印字 pp. 300–301）：完全体の上の滑らかで連結な代数群 $G$ は、滑らかで連結な単冪正規部分群 $U$ と、同種写像 $G/U\to H_1\times H_2$（$H_1$ は可換、$H_2$ は半単純）をもつ。［条件付き：Chevalley の分解、Rosenlicht の定理、単冪根基、簡約群の同種写像を引用］
- 複素代数群の場合の Milnor の定理（原論文 Théorème 7.1 と段 d)、印字 pp. 297、299–301）：複素代数群の複素点の群は性質 (M) をもつ。［条件付き：主結果 1・2、本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の主結果「簡約群の場合」「連結可換群の場合」、可縮な正規部分群と Künneth 公式を引用］
- 平坦主束の有理特性類は消える（原論文 Corollaire 7.2、印字 p. 297）：$G$ を主結果 3 のとおりとすると、連結な CW 複体 $X$ と $\varphi\colon\pi_1(X)\to G$ に付随する平坦な主束 $P_\varphi$ の $k$ 係数の特性類は正の次数で $0$ で、この主張は主結果 3 と同値である。［条件付き：主結果 3 と本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の補題「離散群の言い方と平坦束の言い方」による］
- 可積分接続をもつ主束の特性類（原論文 Corollaire 7.3、印字 pp. 297–298）：可微分多様体の上の、$G$ 不変な可積分接続をもつ主 $G$ 束の $k$ 係数の特性類は正の次数で $0$ である。［条件付き：主結果 4 と、平坦接続とホロノミーの対応を引用］
証明の性格は次のとおりである。主結果 1 は分類空間の二つの標準的な事実（有限被覆の転送とファイブレーションのスペクトル系列）に帰着し、主結果 2 は構造論の事実を引いたうえで、原論文が「参照を重ねて」済ませる組み立ての段を本頁で書く。主結果 3 はこの二つと前頁の二つの場合を組み合わせるだけで、主結果 4・5 は言い換えである。本頁は Exposé VIII の算術的な部分（第 2〜6 章）に依らない。
背景と動機
原論文の序論 0.9（印字 pp. 226–227）は、一般線形群について知られていた「平坦束の有理特性類は消える」という超越的な定理が、実の連結 Lie 群や一般の複素 Lie 群には広がらないことを述べ、付録で「Lie 群が複素代数群であれば足りる」ことを示すと予告した。付録 §7 はその予告を Théorème 7.1 として実行する（印字 p. 297）。証明は四段に分けられ、a) 連結簡約群と b) 連結可換群は前頁（本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』）で扱った。
残る二段のうち、段 c) は問題が二つの操作で変わらないことを言う。一つは群をその単位成分に取り替えること、もう一つは連結な群を同種な群に取り替えることである。原論文は前者の理由を、$G/G^0$ が有限なので $H^*(B_G,k)\to H^*(B_{G^0},k)$ が単射であること（像は $G/G^0$ の不変元）に求め、後者を、同種写像が標数 $0$ 係数で分類空間のコホモロジーの同型を誘導するという「周知の事実」に求める（印字 p. 299）。
段 d) は一般の場合で、原論文は「これまでの点と代数群の論の次の補題を組み合わせれば直ちに従う」として Lemme 7.4 を述べる（印字 p. 300）。複素数体の上では単冪部分群 $U$ の複素点が $\mathbf C^n$ と同相なので、$G$ を $G/U$ に取り替えても分類空間のホモトピー型は変わらず、$G/U$ は同種写像を除いて可換群と半単純群の積になる。可換群は段 b)、半単純群は段 a) に入る。原論文は補題の証明を「完全を期して、参照を重ねて」与え、Chevalley の構造定理、単冪根基、Rosenlicht の型の定理（原論文は SGA3 の第 XII 講 6.1 と第 VI$_B$ 講 11.9 を引く）を順に使う（印字 pp. 300–301）。
本頁は、この四つの操作がそれぞれどの標準的な事実に依るかを分けて書き、Théorème 7.1 を閉じる。代数性の仮定が本当に要ることは本書『8-3 代数性は外せない：注意と反例』で示す。
定義と準備
段 c) と Lemme 7.4 では、Lie 群と代数群の両方について「同種写像」という語を使う。まずその意味を固定する。
- 連結な Lie 群の連続準同型 $f\colon G\to G'$ が同種写像であるとは、$f$ が全射で核が有限であることをいう。このとき $f$ は Lie 群の同型 $G/\ker f\cong G'$ を誘導する。
