0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー
本書で引用として使う微分形式の要点（Kähler 微分と de Rham 複体、体と数体の整数環の Kähler 微分、超コホモロジーとフィルトレーションのスペクトル系列、de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー、射影空間の Hodge コホモロジー、複素数体の上の比較定理、解析的な場合の de Rham の定理、対数微分と指数列の比較、Cartier 作用素、留数、Atiyah 拡大と接続）を集めた頁である。各項目は要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。案内に挙げる文献の章の番号は目安で、本書は該当箇所を確かめていない。証明の多くは参考書『代数的 de Rham コホモロジー』に委ねる。群のコホモロジーと体の上の複体の扱いは本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』に、位相的 Chern 類と Chern–Weil 理論は本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』にある。
前提知識: Kähler微分, de Rhamコホモロジー, 超コホモロジー, Hodge分解, スペクトル系列, 接続(ベクトル束)
Kähler 微分と de Rham 複体
原論文の §6 は、$\ell$ 進コホモロジーの代わりに de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジーを係数にとって Chern 類を作る。その類は基礎環の絶対的な微分 $\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ に値をとるので、係数環の Kähler 微分がどれだけ大きいかで理論の豊かさが決まる。ここでは本書の第 7 章が使う Kähler 微分の事実をまとめる。
可換環の準同型 $A\to B$ について、$B$ 加群 $\Omega^1_{B/A}$ と $A$ 導分 $d\colon B\to\Omega^1_{B/A}$ の組で、任意の $B$ 加群 $M$ への $A$ 導分が $d$ を経由してただ一通りに $B$ 線形写像から得られるものを、$B$ の $A$ 上の Kähler 微分という。$\Omega^p_{B/A}:=\bigwedge^p_B\Omega^1_{B/A}$ とし、$d$ を $d(b_0\,db_1\wedge\cdots\wedge db_p)=db_0\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_p$ で延ばすと $d\circ d=0$ で、次数付き可換な微分次数付き代数 $\Omega^\bullet_{B/A}$（de Rham 複体）を得る。スキームの射 $X\to S$ についても同じく層 $\Omega^p_{X/S}$ と de Rham 複体 $\Omega^\bullet_{X/S}$ が定まり、微分は $\mathcal O_S$ 線形だが $\mathcal O_X$ 線形でない。
(1) 関手性：可換な四角形 $X'\to X$、$S'\to S$ は複体の射 $\Omega^\bullet_{X/S}\to\Omega^\bullet_{X'/S'}$（の順像への射）を与え、外積と両立する。とくに $\Omega^\bullet_{X/\mathbf Z}\to\Omega^\bullet_{X/S}$ がある。群が $X$ に $S$ 自己同型で作用すれば、複体に両立して作用する。
(2) 閉形式と対数微分：$\mathcal Z^1\subset\Omega^1_{X/S}$ を閉 1 形式の層とする。$D(f):=df/f$ は層の準同型 $D\colon\mathcal O_X^*\to\mathcal Z^1$ で、$D(fg)=D(f)+D(g)$ を満たす。
- 使いどころ：本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』（(1)(2)：de Rham 型と Hodge 型の第一 Chern 類の定義と関手性）、本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』（(1)：作用群つきの複体）。
- 案内：Kähler微分、de Rham複体、EGA4 第 0 章 20・21、Har66。参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』。
- 第一基本完全列：環の準同型 $A\to B\to C$ について $C\otimes_B\Omega^1_{B/A}\to\Omega^1_{C/A}\to\Omega^1_{C/B}\to0$ は完全である。Kähler 微分は局所化と可換で、全射 $B\to B/I$ については $\Omega^1_{(B/I)/B}=0$ である。とくに素体 $P$ について $\Omega^1_{P/\mathbf Z}=0$（$\mathbf Q$ は $\mathbf Z$ の局所化、$\mathbf F_p$ は商）。
- 分離的な拡大：体の拡大 $K'/K$ が分離的なら、$\Omega^1_{K/A}\otimes_KK'\to\Omega^1_{K'/A}$ は単射であり、$K'/K$ が分離代数的なら同型である（$A\subset K$ は部分環）。
