4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類
前頁までに得た位数の上界を、原論文の総括定理として群の名を直した形でまとめ、有限生成の群の表現の $\ell$ 進 Chern 類が捩れであることを導く。そこから、任意の離散群の有限次元複素表現の有理 Chern 類が $0$ であるという超越的に知られていた結果を算術的に取り戻し、整係数の類が捩れになる条件とその位数の評価を、添字の誤植を直した形で証明する。有限生成性が外せないこと、原論文の括弧書きの同型の主張は偽で単射性が正しいことも示す。
この頁で示すこと
$G$ は離散群、$E$ は $G$ の有限次元表現である。分離閉体 $k$ の上の $\ell$ 進 Chern 類を $c_i(E)(\ell)\in H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$、$k_0\subset k$、$\Gamma=\operatorname{Aut}(k/k_0)$、円分指標 $\chi$、その像 $\Lambda_1$、指数 $\alpha(i)$、極大 $\ell$ 円分部分体 $Z\supset Z_0=Z\cap k_0$、標準仮定 (K) は本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』のとおりとする。$k=\mathbf C$ のとき、$E$ の整係数 Chern 類 $c_i(E)\in H^{2i}(G,\mathbf Z)$ は分類空間の上の付随束の Chern 類（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』）で、その有理像を $c_i(E)_{\mathbf Q}\in H^{2i}(G,\mathbf Q)$ と書く。$H_j:=H_j(G,\mathbf Z)$ は群のホモロジーである。
本頁の主結果は次の七つである。
- 総括定理（原論文 Théorème 4.8、印字 p. 262。群の名の誤植を直した形）：$E$ の $R_k(G)$ での類が $\Gamma$ で不変なら、$H:=\chi(\Gamma)$ について $\alpha(i)=\inf_{\lambda\in H}v_\ell(\lambda^i-1)$ が有限なとき $\ell^{\alpha(i)}c_i(E)(\ell)=0$ であり、(K) の下で $H=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ である。$k_0$ の標数が $0$ なら、不変性はトレースが $k_0$ に値をとることと同値である。［条件付き：本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の主結果「捩れ性と位数の上界」「極大 ℓ 円分部分体への還元」と、半単純表現のトレースによる判定を引用］
- 素体上有限型の基礎体では全次数で捩れ（原論文 Corollaire 4.9、印字 pp. 262–263）：(K) の下で $Z_0$ が素体の有限次拡大なら（とくに $k_0$ が素体上有限型なら）、1 の仮定を満たす $E$ の $c_i(E)(\ell)$ はすべての $i\ge1$ で捩れである。［条件付き：1 と本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の主結果「極大 ℓ 円分部分体への還元」「上界の性質」、有限型の体の中の代数的な元についての体論の事実による］
- 有限生成の群の表現の ℓ 進類は捩れ（原論文 Corollaire 4.10、印字 p. 263）：$G$ が有限生成なら、任意の分離閉体 $k$ の上の $E$ と $\ell\ne\operatorname{char}k$ について、$c_i(E)(\ell)$（$i\ge1$）は捩れである。［条件付き：2 と、代数閉包への移行による］
- 複素表現の有理 Chern 類は 0（原論文 Corollaire 4.11 前半、印字 pp. 263–264。小節 0.5、印字 p. 221）：任意の離散群 $G$ の有限次元複素表現 $E$ について $c_i(E)_{\mathbf Q}=0$（$i\ge1$）。［条件付き：3、本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』の主結果「算術的類は超越的類の還元」（有限型かつ分離的な場合。ここでは一点）、本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の主結果「無限に ℓ で割れる元の特定」による］
- 整係数の類が捩れになる条件（原論文 Corollaire 4.11 後半、印字 p. 263。添字の誤植を直した形）：トレース $g\mapsto\operatorname{Tr}g_E$ の値で生成される体 $k_0\subset\mathbf C$ が $\mathbf Q$ 上有限型で、$H_{2i-1}$ が捩れ部分群を法として有限型なら、$c_i(E)$ は捩れ類で、その $\ell$ 準素成分は $\ell^{\alpha_\ell(i)}$ で消え、有限個を除くすべての $\ell$ で $\alpha_\ell(i)=0$ である。［条件付き：1・2・4、本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の主結果「無限に ℓ で割れる元の特定」、本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の主結果「上界の性質」による］
- 有限生成性は外せない（原論文 Remarques 4.12 b) 前半、印字 p. 264）：$G=\mu_{\ell^\infty}(k)$ と標準的な 1 次元表現について、$c_1(E)(\ell)$ は捩れでない。［完結］
- 有理化の写像は単射（原論文 Remarques 4.12 b) の括弧内の訂正形、印字 p. 264）：$H_{j-1}$ が有限型なら $H^j(G,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\to H^j(G,\mathbf Q)$ は単射で、$H_j$ も有限型なら同型である。［完結］原論文の形は反例「有理数の加法群の 1 次」で破れる。
主結果 1〜5 は前頁の位数の上界を体と群の性質で読み直し、比較と普遍係数の列で整係数に戻す。混合 Chern 類の不変性を経るので、すべて加法性（本書 2-3）に依る。主結果 6・7 は階数 1 の第一 Chern 類の計算と普遍係数の完全列だけで閉じる。
背景と動機
