2-3 Chern 類の定義と三つの性質

作用群つきスキームの上の作用つき局所自由加群に、射影束公式を使って混合エタールコホモロジーに値をとる Chern 類を定め、逆像との両立・正規化・加法性の三つの性質を示す。加法性は、部分束の射影束に台をもつコホモロジーを使って、旗束やホモトピー不変性を経由せずに直接証明する。三つの性質が Chern 類を特徴づけること、双対・外冪・テンソル積の公式、作用群を忘れる写像との両立もこの頁で導く。

この頁で示すこと

$(X,G)$ は作用群つきスキーム、$n$ は許容される整数、$\mathbb E$ は $(X,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由加群とする（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）。本書の規約により $P=P(\mathbb E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(\mathbb E^\vee)$（$\mathbb E$ のファイバーの直線の空間）、$f\colon P\to X$ は射影、$\xi=\xi_{\mathbb E}=\partial\,cl(\mathcal O_P(1))\in H^2(P,G;\mu_n)$ は基本類である（本書『2-2 射影束公式』）。Chern 類 $c_i(\mathbb E)\in H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$ は関係式 $\sum_{i=0}^rf^*c_i(\mathbb E)\,\xi^{r-i}=0$、$c_0=1$ で定める。
本頁の主結果は次の六つである。

1. 逆像との両立と正規化（原論文 1.5 前半、印字 p. 237。作用群つきは小節 2.3 (i)(ii)、印字 p. 247）：作用群つきスキームの射 $h\colon(X',G')\to(X,G)$ について $c_i(h^*\mathbb E)=h^*c_i(\mathbb E)$ であり、$G$ 線形化された可逆層 $\mathbb L$ について $c(\mathbb L)=1+c_1(\mathbb L)$、$c_1(\mathbb L)=\partial\,cl(\mathbb L)$ である。［条件付き：射影束公式による。階数 1 の正規化は定義そのもの］
2. 加法性（原論文 (1.15)、印字 p. 237。小節 2.3 (iii)、印字 p. 247）：$(X,G)$ 上の作用つき局所自由加群の完全列 $0\to\mathbb E'\to\mathbb E\to\mathbb E''\to0$ について $c(\mathbb E)=c(\mathbb E')\,c(\mathbb E'')$ である。［条件付き：射影束公式と、台つきコホモロジーの長完全列と積による］
3. 階数が一定でない場合（原論文 1.5、印字 p. 237）：階数が一定でない $\mathbb E$ にも、階数が一定の開かつ閉な部分ごとに Chern 類が定まり、1・2 がそのまま成り立つ。［条件付き：1・2 による］
4. 第一 Chern 類は行列式の第一 Chern 類（原論文 (1.16)、印字 p. 237）：$c_1(\mathbb E)=c_1(\det\mathbb E)$ である。［条件付き：2 による］
5. 三つの性質による特徴づけと公式集（原論文 小節 2.3、印字 pp. 247–248）：逆像との両立・正規化・加法性を満たす類の規則は上の Chern 類に限り、双対・外冪・テンソル積の Chern 類は第 3 巻と同じ普遍公式で与えられる。［条件付き：参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『3-1 Chern 類の定義と一意性』『3-3 双対・外冪・テンソル積』の議論を引用］
6. 作用群を忘れる写像との両立（原論文 小節 2.3 末、印字 p. 248）：$G$ を忘れる写像 $H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})\to H^{2i}(X,\mu_n^{\otimes i})$ は $c_i(\mathbb E)$ を、$G$ を忘れた $\mathbb E$ の Chern 類に移す。［条件付き：1 による］
   主結果 1・6 は射影束公式の係数の一意性だけで閉じる。主結果 2 は、部分束 $\mathbb E'$ の射影束に台をもつコホモロジーの長完全列と、台つきの類への cup 積が制限だけで決まることを引いて閉じる。主結果 4・5 は旗束への引き戻しの単射性を使い、5 の一意性と公式集は第 3 巻の議論を、その議論が使う入力を本頁で一つずつ確かめたうえで引く。