- 標数 0：$K$ を標数 $0$ の体、$(t_\alpha)$ を $K$ の $\mathbf Q$ 上の超越基底とすると、$(dt_\alpha)$ は $\Omega^1_{K/\mathbf Q}$ の $K$ 上の基底である。したがって $x\in K$ について $dx=0$ は $x$ が $\mathbf Q$ 上代数的であることと同値で、$K$ が $\mathbf Q$ 上有限生成なら $\dim_K\Omega^1_{K/\mathbf Q}=\operatorname{deg.tr}(K/\mathbf Q)$ である。
- 標数 $p$：$K$ を標数 $p>0$ の体とすると、$\mathbf F_p$ 上の導分は $p$ 乗を消すので $\Omega^1_{K/\mathbf F_p}=\Omega^1_{K/K^p}$ であり、$K$ の $p$ 基底 $(x_\alpha)$ について $(dx_\alpha)$ はその基底である。$x\in K$ について $dx=0$ は $x\in K^p$ と同値で、$K$ が完全なら $\Omega^1_{K/\mathbf F_p}=0$ である。$K$ が $\mathbf F_p$ 上有限生成なら $\dim_K\Omega^1_{K/\mathbf F_p}=\operatorname{deg.tr}(K/\mathbf F_p)$。
- 滑らかな射：$X\to S$ が相対次元 $n$ の滑らかな射なら、$\Omega^1_{X/S}$ は階数 $n$ の局所自由層で、$i>n$ で $\Omega^i_{X/S}=0$ である。
(1)(2) から、体 $k$ の中の素体 $P$ の代数閉包を $k_0$ とすると $\Omega^\bullet_{k/\mathbf Z}=\Omega^\bullet_{k/P}=\Omega^\bullet_{k/k_0}$ となる。原論文 6.6 の「係数を取り替えても複体が変わらない」の中身はこれで、本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』で確かめる。
- 使いどころ：本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』（(1)(2)(4)：係数環の取り替えと、微分形式が消える係数環）、本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』（(2)(3)(4)：指標の Hodge 型第一 Chern 類が 0 になる条件と拡大での単射性）、本書『7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類』（(3)(4)(5)：次元による消滅）。
- 案内：Kähler微分、p基底、EGA4 第 0 章 20・21。
原論文 6.10 は係数環を数体の整数環にとる。そのときの微分は分岐だけを見る。
$k$ を数体、$A$ をその整数環とする。
(1) $\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は有限な捩れ $A$ 加群で、分岐する素イデアルの上にだけ台をもつ。素イデアル $\mathfrak p$ での完備化 $\widehat A_{\mathfrak p}$ は $\mathbf Z_p$ 上一つの元 $\alpha$ で生成され（$\widehat A_{\mathfrak p}=\mathbf Z_p[\alpha]$ の型）、$\alpha$ の最小多項式を $f$ とすると $\Omega^1_{A/\mathbf Z}\otimes\widehat A_{\mathfrak p}\cong\widehat A_{\mathfrak p}/(f'(\alpha))$ は単項生成である。$\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ の零化イデアルは差積 $\mathfrak D_{A/\mathbf Z}$ である（Ser62 第 III 章の命題 14 の型）。
(2) $\Omega^1_{A/\mathbf Z}=0$ は、$A$ が $\mathbf Z$ 上不分岐であることと同値である。
(3) Minkowski の定理：$k\ne\mathbf Q$ なら $k$ の判別式の絶対値は $1$ より大きく、したがって分岐する素数がある（Lan64）。
$A=\mathbf Z[\sqrt2]=\mathbf Z[x]/(x^2-2)$ とすると、$\Omega^1_{A/\mathbf Z}=A\,dx/(2x\,dx)\cong A/(2\sqrt2)$ である。$2\sqrt2=\sqrt2^{\,3}$ なので、これは $A/(\sqrt2)^3$、位数 $8$ の捩れ加群で、零化イデアル $(2\sqrt2)$ は差積であり、そのノルム $8$ は $\mathbf Q(\sqrt2)$ の判別式に等しい。$\Omega^1_{A/\mathbf Z}$ は単項生成なので $\Omega^2_{A/\mathbf Z}=0$ である。
- 使いどころ：本書『7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類』（(1)(2)(3)：原論文 (6.22) の整数環の微分と円分体の例）、本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』（(2)：$\Omega^1_{\mathbf Z/\mathbf Z}=0$ と局所化）。