原論文の小節 0.5（印字 pp. 220–221）は、算術的な方法の最初の帰結として、有限生成の群の表現の $\ell$ 進 Chern 類がすべて捩れであること、そこから任意の離散群の複素表現の有理 Chern 類が $0$ であることを「算術的な道で再発見する」と述べる。これは平坦束の特性類について超越的に知られていた結果で、原論文は Milnor Mil58 と Kamber–Tondeur（原論文の文献 [26]、1966 年の講演抄録）を引く。超越的な証明は Chern–Weil 理論による。平坦な接続の曲率は $0$ なので、曲率の多項式で表される実係数の特性類は消える（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』）。原論文の方法は、これを 1 の冪根への Galois 作用だけで示し、しかも超越的な方法が与えない情報、すなわち整係数の類の位数の乗法的な上界を、トレースの体の極大円分部分拡大の言葉で与える、と小節 0.5 の末は予告する（「4.11 を見よ」）。
原論文は、有理類の消滅と整係数の類の捩れ性は「$G$ についてのかなり穏やかな制限のもとで」同じことだ、と括弧書きで言う。本頁はこの制限が何で、本当に要るかを確かめる。整係数の類の捩れ性は、群のホモロジーの有限性が無いと成り立たない（例と反例の節）。
原論文の小節 4.7 の末から Corollaire 4.11 までは、前頁までの結果を「総括定理」にまとめ、系を順に導く（印字 pp. 262–264）。その総括定理は、上界を与える群を「$Z_0$ の素体上の Galois 群」と印字するが、直前の (4.17)(4.18) が与える正しい群は $\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ で、印字は誤植と読む。Corollaire 4.11 の仮定の添字 $H_{i-1}$ も、証明が引く Proposition 3.5 の形から $H_{2i-1}$ と読む。最後の Remarques 4.12 b) は有限生成性が外せないことを示し、括弧書きで有理化の写像についての同型を主張するが、これは書き過ぎで、正しいのは単射性である。
定義と準備
総括定理の仮定はトレースで言い換えられる。そのための体と、$\ell$ ごとの指数を置く。
$E$ を $G$ の有限次元複素表現とする。素体 $\mathbf Q$ の上で値 $\operatorname{Tr}g_E$（$g\in G$）が生成する体 $k_0\subset\mathbf C$ を $E$ のトレースの体という（原論文 Corollaire 4.11 の「caractère $g\mapsto\operatorname{Tr}g_E$ の値で生成される体」）。各素数 $\ell$ について、$k=\mathbf C$、この $k_0$ に対する本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の定義「円分指標の像と位数の指数」の指数を $\alpha_\ell(i)$ と書く。$\mathbf C$ は代数閉なので組 $k_0\subset\mathbf C$ は標準仮定 (K) を満たし、$\alpha_\ell(i)$ は $k_0$ の極大 $\ell$ 円分部分体 $Z_0(\ell)$ だけで決まる。
整係数の類の側では、有理像と $\ell$ 進の像の関係を普遍係数の完全列で読む。有限係数で見えない部分は、無限に $\ell$ で割れる元の全体であった（本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』）。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に本書の第 0 章、CE56、Lan64 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。1・2 は初等的なホモロジー代数で、本書の判定では［完結］の根拠に数える。
- 普遍係数の完全列（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「普遍係数定理」。CE56）：自明な係数 $M$ について自然な完全列 $0\to\operatorname{Ext}^1(H_{j-1},M)\to H^j(G,M)\to\operatorname{Hom}(H_j,M)\to0$ がある。$H^j(G,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Q)$。捩れ群 $T$ について $\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)\cong\operatorname{Hom}(T,\mathbf Q/\mathbf Z)$、$\operatorname{Ext}^1(\bigoplus_mA_m,\mathbf Z)=\prod_m\operatorname{Ext}^1(A_m,\mathbf Z)$、自由アーベル群 $F$ について $\operatorname{Ext}^1(F,\mathbf Z)=0$。有限生成アーベル群 $A$ について $\operatorname{Ext}^1(A,\mathbf Z)$ は有限である。
- 群のホモロジーと帰納極限（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』、本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の引用する事実 4 (d)）：$G$ が部分群 $G_\alpha$ の有向な合併なら、$H_j(G,\mathbf Z)=\varinjlim_\alpha H_j(G_\alpha,\mathbf Z)$。
- 半単純表現とトレース（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の定理「不変性は十分だが必要でない」の 3 とその引用する事実 3）：標数 $0$ の代数閉体の上で、半単純な有限次元表現はトレースで同型類が決まる。有限次元表現 $E$ の $R_k(G)$ での類は、Jordan–Hölder の定理により組成因子の直和 $E^{\mathrm{ss}}$ の類に等しく、半単純な表現どうしでは $R_k(G)$ の類が等しいことと同型であることは同値である。
- 有限型の体の中の代数的な元（Lan64 の型）：素体 $P$ の上で有限型の体 $k_0$ の中で、$P$ 上代数的な元の全体は $P$ の有限次拡大である。
- 位相的 Chern 類の自然性（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』）：部分群 $G'\subset G$ への制限 $H^{2i}(G,\mathbf Z)\to H^{2i}(G',\mathbf Z)$ は、$c_i(E)$ を制限した表現の $c_i(E|_{G'})$ に移す（分類空間の写像 $B_{G'}\to B_G$ による付随束の引き戻しは、制限した表現の付随束である）。
これで、前頁の上界を総括の形に述べる準備ができた。
主結果と証明
原論文は小節 4.7 の末で「得られた情報を総括する」と前置きし、総括定理を述べる（印字 p. 262）。新しい論証は無く、前頁の二つの定理を組み合わせたものである。
総括定理
