2-4 係数の変更と ℓ 進 Chern 類
前頁で作った Chern 類は、許容される整数 $n$ を一つ決めるごとに 1 の $n$ 乗根の捩れを係数として定まる。本頁は、$n$ をその倍数 $n'$ に取り替えたとき二つの類が係数の $m$ 乗写像で結ばれることを示し、それを使って素数 $\ell$ の冪を動かした類を一つの ℓ 進 Chern 類にまとめる。すべての ℓ 進類を知ることとすべての mod $n$ 類を知ることが同値であることも確かめる。
この頁で示すこと
$(X,G)$ は作用群つきスキーム、$\mathbb E$ は $(X,G)$ 上の作用つき局所自由加群、$c_i^{(n)}(\mathbb E)\in H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$ は許容される整数 $n$ についての Chern 類とする（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』）。$n'=mn$ も許容されるとき、$u_{n,n'}\colon\mu_{n'}\to\mu_n$ を $z\mapsto z^m$ とし、そのテンソル冪がコホモロジーに誘導する写像を $u^{(i)}_{n,n'}\colon H^{2i}(X,G;\mu_{n'}^{\otimes i})\to H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$ と書く。$\ell$ は許容される素数とする。
本頁の主結果は次の二つである。
- 係数を動かしたときの両立（原論文 1.6、(1.17)〜(1.20)、印字 pp. 238–239）：$n'=mn$ が許容されるなら $c_i^{(n)}(\mathbb E)=u^{(i)}_{n,n'}\bigl(c_i^{(n')}(\mathbb E)\bigr)$ である。［条件付き：射影束公式による］
- ℓ 進類と mod n 類の同値（原論文 1.7、印字 pp. 239–240。群の場合は小節 0.4、(0.12)(0.13)、印字 pp. 219–220）：すべての許容される素数 $\ell$ についての ℓ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)$ を知ることは、すべての許容される $n$ についての $c_i^{(n)}(\mathbb E)$ を知ることと同値であり、ℓ 進類も逆像との両立・正規化・加法性を満たす。［条件付き：1 と加法性による］
主結果 1 は、第一 Chern 類の場合を Kummer 列の射で確かめ、あとは射影束公式の係数の一意性に帰着する。主結果 2 は、中国剰余定理による係数の分解と主結果 1 から従う。ℓ 進係数のコホモロジーは射影極限で定め、連続コホモロジーとの差は扱わない。
背景と動機
原論文の序論の小節 0.4（印字 pp. 219–220）は、mod $n$ の類を $n$ ごとにばらばらに持つのではなく、$\ell$ の冪 $\ell^\nu$ を動かした類をまとめて、Tate 加群 $T_\ell(k)=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}(k)$ のテンソル冪を係数とする類 (0.13) にすることを構想する。原論文はこれを、超越的な整係数 Chern 類に対して「可能な最良の代数的近似」を与えるものと評価する。整係数の類は $\mathbf C$ の位相を使わなければ作れないが（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』）、ℓ 進の類は代数的に作れ、しかもすべての $\ell^\nu$ での還元を一度に記録する。
そのためには、$n$ を $n'=mn$ に取り替えたとき、二つの類が標準的な写像 $\mu_{n'}\to\mu_n$ で移り合うことが要る。原論文の小節 1.6（印字 pp. 238–239）はこれを (1.19) として述べ、証明は定義から、あるいは三つの性質による公理的な特徴づけから「本質的に自明」で、第一 Chern 類の場合に帰着すると書く。小節 1.7（印字 pp. 239–240）は ℓ 進層を射影系として導入し、ℓ 進 Chern 類 (1.24) を定める。そのうえで、ℓ 進類の全体と mod $n$ 類の全体が同じ情報をもつこと、ℓ 進類が加法性を含む通常の性質を「明らかに」満たすことを、証明なしに述べる。本頁はこの二つの小節を閉じる。
定義と準備
係数を取り替える写像を先に定め、その局所的な形を確かめる。ℓ 進類の成分がきちんと射影系をなすことは、この局所的な形から分かる。