- 案内：差積、分岐、Ser62 第 III 章、Lan64。
超コホモロジーとスペクトル系列
de Rham コホモロジーは層の複体のコホモロジー、すなわち超コホモロジーである。原論文の §6 は、作用群つきの場合も含めてこれを使う。
位相空間またはトポス $X$ の上のアーベル群の層の有界下の複体 $K^\bullet$ について、単射的な層の複体への擬同型 $K^\bullet\to I^\bullet$ をとり、$\mathbb H^n(X,K^\bullet):=H^n(\Gamma(X,I^\bullet))$ を超コホモロジーという。導来圏の言葉では $\mathbb H^n(X,K^\bullet)=H^nR\Gamma(X,K^\bullet)$ である。
(1) 擬同型不変性と計算：擬同型は超コホモロジーの同型を誘導する。各項が $\Gamma$ 非輪状な複体への擬同型でも計算できる（細層・軟層・脆弱層、分離的なスキームのアフィン被覆に関する準連接層の Čech 複体）。$X$ がアフィンスキームで各項が準連接なら $\mathbb H^n(X,K^\bullet)=H^n(\Gamma(X,K^\bullet))$ である。
(2) フィルトレーションのスペクトル系列：部分複体による減少フィルトレーション $F^pK^\bullet$（有限の長さ、または各次数で有限）について、スペクトル系列 $E_1^{p,q}=\mathbb H^{p+q}(X,\operatorname{gr}^pK^\bullet)\Rightarrow\mathbb H^{p+q}(X,K^\bullet)$ があり、収束先のフィルトレーションは $\mathbb H(X,F^pK^\bullet)\to\mathbb H(X,K^\bullet)$ の像である。$E_1^{p,q}$ の元が永続的な輪体である（すべての $d_r$ で $0$ に送られる）ことは、それが $\mathbb H^{p+q}(X,F^pK^\bullet)$ の元の像であることと同値で、そのとき $E_\infty^{p,q}=\operatorname{gr}^p\mathbb H^{p+q}(X,K^\bullet)$ でのその元の類は、持ち上げの $\mathbb H^{p+q}(X,K^\bullet)$ での像の類である。愚直な切り落とし $\sigma_{\ge p}K^\bullet$（次数 $p$ 未満の項を $0$ にした部分複体）では $\operatorname{gr}^p=K^p[-p]$ で、$E_1^{p,q}=H^q(X,K^p)$ となる。
(3) 積：次数付き可換な微分次数付き代数の層 $K^\bullet$ について、外積から cup 積 $\mathbb H^a\times\mathbb H^b\to\mathbb H^{a+b}$ が定まり、結合的で全次数について次数付き可換である。フィルトレーションが乗法的（$F^a\cdot F^b\subset F^{a+b}$）なら、(2) のスペクトル系列は乗法的で、収束先のフィルトレーションも乗法的である。
(4) 作用群つき：群 $G$ が $X$ と $K^\bullet$ に両立して作用するとき、混合超コホモロジー $\mathbb H^n(X,G;K^\bullet):=H^nR\Gamma(G,R\Gamma(X,K^\bullet))$ が定まり、(1)〜(3) が同じ形で成り立つ。$G$ が $X$ に自明に作用し $X$ がアフィンで各項が準連接なら、これは群の超コホモロジー $H^nR\Gamma(G,\Gamma(X,K^\bullet))$ である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）。
- の最後の形では、係数が体の上の線形空間の複体なら、複体はそのコホモロジーとホモトピー同値になる（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の普遍係数定理の (4)）。本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』はこれを使って、係数を拡大したときの単射性を群の超コホモロジーへ移す。
- 使いどころ：本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』（(2)(3)：Hodge–de Rham スペクトル系列と環構造）、本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』（(4)：作用群つきの類と、係数環が体や整数環のときの群の超コホモロジー）、本書『7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類』（(4)：作用が自明なときの Künneth 公式）。
- 案内：超コホモロジー、スペクトル系列、GroT57 第 II 章、GodTAF58、Har66。参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』。
de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー
de Rham 複体の超コホモロジーが de Rham コホモロジーで、同じ層を微分 $0$ で並べた複体のコホモロジーが Hodge コホモロジーである。両者は愚直な切り落としのスペクトル系列で結ばれる。