- 体 $K$ の上の滑らかで連結な代数群の準同型 $f\colon G\to G'$ が同種写像であるとは、$f$ が全射（忠実平坦）で核が有限な群スキームであることをいう。$K=\mathbf C$ なら、$f$ の複素点の写像 $f(\mathbf C)\colon G(\mathbf C)\to G'(\mathbf C)$ は (1) の意味の同種写像である（全射性は $\mathbf C$ が代数閉であることから、核の有限性は $\ker f$ が有限な群スキームであることから従う）。
段 d) では Lemme 7.4 の群 $U$ を割るので、その複素点が可縮であることが効く。これは本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「代数群の構造論」の (6) に置いた事実である。
$K$ を完全体、$G$ を $K$ 上の滑らかな代数群とする。
(1) $G$ の単位成分 $G^0$ は単位元を含む連結成分で、開かつ閉の正規部分群であり、$G/G^0$ は有限である。
(2) $G$ が連結でアフィンのとき、$G$ の単冪根基 $R_u(G)$ は、滑らかで連結な単冪正規部分群のうち最大のものである。$R_u(G)=1$ のとき $G$ は簡約群であるという。簡約群 $L$ の導来群を $D(L)$、中心（群スキームとしての中心）を $Z(L)$ と書く。$L$ が簡約で $Z(L)$ が有限のとき $L$ は半単純群であるという。
(3) 部分群 $N\subset G$ が特性部分群であるとは、$G$ の自己同型でつねに $N$ に移ることをいう。$G\supset L$ が正規部分群で $N$ が $L$ の特性部分群なら、$G$ の元による共役は $L$ の自己同型を与えるので、$N$ は $G$ の正規部分群である。単冪根基、導来群、中心は特性部分群である。
原論文は「単冪根基」を Chevalley のセミナー Che58 で引き、Lemme 7.4 の群 $U$ は「不変部分群」と書く。本頁は正規部分群と書く。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に Mil56I、Bor53、Che58、SGA3、CE56 で、該当箇所は本頁では確認していない。要点は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』にある。
- 分類空間の関手性と群のコホモロジー（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「離散群の分類空間」、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「Lie 群の分類空間と極大コンパクト部分群」の (1)）：連続準同型 $f\colon G\to G'$ は $B_f\colon B_G\to B_{G'}$ を誘導し、$B_{f\circ g}=B_f\circ B_g$ である。離散群 $\Gamma$ について $H^*(B_\Gamma,k)=H^*(\Gamma,k)$ で、部分群 $\Gamma^0\subset\Gamma$ の包含が誘導する写像は群のコホモロジーの制限である。
- 転送（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「制限と転送、Shapiro の補題」）：$\Gamma^0\subset\Gamma$ が有限指数 $m$ なら、転送 $\operatorname{cor}$ があって $\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}=m$ である。$k$ の標数が $0$ なら $m$ は $k$ で可逆なので、制限 $H^*(\Gamma,k)\to H^*(\Gamma^0,k)$ は単射である。
- ファイブレーションとスペクトル系列（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「Lie 群の分類空間と極大コンパクト部分群」の (3)(4)）：閉正規部分群 $N\subset G$ についてファイブレーション $B_N\to B_G\to B_{G/N}$ があり、$G/N$ が連結なら $B_{G/N}$ は単連結で、Serre のスペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(B_{G/N},H^q(B_N,k))\Rightarrow H^{p+q}(B_G,k)$ の係数は定数である。$N$ が有限なら $H^q(B_N,k)=0$（$q>0$）である。$N$ が可縮なら $B_G\to B_{G/N}$ はホモトピー同値である。
- 積と Künneth 公式（同じ定理の (5)(6)）：$B_{G_1\times G_2}\simeq B_{G_1}\times B_{G_2}$ で、射影 $\mathrm{pr}_i$ は $B_{\mathrm{pr}_i}$ を誘導する。成分群が有限な Lie 群 $G$ では $H^q(B_G,\mathbf Z)$ は各次数で有限生成である。したがって $H^*(B_{G_1\times G_2},k)=H^*(B_{G_1},k)\otimes_kH^*(B_{G_2},k)$ で、右辺の $a\otimes b$ は $B_{\mathrm{pr}_1}^*a\cup B_{\mathrm{pr}_2}^*b$ に対応する。