$n$、$n'=mn$ を許容される整数とする。$u_{n,n'}\colon\mu_{n'}\to\mu_n$ を $z\mapsto z^m$ で定める。これは $(X_{\text{ét}},G)$ 上の層の射で、$i\ge0$ についてそのテンソル冪 $u_{n,n'}^{\otimes i}\colon\mu_{n'}^{\otimes i}\to\mu_n^{\otimes i}$（原論文 (1.17 bis)）と、それがコホモロジーに誘導する写像 $u^{(i)}_{n,n'}\colon H^j(X,G;\mu_{n'}^{\otimes i})\to H^j(X,G;\mu_n^{\otimes i})$（原論文 (1.18) は $j=2i$ の場合）を考える。ここで $\mu_n^{\otimes i}$ は $n'$ で消える層として $\mathbf Z/n'$ 加群とみる。
$z\in\mu_{n'}$ なら $(z^m)^n=z^{n'}=1$ なので、$z^m$ は確かに $\mu_n$ に入る。原論文の (1.17) はこの写像を「$n$ 乗」と印字しているが、それは $m$ 乗の誤植である（下の注意）。
- $\zeta$ をエタール局所的な $\mu_{n'}$ の生成元とすると $\zeta^m$ は $\mu_n$ の生成元で、この生成元で $\mu_{n'}^{\otimes i}\cong\mathbf Z/n'$、$\mu_n^{\otimes i}\cong\mathbf Z/n$ と同一視すると $u_{n,n'}^{\otimes i}$ は還元 $\mathbf Z/n'\to\mathbf Z/n$ である。とくに $u_{n,n'}^{\otimes i}$ は全射である。
- $n''=m'n'$ も許容されるなら $u_{n,n'}\circ u_{n',n''}=u_{n,n''}$ である。
- $u^{(i)}(a)\cup u^{(j)}(b)=u^{(i+j)}(a\cup b)$ であり、$u^{(i)}$ は作用群つきスキームの射による引き戻しと可換である。
段 1（局所的な形）．本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定理「Kummer 列の完全性と 1 の冪根の層」により $\mu_{n'}$ はエタール局所的に位数 $n'$ の巡回群の定数層で、生成元 $\zeta$ をとれる。$\zeta^m$ の位数は $n'/m=n$ なので $\mu_n$ の生成元である。$u(\zeta^a)=(\zeta^m)^a$ なので、同一視の下で $u$ は $a\bmod n'\mapsto a\bmod n$ である。テンソル冪では $\zeta^{\otimes i}\mapsto(\zeta^m)^{\otimes i}$ で、同じく還元である。
段 2（推移性）．$(z^{m'})^m=z^{mm'}$ で、$n''=mm'n$ である。
段 3（cup 積と引き戻し）．$u^{\otimes i}\otimes u^{\otimes j}$ は標準同型の下で $u^{\otimes(i+j)}$ に等しく（生成元の上で確かめればよい）、cup 積は係数の層の射と可換である（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の引用する事実 3）。引き戻しとの可換性は、$u$ が標準的な層の射で逆像と可換なことによる。
局所的には係数の変更は $\mathbf Z/n'\to\mathbf Z/n$ の還元にすぎない。ただし大域的には $\mu_n$ と $\mathbf Z/n$ は同型とは限らないので、係数を $\mu_n$ のまま扱う。
原論文の (1.17)（印字 p. 238）は、$u_{n,n'}\colon\mu_{n'}\to\mu_n$ を「$n$ 乗」で与えられる標準的な全射と印字する。$n$ 乗は一般に $\mu_{n'}$ を $\mu_n$ に移さない。たとえば $n=2$、$n'=6$（$m=3$）で、$\mathbf C$ の上の原始 6 乗根 $\zeta$ の 2 乗は原始 3 乗根で、$\mu_2=\{\pm1\}$ に入らない。直後の図式 (1.20)（印字 p. 239）は中央の縦の射を $\alpha(z)=z^m$ とし、左の縦の射 $u_{n,n'}$ をその制限としており、これが正しい形を与える。「$n$ 乗」に理由は添えられていないので、本書はこれを誤植とし、$u_{n,n'}$ を $m$ 乗と読む。$\ell$ 進層の遷移写像（(1.21) で (1.17) を引く）も $\ell$ 乗である。
係数の変更が定まったので、ℓ 進の係数と ℓ 進 Chern 類を定める。成分が両立することは下の定理（係数を動かしたときの両立）で示す。
$\ell$ を許容される素数とする。$i\ge0$ について、$(X_{\text{ét}},G)$ 上の層の射影系 $T_\ell^{\otimes i}:=(\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})_{\nu\ge0}$（遷移写像は $u_{\ell^\nu,\ell^{\nu+1}}^{\otimes i}$、すなわち $\ell$ 乗のテンソル冪）を考え、