スキームの射 $X\to S$ について、de Rham コホモロジーを $H^n_{\mathrm{DR}}(X/S):=\mathbb H^n(X,\Omega^\bullet_{X/S})$（$X$ は Zariski 位相）、Hodge コホモロジーを $H^n_{\mathrm{Hdg}}(X/S):=\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q}_{\mathrm{Hdg}}(X/S)$、$H^{p,q}_{\mathrm{Hdg}}(X/S):=H^q(X,\Omega^p_{X/S})$ で定める（全次数は $p+q$）。後者は層 $\Omega^p_{X/S}$ を微分 $0$ で並べた複体の超コホモロジーである。
(1) フィルトレーション：$\operatorname{Filt}^pH^n_{\mathrm{DR}}(X/S)$ を $\mathbb H^n(X,\sigma_{\ge p}\Omega^\bullet_{X/S})\to H^n_{\mathrm{DR}}(X/S)$ の像とする。これは減少で、$\operatorname{Filt}^0=H^n_{\mathrm{DR}}$、$p>n$ で $\operatorname{Filt}^p=0$ である。本書はこの番号づけに固定する（本書『0-6 記号と約束』）。
(2) Hodge–de Rham スペクトル系列：上の定義（複体の超コホモロジー）の (2) を愚直な切り落としに当てると、$E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/S})\Rightarrow H^{p+q}_{\mathrm{DR}}(X/S)$ が得られ、収束先のフィルトレーションは (1) の $\operatorname{Filt}^p$、$E_1$ の微分は $d\colon\Omega^p\to\Omega^{p+1}$ が誘導する写像である。
(3) 作用群つき：群 $G$ が $X$ に $S$ 自己同型で作用するとき、混合超コホモロジーで $H^n_{\mathrm{DR}}(X/S,G):=\mathbb H^n(X,G;\Omega^\bullet_{X/S})$、$H^{p,q}_{\mathrm{Hdg}}(X/S,G):=H^q(X,G;\Omega^p_{X/S})$ を定め、(1)(2) を同じく考える。
- の系列が乗法的であること、第一 Chern 類がその中のどこにあるかは、原論文 6.1〜6.4 の内容で、本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』で示す。
- 使いどころ：本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』（(1)(2)：原論文 (6.1)〜(6.4)）、本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』・本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』（(3)：係数環 $A$ の上の群の超コホモロジー $\mathbb H^*(G,\Omega^\bullet_{A/\mathbf Z})$ と $H^q(G,\Omega^p_{A/\mathbf Z})$）。
- 案内：de Rhamコホモロジー、Hodgeコホモロジー、Hodge–de Rhamスペクトル系列。参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』『4-1 退化と自然な分裂の不在』。
$k$ を体（標数は任意）とする。
(1) $H^q(\mathbf P^n_k,\Omega^p)$ は $0\le p=q\le n$ のとき $k$ で、それ以外は $0$ である。$h:=D(\eta)\in H^1(\mathbf P^n_k,\Omega^1)$（$\eta$ は $\mathcal O(1)$ の類 $\in H^1(\mathbf P^n,\mathcal O^*)$）について、$h^p$ が $H^p(\mathbf P^n_k,\Omega^p)$ の基底である。
(2) 射影束の構造層：スキーム $X$ 上の局所自由加群の射影束 $f\colon P\to X$ について $R^qf_*\mathcal O_P=0$（$q>0$）、$f_*\mathcal O_P=\mathcal O_X$ である（EGA2 と EGA3 2.1.12 の型）。射影束の塔である旗束についても同じで、したがって $f^*\colon H^*(X,\mathcal O_X)\to H^*(P,\mathcal O_P)$ は同型である。作用群つきでも同じ（混合コホモロジーのスペクトル系列による）。
(3) Künneth 公式：$X$、$Y$ を $k$ 上の準コンパクトで分離的なスキームとすると、準連接層 $\mathcal F$、$\mathcal G$ について $H^n(X\times_kY,\mathcal F\boxtimes\mathcal G)\cong\bigoplus_{a+b=n}H^a(X,\mathcal F)\otimes_kH^b(Y,\mathcal G)$（cup 積で与えられる）。$\Omega^m_{X\times Y/k}=\bigoplus_{a+b=m}\Omega^a_{X/k}\boxtimes\Omega^b_{Y/k}$ なので、Hodge コホモロジーは二重次数を込めて積のテンソル積になる。
