0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー

1. トポスの $\mathbf Z/n$ 加群の層の有界下の導来圏 $D^+$ で、すべてのコホモロジー層の上で同型を誘導する射は同型である。トポスの射 $h$ について随伴 $\operatorname{Hom}_{D^+}(h^*A,B)=\operatorname{Hom}_{D^+}(A,Rh_*B)$ と、射影公式の射 $A\otimes^{\mathbf L}Rh_*B\to Rh_*(h^*A\otimes^{\mathbf L}B)$ がある。
2. cup 積：局所的に $\mathbf Z/n$ と同型な層 $B$ と類 $c\in H^m(B)$ について、$a\mapsto a\cup c$ は導来圏の射 $A\to(A\otimes B)[m]$ で表され、この表示は引き戻しと両立し、大域切断の上では cup 積 $H^i(A)\to H^{i+m}(A\otimes B)$ を誘導する。cup 積は結合的で次数つき可換であり、引き戻しと可換である。次数 $0$ の類 $a\in\Gamma(F)$ との cup 積は、$a$ の定める射 $\mathbf Z\to F$（係数を $\mathbf Z/n$ に取るなら $\mathbf Z/n\to F$）が誘導する写像である。係数の短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ と局所的に $\mathbf Z/n$ と同型な $B$ の類 $b$ について、余境界は $\delta(a\cup b)=\delta(a)\cup b$ を満たす（$b$ を左に置くと次数に応じた符号が付く）。
3. スキーム $Y$ の準連接層 $\mathcal F$ が定めるエタール層 $U\mapsto\Gamma(U,\mathcal F\otimes_{\mathcal O_Y}\mathcal O_U)$ のエタールコホモロジーは、Zariski 位相のコホモロジー $H^q(Y,\mathcal F)$ に等しい。

$k$ を体、$k^{\mathrm s}$ をその分離閉包、$\pi_k=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm s}/k)$ とする。$k$ 上のエタール代数は有限個の有限次分離拡大体の積であり、$F\mapsto F(k^{\mathrm s}):=\varinjlim_{k'}F(\operatorname{Spec}k')$（$k'$ は $k^{\mathrm s}$ の中の有限次部分拡大）は、$\operatorname{Spec}k$ のエタール層の圏と、離散的な $\pi_k$ 集合の圏の同値を与える。可換群の層については
$$H^q(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},F)\cong H^q(\pi_k,F(k^{\mathrm s}))=H^q(k,F(k^{\mathrm s}))$$
で、右辺は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の射有限群のコホモロジーである。
(1) $k$ が分離閉なら、$\operatorname{Spec}k$ のエタール層の圏は集合の圏と同値で、正の次数のコホモロジーは消える。
(2) 純非分離な拡大 $k'/k$ について $\operatorname{Spec}k'\to\operatorname{Spec}k$ はエタールトポスの同値を与え、$H^*(k,F)\to H^*(k',F)$ は同型である。
(3) 有限次分離拡大 $k'/k$ について、制限と余制限の合成 $\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}$ は $[k':k]$ 倍である。有限次拡大 $\pi\colon\operatorname{Spec}k'\to\operatorname{Spec}k$ の順像 $\pi_*$ は完全なので $H^p(k',F)=H^p(k,\pi_*F)$ で（分離的なら Shapiro の補題の言い換え）、$F$ が $\ell$ 捩れなら $\pi_*F$ も $\ell$ 捩れである。

スキーム $X$ の可逆層 $\mathbb L$ に $\mathbf G_m$ トルソー $\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ を対応させる関手は、可逆層の圏と $X_{\text{ét}}$ 上の $\mathbf G_m$ トルソーの圏の同値である（エタール降下）。したがって標準写像は同型
$$\operatorname{Pic}(X)=H^1(X_{\mathrm{Zar}},\mathcal O_X^*)\xrightarrow{\ \sim\ }H^1(X_{\text{ét}},\mathbf G_m)$$
であり、可逆層 $\mathbb L$ の類を $cl(\mathbb L)\in H^1(X_{\text{ét}},\mathbf G_m)$ と書く。体 $k$ では $H^1(k,(k^{\mathrm s})^*)=0$（Hilbert の定理 90）である。$H^2(X_{\text{ét}},\mathbf G_m)$ をコホモロジー的 Brauer 群といい、体では $\operatorname{Br}(k)=H^2(k,(k^{\mathrm s})^*)$ である。