$$H^j\bigl(X,G;T_\ell^{\otimes i}\bigr):=\varprojlim_\nu H^j\bigl(X,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}\bigr)$$
とおく（原論文 (1.21)〜(1.23)）。これは $\mathbf Z_\ell$ 加群である。$\mathbb E$ の第 $i$ ℓ 進 Chern 類を
$$c_i(\mathbb E)(\ell):=\bigl(c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)\bigr)_{\nu\ge0}\in H^{2i}\bigl(X,G;T_\ell^{\otimes i}\bigr)$$
で定める（原論文 (1.24)）。cup 積を成分ごとに定めて $A_\ell(X,G):=\prod_{i\ge0}H^{2i}(X,G;T_\ell^{\otimes i})$ を環とし、$c(\mathbb E)(\ell):=\sum_ic_i(\mathbb E)(\ell)$ とおく。有理化 $H^j(X,G;T_\ell^{\otimes i})\otimes_{\mathbf Z_\ell}\mathbf Q_\ell$ を $\mathbf Q_\ell(i)$ 係数のコホモロジーと呼ぶ。
原論文にならい $T_\ell^{\otimes0}=(\mathbf Z/\ell^\nu)_\nu$ を $\mathbf Z_\ell$ とも書くが、これは射影系であって、環 $\mathbf Z_\ell$ の定める定数層ではない（原論文 1.7 が明記する。違いは例と反例の節で見る）。$H^j(X,G;T_\ell^{\otimes i})$ は射影極限で定めたもので、後代の連続エタールコホモロジーとは $\varprojlim^1$ の項だけ違いうるが、本書はその差を扱わない。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SerGal64、CE56 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-2 群のコホモロジーと分類空間』『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』から『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』までの引用する事実もそのまま使う。
- 有限巡回群のコホモロジー（CE56 の型）：位数 $N$ の巡回群 $G$ と自明な $G$ 加群 $M$ について $H^1(G,M)=\operatorname{Hom}(G,M)$、$H^2(G,M)\cong M/NM$ であり、後者は $M$ について自然である。
- 有限体の Galois コホモロジー（SerGal64 の型）：有限体 $\mathbf F_q$ の絶対 Galois 群は $\widehat{\mathbf Z}$ と同型で、$\operatorname{Spec}\mathbf F_q$ のエタール層のコホモロジーは離散的な $\widehat{\mathbf Z}$ 加群の連続コホモロジーである。とくに自明な作用の離散加群 $M$ について $H^1(\mathbf F_q,M)=\operatorname{Hom}_{\text{cont}}(\widehat{\mathbf Z},M)$ である。
これで準備が済んだ。まず第一 Chern 類の場合を Kummer 列の射で確かめる。
主結果と証明
係数を動かす
$n$、$n'=mn$ を許容される整数、$\mathbb L$ を $(X,G)$ 上の $G$ 線形化された可逆層とすると、$u^{(1)}_{n,n'}\bigl(c_1^{(n')}(\mathbb L)\bigr)=c_1^{(n)}(\mathbb L)$ である。
$(X_{\text{ét}},G)$ 上の二つの Kummer 列と縦の射からなる図式（原論文 (1.20)）
$$\begin{array}{ccccccccc}0&\to&\mu_{n'}&\to&\mathbf G_m&\xrightarrow{\lambda\mapsto\lambda^{n'}}&\mathbf G_m&\to&0\\&&\downarrow u_{n,n'}&&\downarrow\alpha&&\downarrow\mathrm{id}&&\\0&\to&\mu_n&\to&\mathbf G_m&\xrightarrow{\lambda\mapsto\lambda^{n}}&\mathbf G_m&\to&0\end{array}$$