一般の底の上の射影束について、de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジーの射影束公式（原論文 (6.10)）を原論文は Illusie の準備中の論文に委ねる。本書はこれを第 0 章で引かず、本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』で原論文の状態のまま扱う。
- 使いどころ：本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』（(2)：de Rham 型の類がフィルトレーション 1 に入ることの証明での旗束）、本書『7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類』（(1)(3)：標数 2 の射影直線の積の上の反例）。
- 案内：射影空間、Künneth公式、EGA2。参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』。
複素数体の上の比較と解析的な場合
原論文 (6.14) は、複素数体の上で de Rham 型の Chern 類を超越的な整係数の類と比べる。原論文 6.5 は実解析多様体と可微分多様体の上の変種も考える。どちらも次の比較の事実に立つ。
- Grothendieck Gro66（1966 年）：$X$ が $\mathbf C$ 上有限型で滑らかなら、自然な環の同型 $H^*_{\mathrm{DR}}(X/\mathbf C)\cong H^*(X^{\mathrm{an}},\mathbf C)$ がある。これは、解析的な de Rham 複体が定数層 $\mathbf C$ の分解であること（正則な Poincaré の補題）と、代数的な de Rham 複体と解析的な de Rham 複体の比較からなる。$X$ が固有なら後者は GAGA から出る。
- Hodge 理論：$X$ が $\mathbf C$ 上射影的で滑らかなら、Hodge–de Rham スペクトル系列は $E_1$ で退化し、$H^n(X^{\mathrm{an}},\mathbf C)=\bigoplus_{p+q=n}H^q(X,\Omega^p_X)$（Hodge 分解）で、$\operatorname{Filt}^p$ は Hodge フィルトレーションである。
- 使いどころ：本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』（(1)：比較 (6.14) の $H^*(X^{\mathrm{an}},\mathbf C)\simeq H^*_{\mathrm{DR}}(X/\mathbf C)$）。
- 案内：de Rhamの比較定理、Hodge分解、GAGAの原理、Gro66。参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『0-4 複素解析空間と GAGA』『1-2 解析化と比較写像』。
- de Rham の定理：可微分多様体 $M$ の上で、複素数値 $C^\infty$ 微分形式の層の複体 $\mathcal A^\bullet_M$ は Poincaré の補題により定数層 $\mathbf C$ の分解で、各 $\mathcal A^p_M$ は $C^\infty$ 関数の層の上の加群なので細層である。したがって $H^*(\Gamma(M,\mathcal A^\bullet_M))\cong H^*(M,\mathbf C)$ は環の同型で、$q>0$ で $H^q(M,\mathcal A^p_M)=0$ である。
- 細層と軟層は $\Gamma$ 非輪状である（GodTAF58）。
- 正則な Poincaré の補題：複素多様体 $X$ の上で、正則微分形式の複体 $\Omega^\bullet_X$ は定数層 $\mathbf C$ の分解である。
- Cartan の定理 B の実解析版：可算基をもつ実解析多様体の上の連接解析層の高次コホモロジーは消える（H. Cartan Car57、1957 年）。とくに実解析的な微分形式の層 $\Omega^p$ について $H^q(M,\Omega^p)=0$（$q>0$）である。本書は確かめていない。
- 使いどころ：本書『7-2 作用群つきの場合と係数環が小さい場合』（(1)(2)(4)：実解析多様体と可微分多様体の上の Hodge 変種の類が $0$ であること、de Rham 変種が通常の Chern 類を与えること。この (2) は Chern–Weil 理論〔本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』〕ではなく、Leray–Hirsch の定理と対数微分・指数列の比較で閉じる）、本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』（(3)）。
- 案内：de Rhamの定理、細層、Cartanの定理B、GodTAF58。参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『0-4 複素解析空間と GAGA』。
対数微分で作る第一 Chern 類と、指数列で作る整係数の第一 Chern 類の間には $2\pi i$ の因子が入る。原論文 (6.14) はこれを Atiyah の結果として引く。
$X$ を複素多様体、$\mathcal Z^1_X$ を正則な閉 1 形式の層とする。二つの短完全列