$n\ge1$ が $X$ 上で可逆（$n\cdot1_X$ が $\mathcal O_X$ の可逆な切断）なら、$X_{\text{ét}}$ 上の列
$$0\to\mu_n\to\mathbf G_m\xrightarrow{\ x\mapsto x^n\ }\mathbf G_m\to0$$
は完全である（全射性は上の定義（エタール景とその基本）の (1) を $T^n-a$ に当てたもの）。$\mu_n$ はエタール局所的に定数層 $\mathbf Z/n$ と同型である。その余境界を $\partial$ と書き、可逆層 $\mathbb L$ の mod $n$ の第一 Chern 類を $\partial\,cl(\mathbb L)\in H^2(X,\mu_n)$ で定める。長完全列から
$$0\to\Gamma(X,\mathcal O_X)^*/n\to H^1(X,\mu_n)\to\operatorname{Pic}(X)[n]\to0,\qquad0\to\operatorname{Pic}(X)/n\xrightarrow{\partial}H^2(X,\mu_n)\to H^2(X,\mathbf G_m)[n]\to0$$
が得られる。体 $k$（$n$ が標数と素）では Kummer 理論 $H^1(k,\mu_n)\cong k^*/k^{*n}$、$H^2(k,\mu_n)\cong\operatorname{Br}(k)[n]$ である。$a\in k^*$ の像を Kummer 類 $\delta_n(a)$ と書き、$\ell$ 進の族 $\kappa(a):=(\delta_{\ell^\nu}(a))_\nu\in H^1(k,T_\ell)$ を $a$ の $\ell$ 進 Kummer 類という（$T_\ell$ は下の定義）。

1. Hasse–Brauer–Noether：完全列 $0\to\operatorname{Br}(\mathbf Q)\to\bigoplus_v\operatorname{Br}(\mathbf Q_v)\xrightarrow{\ \Sigma\ }\mathbf Q/\mathbf Z\to0$ があり（$v$ は素数と無限素点、$\operatorname{Br}(\mathbf R)=\frac12\mathbf Z/\mathbf Z$）、$\operatorname{Br}(\mathbf Q_p)\cong\mathbf Q/\mathbf Z$ である。
2. 体 $K$ と有理関数体 $K(t)$ について $\operatorname{Br}(K)\to\operatorname{Br}(K(t))$ は単射である。

1. 固有底変換（SGA4 XII 5.1）：$f\colon P\to X$ を固有射、$F$ を $P$ 上の捩れ層とすると、幾何的な点 $\bar x$ について $(R^qf_*F)_{\bar x}\cong H^q(P_{\bar x},F|_{P_{\bar x}})$ であり、より一般に任意の底の取り替え $X'\to X$ と $R^qf_*$ は可換である。
2. 特殊化（SGA4 XVI 2.2）：$f$ が固有かつ滑らかで $n$ が $X$ 上で可逆なら、$R^qf_*(\mathbf Z/n)$ は茎が有限な局所定数層であり、幾何的な点の特殊化 $\bar s\leadsto\bar\eta$ について特殊化写像 $H^q(P_{\bar s},\mathbf Z/n)\to H^q(P_{\bar\eta},\mathbf Z/n)$ は同型である。
3. 分離閉体の拡大：$X$ が分離閉体 $k$ 上有限型、$K\supset k$ が分離閉体、$n$ が $k$ で可逆なら、$H^q(X,\mathbf Z/n)\to H^q(X_K,\mathbf Z/n)$ は同型である。