$k_0$ を体、$k$ をその分離閉な拡大、$\ell\ne\operatorname{char}k$ を素数、$G$ を離散群、$E$ を $G$ の $k$ 上の有限次元表現とし、$E$ の $R_k(G)$ での類（原論文の「安定な」類）が $\Gamma=\operatorname{Aut}(k/k_0)$ で不変であるとする。$H:=\chi(\Gamma)\subset\mathbf Z_\ell^*$ とおく。
- $i\ge1$ について $\alpha(i):=\inf_{\lambda\in H}v_\ell(\lambda^i-1)$ が有限なら、$\ell^{\alpha(i)}c_i(E)(\ell)=0$ である。
- 組 $k_0\subset k$ が標準仮定 (K) を満たすなら、$H=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$（$\mathbf Z_\ell^*$ の閉部分群と同一視する）で、$\alpha(i)$ は $k_0$ の極大 $\ell$ 円分部分体 $Z_0$ だけで決まる。
- $k_0$ の標数が $0$ なら、$E$ の類が $\Gamma$ で不変であることは、トレース $G\to k$ が $k_0$ に値をとることと同値である。
段 1（上界）．1 は本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の定理「捩れ性と位数の上界」そのものである（$\Lambda_1=H$）。その定理は (K) を使わない。
段 2（群の同定）．2 は同じ頁の定理「極大 ℓ 円分部分体への還元」の 2 である。
段 3（トレース）．標数 $0$ の分離閉体は代数閉である。$\sigma\in\Gamma$ による移送は完全列を保つので組成因子を組成因子に移し、${}^\sigma(E^{\mathrm{ss}})=({}^\sigma\!E)^{\mathrm{ss}}$。引用する事実 3 により、$[{}^\sigma\!E]=[E]$ は ${}^\sigma(E^{\mathrm{ss}})\cong E^{\mathrm{ss}}$ と同値である。本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の定理「不変性は十分だが必要でない」の 3 を半単純な $E^{\mathrm{ss}}$ に当てると、これがすべての $\sigma\in\Gamma$ で成り立つことは $\operatorname{Tr}_{E^{\mathrm{ss}}}(G)\subset k_0$ と同値である。組成因子のトレースの和なので $\operatorname{Tr}_{E^{\mathrm{ss}}}=\operatorname{Tr}_E$ で、3 を得る。
1 の上界は (K) なしに成り立ち、(K) は $H$ を体で書くときだけに要る。前頁の注意「標準仮定 (K) を外した標数 p の分離閉体の場合」のとおり、(K) の外では $H=\chi(\Gamma)\subset\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ で、等号は示せていない。原論文の印字の群はここで食い違う。
原論文の Théorème 4.8 は、$Z_0$ を $k_0$ の極大 $\ell$ 円分部分拡大とし、上界を与える群 $H$ を「その（$Z_0$ の）素体 $P$ 上の Galois 群」と印字して、通常どおり $\mathbf Z_\ell^*$ の閉部分群と同一視する（印字 p. 262）。これは誤植で、$H=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ と読む。根拠は二つある。直前の (4.17)（印字 p. 261）が $\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ を与え、(4.18)（印字 p. 262）は $\operatorname{Gal}(Z_0/P)$ を部分群でなく商 $\Pi/\Lambda_1$ として書く。「$\mathbf Z_\ell^*$ の閉部分群と同一視」は部分群 $\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ にしか当てはまらない。また定理は総括として述べられ、$\operatorname{Gal}(Z_0/P)$ を使う理由が添えられていない。
印字どおりに読むと結論は崩れる。$\ell$ を奇数、$k_0=\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})$、$k=\bar{\mathbf Q}$ とすると $Z_0=Z$ で、$\operatorname{Gal}(Z_0/\mathbf Q)$ は $\mathbf Z_\ell^*$ 全体と同一視され、$\lambda\in\mu_{\ell-1}\setminus\{1\}$ で $v_\ell(\lambda-1)=0$ だから、印字の群での $\alpha(1)$ は $0$ で、結論は $c_1(E)(\ell)=0$ になる。しかし $G=\mathbf Z/\ell$、$\psi(1)=\zeta_\ell\in k_0$ の $E_\psi$ は $k_0$ 上定義され、本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の補題「1 次元表現の第一 Chern 類の位数」の 2 により $c_1(E_\psi)(\ell)$ の位数は $\ell$ である。正しい群では $H=\{1\}$、$\alpha(1)=+\infty$ で、定理は何も言わない。同じ行で原論文は $k$ を「$k$ の分離閉な拡大」と印字するが、これも「$k_0$ の」と読む。
総括定理は、$H$ が大きいほど強い。$H$ が有限指数になる条件は前頁で $Z_0$ の有限性として求めてあるので、素体上有限型の基礎体ではすべての次数で捩れが出る。
素体上有限型の基礎体と有限生成の群
組 $k_0\subset k$ が標準仮定 (K) を満たし、$Z_0$ が素体 $P$ の有限次拡大であるとする。とくに $k_0$ が $P$ 上有限型ならこれが成り立つ。このとき、上の定理（総括定理）の仮定を満たす $E$ について、すべての $i\ge1$ で $c_i(E)(\ell)$ は捩れで、$\ell^{\alpha(i)}c_i(E)(\ell)=0$（$\alpha(i)<\infty$）である。
段 1（像は無限）．本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の定理「極大 ℓ 円分部分体への還元」の 3 により、$Z_0/P$ が有限なら $\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ は $\mathbf Z_\ell^*$ で有限指数である。$\mathbf Z_\ell^*$ は無限群なので $\Lambda_1$ も無限である。
段 2（全次数で捩れ）．同じ頁の定理「上界の性質」の 3 により、すべての $i\ge1$ で $\alpha(i)<\infty$ で、上の定理（総括定理）の 1 から結論を得る。