$$0\to\mathbf Z\to\mathcal O_X\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathcal O_X^*\to0,\qquad0\to\mathbf C\to\mathcal O_X\xrightarrow{\ d\ }\mathcal Z^1_X\to0$$
（後者の完全性は正則な Poincaré の補題）の間に、成分が $2\pi i$ 倍、$2\pi i$ 倍、$D$ の短完全列の射がある（$D(\exp(2\pi if))=2\pi i\,df$）。余境界の自然性から、$\eta\in H^1(X,\mathcal O_X^*)$ について
$$\delta_{d}(D\eta)=2\pi i\cdot\iota(\delta_{\exp}\eta)\in H^2(X,\mathbf C)$$
である（$\iota\colon H^2(X,\mathbf Z)\to H^2(X,\mathbf C)$）。一方、正則な de Rham 複体による同型 $H^2(X,\mathbf C)\cong\mathbb H^2(X,\Omega^\bullet_X)$ で、$\delta_d$ は（符号を除いて）複体の射 $\mathcal Z^1_X[-1]\to\Omega^\bullet_X$（次数 1 での包含）が誘導する写像に当たる。したがって、直線束の対数微分の類の de Rham コホモロジーでの像は、指数列による整係数の第一 Chern 類の像の $2\pi i$ 倍に、普遍的な符号を除いて等しい（Atiyah Ati57 の命題 12）。
符号は余境界と $\mathcal Z^1_X[-1]$ のずらしの約束で決まり、本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』で約束を固定してから (6.14) を述べる。
- 使いどころ：本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』（原論文 (6.14) の第一 Chern 類の場合）。
- 案内：指数完全列、対数微分、Ati57。参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』。
標数 p の Cartier 作用素と留数
原論文 6.7 は、係数体が大きいとき Hodge 型の第一 Chern 類が $0$ でなければ de Rham 型も $0$ でないことを、標数 $0$ では留数で、標数 $p$ では Cartier 作用素で確かめよ、と読者に任せる。どちらの道具も、対数微分 $dy/y$ が完全形式にならないことを見るためのものである。
$K$ を標数 $p>0$ の体とし、$\Omega^\bullet_K:=\Omega^\bullet_{K/\mathbf F_p}$、$\mathcal Z^i$、$\mathcal B^i$ をその閉形式と完全形式の空間とする。$d$ は $K^p$ 線形である。
(1) Cartier 同型：加法的な写像 $C^{-1}\colon\Omega^i_K\to H^i(\Omega^\bullet_K)=\mathcal Z^i/\mathcal B^i$ で、$C^{-1}(a\omega)=a^pC^{-1}(\omega)$、$C^{-1}(da)=[a^{p-1}da]$、外積と両立するものがただ一つあり、全単射である。
(2) Cartier 作用素：合成 $C\colon\mathcal Z^i\to H^i(\Omega^\bullet_K)\xrightarrow{(C^{-1})^{-1}}\Omega^i_K$ は $C(\mathcal B^i)=0$（とくに $C(dx)=0$）、$C(x^p\omega)=xC(\omega)$、$C(dy/y)=dy/y$（$y\in K^*$）を満たす。最後の式は $C^{-1}(dy/y)=y^{-p}y^{p-1}dy=dy/y$ による。
(3) 同じことが、完全体の上の滑らかな代数と、その上の滑らかなスキームについて層の形で成り立つ（Cartier）。体 $K$ の場合は、$K$ が $\mathbf F_p$ 上有限生成な部分体（分離生成なので滑らかな代数の局所化）の帰納極限であることから従う。
$K=\mathbf F_p(t)$ では $\Omega^1_K=K\,dt$ で、1 形式はすべて閉である。$C^{-1}(t^jdt)=t^{pj+p-1}dt$ なので、$C(t^mdt)$ は $p\mid m+1$ なら $t^{(m+1)/p-1}dt$、そうでなければ $0$ である（後者は $t^mdt=d(t^{m+1}/(m+1))$ で完全）。とくに $C(dt/t)=dt/t\ne0$ で、$dt/t$ は完全形式でない。同じく $C(t^{p-1}dt)=dt\ne0$ で、$t^{p-1}dt$ も完全形式でない（$d(t^p)=pt^{p-1}dt=0$ なので、標数 $0$ のように $t^p/p$ の微分として書けない）。
- 使いどころ：本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』（(1)(2)：$dy/y=dx$ から $dx=dy=0$ を導く段と、分離的な拡大での de Rham コホモロジーの単射性）。
- 案内：Cartier作用素、p基底。参考書『結晶コホモロジーの構想』の頁『0-2 de Rham コホモロジーと比較定理の復習』。
