0-2 群のコホモロジーと分類空間

1. 無限巡回群 $\mathbf Z=\langle t\rangle$ には自由分解 $0\to\mathbf Z[\mathbf Z]\xrightarrow{t-1}\mathbf Z[\mathbf Z]\to\mathbf Z\to0$ があり、$H^0(\mathbf Z,M)=M^{t}$、$H^1(\mathbf Z,M)=M/(t-1)M$、$H^q(\mathbf Z,M)=0$（$q\ge2$）である。
2. 位数 $n$ の巡回群 $G=\langle g\rangle$ には、$N=\sum_{j=0}^{n-1}g^j$ として周期 2 の自由分解 $\cdots\xrightarrow{N}\mathbf Z[G]\xrightarrow{g-1}\mathbf Z[G]\xrightarrow{N}\mathbf Z[G]\xrightarrow{g-1}\mathbf Z[G]\to\mathbf Z\to0$ があり、$H^{2i}(G,M)=M^G/NM$（$i\ge1$）、$H^{2i-1}(G,M)=\{m:Nm=0\}/(g-1)M$ である。自明な係数では $H^{2i}(G,\mathbf Z)\cong\mathbf Z/n$（$i\ge1$）、奇数次は $0$、$H^{2i}(G,\mathbf Z/m)\cong H^{2i-1}(G,\mathbf Z/m)\cong\mathbf Z/\gcd(m,n)$ である。$H^2(G,\mathbf Z)$ の生成元 $x$ について、$x$ との cup 積は周期性の同型 $H^q(G,M)\to H^{q+2}(G,M)$（$q\ge1$）を与え、$x^i$ は $H^{2i}(G,\mathbf Z)$ を生成する。
3. 階数 $r$ の自由アーベル群 $\mathbf Z^r$ について、cup 積は次数付き環の同型 $\bigwedge^*\operatorname{Hom}(\mathbf Z^r,\mathbf Z)\cong H^*(\mathbf Z^r,\mathbf Z)$ を与える。有限生成アーベル群 $G$ で $G\otimes\mathbf Q$ の次元が $r$ なら $H^*(G,\mathbf Q)=\bigwedge^*\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q)$ で、次数 $r$ を超えて $0$ である。

$C_\bullet$ を自由アーベル群の鎖複体、$M$ をアーベル群とすると、自然な短完全列
$$0\to\operatorname{Ext}^1_{\mathbf Z}(H_{n-1}(C),M)\to H^n(\operatorname{Hom}(C_\bullet,M))\to\operatorname{Hom}(H_n(C),M)\to0$$
があり、自然でない分裂をもつ。群 $G$ と自明な係数 $M$ については、$\mathbf Z$ の自由 $\mathbf Z[G]$ 分解 $P_\bullet$ から $C_\bullet=\mathbf Z\otimes_{\mathbf Z[G]}P_\bullet$ をとれば $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_\bullet,M)=\operatorname{Hom}(C_\bullet,M)$ なので、
$$0\to\operatorname{Ext}^1(H_{n-1}(G,\mathbf Z),M)\to H^n(G,M)\to\operatorname{Hom}(H_n(G,\mathbf Z),M)\to0$$
が得られる。分類空間の特異コホモロジー（下の項）についても同じ形の列がある。付随して次が成り立つ。
(1) $\mathbf Z$ は遺伝的（部分加群が射影的）なので $\operatorname{Ext}^{\ge2}_{\mathbf Z}=0$ で、$\operatorname{Ext}^1(\cdot,M)$ は単射を全射に送る。導来圏 $D(\mathbf Z)$ の任意の対象は $\bigoplus_jH_j[j]$ と（標準的でなく）同型であり、とくに $H_j(G,\mathbf Z)$ がすべて有限型自由なら $C_\bullet$ は $\bigoplus_jH_j(G,\mathbf Z)[j]$ と擬同型である。
(2) $\mathbf Q$ 上のベクトル空間 $V$（たとえば標数 $0$ の体）は可除なので $\operatorname{Ext}^1(\cdot,V)=0$ で、$H^n(G,V)=\operatorname{Hom}(H_n(G,\mathbf Z),V)$。捩れ群 $T$ について $\operatorname{Ext}^1(T,\mathbf Z)\cong\operatorname{Hom}(T,\mathbf Q/\mathbf Z)$ で、とくに $\operatorname{Ext}^1(\mathbf Q_\ell/\mathbf Z_\ell,\mathbf Z)\cong\mathbf Z_\ell$。また $\operatorname{Ext}^1(\bigoplus_mA_m,\mathbf Z)=\prod_m\operatorname{Ext}^1(A_m,\mathbf Z)$、自由アーベル群 $F$ について $\operatorname{Ext}^1(F,\mathbf Z)=0$。
(3) 有限生成アーベル群は自由部分と有限な捩れ部分の直和で、その $\operatorname{Ext}^1(\cdot,\mathbf Z)$ は有限である。すべての $n$ で $H_n(G,\mathbf Z)$ が有限生成なら $H^n(G,\mathbf Z)$ も有限生成で、$H^n(G,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q\cong H^n(G,\mathbf Q)$ である。
(4) 体の上の線形空間の複体は、そのコホモロジー（微分 $0$ の複体とみる）とホモトピー同値である。したがって体の上の複体の射でコホモロジーに単射を誘導するものは、ホモトピーを除いて左逆をもつ。
(5) Bockstein：短完全列 $0\to\mathbf Z\xrightarrow{\ell^\nu}\mathbf Z\to\mathbf Z/\ell^\nu\to0$ の長完全列から、完全列 $0\to H^n(G,\mathbf Z)/\ell^\nu\to H^n(G,\mathbf Z/\ell^\nu)\to H^{n+1}(G,\mathbf Z)[\ell^\nu]\to0$ が得られる（$[\ell^\nu]$ は $\ell^\nu$ で消える元の部分群）。