段 3（有限型の場合）．$Z$ は $P$ 上代数的なので、$Z_0=Z\cap k_0$ は $k_0$ の中の $P$ 上代数的な元の体に含まれ、引用する事実 4 によりそれは $P$ の有限次拡大である。
(K) を外した標数 $p$ の場合、段 1 の $\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z/Z_0)$ が示せないので、この定理は (K) の下でしか言えない。次の系では、表現が有限型の体の上で定義されることを使って (K) の場合に帰着する。
$G$ を有限生成の群、$k$ を分離閉体、$E$ を $G$ の $k$ 上の有限次元表現、$\ell\ne\operatorname{char}k$ を素数とする。このとき、すべての $i\ge1$ で $c_i(E)(\ell)$ は捩れ元である。
段 1（有限型の体への降下）．$G$ の生成元 $g_1,\dots,g_r$ と $E$ の基底を固定し、$g_j^{\pm1}$ の行列成分が素体 $P$ の上で生成する体を $k_0$ とする。$k_0$ は $P$ 上有限型で、$G$ のすべての元の行列は $g_j^{\pm1}$ の積なので成分が $k_0$ に入る。よって $E\cong E_0\otimes_{k_0}k$（$E_0$ は同じ行列で与えられる $k_0$ 上の表現）。
段 2（代数閉包への移行）．$K$ を $k$ の代数閉包とする。$K/k$ は純非分離なので、$\ell\ne\operatorname{char}k$ について $\mu_{\ell^\nu}(k)=\mu_{\ell^\nu}(K)$ で、$H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})=H^{2i}(G,T_\ell(K)^{\otimes i})$。Chern 類の関手性（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の主結果「逆像との両立と正規化」を $\operatorname{Spec}K\to\operatorname{Spec}k$ に当てる）により、この同一視で $c_i(E)(\ell)=c_i(E_K)(\ell)$ である（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の注意「標準仮定 (K) は代数性に弱められない」の末と同じ還元）。
段 3（系の適用）．$K$ は代数閉なので組 $k_0\subset K$ は (K) を満たす。$E_K=E_0\otimes_{k_0}K$ は $k_0$ 上定義されるので、本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』の定理「不変性は十分だが必要でない」の 1 により同型類は $\operatorname{Aut}(K/k_0)$ で不変である。上の定理（素体上有限型の基礎体では全次数で捩れ）により $c_i(E_K)(\ell)$ は捩れで、段 2 から結論を得る。
原論文の証明（印字 p. 263）は段 1 と「4.9 を当てる」だけで、段 2 の代数閉包への移行を書かない。これを補ったので、この系は (K) の留保を受けない。有限生成の群では、$\ell$ 進の類は整係数の類の還元の系であるから（$k=\mathbf C$ のとき）、次は整係数の類の側へ戻る。
複素表現の有理 Chern 類
有理 Chern 類の消滅は、群に有限性を課さずに言える。有理類は有限生成の部分群への制限で決まるからである。
$G$ を離散群、$E$ を有限次元複素表現とする。すべての有限生成の部分群 $G'\subset G$ について $c_i(E|_{G'})_{\mathbf Q}=0$ なら、$c_i(E)_{\mathbf Q}=0$ である。
段 1（ホモロジーの類の持ち上げ）．$G$ は有限生成の部分群の有向な合併なので、引用する事実 2 により、$x\in H_{2i}(G,\mathbf Z)$ はある有限生成の部分群 $G'$ の $x'\in H_{2i}(G',\mathbf Z)$ の像である。
段 2（Kronecker の対）．引用する事実 1 により $H^{2i}(G,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(H_{2i}(G,\mathbf Z),\mathbf Q)$ で、$c_i(E)_{\mathbf Q}$ は $x\mapsto\langle c_i(E),x\rangle$ である。対の自然性と引用する事実 5 により $\langle c_i(E),x\rangle=\langle c_i(E|_{G'}),x'\rangle$ で、仮定から右辺は $0$。$x$ は任意なので $c_i(E)_{\mathbf Q}=0$。
原論文はこの帰着を「読者に委ねる直ちの議論」とする（印字 p. 263）。有限生成の場合に帰着したので、$\ell$ 進の捩れを整係数の類に持ち帰る。
$G$ を任意の離散群、$E$ を $G$ の有限次元複素表現とする。すべての $i\ge1$ で $c_i(E)_{\mathbf Q}=0$ である。
段 1（有限生成への帰着）．上の補題により $G$ を有限生成としてよい。素数 $\ell$ を一つ固定する。
段 2（$\ell$ 進の捩れ）．上の定理（有限生成の群の表現の ℓ 進類は捩れ）を $k=\mathbf C$ に当てると、ある $a\ge0$ で $\ell^ac_i(E)(\ell)=0$ となる。
段 3（整係数の類との比較）．$X=\operatorname{Spec}\mathbf C$ に $G$ を自明に作用させる。$X$ は $\mathbf C$ 上有限型かつ分離的で、本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』の定理「算術的類は超越的類の還元」（その頁の例「一点の場合と群の表現」の形）により、$c_i(E)(\ell)$ を $(\varphi^{\otimes i})^{-1}$ で $\mathbf Z/\ell^\nu$ 係数に移した系は、整係数の類の還元 $(c_i(E^{\mathrm{an}})\bmod\ell^\nu)_\nu$ に等しい。ここで $c_i(E^{\mathrm{an}})=\pm c_i(E)$（符号は約束だけで決まる）である。$(\varphi^{\otimes i})^{-1}$ は同型なので、段 2 から $\ell^ac_i(E)$ の $H^{2i}(G,\mathbf Z/\ell^\nu)$ への像はすべての $\nu$ で $0$ である。