- Laurent 級数：$K$ を体、$L=K(\!(t)\!)$ とし、$K$ 上の連続な微分を $d(\sum a_mt^m)=\sum ma_mt^{m-1}dt$ で定める。$\operatorname{Res}(\sum a_mt^mdt):=a_{-1}$ とおくと、任意の $g\in L$ について $\operatorname{Res}(dg)=0$、$y\in L^*$ について $\operatorname{Res}(dy/y)=\operatorname{ord}_t(y)\cdot1$ である（標数は任意。標数 $p$ では右辺は $\operatorname{ord}_t(y)$ の mod $p$ の像）。
- 代数曲線：$k$ を標数 $0$ の代数閉体、$C$ を $k$ 上の滑らかな射影曲線とする。有理微分形式 $\omega$ と点 $P$ について、局所パラメータで $\omega$ を Laurent 展開して得る留数 $\operatorname{res}_P(\omega)\in k$ はパラメータの取り方に依らず、$\operatorname{res}_P(df)=0$、$\operatorname{res}_P(dy/y)=\operatorname{ord}_P(y)$、$\sum_P\operatorname{res}_P(\omega)=0$（留数定理）が成り立つ。
- $C$ の上の有理関数 $y$ で $\operatorname{div}(y)=0$ となるものは定数である。
- の $\operatorname{Res}(dg)=0$ は、$d(a_mt^m)=ma_mt^{m-1}dt$ の $t^{-1}dt$ の係数が $m=0$ のときの $0\cdot a_0$ であることから直ちに出る。
- 使いどころ：本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』（(2)(3)：標数 $0$ で $dy/y=dx$ なら $y$ が定数であること、(1)：有理関数体の上の最高次の類が完全形式にならないこと）。本書『6-3 Kummer 類の積と捩れでない高次の類』の Galois コホモロジーの留数は別のもので、本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の局所体の馴分岐商にある。
- 案内：留数、代数曲線、留数定理。
Atiyah 拡大と接続
原論文 6.11 は、Hodge 型の Chern 類を Atiyah 類の冪の特性多項式の係数として作る別の道を示し、前の定義との一致を Giraud の準備中の著作に委ねる。ここでは Atiyah 類の定義と、接続との関係をまとめる。原論文は Atiyah 類を $c(\mathbb E)$ と書くが、全 Chern 類と同じ文字になるので、本書は $\operatorname{At}(\mathbb E)$ と書く。
$X\to S$ をスキームの射、$\mathbb E$ を $X$ 上の階数 $r$ の局所自由加群とする。
(1) 主部分の形：$\mathbb E$ の 1 次主部分 $P^1_{X/S}(\mathbb E)$（対角線の 1 次の無限小近傍の構造層と $\mathbb E$ のテンソル積の順像）は $\mathcal O_X$ 加群の完全列 $0\to\Omega^1_{X/S}\otimes\mathbb E\to P^1_{X/S}(\mathbb E)\to\mathbb E\to0$ をもつ。その類 $\operatorname{At}(\mathbb E)\in\operatorname{Ext}^1_{\mathcal O_X}(\mathbb E,\Omega^1_{X/S}\otimes\mathbb E)=H^1(X,\operatorname{End}\mathbb E\otimes\Omega^1_{X/S})$ を Atiyah 類という。
(2) 接続：この列の $\mathcal O_X$ 線形な分裂は、$\mathbb E$ の $S$ 相対の接続 $\nabla\colon\mathbb E\to\Omega^1_{X/S}\otimes\mathbb E$（$\mathcal O_S$ 線形で $\nabla(fe)=df\otimes e+f\nabla e$）と一対一に対応する。$\mathbb E$ が自由になる開集合の上では接続が存在し、二つの接続の差は $\operatorname{End}\mathbb E\otimes\Omega^1_{X/S}$ の切断である。したがって局所的な接続 $\nabla_i$ の差 $\nabla_i-\nabla_j$ が $\operatorname{At}(\mathbb E)$ を代表する Čech コサイクルで、$\operatorname{At}(\mathbb E)=0$ は大域的な接続が存在することと同値である。$\mathbb E$ を変換行列 $g_{ij}$ で張り合わせ、各座標で $\nabla_i=d$ とすれば、コサイクルは $g_{ij}^{-1}dg_{ij}$ の形になる（左右と符号の約束による）。
(3) 直線束と直和：可逆加群 $\mathbb L$（類 $\eta\in H^1(X,\mathcal O_X^*)$）では $\operatorname{End}\mathbb L=\mathcal O_X$ で、$\operatorname{At}(\mathbb L)=\pm D(\eta)\in H^1(X,\Omega^1_{X/S})$ である。直和については $\operatorname{At}(\mathbb E_1\oplus\mathbb E_2)$ は $\operatorname{At}(\mathbb E_1)$ と $\operatorname{At}(\mathbb E_2)$ の対角和である。