を考える。$\alpha(z)=z^m$ である。右の四角は $\alpha(\lambda)^n=\lambda^{mn}=\lambda^{n'}$ で可換、左の四角は $u_{n,n'}$ が $\alpha$ の $\mu_{n'}$ への制限なので可換である。どの射も引き戻しとの標準同型と可換なので、作用群つきの層の射である。完全列の射はコホモロジーの長完全列の射を誘導し、δ 関手の普遍性により余境界と可換なので（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定理「可逆層の類のエタール表示」の証明の段 4 と同じ理由）、$\partial_n\circ\mathrm{id}=u^{(1)}\circ\partial_{n'}$ である。$cl(\mathbb L)\in H^1(X,G;\mathbf G_m)$ に当てて、本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「逆像との両立と正規化」の 3 により主張を得る。
原論文は、この第一 Chern 類の場合が図式 (1.20) から「ただちに」従うと書く（印字 pp. 238–239）。高次の類へは、射影束の関係式を係数ごと移せばよい。
$n$、$n'=mn$ を許容される整数とすると、$(X,G)$ 上のすべての作用つき局所自由加群 $\mathbb E$ とすべての $i$ について
$$c_i^{(n)}(\mathbb E)=u^{(i)}_{n,n'}\bigl(c_i^{(n')}(\mathbb E)\bigr)$$
である（原論文 (1.19)）。
段 1（帰着）．本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「階数が一定でない場合」により、階数は一定の $r\ge1$ としてよい（階数 $0$ では両辺とも $1$ である）。$P=P(\mathbb E)$、$f$ を射影とし、係数 $\mu_n$、$\mu_{n'}$ の基本類を $\xi^{(n)}$、$\xi^{(n')}$ とする。
段 2（基本類）．上の補題（第一 Chern 類の係数の変更）を $(P,G)$ 上の $\mathcal O_P(1)$ に当てると $u^{(1)}(\xi^{(n')})=\xi^{(n)}$ である。
段 3（関係式を移す）．$n'$ についての関係式 $\sum_{i=0}^rf^*c_i^{(n')}(\mathbb E)\cup(\xi^{(n')})^{r-i}=0$（$H^{2r}(P,G;\mu_{n'}^{\otimes r})$ の中）に $u^{(r)}$ を当てる。上の補題（係数の変更の写像の局所的な形）の 3 により $u^{(r)}$ は cup 積を $u^{(i)}\cup u^{(r-i)}$ に分け、$f^*$ と可換なので、
$$\sum_{i=0}^rf^*\bigl(u^{(i)}c_i^{(n')}(\mathbb E)\bigr)\cup\bigl(\xi^{(n)}\bigr)^{r-i}=0$$
を得る。$u^{(0)}(1)=1$ である。
段 4（一意性）．$u^{(i)}c_i^{(n')}(\mathbb E)\in H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$ は $n$ についての関係式を満たすので、本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定義「Chern 類」の係数の一意性により $c_i^{(n)}(\mathbb E)$ に等しい。
原論文が挙げるもう一つの道も通る。規則 $c'(\mathbb E):=\sum_iu^{(i)}c_i^{(n')}(\mathbb E)$ は、上の補題（係数の変更の写像の局所的な形）の 3 により逆像と両立し、$u=(u^{(i)})_i$ が環準同型 $A_{n'}(X,G)\to A_n(X,G)$ なので加法性を満たし、上の補題（第一 Chern 類の係数の変更）により正規化を満たす。本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「三つの性質による特徴づけと公式集」の 1 により $c'=c^{(n)}$ である。上の証明はこの特徴づけを使わず、係数の一意性だけで閉じている。
この定理により、ℓ 進 Chern 類の成分 $c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E)$ は遷移写像 $u^{(i)}_{\ell^\nu,\ell^{\nu+1}}$ で互いに移り、定義（ℓ 進の係数と ℓ 進 Chern 類）の元はたしかに射影極限の元である。
ℓ 進類と mod n 類
一つの $n$ はいくつかの素数の冪に分かれ、係数も中国剰余定理で分かれる。これが ℓ 進の類の全体と mod $n$ の類の全体を結ぶ。