背景と動機

射影束の基本類の冪の関係式から Chern類 を読み取る方法は Grothendieck 1958 Gro58 のもので、そこでは射影束公式が公理 A 1 として置かれた（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『2-1 公理 A 1〜A 4 と補題 2』『3-1 Chern 類の定義と一意性』）。原論文 Gro68d は、エタールコホモロジーについてこの公理を定理として証明し（本書『2-2 射影束公式』）、その直後の (1.13) で同じ関係式により $c_i(\mathbb E)\in H^{2i}(X_{\text{ét}},\mu_n^{\otimes i})$ を定める（印字 p. 236）。係数が $\mathbf Z$ でなく 1 の冪根の捩れ $\mu_n^{\otimes i}$ であり、次数 $2i$ ごとに係数の層が変わることが、1958 年の理論との見かけの違いである。
原論文の小節 1.5 は、Chern 類が逆像との両立・正規化・加法性の三つの特徴的な性質をもつと述べ、自明でないのは加法性の検証だけだと括弧書きで断る（印字 p. 237）。その証明は Grothendieck 1958 の文献 [17] と、作用群が単位群の場合を扱う文献 [25]（後の SGA5）と「同じように進める」とだけ書かれている。小節 2.3（印字 pp. 247–248）は同じ三つの性質を作用群つきで述べ、それらが Chern 類を特徴づけること、外冪やテンソル積の公式が「よく知られた仕方で」形式的に従うことを述べて §2 を閉じる。
ここに一つ注意が要る。第 3 巻が扱った 1958 年の理論では、加法性の証明（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『3-2 存在の証明』）は射影束公式 A 1 のほかに、横断的な切断の零点の基本類についての公理 A 2〜A 4 を使う。エタールコホモロジーの側でこれらに当たる性質（サイクル類とその押し出し）は、原論文の範囲では用意されていない。本頁は加法性を、部分束の射影束に台をもつコホモロジーで直接証明し、A 2〜A 4 に当たるものを使わない。そのうえで、第 3 巻の一意性の議論と公式集の議論が A 2〜A 4 を使っていないことを確かめて、それらを引く。

定義と準備

Chern 類の値は、次数ごとに係数の違う混合コホモロジーの直和にある。これが可換環をなすことを先に確かめておく。

直積をとるのは、階数が一定でない束の全 Chern 類を一つの元として扱うためである。階数が一定なら全 Chern 類は有限個の成分しかもたない。

これで、係数の捩れを気にせずに Chern 類どうしを掛けたり並べ替えたりできる。次に Chern 類そのものを定める。定義は本書『2-2 射影束公式』の末尾で予告したものである。

係数の一意性は、関係式を満たす係数がほかにあれば差が射影束公式の零元の表示を与えることから従う。以下の証明はすべて、この一意性を「両辺が同じ関係式を満たす」形で使う。
階数 1 では $P(\mathbb L)=X$、$\mathcal O(-1)=\mathbb L$、$\xi_{\mathbb L}=-c_1(\mathbb L)$ であった（本書『2-2 射影束公式』の例「階数 1 の束」）。関係式 $\xi_{\mathbb L}+c_1=0$ はこの頁の正規化をそのまま与える。高次の性質を扱うには、束を線束の部分商に分ける装置が要る。

作用のない場合の構成は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『1-2 旗多様体と完全分裂』と同じで、完全な旗が得られることもそこで確かめられている。作用群は構成のどの段にも関手的に乗るだけである。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典は主に EGA2、SGA4、GodTAF58 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』と本書『2-2 射影束公式』の引用する事実もそのまま使う。