(4) 主束の形：$\mathbb E$ の枠の主 $\mathrm{GL}_r$ 束 $p\colon P\to X$ について、完全列 $0\to p^*\Omega^1_{X/S}\to\Omega^1_{P/S}\to\Omega^1_{P/X}\to0$ を $\mathrm{GL}_r$ の作用で $X$ に降下させ、$\Omega^1_{P/X}$ の降下 $\operatorname{End}(\mathbb E)^\vee$ をトレース形式 $(a,b)\mapsto\operatorname{tr}(ab)$ で $\operatorname{End}(\mathbb E)$ と同一視すると、拡大 $0\to\Omega^1_{X/S}\to\operatorname{Ati}(\mathbb E)\to\operatorname{End}(\mathbb E)\to0$ を得る。その類は $H^1(X,\operatorname{End}\mathbb E\otimes\Omega^1_{X/S})$ にあり、符号の約束を除いて (1) の類に一致する（Atiyah Ati57、EGA4 16）。原論文 (6.26) はこの形で書く。
(5) 可積分性：接続の曲率 $\nabla^2\colon\mathbb E\to\Omega^2_{X/S}\otimes\mathbb E$ が $0$ のとき、接続は可積分（平坦）であるという。複素多様体の上では、可積分な正則接続をもつ正則ベクトル束は局所系と対応し（その水平切断の層）、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の平坦束に当たる。
$k$ を体、$X=\mathbf P^1_k$、$h=D(\eta_{\mathcal O(1)})\in H^1(X,\Omega^1)\cong k$ を生成元とする。上の定義（Atiyah 拡大と Atiyah 類）の (3) により $\operatorname{At}(\mathcal O(m))=\pm mh$ である。したがって $\mathcal O(m)$ が代数的な接続をもつのは、$k$ の中で $m=0$ のとき、すなわち標数 $0$ なら $m=0$、標数 $p$ なら $p\mid m$ のときに限る。標数 $p$ の $\mathcal O(p)$ は接続をもつが自明でない直線束で、Hodge 型の第一 Chern 類 $D(\eta)$ は標数 $p$ では $p$ の倍数の情報を失う。
- 使いどころ：本書『7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類』（(1)〜(4)：原論文 6.11 の構成と、特性多項式の係数による構成が標数 2 で破れる反例。反例は (3) の対角和と $\operatorname{At}(\mathbb L)=\pm D(\eta)$ だけを使う）、本書『8-2 構造論による帰着と定理の証明』（(5)：系 7.3 の可積分接続）。
- 案内：Atiyah類、接続(ベクトル束)、主部分、Ati57、EGA4 16。参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『0-4 コホモロジー的モデルと K 群』。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 一般の底の上の射影束公式：原論文が準備中の論文として引く Illusie の仕事は、余接複体の理論 IllCC（1971〜72 年）に結実したとみられる。de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジーの射影束公式と Chern 類の形式が一般の底の上で整えられたのは原論文より後である（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。原論文が引く結果の所在を、本書は確かめていない。
- Atiyah 類：Illusie IllCC は Atiyah 類を余接複体を使って一般の状況へ広げた。原論文 6.11 の構成と前の定義の一致の問いとの関係は、本書は確かめていない。
- 標数 $p$ の Hodge–de Rham スペクトル系列：標数 $p$ では射影的で滑らかな多様体でも $E_1$ で退化しない例がある（Mumford、1961 年）。標数 $0$ の退化の代数的な証明は Deligne と Illusie（1987 年）による。どちらも本書の参考文献表になく、本書は確かめていない。
- $p$ 進の Chern 類：原論文 6.8 が期待した de Rham より細かい $p$ 進のコホモロジーは、Monsky–Washnitzer MW68 の形式的コホモロジーと結晶コホモロジーとして展開し、結晶 Chern 類は Berthelot–Illusie BI70（1970 年）が構成した（本書『7-3 係数環が大きい場合と ℓ 進との食い違い』、参考書『結晶コホモロジーの構想』）。本書は証明を確かめていない。
参考文献
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