- $n=\prod_{\ell\mid n}\ell^{a_\ell}$ を許容される整数の素因数分解とする。各 $\ell\mid n$ は許容される素数で、$\bigl(u_{\ell^{a_\ell},n}^{\otimes i}\bigr)_\ell\colon\mu_n^{\otimes i}\to\bigoplus_{\ell\mid n}\mu_{\ell^{a_\ell}}^{\otimes i}$ は $(X_{\text{ét}},G)$ 上の層の同型である。それが誘導するコホモロジーの同型は $c_i^{(n)}(\mathbb E)$ を $\bigl(c_i^{(\ell^{a_\ell})}(\mathbb E)\bigr)_\ell$ に移し、$c_i^{(\ell^{a})}(\mathbb E)$ は $c_i(\mathbb E)(\ell)$ の第 $a$ 成分である。
- したがって、すべての許容される素数 $\ell$ についての $c_i(\mathbb E)(\ell)$ の族と、すべての許容される $n$ についての $c_i^{(n)}(\mathbb E)$ の族は、互いに他を決める。
- ℓ 進 Chern 類は、作用群つきスキームの射による逆像と両立し、$c(\mathbb L)(\ell)=1+c_1(\mathbb L)(\ell)$、$c_1(\mathbb L)(\ell)=(\partial_{\ell^\nu}cl(\mathbb L))_\nu$ を満たし、完全列 $0\to\mathbb E'\to\mathbb E\to\mathbb E''\to0$ について $c(\mathbb E)(\ell)=c(\mathbb E')(\ell)\,c(\mathbb E'')(\ell)$ を満たす。$c_1(\mathbb E)(\ell)=c_1(\det\mathbb E)(\ell)$、$c_i(\mathbb E^\vee)(\ell)=(-1)^ic_i(\mathbb E)(\ell)$ であり、$G$ を忘れる写像は ℓ 進類を $G$ を忘れた束の ℓ 進類に移す。
段 1（許容性）．$n\cdot1_X$ が可逆なら、その約数 $\ell\cdot1_X$ も可逆である。
段 2（係数の分解）．射が同型であることは局所的に確かめればよい（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の補題「作用を忘れる関手の随伴と単射的対象」の 1 と、同頁の引用する事実 1）。上の補題（係数の変更の写像の局所的な形）の 1 により、$\mu_n$ の局所的な生成元 $\zeta$ と、$\mu_{\ell^{a_\ell}}$ の生成元 $\zeta^{n/\ell^{a_\ell}}$ で同一視すると、射は還元の組 $\mathbf Z/n\to\bigoplus_\ell\mathbf Z/\ell^{a_\ell}$ で、中国剰余定理により同型である。テンソル冪でも同じである。
段 3（類の対応）．コホモロジーは有限直和と可換なので、同型 $H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})\cong\bigoplus_\ell H^{2i}(X,G;\mu_{\ell^{a_\ell}}^{\otimes i})$ を得る。その $\ell$ 成分は $u^{(i)}_{\ell^{a_\ell},n}$ で、上の定理（係数を動かしたときの両立）を、その $n'$ を $n$、その $n$ を $\ell^{a_\ell}$（$m=n/\ell^{a_\ell}$）として当てると、$c_i^{(n)}(\mathbb E)$ の像は $c_i^{(\ell^{a_\ell})}(\mathbb E)$ である。第 $a$ 成分の主張は定義（ℓ 進の係数と ℓ 進 Chern 類）そのものである。これで 1 を得る。
段 4（同値）．1 により $c_i^{(n)}(\mathbb E)$ は $c_i(\mathbb E)(\ell)$（$\ell\mid n$）の成分から同型で復元される。逆に $c_i(\mathbb E)(\ell)$ は $n=\ell^\nu$ の類の族そのものである。これで 2 を得る。
段 5（性質）．上の補題（係数の変更の写像の局所的な形）の 3 により、成分ごとの cup 積と逆像は遷移写像と両立し、射影極限の上の積と逆像が成分ごとに定まる。3 の各等式は、その成分である $\ell^\nu$ ごとの等式、すなわち本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「逆像との両立と正規化」「加法性」「第一 Chern 類は行列式の第一 Chern 類」「三つの性質による特徴づけと公式集」の 2、「作用群を忘れる写像との両立」から従う。射影極限の元は成分で決まるからである。