$k$ を分離閉体、$n$ を $k$ で可逆な整数とする。
(1) 射影空間：$r\ge1$、$\xi=\partial\,cl(\mathcal O(1))\in H^2(\mathbf P^{r-1}_k,\mu_n)$ とすると、$0\le i\le r-1$ で $H^{2i}(\mathbf P^{r-1}_k,\mu_n^{\otimes i})\cong\mathbf Z/n$ は $\xi^i$ で生成され、それ以外の次数のコホモロジー（任意の捩れの係数 $\mu_n^{\otimes j}$ で）は消える。同型 $\mu_n\cong\mathbf Z/n$ を一つ選び $\eta$ を $\xi$ の像とすれば、任意の $\mathbf Z/n$ 加群 $M$ について $H^*(\mathbf P^{r-1}_k,M)\cong M\otimes_{\mathbf Z/n}(\mathbf Z/n)[\eta]/(\eta^r)$ である。
(2) 乗法群：$\mathbf G_{m,k}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ について $H^0(\mathbf G_m,\mathbf Z/n)=\mathbf Z/n$、$H^1(\mathbf G_m,\mu_n)\cong\mathbf Z/n$ は座標 $t$ の Kummer 類 $\delta_n(t)$ で生成され、$H^q(\mathbf G_m,\cdot)=0$（$q\ge2$、捩れ係数）である。

$\pi\colon V\to X$ をベクトル束を群とするトルソー（エタール局所的に $\mathbf A^m_X\to X$ と同型）とし、$F$ を $X$ 上で可逆な $n$ で消える層とすると、$F\to R\pi_*\pi^*F$ は同型である。とくに $H^*(X,F)\cong H^*(V,\pi^*F)$（SGA4 XV）。

$X$ を $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的なスキーム、$X^{\mathrm{an}}$ をその複素解析空間とする。エタールな $U\to X$ に局所同相 $U^{\mathrm{an}}\to X^{\mathrm{an}}$ を対応させて、トポスの射 $g\colon X^{\mathrm{an}}\to X_{\text{ét}}$ が定まる。構成可能な捩れ層 $F$ について
$$H^q(X_{\text{ét}},F)\xrightarrow{\ \sim\ }H^q(X^{\mathrm{an}},g^*F)$$
である（SGA4 XVI 4.1）。$X^{\mathrm{an}}$ は Hausdorff、局所可縮かつパラコンパクトで、層コホモロジーは特異コホモロジーに等しい。さらに $X^{\mathrm{an}}$ は有限 CW 複体とホモトピー同値（三角形分割。Łojasiewicz Loj64）で、$H^*(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z)$ は有限生成である。$\mathbf C$ の上では $\mu_n(\mathbf C)$ を $\varphi(1)=\exp(2\pi i/n)$ で $\mathbf Z/n$ と同一視する。この同一視は $n$ について両立するので、有限群の射影系の極限をとって $H^q(X,T_\ell^{\otimes i})\cong H^q(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z)\otimes\mathbf Z_\ell$（すべての $i$）を得る。

$k$ を分離閉体、$\ell$ を標数と異なる素数とする。
(1) $X$ が $k$ 上固有なら $H^q(X,\mathbf Z/\ell^\nu)$ は有限で、$H^q(X,\mathbf Z_\ell):=\varprojlim_\nu H^q(X,\mathbf Z/\ell^\nu)$ は有限生成 $\mathbf Z_\ell$ 加群であり、完全列 $0\to H^q(X,\mathbf Z_\ell)/\ell^\nu\to H^q(X,\mathbf Z/\ell^\nu)\to H^{q+1}(X,\mathbf Z_\ell)[\ell^\nu]\to0$ がある。
(2) $X$ が $k$ 上有限型なら、$\ell$ 捩れ層 $F$ について $q>2\dim X$ で $H^q(X,F)=0$ であり、$X$ がアフィンなら $q>\dim X$ で $0$ である（SGA4 X・XIV）。
(3) スキーム $X$ について、$q>n$ ならある $s$ ですべての $\ell$ 捩れエタール層 $F$ について $\ell^sH^q(X,F)=0$、となる $n$ の下限を $\operatorname{cd}_{\mathbf Q_\ell}(X)$ と書く（原論文 5.2 の量）。