段 4（無限に割れる元）．Bockstein の列（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「普遍係数定理」の (5)）により、還元 $H^{2i}(G,\mathbf Z)\to H^{2i}(G,\mathbf Z/\ell^\nu)$ の核は $\ell^\nu H^{2i}(G,\mathbf Z)$ である。よって $\ell^ac_i(E)$ は無限に $\ell$ で割れる。本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の定理「無限に ℓ で割れる元の特定」の 3（一点の Borel 構成は分類空間 $B_G$ で、その特異コホモロジーは群のコホモロジー）により、その有理像は $0$ である。$H^{2i}(G,\mathbf Q)$ は $\mathbf Q$ 線形空間なので $\ell^a$ で割って $c_i(E)_{\mathbf Q}=0$。
段 3 の比較は一点の上のもので、比較定理の深い部分は使わない（本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』の注意「他の頁での引き方」）。ただし段 2 は混合 Chern 類の不変性を経るので、この定理は加法性（本書 2-3）に依る。整係数の類そのものが捩れかどうかは、有理像が $0$ であることからは出ない。
整係数の類の捩れと位数
有理像が $0$ の整係数の類は、普遍係数の列の Ext の項に落ちる。そこが捩れ群になるには、奇数次のホモロジーの有限性が要る。
$G$ を離散群、$E$ を有限次元複素表現、$k_0\subset\mathbf C$ をそのトレースの体、$i\ge1$ とし、次の二つを仮定する。
- $k_0$ は $\mathbf Q$ 上有限型である。
- $H_{2i-1}=H_{2i-1}(G,\mathbf Z)$ は、その捩れ部分群を法として有限型である（原論文の脚注の仮定）。
このとき $c_i(E)\in H^{2i}(G,\mathbf Z)$ は捩れ類で、その $\ell$ 準素成分は $\ell^{\alpha_\ell(i)}$ で消える（$\alpha_\ell(i)$ は上の定義（トレースの体と ℓ ごとの指数）のもの）。さらに $d:=[k_0\cap\bar{\mathbf Q}:\mathbf Q]$ とおくと、$\ell>id+1$ なら $\alpha_\ell(i)=0$ で、$N:=\prod_{\ell\le id+1}\ell^{\alpha_\ell(i)}$ について $N\,c_i(E)=0$ である。
以下 $c:=c_i(E)$、$H:=H_{2i-1}$、$T\subset H$ を捩れ部分群、$T_\ell$ をその $\ell$ 準素成分とする。
段 1（Ext の項への落下）．上の定理（複素表現の有理 Chern 類は 0）により $c_{\mathbf Q}=0$ である。引用する事実 1 の列 $0\to\operatorname{Ext}^1(H,\mathbf Z)\to H^{2i}(G,\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(H_{2i},\mathbf Z)\to0$ で、$c$ の $\operatorname{Hom}(H_{2i},\mathbf Z)$ での像は、単射 $\operatorname{Hom}(H_{2i},\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(H_{2i},\mathbf Q)=H^{2i}(G,\mathbf Q)$ で $c_{\mathbf Q}=0$ に移るので $0$ である。よって $c\in\operatorname{Ext}^1(H,\mathbf Z)$。仮定により $F:=H/T$ は有限型で捩れを含まないので自由で、$H\cong T\oplus F$。$T=\bigoplus_{\ell'}T_{\ell'}$ なので、引用する事実 1 により
$$\operatorname{Ext}^1(H,\mathbf Z)\cong\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)\cong\prod_{\ell'}\operatorname{Hom}(T_{\ell'},\mathbf Q/\mathbf Z).$$
$c$ の第 $\ell'$ 成分を $c_{\ell'}$ と書く。
段 2（各 $\ell$ での上界）．上の定理（総括定理）の 3 により、$E$ の $R_{\mathbf C}(G)$ での類は $\operatorname{Aut}(\mathbf C/k_0)$ で不変である。$\mathbf C$ は代数閉なので (K) が成り立ち、$k_0$ は $\mathbf Q$ 上有限型なので、上の定理（素体上有限型の基礎体では全次数で捩れ）により $\alpha:=\alpha_\ell(i)<\infty$ で $\ell^\alpha c_i(E)(\ell)=0$。上の定理（複素表現の有理 Chern 類は 0）の証明の段 3・4 と同じく、$\ell^\alpha c$ は $H^{2i}(G,\mathbf Z)$ で無限に $\ell$ で割れる。本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の定理「無限に ℓ で割れる元の特定」の 2 により、$\ell^\alpha c$ は $\operatorname{Ext}^1(H/T_\ell,\mathbf Z)$ に入る。$H/T_\ell\cong\bigoplus_{\ell'\ne\ell}T_{\ell'}\oplus F$ なので、この部分群は段 1 の積のうち $\ell'\ne\ell$ の成分の積で、第 $\ell$ 成分は $0$ である。すなわち $\ell^{\alpha_\ell(i)}c_\ell=0$。
段 3（ほとんどすべての $\ell$ で指数は 0）．引用する事実 4 により $d$ は有限である。$Z_0(\ell)=Z(\ell)\cap k_0$ は $k_0\cap\bar{\mathbf Q}$ に含まれるので $[Z_0(\ell):\mathbf Q]\le d$。本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の定理「極大 ℓ 円分部分体への還元」により $\Lambda_1=\operatorname{Gal}(Z(\ell)/Z_0(\ell))$ で、$\ell$ が奇数なら、その $(\mathbf Z/\ell)^*=\operatorname{Gal}(\mathbf Q(\mu_\ell)/\mathbf Q)$ への像は、制限により $\operatorname{Gal}(\mathbf Q(\mu_\ell)/\mathbf Q(\mu_\ell)\cap Z_0(\ell))$ に等しい（$\operatorname{Gal}(Z/Z_0)\to\operatorname{Gal}(\mathbf Q(\mu_\ell)Z_0/Z_0)$ は全射で、自然な無理性により後者はこの群に同型）。その指数は $[\mathbf Q(\mu_\ell)\cap Z_0(\ell):\mathbf Q]\le d$ なので、像の位数 $\delta_\ell$ は $\delta_\ell\ge(\ell-1)/d$ を満たす。$\ell>id+1$ なら $\delta_\ell>i\ge1$ で $\delta_\ell\nmid i$、同じ頁の定理「上界の性質」の 5 により $\alpha_\ell(i)=0$。