原論文は 2 を理由を添えずに述べ、3 のうち加法性を含む通常の性質を「明らかに」満たすとする（印字 p. 240）。1 の係数の分解は原論文に書かれていない。上の証明で補ったのは、1 の係数の分解が層の同型であることと、成分ごとの等式が極限の等式を与えることだけである。
原論文の小節 0.4 は Tate 加群を「標数と素なすべての整数 $\ell$」について導入し（印字 p. 219）、1.7 は $\ell$ を素数とする（印字 p. 239）。定義（ℓ 進の係数と ℓ 進 Chern 類）と上の定理（係数を動かしたときの両立）は、$\ell$ を許容される整数 $\ell\ge2$ としても、$\mathbf Z_\ell:=\varprojlim_\nu\mathbf Z/\ell^\nu$ としてそのまま成り立つ。主結果 2 の同値は素数 $\ell$ で述べるのが自然なので、本書は $\ell$ を素数とする。
例と反例
まず、原論文の序論が考えた群の表現の場合に、本頁の ℓ 進類が小節 0.4 の類と同じものであることを確かめる。
$k$ を分離閉体、$\ell$ を $k$ の標数と異なる素数、$X=\operatorname{Spec}k$ とし、$G$ は $X$ に自明に作用するとする。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「分離閉体の上の点」の同型 $H^j(\operatorname{Spec}k,G;F)\cong H^j(G,F(k))$ は $F$ について自然なので遷移写像と両立し、
$$H^j\bigl(\operatorname{Spec}k,G;T_\ell^{\otimes i}\bigr)\cong\varprojlim_\nu H^j\bigl(G,\mu_{\ell^\nu}(k)^{\otimes i}\bigr)$$
を得る。右辺は原論文の小節 0.4 が $H^j(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ と書いて定義したものである（印字 p. 220）。$\mu_{\ell^\nu}(k)$ は位数 $\ell^\nu$ の巡回群で遷移写像 $z\mapsto z^\ell$ は全射なので、$T_\ell(k)=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}(k)$ は $\mathbf Z_\ell$ と（標準的でなく）同型である。$G$ の $k$ 上の表現 $E$ の ℓ 進類 $c_i(E)(\ell)$ は、原論文 (0.13) の類 $c_i(E)\in H^{2i}(G,T_\ell(k)^{\otimes i})$ にほかならない。
次の二つの例は、ℓ 進類が $0$ でない捩れ元になる場合と、捩れでない元になる場合である。どちらも第一 Chern 類で計算できる。
前の例の設定で $k$ を代数閉体、$G=\mathbf Z/\ell^a$（$a\ge1$）、$\chi\colon G\to k^*$ を単射な指標とする。$\operatorname{Hom}(G,k^*)=\operatorname{Hom}(G,\mu_{\ell^a}(k))$ は位数 $\ell^a$ の巡回群で $\chi$ が生成する。自明な $G$ 加群の Kummer 列の長完全列
$$\operatorname{Hom}(G,k^*)\xrightarrow{\ell^\nu}\operatorname{Hom}(G,k^*)\xrightarrow{\partial_{\ell^\nu}}H^2(G,\mu_{\ell^\nu}(k))\to H^2(G,k^*)$$
で、引用する事実 1 により $H^2(G,k^*)\cong k^*/k^{*\ell^a}=0$（$k$ は代数閉）なので、$\partial_{\ell^\nu}$ は同型 $\operatorname{Hom}(G,k^*)/\ell^\nu\cong H^2(G,\mu_{\ell^\nu}(k))$ を与える。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「体の上の作用つき可逆層の類」により $c_1^{(\ell^\nu)}(L_\chi)=\pm\partial_{\ell^\nu}(\chi)$（符号は $\nu$ によらない約束で決まる）で、これは位数 $\ell^{\min(a,\nu)}$ の生成元である。上の補題（第一 Chern 類の係数の変更）により、遷移写像はこの同型の下で射影 $\operatorname{Hom}(G,k^*)/\ell^{\nu+1}\to\operatorname{Hom}(G,k^*)/\ell^\nu$ になるので、
$$H^2\bigl(G,T_\ell(k)\bigr)\cong\varprojlim_\nu\operatorname{Hom}(G,k^*)/\ell^\nu=\operatorname{Hom}(G,k^*)\cong\mathbf Z/\ell^a$$