$G$ を離散群、$H\subset G$ を部分群とする。
(1) Shapiro の補題：$H$ 加群 $M$ の余誘導加群 $\operatorname{CoInd}_H^GM:=\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[H]}(\mathbf Z[G],M)$ について $H^*(G,\operatorname{CoInd}_H^GM)\cong H^*(H,M)$ である。とくに $H=\{1\}$ として、余誘導加群 $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(\mathbf Z[G],A)$ は正の次数で非輪状である。$[G:H]<\infty$ なら余誘導加群は誘導加群 $\mathbf Z[G]\otimes_{\mathbf Z[H]}M$ に同型である。
(2) 転送：$[G:H]<\infty$ なら、余制限（転送）$\operatorname{cor}\colon H^*(H,M)\to H^*(G,M)$（$M$ は $G$ 加群）があり、$\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}=[G:H]$ 倍である。
(3) 有限群の消滅：$G$ が有限なら、$H=\{1\}$ に (2) を当てて $H^i(G,M)$（$i>0$）は $|G|$ 倍で $0$ になる。$M$ が $\mathbf Q$ 上のベクトル空間なら $|G|$ 倍は同型でもあるので、$H^i(G,M)=0$（$i>0$）である。
(4) 有理係数の制限：$[G:H]<\infty$ で $V$ が $\mathbf Q[G]$ 加群なら、$\operatorname{res}\colon H^*(G,V)\to H^*(H,V)$ は単射である。$H$ が正規なら、その像は $G/H$ の作用の不変部分 $H^*(H,V)^{G/H}$ に一致する。

1. 合成関手のスペクトル系列（Grothendieck GroT57）：アーベル圏の左完全関手 $\Phi\colon\mathcal A\to\mathcal B$、$\Psi\colon\mathcal B\to\mathcal C$ について、$\mathcal A$、$\mathcal B$ が単射的対象を十分にもち、$\Phi$ が単射的対象を $\Psi$ 非輪状な対象に送るなら、導来圏で $R(\Psi\Phi)\cong R\Psi\circ R\Phi$ で、収束する第一象限のスペクトル系列 $E_2^{p,q}=R^p\Psi(R^q\Phi A)\Rightarrow R^{p+q}(\Psi\Phi)(A)$ がある。導来圏で、すべてのコホモロジー対象の上で同型を誘導する射は同型である。
2. Hochschild–Serre（HS53）：正規部分群 $N\subset G$ と $G$ 加群 $M$ について、$M\mapsto M^G$ を $M\mapsto M^N\mapsto(M^N)^{G/N}$ と分解して (1) を当てると、スペクトル系列
   $$E_2^{p,q}=H^p(G/N,H^q(N,M))\Rightarrow H^{p+q}(G,M)$$
   が得られる（$M\mapsto M^N$ は単射的対象を単射的対象に送る）。これは cup 積と両立する乗法的な系列で、低次の項から完全列 $0\to H^1(G/N,M^N)\xrightarrow{\operatorname{inf}}H^1(G,M)\xrightarrow{\operatorname{res}}H^1(N,M)^{G/N}\to H^2(G/N,M^N)\xrightarrow{\operatorname{inf}}H^2(G,M)$ が得られる。
3. 同じ型の系列：作用群つきスキームの混合コホモロジーのスペクトル系列 $H^p(G,H^q(X,F))\Rightarrow H^{p+q}(X,G;F)$ は、(1) を大域切断 $\Gamma(X,\cdot)$ と不変部分 $(\cdot)^G$ の合成に当てた系列である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）。射有限群の閉正規部分群についても (2) が成り立つ（下の射有限群の項）。