段 4（位数）．段 2・3 により、$\ell>id+1$ では $c_\ell=0$、$\ell\le id+1$ では $\ell^{\alpha_\ell(i)}c_\ell=0$。$N=\ell^{\alpha_\ell(i)}m$（$m$ は $\ell$ と素）と書けば $Nc_\ell=0$ で、すべての成分が $N$ で消えるので $Nc=0$。$c_\ell$ は $\ell$ の冪で消えるので $c$ の $\ell$ 準素成分であり、それは $\ell^{\alpha_\ell(i)}$ で消える。
小節 0.5 の末が予告した、整係数の類の位数をトレースの体の極大円分部分拡大で乗法的に押さえる評価は、この $\ell^{\alpha_\ell(i)}$ である。原論文の証明は「4.8 と 3.5 から同様に」とだけ言う（印字 p. 264）。脚注の弱い仮定（捩れを法として有限型）の下では $T$ が無限でありうるので、段 1〜2 だけでは $c$ が捩れであることは出ず、段 3 の「有限個を除くすべての $\ell$ で $\alpha_\ell(i)=0$」を足してはじめて閉じる。
原論文の Corollaire 4.11 は、仮定を「$H_{i-1}(G,\mathbf Z)$ が有限型なら」と印字する（印字 p. 263）。これは誤植で、$H_{2i-1}$ と読む。証明は「4.8 と 3.5 から同様に」とだけ言い、Proposition 3.5 は $H^j$ の元を $H_{j-1}$ の Ext で調べる形なので、$H^{2i}$ の類 $c_i(E)$ には $H_{2i-1}$ が対応する（本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の定理「無限に ℓ で割れる元の特定」）。$H_{i-1}$ を使う理由は書かれていない。直後の Remarques 4.12 b) も $H^j$ の話で同じ添字 $H_{i-1}$ を書いており、引き写しと読める。脚注「捩れ部分群を法として有限型であれば足りる」は上の定理の仮定に取り入れた。印字どおりの添字は $i=1$ では $H_0=\mathbf Z$ で仮定が空になり、主張は「トレースの体が有限型なら $c_1(E)$ は捩れ」となる。これは行列式 $\det\colon G\to k_0^*$ と、$\mathbf Z$ 上有限型の整域の単数群の有限生成性（Roquette RoqUnit57）から示せるが、原論文の主張ではないので本書は主結果に数えない。
注意 4.12 の二つの主張
原論文の Remarques 4.12 a) は、4.11 が超越的な道ですでに知られていたことを記録する（小節 0.5、0.9 を見よ、と原論文）。原論文の状態は歴史的な注意である。b) は二つの主張を含む。
$k$ を分離閉体、$\ell\ne\operatorname{char}k$、$G=\mu_{\ell^\infty}(k)$（1 の $\ell$ 冪乗根全体の群）、$E$ を包含 $G\hookrightarrow k^*$ が定める 1 次元表現とする。このとき $c_1(E)(\ell)$ は捩れ元でなく、その $H^2(G,\mu_{\ell^\nu}(k))$ での成分の位数はちょうど $\ell^\nu$ である。したがって上の定理（有限生成の群の表現の ℓ 進類は捩れ）で、$G$ が有限生成であるという仮定は外せない。
本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の補題「1 次元表現の第一 Chern 類の位数」の 3 そのものである。
この $E$ の行列成分は 1 の $\ell$ 冪乗根そのもので、$E$ は $Z(\ell)$ の上で定義される。$Z(\ell)\subset k_0$ なら $\Lambda_1=\{1\}$ で上界は無く、$k_0$ が小さければ ${}^\sigma\!E\not\cong E$ となる $\sigma$ があって不変性が成り立たない。どちらでも前頁の定理と矛盾しない。一方、上の定理（複素表現の有理 Chern 類は 0）は $G$ に有限性を課さないので、原論文の言うとおり 4.11 の前半は有限型でない群でも成り立つ。原論文は続けて、有理像が $0$ の類は捩れとは限らないと注意し、その理由を括弧書きで述べる。
$G$ を離散群、$j\ge1$ とする。$H_{j-1}(G,\mathbf Z)$ が有限型なら、標準写像 $H^j(G,\mathbf Z)\otimes_{\mathbf Z}\mathbf Q\to H^j(G,\mathbf Q)$ は単射である。したがって $H^j(G,\mathbf Z)$ の元で有理像が $0$ のものは捩れ元である。さらに $H_j(G,\mathbf Z)$ も有限型なら、この写像は同型である。
段 1（普遍係数の列の有理化）．引用する事実 1 の列 $0\to\operatorname{Ext}^1(H_{j-1},\mathbf Z)\to H^j(G,\mathbf Z)\to\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Z)\to0$ に $\otimes\mathbf Q$ を当てる。$\mathbf Q$ は平坦なので完全性は保たれる。$H_{j-1}$ が有限型なら $\operatorname{Ext}^1(H_{j-1},\mathbf Z)$ は有限で、$\otimes\mathbf Q$ で $0$ になる。よって $H^j(G,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\cong\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q$。
段 2（単射性）．列は係数について自然なので、標準写像は $\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\to\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Q)=H^j(G,\mathbf Q)$、$f\otimes q\mapsto qf$ と同一視される。$\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q$ の元は $f\otimes\frac1n$ と書け、その像 $\frac1nf$ が $0$ なら $f=0$（$\mathbf Z\subset\mathbf Q$）。よって単射である。$H^j(G,\mathbf Z)\to H^j(G,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q$ の核は捩れ部分群なので、有理像が $0$ の元は捩れである。
段 3（同型）．$H_j\cong\mathbf Z^s\oplus A$（$A$ は有限）なら、$\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q=\mathbf Q^s=\operatorname{Hom}(H_j,\mathbf Q)$ で、段 2 の写像は同型である。