- 代数群の構造論（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「代数群の構造論」の (1)〜(6)）：(a) 標数 $0$ の体の上の代数群は滑らかである（Cartier）。(b) 完全体の上の滑らかで連結な代数群 $G$ は、滑らかで連結なアフィン正規部分群 $L$ とアーベル多様体 $A$ による完全列 $1\to L\to G\to A\to1$ をもつ（Chevalley）。(c) そのとき $G=Z(G)\cdot L$ である（Rosenlicht。原論文は SGA3 の第 XII 講 6.1 と第 VI$_B$ 講 11.9 から、$Z(G)\to A$ が全射であることとして引く）。(d) 滑らかで連結なアフィン群 $L$ の単冪根基 $R_u(L)$ は $K$ 上で定義され、滑らかで連結で、$L/R_u(L)$ は連結な簡約群である。完全体の上の滑らかで連結な単冪群は、多様体としてアフィン空間と同型である。(e) 連結な簡約群 $L'$ について、$L'/D(L')$ はトーラス、$L'/Z(L')$ は群スキームとしての中心が自明な半単純群で、$L'\to L'/D(L')\times L'/Z(L')$ は全射で、核 $D(L')\cap Z(L')$ は有限な群スキームである。(f) $K=\mathbf C$ のとき、$G^0(\mathbf C)$ は $G(\mathbf C)$ の古典位相での単位成分で $G(\mathbf C)/G^0(\mathbf C)$ は有限、単冪群 $U$ の $U(\mathbf C)$ は $\mathbf C^N$ と同相で可縮である。$\mathbf C$ 上の滑らかな代数群の全射 $G\to G''$ は複素点で全射で、$(G/N)(\mathbf C)=G(\mathbf C)/N(\mathbf C)$ である。
- 半単純群の複素点（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「Chern–Weil 理論」の (3)）：$\mathbf C$ 上の連結な簡約代数群（とくに半単純群）の複素点の群は、連結な複素簡約 Lie 群（本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定義「連結な複素簡約 Lie 群」）である。
- 平坦束と平坦接続（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「平坦束と基本群の表現」の (2)(5)）：連結な可微分多様体の上で、可積分な接続をもつ主 $G$ 束はホロノミー $\varphi\colon\pi_1(X)\to G$ の定める $P_\varphi$ と同型で、逆に $P_\varphi$ は可積分な接続をもつ（Atiyah Ati57 の命題 14、KN63）。
1〜4 は分類空間についての事実、5・6 は代数群の構造論、7 は微分幾何の事実である。これで段 c) から始められる。
主結果と証明
段 c) の二つの帰着は、群を小さくしても大きくしても性質 (M) が保たれる、という形で使う。どちらの向きに使うかがはっきりするよう、帰着の向きを主張の中に書いておく。
単位成分と同種写像
- $G$ を Lie 群、$G^0$ をその単位成分とし、$G/G^0$ が有限であるとする。$G^0$ が性質 (M) をもてば、$G$ も性質 (M) をもつ。
- $f\colon G\to G'$ を連結な Lie 群の同種写像とする。標数 $0$ の体 $k$ について $B_f^*\colon H^*(B_{G'},k)\to H^*(B_G,k)$ は同型である。$G'$ が性質 (M) をもてば、$G$ も性質 (M) をもつ。
段 1（(1)：離散群の側の有限指数部分群）．$\Gamma$ を離散群、$u\colon\Gamma\to G$ を準同型とし、$\Gamma^0:=u^{-1}(G^0)$ とおく。$u$ は単射 $\Gamma/\Gamma^0\to G/G^0$ を誘導するので、$\Gamma^0$ は $\Gamma$ の有限指数の正規部分群である。$u_0\colon\Gamma^0\to G^0$ を $u$ の制限、$j\colon\Gamma^0\to\Gamma$ と $\iota\colon G^0\to G$ を包含とすると $u\circ j=\iota\circ u_0$ で、引用する事実 1 により $B_j^*\circ B_u^*=B_{u_0}^*\circ B_\iota^*$ である。
段 2（(1)：制限の単射性）．$x\in H^i(B_G,k)$、$i>0$ とする。段 1 の等式により $B_j^*(B_u^*x)=B_{u_0}^*(B_\iota^*x)$ で、$G^0$ は性質 (M) をもつので右辺は $0$ である。引用する事実 1 により $B_j^*$ は群のコホモロジーの制限 $H^i(\Gamma,k)\to H^i(\Gamma^0,k)$ で、引用する事実 2 によりこれは単射である。よって $B_u^*x=0$。