$G$ を離散群とする。連結な CW 複体 $B_G$ で、$\pi_1(B_G)=G$ かつ普遍被覆 $E_G$ が可縮なもの（Eilenberg–MacLane 空間 $K(G,1)$）が存在し、ホモトピー同値を除いて一意である。$G$ は $E_G$ に被覆変換として右から自由に作用し、$E_G\to B_G$ は群 $G$ の主束（Galois 被覆）である。Milnor Mil56I の構成（結合の無限反復）は $G$ について関手的で、準同型 $u\colon\Gamma\to G$ は連続写像 $B_u\colon B_\Gamma\to B_G$ を誘導する。
(1) 分類：CW 複体 $X$ の上の群 $G$ の主束（連結とは限らない Galois 被覆）の同型類は、ホモトピー類 $[X,B_G]$ と一対一に対応する。$X$ が連結で基点をもつなら、それらは $\operatorname{Hom}(\pi_1(X),G)$ の $G$ 共役類とも一対一に対応し、$\varphi\colon\pi_1(X)\to G$ には $\tilde X\times_{\pi_1(X)}G$（$\tilde X$ は普遍被覆）が対応する。とくに分類写像 $X\to B_{\pi_1(X)}$ がある。
(2) コホモロジー：$E_G$ の胞体鎖複体は $\mathbf Z$ の自由 $\mathbf Z[G]$ 分解である。したがって $G$ 加群 $M$ とそれが $B_G$ の上に定める局所系 $\underline M$ について $H^*(B_G,\underline M)\cong H^*(G,M)$、$H_*(B_G,\mathbf Z)\cong H_*(G,\mathbf Z)$ である。自明な係数 $A$ では、定数層係数の層コホモロジー（CW 複体は局所可縮でパラコンパクトなので特異コホモロジーに等しい）について $H^*(B_G,A)\cong H^*(G,A)$ で、この同型は $A$ について自然であり、短完全列の余境界と cup 積に両立する（コホモロジー的関手の同型）。とくに $H^1(B_G,A)\cong\operatorname{Hom}(G,A)$ で、$B_u^*$ は $u^*$ に対応する。
(3) 付随束：$G$ の作用する空間 $F$ について $E_G\times_GF\to B_G$（$E_G\times F$ を $g(a,x)=(ag^{-1},gx)$ で割ったもの）はファイバー $F$ の局所自明束で、変換関数は $G$ の元の局所定数関数である。有限次元複素表現 $E$ についての $E_G\times_GE$ が原論文 (0.1) の付随束で、その Chern 類が表現の位相的 Chern 類である（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』）。
(4) 有限被覆と拡大：$Y\to X$ が CW 複体の $d$ 重の有限被覆なら、転送により $H^*(X,\mathbf Q)\to H^*(Y,\mathbf Q)$ は単射で、Galois 被覆なら像は被覆変換群の不変部分である。とくに $G$ が有限なら $H^*(B_G,\mathbf Q)=H^*(\mathrm{pt},\mathbf Q)$。群の拡大 $1\to N\to G\to Q\to1$ はファイブレーション $B_N\to B_G\to B_Q$ を与え、その Serre のスペクトル系列が上の定理（合成関手のスペクトル系列と Hochschild–Serre のスペクトル系列）の (2) を実現する。CW 複体の特異ホモロジーは有限部分複体のホモロジーの帰納極限である。