この単射性を $j=2i$ に当てると、有理類の消滅から整係数の類の捩れ性がすぐに出る。
$G$ を離散群、$E$ を有限次元複素表現、$i\ge1$ とし、$H_{2i-1}(G,\mathbf Z)$ が有限型であるとする。このとき、トレースの体に仮定を置かずに、$c_i(E)\in H^{2i}(G,\mathbf Z)$ は捩れ類である。
上の定理（複素表現の有理 Chern 類は 0）により $c_i(E)_{\mathbf Q}=0$ で、上の定理（有理化の写像は単射）を $j=2i$ に当てれば $c_i(E)$ は捩れである。
この系は位数の評価を与えない。上の定理（整係数の類が捩れになる条件）は、ホモロジーの仮定を捩れを法とするものに弱める代わりにトレースの体の有限型を課し、位数を $\ell^{\alpha_\ell(i)}$ で押さえる。原論文の議論が有理化について必要とするのは、この単射性だけである。ところが原論文はもっと強いことを書いている。
原論文の Remarques 4.12 b)（印字 p. 264）は、有理化の写像 $H^j(G,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\to H^j(G,\mathbf Q)$ は一般には同型でないと述べ、括弧書きで「$H_{i-1}(G,\mathbf Z)$ が $\mathbf Z$ 上有限型なら同型である」と付け加える。添字は文脈から $H_{j-1}$ と読むが、そう読んでも主張は偽である。
反例（有理数の加法群の 1 次）：$G=\mathbf Q$（加法群、離散）、$j=1$ とする。$H_0(\mathbf Q,\mathbf Z)=\mathbf Z$ は有限型である。しかし $H^1(\mathbf Q,\mathbf Z)=\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf Z)=0$ なので左辺は $0$、$H^1(\mathbf Q,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf Q)=\mathbf Q$ なので右辺は $0$ でない。崩れるのは全射性で、原因は $H_1(\mathbf Q,\mathbf Z)=\mathbf Q$ が有限型でないことにある。正しい形は上の定理（有理化の写像は単射）で、$H_{j-1}$ の有限性からは単射性だけが出て、同型には $H_j$ の有限性も要る。原論文が括弧書きの前に述べる「有理像が $0$ の類は捩れとは限らない」という注意そのものは正しい（例と反例の節）。
こうして、有理類の消滅は無条件、整係数の類の捩れ性はホモロジーの有限性の下で、という原論文の二段の結論が、それぞれの仮定の要否とともに確かめられた。
例と反例
位数の評価を具体的な群で計算し、次に整係数の類の捩れ性に課した二つの仮定が外せないことを見る。以下、$\chi$ は円分指標に取っておき、群の指標は $\psi\colon G\to\mathbf C^*$ と書く。その 1 次元表現 $E_\psi$ の整係数の第一 Chern 類は、本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の定理「位相的第一 Chern 類は指標そのもの」により $\varepsilon\,\delta_{\exp}(\psi)$ である。
$G=\mathbf Z^n$ とする。$H_j(\mathbf Z^n,\mathbf Z)=\Lambda^j\mathbf Z^n$ は有限型の自由加群なので、上の系（ホモロジーが有限型なら整係数の類は捩れ）により $c_i(E)$ は捩れで、$H^{2i}(\mathbf Z^n,\mathbf Z)=\Lambda^{2i}(\mathbf Z^n)^\vee$ は捩れを含まないから、$\mathbf Z^n$ のすべての有限次元複素表現で $c_i(E)=0$（$i\ge1$）である。$i=1$ は直接確かめられる。$c_1(E)=c_1(\det E)=\varepsilon\,\delta_{\exp}(\det E)$ で、$\det E$ は基底の像の対数を選べば $\exp(2\pi\sqrt{-1}\,f)$（$f\colon\mathbf Z^n\to\mathbf C$ は準同型）と書けるので、指数列の長完全列から $\delta_{\exp}(\det E)=0$。
$G$ を有限群とする。$H_j(G,\mathbf Z)$（$j\ge1$）は有限なので上の定理（整係数の類が捩れになる条件）の仮定のうちホモロジーの条件は満たされる。トレースが有理数に値をとる表現 $E$ ではトレースの体は $\mathbf Q$、$d=1$ で、$\alpha_\ell(i)$ は本書『4-2 位数の上界と第一 Chern 類での最良性』の例「有理数体の上の上界」で計算してある。$i=1$ では $N=2^{\alpha_2(1)}=2$、$i=2$ では $\ell\le3$ だけが寄与して $N=2^{\alpha_2(2)}3^{\alpha_3(2)}=2^3\cdot3=24$ である。よって、どの有限群のどのトレースが有理数の表現についても $2c_1(E)=0$、$24c_2(E)=0$ で、この上界は群の位数に依らない。検算：$G=\mathbf Z/m$ で $x:=c_1(E_\psi)$（$\psi$ は忠実な指標）とすると、$x^i$ は $H^{2i}(G,\mathbf Z)\cong\mathbf Z/m$ の生成元で（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の引用する事実 4）、Whitney の和公式から $E=\bigoplus_{a\in(\mathbf Z/m)^*}E_{\psi^a}$（トレースは有理数）の $c_2(E)$ は $e_2\bigl((a)_{a\in(\mathbf Z/m)^*}\bigr)\,x^2$ である。$m=3$ では $2x^2$ で位数 $3$、$m=8$ では $e_2(1,3,5,7)=86\equiv6\pmod8$ で位数 $4$、$m=5$ では $e_2(1,2,3,4)=35\equiv0\pmod5$ で $c_2=0$ となり、いずれも $24c_2=0$ と、$5$ 成分が消えること（$\alpha_5(2)=0$）に合う。