段 3（(2)：コホモロジーの同型）．$F:=\ker f$ は有限な正規部分群で、$G/F\cong G'$ である。引用する事実 3 のファイブレーション $B_F\to B_G\to B_{G'}$ で $G'$ は連結なので、Serre のスペクトル系列の係数は定数で、$q>0$ では $H^q(B_F,k)=0$ である。よって $E_2^{p,q}=0$（$q>0$）で、系列は退化し、辺準同型 $H^p(B_{G'},k)=E_2^{p,0}\to H^p(B_G,k)$ は同型である。辺準同型はファイブレーションの射影 $B_G\to B_{G'}$ の引き戻しで、これは $B_f$ である。
段 4（(2)：性質 (M) の移動）．$u\colon\Gamma\to G$ と $x\in H^i(B_G,k)$（$i>0$）について、段 3 により $x=B_f^*y$（$y\in H^i(B_{G'},k)$）と書ける。$B_u^*x=B_u^*B_f^*y=B_{f\circ u}^*y$ で、$G'$ は性質 (M) をもつので $0$ である。
- は本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定理「簡約群・コンパクト群への拡張」の (1) と同じ主張で、そこでは序論 0.9 の拡張のために同じ論法で示されている。本頁では段 c) の一部として述べ直した。段 2 で使った単射性は $\Gamma$ の側のものである。原論文の段 c) が理由に挙げるのは $G$ の側の単射性 $H^*(B_G,k)\to H^*(B_{G^0},k)$ である。
原論文が理由に挙げる単射性は群 $G$ の側のもの（$G/G^0$ が有限なので $H^*(B_G,k)\to H^*(B_{G^0},k)$ は単射で、像は $G/G^0$ の不変元）で、帰着に要るのは、同じ転送の論法による離散群の側の単射性 $H^*(\Gamma,k)\to H^*(\Gamma^0,k)$ である。$u$ の像が $G^0$ に入らないとき、$G^0$ についての仮定を当てられるのは制限 $u_0\colon\Gamma^0\to G^0$ に対してだからである。上の証明の段 1・2 はこの形で書いた。
- の向きに注意する。同種写像 $f\colon G\to G'$ について性質 (M) を $G'$ から $G$ へ移すので、段 d) では「群から同種写像で行く先」を扱いやすい形に選ぶ。Lemme 7.4 の同種写像 $G/U\to H_1\times H_2$ はちょうどこの向きである。
代数群の構造の補題
$K$ を完全体、$G$ を $K$ 上の滑らかで連結な代数群とする。$G$ の滑らかで連結な単冪正規部分群 $U$（したがって多様体としてアフィン空間と同型）と、同種写像 $G/U\to H_1\times H_2$ がある。ここで $H_1$ は滑らかで連結な可換代数群、$H_2$ は半単純群である。
段 1（単冪部分群を割る）．引用する事実 5 (b) の Chevalley の分解 $1\to L\to G\to A\to1$ をとる。$U:=R_u(L)$ とおく。引用する事実 5 (d) により $U$ は $K$ 上で定義され、滑らかで連結な単冪群で、多様体としてアフィン空間と同型である。$U$ は $L$ の特性部分群で $L$ は $G$ で正規なので、上の定義（代数群の単位成分・単冪根基・簡約群）の (3) により $U$ は $G$ で正規である。$G':=G/U$ は $L':=L/U$ による $A$ の拡大 $1\to L'\to G'\to A\to1$ で、$L'$ は連結な簡約群である。
段 2（簡約群の部分を積にする）．引用する事実 5 (e) により $q\colon L'\to T\times L_0$（$T:=L'/D(L')$ はトーラス、$L_0:=L'/Z(L')$ は中心が自明な半単純群）は全射で、核 $N:=D(L')\cap Z(L')$ は有限な群スキームである。$D(L')$ と $Z(L')$ は $L'$ の特性部分群なので $N$ も特性部分群で、$L'$ は $G'$ で正規だから $N$ は $G'$ で正規である。$G'':=G'/N$ とおくと、$G'\to G''$ は同種写像で、$G''$ は $L'':=L'/N\cong T\times L_0$ による $A$ の拡大 $1\to T\times L_0\to G''\to A\to1$ である。
段 3（中心で $A$ を覆う）．$Z(G'')$ を $G''$ の中心とし、$Z$ をその被約化の単位成分とする（$K$ が完全なので $Z$ は $K$ 上で定義された滑らかで連結な可換部分群である）。$L''$ は $G''$ の滑らかで連結なアフィン正規部分群で $G''/L''=A$ はアーベル多様体なので、引用する事実 5 (c) により $Z(G'')\to A$ は全射である。全射性は代数閉包の上の点で判定され、$Z$ の像は $A$ の閉部分群で、$Z(G'')$ の像の中で指数が有限であるから、連結な $A$ の全体に等しい。したがって $G''=Z\cdot L''=Z\cdot T\cdot L_0$ である。