1. 射影束の普遍性と零点スキーム（EGA II 4.2 の型）：$X$ 上のスキーム $T$ について、$X$ 上の射 $T\to P(\mathbb E)$ は、$\mathbb E_T:=\mathbb E\otimes\mathcal O_T$ の局所的に直和因子である可逆な部分加群と一対一に対応し、この対応で $\mathcal O(-1)$ はその部分加群に引き戻される。局所自由加群 $\mathbb V$ の切断 $s$ の零点スキーム $Z(s)$ は閉部分スキームで、$T\to X$ が $Z(s)$ を経由することと $s$ の $T$ への引き戻しが $0$ であることは同値である。局所自由加群の射 $\mathbb L\to\mathbb V$（$\mathbb L$ は可逆）がすべての点のファイバーで単射なら、その像は局所的に直和因子である。完全列 $0\to\mathbb E'\to\mathbb E\to\mathbb E''\to0$ について、行列式の標準同型 $\det\mathbb E\cong\det\mathbb E'\otimes\det\mathbb E''$ があり、引き戻しと両立する。これらの対応と同型は標準的なので、作用がある場合は作用と両立する。
2. 台つきコホモロジー（局所コホモロジー。SGA 4 V、GodTAF58 の型）：$Z$ を $P$ の $G$ で安定な閉部分スキーム、$U=P\setminus Z$ とする。$(P_{\text{ét}},G)$ 上の層 $F$ について、$Z$ に台をもつ混合コホモロジー $H^q_Z(P,G;F)$（$U$ への制限の核をとる関手の導来関手）と長完全列
   $$\cdots\to H^q_Z(P,G;F)\to H^q(P,G;F)\to H^q(U,G;F)\to H^{q+1}_Z(P,G;F)\to\cdots$$
   がある。cup 積 $H^p(P,G;A)\times H^q_Z(P,G;B)\to H^{p+q}_Z(P,G;A\otimes B)$ があり、台を忘れる写像 $H_Z\to H$ はこの積について $H^*(P,G)$ 線形である。さらに $a\cup b'$（$b'$ は台つきの類）は $a$ の $Z$ への制限 $a|_Z\in H^p(Z,G;A|_Z)$ だけで決まる。とくに $a|_Z=0$ なら $a\cup b'=0$ である（閉埋め込み $i\colon Z\to P$ について $H^q_Z(P,G;B)=H^q(Z,G;Ri^!B)$ であり、積は $i^*A\otimes Ri^!B\to Ri^!(A\otimes B)$ から来るので、$a$ は $i^*a=a|_Z$ を通してだけ効く）。二つの閉部分 $Z_1,Z_2$ について積 $H_{Z_1}\times H_{Z_2}\to H_{Z_1\cap Z_2}$ があり、$Z_1\cap Z_2=\emptyset$ なら $H_\emptyset=0$ である。
3. cup 積の次数つき可換性（GodTAF58、SGA 4 XVII の型）：トポスの層 $A$、$B$ と $a\in H^p(A)$、$b\in H^q(B)$ について $a\cup b=(-1)^{pq}\tau(b\cup a)$（$\tau$ は係数の因子の入れ替え）。cup 積は係数の層の射と可換である。
   これで定義と道具が揃った。まず定義から直ちに従う二つの性質を示し、次に唯一自明でない加法性に進む。

主結果と証明

逆像との両立と正規化

射影束は底変換と両立し、基本類は引き戻しで基本類に移る。したがって関係式も移り、係数の一意性が逆像との両立を与える。

段 5 で符号が出ないのは、本書が射影束を直線の空間とし $\xi=c_1(\mathcal O(1))$ ととる規約の効果である。原論文の §1 を Grothendieck 1958 の [17] の読みで読むと、ここで $c_1=-\partial\,cl(\mathbb L)$ となる（本書『2-2 射影束公式』の注意「原論文の §1 の射影束の読み方と符号」の (b)）。

加法性

加法性の証明には、部分束 $\mathbb E'$ の射影束が $P(\mathbb E)$ の閉部分スキームとして入り、その補集合が $P(\mathbb E'')$ の上に射影されるという幾何を使う。

$Z$ の上では $\mathbb E$ の直線は $\mathbb E'$ の中にあり、$U$ の上では $\mathbb E''$ に像を結ぶ。$\mathbb E'$ の関係式は $Z$ の上で、$\mathbb E''$ の関係式は $U$ の上で消える。二つの消え方を一つの積に集めるのが台つきコホモロジーである。