外す条件は、上の定理（整係数の類が捩れになる条件）のトレースの体が $\mathbf Q$ 上有限型であることである。$G=\mu_{\ell^\infty}(\mathbf C)\cong\mathbf Q_\ell/\mathbf Z_\ell$、$E$ を包含が定める 1 次元表現とする。$G$ は有限巡回群の合併なので $H_1(G,\mathbf Z)=G$ は捩れ群、$H_2(G,\mathbf Z)=0$ で、ホモロジーの条件は満たされる。一方トレースの体は $\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})$ で、有限型でない。$G$ は捩れ群なので包含は $\varphi\circ\iota$（$\iota\colon G\hookrightarrow\mathbf Q/\mathbf Z$）と書け、$\delta_{\exp}(\varphi\circ\iota)=\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}(\iota)$。$H^1(G,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q)=0$、$H^2(G,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(H_2,\mathbf Q)=0$ なので $\delta_{\mathbf Q/\mathbf Z}\colon\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q/\mathbf Z)\to H^2(G,\mathbf Z)$ は同型で、$\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q/\mathbf Z)\cong\mathbf Z_\ell$ の中で $\iota$ は $\pm1$ に当たり、無限位数である。よって $c_1(E)$ は捩れでない。有理像は $H^2(G,\mathbf Q)=0$ の中で $0$ で、上の定理（複素表現の有理 Chern 類は 0）と整合する。$\ell$ 進の側では上の定理（有限生成性は外せない）の現象である。
外す条件は、上の系（ホモロジーが有限型なら整係数の類は捩れ）の $H_{2i-1}$ の有限性である。$G=\mathbf Q$（加法群）、$i=1$ とすると $H_1(\mathbf Q,\mathbf Z)=\mathbf Q$ は有限型でない。本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の例「有理数の加法群の平坦直線束」のとおり、$H^2(\mathbf Q,\mathbf Z)\cong\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q,\mathbf Z)$ は $0$ でない $\mathbf Q$ 線形空間で、$\delta_{\exp}\colon\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf C^*)\to H^2(\mathbf Q,\mathbf Z)$ は全射だから、捩れでない $c_1(E_\psi)$ をもつ指標 $\psi$ がある。その有理像は $H^2(\mathbf Q,\mathbf Q)=0$ の中で $0$ である。原論文が Remarques 4.12 b) で注意する「有理像が $0$ の類は捩れとは限らない」の例である。なお $\psi(\mathbf Q)$ は $\mathbf C^*$ の自明でない可除部分群で、$\mathbf Q$ 上有限型の体の乗法群は有限群と自由アーベル群の積なので（単数群の有限生成性 RoqUnit57 と因子の写像による）その可除部分群は自明であり、この $\psi$ のトレースの体は有限型でない。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 平坦束の整係数 Chern 類（Deligne–Sullivan DelSul75、1975 年）：有限 CW 複体の上の、離散構造群をもつ複素ベクトル束の整係数 Chern 類は捩れである、とされる。この結果は底が有限 CW 複体の場合に限る。底が有限でないと偽であることは、上の例（反例：ホモロジーの有限性を外すと有理像が 0 の類は捩れとは限らない）の有理数の加法群の上の平坦直線束が示す（$B_{\mathbf Q}$ は有限 CW 複体でない）。本頁の上の系と上の定理（整係数の類が捩れになる条件）は、底が有限 CW 複体であることの代わりに、奇数次の整係数ホモロジー $H_{2i-1}(G,\mathbf Z)$ の有限生成性を仮定して同じ型の結論を出す。本書は Deligne–Sullivan の証明を確かめていない。
- 超越的な証明（Milnor Mil58、1958 年。Kamber–Tondeur、1966 年）：原論文が引く超越的な結果で、平坦な接続の曲率が $0$ であることから Chern–Weil 理論で有理（実）特性類が消える。原論文の付録 §7 はこれを複素代数群への準同型に一般化する（本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』）。
- 有限群の表現の Chern 類（Evens Evens65、1965 年）：誘導表現の Chern 類を扱い、有限群の表現の Chern 類の計算に使われた、とされる。本書は確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 0.5 の末と Théorème 4.8〜Remarques 4.12 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（トレースの体と ℓ ごとの指数） | Corollaire 4.11 の仮定、(4.9) | 263、258 |
| 定理（総括定理）、注意（総括定理の印字の群） | Théorème 4.8 とその脚注 | 262 |
| 定理（素体上有限型の基礎体では全次数で捩れ） | Corollaire 4.9 | 262–263 |
| 定理（有限生成の群の表現の ℓ 進類は捩れ） | Corollaire 4.10 とその証明 | 263 |
| 補題（有理類は有限生成の部分群で決まる） | Corollaire 4.11 の証明の「直ちの議論」 | 263 |
| 定理（複素表現の有理 Chern 類は 0） | Corollaire 4.11 前半とその証明、小節 0.5 | 263–264、221 |
| 定理（整係数の類が捩れになる条件）、注意（系 4.11 の印字の添字） | Corollaire 4.11 後半とその脚注、小節 0.5 末の予告 | 263–264、221 |
| 定理（有限生成性は外せない） | Remarques 4.12 b) 前半 | 264 |
| 定理（有理化の写像は単射）、系（ホモロジーが有限型なら整係数の類は捩れ）、注意（原論文の括弧内の同型の主張は偽） | Remarques 4.12 b) 後半の括弧書き | 264 |
| 小節「注意 4.12 の二つの主張」の冒頭の記録（超越的に既知） | Remarques 4.12 a) | 264 |
| 例（自由アーベル群の表現）、例（トレースが有理数の表現の第一・第二 Chern 類）、例（反例：トレースの体の有限型を外すと整係数の類は捩れとは限らない）、例（反例：ホモロジーの有限性を外すと有理像が 0 の類は捩れとは限らない） | 原論文になし（本書が足した例） | — |
参考文献
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