段 4（トーラスは中心的）．$T$ は $L''=T\times L_0$ の直積因子なので $L''$ の元と可換で、$Z$ は中心的なので $Z$ の元とも可換である。段 3 により $G''=Z\cdot L''$ なので、$T$ は $G''$ の中心に含まれる。
段 5（積への分解）．$H_1:=Z\cdot T$ とおく。$Z$ と $T$ はともに $G''$ の中心に含まれる滑らかで連結な部分群なので、$H_1$ は中心に含まれる滑らかで連結な部分群で、とくに可換である。$H_1\cap L_0$ は中心的なので $L_0$ の中心に含まれ、$L_0$ の中心は群スキームとして自明だから $H_1\cap L_0=1$ である。$H_1$ は中心的なので積 $m\colon H_1\times L_0\to G''$、$(h,l)\mapsto hl$ は準同型で、その核は $\{(h,h^{-1}):h\in H_1\cap L_0\}$ と同型で自明である。段 3 により $m$ は全射である。核が自明な準同型は閉埋め込みで、滑らかな $G''$ への全射な閉埋め込みは同型なので、$G''\cong H_1\times L_0$ である。
段 6（まとめ）．$H_2:=L_0$ は半単純である。段 2 の同種写像 $G/U=G'\to G''$ と段 5 の同型を合成すれば、求める同種写像 $G/U\to H_1\times H_2$ が得られる。
原論文は段 2 で「同種写像 $L'\to T\times L_0$ がある」とし、それを押し出した $A$ の $T\times L_0$ による拡大 $G''$ を考える（印字 p. 300）。上の段 2 は、その押し出しを有限な正規部分群 $N$ による商として書いたものである。
原論文は段 3 の後、$Z\cap(T\times L_0)$ が $T\times L_0$ の中心 $T$ に含まれることから、$G''$ は「$A$ の $T$ による拡大 $H_1$」と $H_2=L_0$ の積であると述べ、$H_1$ の可換性を SGA3 の第 XII 講 6.4 の証明に委ねる（印字 p. 301）。上の証明では、$T$ が $G''$ の中心に入ること（段 4）を先に示したので、$H_1=Z\cdot T$ が中心的で可換なことは直接に出る。$H_1\cap L''=(Z\cap L'')\cdot T=T$ で、$H_1$ は $A$ の $T$ による拡大である点は原論文の記述と一致する。原論文の注「$K$ が複素数体のとき」の $K$ は、補題の基礎体（紙面では名前が付いていない）を指すと読む。
原論文は補題の直後に、複素数体の上ではこの補題から Théorème 7.1 が $H_1$ と $H_2$ の場合に帰着すると注意する（印字 p. 300）。その帰着を次の定理の証明に書く。
Théorème 7.1
$G$ を $\mathbf C$ 上の代数群、$G(\mathbf C)$ をその複素点の群に通常の位相を入れた複素 Lie 群とする。$G(\mathbf C)$ は性質 (M) をもつ。すなわち、任意の離散群 $\Gamma$、準同型 $u\colon\Gamma\to G(\mathbf C)$、標数 $0$ の体 $k$ について、$B_u^*\colon H^i(B_{G(\mathbf C)},k)\to H^i(B_\Gamma,k)$ は $i>0$ で $0$ である。
段 1（単位成分へ）．引用する事実 5 (a) により $G$ は滑らかである。引用する事実 5 (f) により $G^0(\mathbf C)$ は $G(\mathbf C)$ の単位成分で、$G(\mathbf C)/G^0(\mathbf C)$ は有限である。上の命題（単位成分と同種写像による帰着）の (1) により、$G^0(\mathbf C)$ が性質 (M) をもつことを示せばよい。以下 $G$ を連結とする。
段 2（単冪部分群を割る）．上の補題（代数群の構造の補題）を $K=\mathbf C$ で当て、$U$ と同種写像 $\phi\colon G/U\to H_1\times H_2$ をとる。引用する事実 5 (f) により $U(\mathbf C)$ は可縮な閉正規部分群で、$(G/U)(\mathbf C)=G(\mathbf C)/U(\mathbf C)$ である。射影を $p\colon G(\mathbf C)\to(G/U)(\mathbf C)$ とすると、引用する事実 3 により $B_p$ はホモトピー同値である。$u\colon\Gamma\to G(\mathbf C)$ と $x\in H^i(B_{G(\mathbf C)},k)$（$i>0$）について $x=B_p^*y$ と書けて $B_u^*x=B_{p\circ u}^*y$ なので、$(G/U)(\mathbf C)$ が性質 (M) をもてば $G(\mathbf C)$ ももつ。