証明は、$\mathbb E'$ と $\mathbb E''$ の関係式が $P$ の相補的な二つの部分で別々に消えることだけを使っている。旗束への引き戻しも、完全列を分裂させる操作も使わない。したがって作用群 $G$ は、$Z$、$U$、$\pi$ が $G$ で安定・同変であることを通してしか現れない。

加法性が得られたので、階数の揃わない束、行列式、特徴づけと公式集へ順に進む。どれも加法性と、旗束への引き戻しの単射性を組み合わせる。

階数が一定でない場合と旗束

次の命題は、旗束へ引き戻しても底の類が失われないことを言う。本書『2-2 射影束公式』の系「大域的な同型がある場合と引き戻しの単射性」の 1 を、旗束の各段に当てるだけである。

行列式と特徴づけ

第 3 巻の特徴づけを引く前に、その証明が何を使うかを確かめておく。参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『3-1 Chern 類の定義と一意性』の一意性の証明は、候補の規則を旗束に引き戻し、完全な旗の各段に短完全列の乗法性と線束での正規化を当てて候補の値を $\prod_k(1+c_1(\mathbb M_k))$ に固定し、旗束への引き戻しの単射性で底に戻す。使うのは、旗束の幾何（同書『1-2 旗多様体と完全分裂』）、関手性、正規化、短完全列の乗法性、そして公理 A 1 から導いた旗束での単射性だけで、公理 A 2〜A 4 は使わない。A 2〜A 4 が第 3 巻で使われるのは、同書『2-1 公理 A 1〜A 4 と補題 2』の補題 2 を経る存在の証明（同書『3-2 存在の証明』）だけである。本書ではこれらの入力を、定義（作用群つきの旗束）、上の定理（逆像との両立と正規化）、定理（加法性）、命題（旗束への引き戻しの単射性）がそれぞれ与える。

特徴づけの 1 では、群を動かさない射についての逆像との両立しか使わない。旗束の射 $q$ がそれに当たるからである。群を動かす射についての両立は、上の定理（逆像との両立と正規化）が別に与える。

作用群を忘れる写像

$\omega$ はスペクトル系列の端写像 $H^{2i}(X,G;-)\to H^{2i}(X,-)^G$ でもある（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の注意「スペクトル系列の端と忘却写像」）。混合 Chern 類の情報のうち、群コホモロジーの側（$p>0$ の項）に入る部分は $\omega$ で失われる。その具体例は例と反例の節で見る。

例と反例

最初の例は、射影束の規約の符号を加法性とは独立に確かめる計算である。

次の例は、作用群を忘れる写像で何が失われるかを示す。同時に、等式を底へ戻すのに単射でない引き戻しは使えないことも示す。

残りの二つは、特徴づけの三つの性質のうち加法性と正規化が、それぞれ外せないことを示す。

その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。

• エタールコホモロジーの Chern 類の整備（SGA5、1977 年刊）：原論文が文献 [25] として「刊行予定」と引く、作用群が単位群の場合の加法性の証明は、SGA 5 の講義（1965–66 年）の報告として後に公刊された。その証明が本頁と同じく台つきコホモロジーを使うのか、ホモトピー不変性を使うのかは、本書は確かめていない。
• 一般の底での Chern 類（SGA6、1971 年）：K 理論の側で、三つの性質による特徴づけと、λ 環としての公式集が一般の底の上で整備された（参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『4-1 λ 環と完備 Chern 類』）。本書は確かめていない。
• 分裂原理と同変コホモロジー：旗束への引き戻しと単射性で底に戻す方法は、後代には分裂原理と呼ばれる。本頁の混合 Chern 類は、後代の語では商スタック $[X/G]$ の上のベクトル束の Chern 類にあたる。本書は文献を確かめていない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 1.4〜1.5 と 2.2 末〜2.3 である。

原論文の (1.15) は $\mathbb E'$、$\mathbb E''$ を白抜きでない字体で印字するが（印字 p. 237）、直後の完全列と同じ加群を指す。