上の予想（Weil 予想（固有値の絶対値））は $j=1$ で成り立つ。実際、$X$ が連結なら $H^0(X,\mathbf G_m)=\bar{\mathbf F}_q^*$ は可除なので、Kummer 列から $H^1(X,\mu_{\ell^\nu})\cong\operatorname{Pic}(X)[\ell^\nu]$、極限で $H^1(X,T_\ell)\cong T_\ell\operatorname{Pic}(X)$ となる。Néron–Severi 群は有限生成なので右辺は Picard 多様体の Tate 加群に等しく、同型は Frobenius と両立する。その固有値の絶対値は、アーベル多様体の Riemann 予想（Weil、1948 年。Lan58）で決まり、Tate 捩れによる $q$ 倍のずれを戻すと $H^1(X,\mathbf Q_\ell)$ で $q^{1/2}$ となる。

体 $k$ と $\ell\ne\operatorname{char}k$ について $\operatorname{cd}_\ell(k):=\operatorname{cd}_\ell(\pi_k)$（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』）とする。
(1) 分離閉体では $0$、有限体では $1$ である。
(2) Serre の不等式：任意の拡大 $K/k$ について $\operatorname{cd}_\ell(K)\le\operatorname{cd}_\ell(k)+\operatorname{deg.tr}K/k$ で、$K/k$ が有限生成かつ $\operatorname{cd}_\ell(k)<\infty$ なら等号が成り立つ。
(3) 数体：$\ell$ が奇数なら $\operatorname{cd}_\ell(\mathbf Q)=2$。$\mathbf R$ に埋め込める体では $\operatorname{cd}_2=+\infty$（複素共役が位数 2 の元を与える）で、$\operatorname{cd}_2(\mathbf Q(\sqrt{-1}))=2$ である。
(4) したがって素体 $P$ 上有限生成の体 $k$ について、標数 $p>0$ なら $\operatorname{cd}_\ell(k)=1+\operatorname{deg.tr}k/P$、標数 $0$ で $\ell$ が奇数なら $\operatorname{cd}_\ell(k)=2+\operatorname{deg.tr}k/P$ である。

$k$ を完全体、$p=\operatorname{char}k\ge0$、$L=k(\!(t)\!)$ とする。$L$ の最大不分岐拡大の Galois 群は $\pi_k$ で、惰性群 $I$ は pro-$p$ の正規部分群 $W$（$p=0$ なら $W=1$）をもち、
$$I/W\cong\prod_{\ell'\ne p}\mathbf Z_{\ell'}(1),\qquad\sigma\mapsto\bigl(\sigma(t^{1/m})/t^{1/m}\bigr)_{(m,p)=1}$$
は標準的な同型である。$L_1=\bigcup_{(m,p)=1}k(\!(t^{1/m})\!)$ は $L$ 上全分岐で最大不分岐拡大と $L$ でしか交わらないので、馴分岐商 $\pi_L/W$ は $(I/W)\rtimes\pi_k$ と分裂する。帰結として、$p$ と素な $n$ で消える $\pi_k$ 加群 $M$ について、分裂する完全列
$$0\to H^q(k,M)\to H^q(L,M)\xrightarrow{\ \mathrm{res}\ }H^{q-1}(k,M\otimes\mu_n^{\otimes(-1)})\to0$$
があり（Hochschild–Serre による。右の写像を留数という）、$\delta_n(t)\in H^1(L,\mu_n)$ の留数は符号の約束を除いて $1\in H^0(k,\mathbf Z/n)$ である。