段 3（同種写像で積へ）．$(G/U)(\mathbf C)$ は連結な Lie 群 $G(\mathbf C)$ の商なので連結で、上の定義（同種写像）の (2) により $\phi(\mathbf C)\colon(G/U)(\mathbf C)\to H_1(\mathbf C)\times H_2(\mathbf C)$ は連結な Lie 群の同種写像である。上の命題の (2) により、$H:=H_1(\mathbf C)\times H_2(\mathbf C)$ が性質 (M) をもつことを示せばよい。
段 4（二つの因子）．$H_1(\mathbf C)$ は連結な可換 Lie 群なので、本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の定理「連結可換群の場合」により性質 (M) をもつ。$H_2$ は $\mathbf C$ 上の連結な半単純群なので、引用する事実 6 により $H_2(\mathbf C)$ は連結な複素簡約 Lie 群で、同じ頁の定理「簡約群の場合」により性質 (M) をもつ。
段 5（Künneth）．$v\colon\Gamma\to H$ を準同型とし、$v_i:=\mathrm{pr}_i\circ v$ とおく。引用する事実 4 により、$H^n(B_H,k)$（$n>0$）は $B_{\mathrm{pr}_1}^*a\cup B_{\mathrm{pr}_2}^*b$（$a\in H^s(B_{H_1(\mathbf C)},k)$、$b\in H^t(B_{H_2(\mathbf C)},k)$、$s+t=n$）の和で張られる。$B_v^*$ は環準同型なので、この元の像は $B_{v_1}^*a\cup B_{v_2}^*b$ である。$s>0$ なら $B_{v_1}^*a=0$、$t>0$ なら $B_{v_2}^*b=0$（段 4）で、$s+t>0$ なのでどちらかが成り立ち、像は $0$ である。よって $H$ は性質 (M) をもつ。段 3・2・1 を逆にたどれば $G(\mathbf C)$ も性質 (M) をもつ。
原論文の段 d) は「これまでの点と補題を組み合わせれば直ちに従う」とし、補題の後の注で、$H_1$ と $H_2$ がそれぞれ段 b) と段 a) の対象になると書く（印字 pp. 299–300）。積の群について二つの因子の場合から結論を出す段 5 は、紙面では書かれていない。
これで付録の主定理が閉じた。次に、原論文が「直ちに」同値だとする二つの系を言い換えとして述べる。
二つの系
$G$ を $\mathbf C$ 上の代数群、$X$ を連結な CW 複体、$\varphi\colon\pi_1(X)\to G(\mathbf C)$ を準同型、$P_\varphi:=\tilde X\times_{\pi_1(X)}G(\mathbf C)$ をそれに付随する平坦な主 $G(\mathbf C)$ 束とする。$P_\varphi$ の $k$ 係数の特性類は正の次数で $0$ である。さらに、一般の Lie 群 $G$ について、この主張（すべての連結な CW 複体 $X$ と $\varphi$ についてのもの）は性質 (M) と同値であり、$X$ を連結な有限多面体に限った主張とも同値である。
後半は本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の補題「離散群の言い方と平坦束の言い方」そのものである。前半は、上の定理（複素代数群の場合の Milnor の定理）が性質 (M) を与えるので、その補題の (i) から (ii) への向きで従う。
原論文の Corollaire 7.2 は $X$ を「連結な点付き位相空間」とする（印字 p. 297）。一般の位相空間では普遍被覆による $P_\varphi$ の構成も分類写像による特性類の定義も保証されないので、本書は前頁と同じく連結な CW 複体と読む。原論文が続けて「$X$ が有限多面体の場合に確かめれば足りる」とするのは、上の系の後半の最後の同値である。
$G$ を $\mathbf C$ 上の代数群、$X$ を可微分多様体、$P\to X$ を $G(\mathbf C)$ 不変な可積分接続をもつ主 $G(\mathbf C)$ 束とする。$P$ の $k$ 係数の特性類は正の次数で $0$ である。さらに、一般の Lie 群 $G$ について、可微分多様体の上でのこの主張と、$X$ を可微分多様体に限った上の系（平坦主束の有理特性類は消える）の主張は同値である。
連結成分ごとに考えてよいので、$X$ を連結とする。引用する事実 7 により、可積分な接続をもつ $P$ はそのホロノミー $\varphi\colon\pi_1(X)\to G(\mathbf C)$ の定める $P_\varphi$ と同型で、逆に $P_\varphi$ は可積分な接続をもつ。したがって「可積分接続をもつ主束」と「平坦な主束 $P_\varphi$」は同じ束の族を動き、二つの主張は同値である。可微分多様体は三角形分割により CW 複体の構造をもつ（標準的な事実）ので、上の系により特性類は正の次数で $0$ である。
原論文は系 7.3 を Atiyah の論文の命題 14 を引いて系 7.2 の言い換えとする（印字 p. 297）。段 a) の証明（前頁）は逆にこの形を使い、有限多面体を可微分多様体の近傍で置き換えて曲率の計算に持ち込んだ。
例と反例
まず Lemme 7.4 の分解を具体的な群で見る。次に、上の命題（単位成分と同種写像による帰着）の仮定のうち、係数体の標数 $0$ と同種写像の核の有限性が外せないことを見る。成分群の有限性が外せないことは、本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の例「反例：成分群が無限なら消えない」（離散群 $\mathbf Z$ の恒等写像）が示す。
$G=\mathrm{GL}_n$（$n\ge2$）とする。$G$ はアフィンなので $A=0$、$L=G$ で、$U=R_u(G)=1$、$L'=G$ である。$D(G)=\mathrm{SL}_n$、$Z(G)=\mathbf G_m$（スカラー行列）で、$T=G/\mathrm{SL}_n\cong\mathbf G_m$（行列式による）、$L_0=\mathrm{PGL}_n$、$N=\mathrm{SL}_n\cap\mathbf G_m=\mu_n$ である。$G''=\mathrm{GL}_n/\mu_n$ で、$g\mapsto(\det g,[g])$ は同型 $G''\cong\mathbf G_m\times\mathrm{PGL}_n$ を与え、$H_1=\mathbf G_m$、$H_2=\mathrm{PGL}_n$ である。複素点では $\mathrm{GL}_n(\mathbf C)\to\mathbf C^*\times\mathrm{PGL}_n(\mathbf C)$ が核 $\mu_n(\mathbf C)$ の同種写像で、Théorème 7.1 の証明は $\mathbf C^*$（段 b)）と $\mathrm{PGL}_n(\mathbf C)$（段 a)）の場合に戻る。$\mathrm{GL}_n(\mathbf C)$ は連結な複素簡約 Lie 群なので段 a) を直接当ててもよく、この例は構造の補題の各段が何をするかを示すだけである。
(a) $G=\mathrm{Tri}_n$ を可逆な上三角行列の群とする。$A=0$、$L=\mathrm{Tri}_n$、$U=R_u(\mathrm{Tri}_n)$ は対角成分が 1 の上三角行列の群で、$L'=\mathrm{Tri}_n/U\cong\mathbf G_m^n$（対角成分）はトーラスである。$D(L')=1$ なので $T=L'$、$L_0=1$、$N=1$ で、$H_1=\mathbf G_m^n$、$H_2=1$ である。$\mathrm{Tri}_n(\mathbf C)\to(\mathbf C^*)^n$ は可縮な核 $U(\mathbf C)$ をもち、$B_{\mathrm{Tri}_n(\mathbf C)}\simeq(\mathbf{CP}^\infty)^n$ である。離散群の表現で上三角化できるもの（たとえば $\mathbf Z$ を $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ で働かせたもの）の有理特性類は、単冪部分群を割る段と段 b) だけで $0$ と分かる。
(b) $E$ を $\mathbf C$ 上の楕円曲線、$G$ を $E$ の $\mathbf G_m$ による連結な拡大とする（$E\times\mathbf G_m$ でも、分裂しない拡大でもよい）。$L=\mathbf G_m$、$U=1$ で、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「代数群の構造論」の (5) により $G$ は可換なので、$H_1=G$、$H_2=1$ である。$E(\mathbf C)$ は位相群として $\mathbf T^2$ と同型で、アーベル多様体の部分は段 b) で扱われる。
次の二つの反例は、それぞれ命題の一つの仮定を外す。
外す条件は、係数体 $k$ の標数が $0$ であることである。$p$ を素数、$G=\mu_p(\mathbf C)\cong\mathbf Z/p$ を有限な代数群 $\mu_p$ の複素点の群、$\Gamma=G$、$u=\mathrm{id}$ とし、$k=\mathbf F_p$ とする。$B_u$ は恒等写像なので $B_u^*$ は $H^1(B_{\mathbf Z/p},\mathbf F_p)=\operatorname{Hom}(\mathbf Z/p,\mathbf F_p)\cong\mathbf F_p$ の上で恒等写像で、$0$ でない。$G^0=1$ は明らかに性質 (M) の結論をもつので、上の命題の (1) の帰着が標数 $p$ の係数で崩れている。崩れるのは段 2 の制限の単射性で、指数 $p$ が $\mathbf F_p$ で可逆でないからである。標数 $0$ の $k$ なら $H^1(\mathbf Z/p,k)=\operatorname{Hom}(\mathbf Z/p,k)=0$ で、矛盾はない。連結な群 $\mathbf C^*$ でも標数 $p$ の係数では消えないことは、本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』の例「反例：係数体の標数が正なら消えない」にある。
外す条件は、上の命題の (2) の $\ker f$ が有限であることである。本書『8-3 代数性は外せない：注意と反例』の Serre の例の群 $G=G'/\Gamma'_0$（$G'$ は複素 Heisenberg 群、$\Gamma'_0\cong\mathbf Z$ はその中心の整数点）をとる。$G'$ の中心の実部分 $\mathbf R\subset\mathbf C$ の像 $N\cong\mathbf R/\mathbf Z$ は $G$ の中心に含まれる円周で、$f\colon G\to G/N=G'/\mathbf R$ は連結な Lie 群の全射で核は円周である。$G'/\mathbf R$ は位相空間として $\mathbf C^2\times(\mathbf C/\mathbf R)$ と同相で可縮なので、その分類空間は可縮で、$G/N$ は性質 (M) をもつ。ところが同じ頁の主結果「連結複素 Lie 群というだけでは成り立たない」により $G$ は性質 (M) をもたない。核が有限でないと、段 3 のスペクトル系列でファイバー $B_N\simeq\mathbf{CP}^\infty$ の正の次数のコホモロジーが残るからである。
二つの反例はどちらも、上の命題の仮定が証明のどの段で使われたかを示している。とくに後の反例は、段 d) で割る群 $U$ が可縮であることが本質的だったことを裏から見せる。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 代数群の構造定理：Lemme 7.4 が使う Chevalley の構造定理（連結な代数群はアフィン群によるアーベル多様体の拡大である）と Rosenlicht の定理は、原論文の当時は Chevalley と Rosenlicht の 1950 年代の仕事、Chevalley のセミナー Che58 と SGA3 で与えられていた。後に Conrad Con02（2002 年）がスキームの言葉による現代的な証明を書いた、とされる。本書は確かめていない。
- 分類空間の代数的な扱い：原論文の序論 0.9 は、代数群の分類コホモロジーの代数的な理論によって Théorème 7.1 の算術的な証明ができるはずだと予告した。代数群の分類空間を代数幾何の対象として扱う方法は、分類空間の Chow 環（Totaro Tot99、1999 年）などで具体化された。これが原論文の予告した算術的な証明を与えるかどうかは、本書は確かめていない。
- 平坦束の特性類の理論：原論文が段 a) の純位相的な証明の予告として本文で「Kamber」と書いて引く文献 [26] は、Kamber–Tondeur の 1966 年の抄録（アメリカ数学会の抄録集）である。この方向は Kamber–Tondeur による平坦束の特性類の理論に発展した、とされる。本書の参考文献表にはその抄録しかなく、本書は後の文献を確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の付録 §7 の Théorème 7.1、Corollaires 7.2・7.3、証明の段 c)・d) と Lemme 7.4 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（同種写像）、定義（代数群の単位成分・単冪根基・簡約群） | 段 c) の「groupe isogène」、Lemme 7.4 の用語 | 299、300 |
| 命題（単位成分と同種写像による帰着）、注意（段 c) で使う単射性） | 段 c) | 299 |
| 補題（代数群の構造の補題）、注意（補題の組み立ての原論文との違い） | Lemme 7.4 とその証明 | 300–301 |
| 定理（複素代数群の場合の Milnor の定理） | Théorème 7.1、段 d)、Lemme 7.4 の直後の注 | 297、299–300 |
| 系（平坦主束の有理特性類は消える） | Corollaire 7.2 とその直後の「有限多面体で足りる」 | 297 |
| 系（可積分接続をもつ主束の特性類） | Corollaire 7.3 | 297–298 |
| 例（一般線形群の分解）、例（上三角群とアーベル多様体の拡大）、例（反例：係数体の標数 0 を外すと成り立たない）、例（反例：同種写像の核の有限性を外すと帰着は崩れる） | 原論文になし（本書が足した例） | — |
参考文献
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