で、$c_1(L_\chi)(\ell)$ は $\pm\chi$ に対応する。ℓ 進第一 Chern 類は $0$ でない位数ちょうど $\ell^a$ の捩れ元である。
$K$ を体、$\ell$ を標数と異なる素数、$G=\mathbf Z=\langle t\rangle$ が $\operatorname{Spec}K$ に自明に作用し、$\chi(t)=a\in K^*$ とする。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「無限巡回群の自明な作用」の分解 $H^2(\operatorname{Spec}K,\mathbf Z;F)\cong H^2(K,F)\oplus H^1(K,F)$ は $F$ について自然なので遷移写像と両立し、$c_1(L_\chi)(\ell)$ の成分は $(0,\pm\kappa_\ell(a))$ である。ここで $\kappa_\ell(a)=(\kappa_{\ell^\nu}(a))_\nu$ は Kummer 類の族で、Kummer 列と Hilbert 90 から $H^1(K,\mu_{\ell^\nu})\cong K^*/K^{*\ell^\nu}$、上の補題（第一 Chern 類の係数の変更）の証明の図式（右の縦の射が恒等写像）から遷移写像は射影なので、$\kappa_\ell(a)$ は $a$ の $\varprojlim_\nu K^*/K^{*\ell^\nu}$ での像である。$K=\mathbf Q$、$a=2$ なら、2 進付値を $\ell^\nu$ で割った余りをとる準同型 $\mathbf Q^*/\mathbf Q^{*\ell^\nu}\to\mathbf Z/\ell^\nu$ が極限で $\kappa_\ell(2)\mapsto1\in\mathbf Z_\ell$ を与えるので、$c_1(L_\chi)(\ell)$ は捩れでない。各 mod $\ell^\nu$ 類は $\ell^\nu$ で消えるのに、ℓ 進類は捩れでない。この例の意味は本書『6-2 指標の第一 Chern 類と基礎体』で扱う。
最後の二つは反例で、係数の取り扱いの約束を外すと主張が崩れることを示す。
外す条件は、定数係数への同型 $\varphi_n\colon\mathbf Z/n\to\mu_n$ を $u_{n,n'}\circ\varphi_{n'}=\varphi_n\circ(\text{還元})$ となるように選ぶことである。$k$ を標数が $3$ でない代数閉体、$X=\mathbf P^1_k$、$n=3$、$n'=9$（$m=3$）、$\zeta\in k$ を原始 9 乗根とし、$\varphi_9(1)=\zeta$、$\varphi_3(1)=\zeta^3$、$\varphi'_3(1)=\zeta^6$ とする。$\mu_n$ はこの $X$ の上で定数層なので、$\varphi$ は大域的な同型である。$c_{1,0}^{(n)}:=\varphi_n^{-1}c_1^{(n)}(\mathcal O(1))\in H^2(X,\mathbf Z/n)$ とおく。$\zeta^3=u(\zeta)$ なので $\varphi_3$ は両立し、上の定理（係数を動かしたときの両立）から $c_{1,0}^{(3)}$ は $c_{1,0}^{(9)}$ の還元に等しい。一方 $\varphi'_3=\varphi_3\circ(2\,\cdot)$ なので、$\varphi'_3$ で作った類は $2^{-1}c_{1,0}^{(3)}=2c_{1,0}^{(3)}$ である。本書『2-2 射影束公式』の定理「射影束公式」により $c_1^{(3)}(\mathcal O(1))$ は $H^2(\mathbf P^1_k,\mu_3)\cong\mathbf Z/3$ の生成元なので $c_{1,0}^{(3)}\neq0$ で、$2c_{1,0}^{(3)}\neq c_{1,0}^{(3)}$ である。両立しない選び方では、$\mathbf Z/n$ 係数の類は還元と合わない。係数を $\mu_n$ のまま扱えばこの選択は要らない。$\mathbf C$ の上で原論文 (1.31) の $\varphi(1)=\exp(2\pi i/n)$ をとれば両立し、本書『3-1 位相空間の場合の比較』はこの選び方を使う。
外す条件は、$T_\ell^{\otimes0}=(\mathbf Z/\ell^\nu)_\nu$ を射影系として扱うことである。$X=\operatorname{Spec}\mathbf F_q$、$\ell$ を $q$ と素な素数とし、$G$ は単位群とする。引用する事実 2 により $H^1(\mathbf F_q,\mathbf Z/\ell^\nu)=\operatorname{Hom}_{\text{cont}}(\widehat{\mathbf Z},\mathbf Z/\ell^\nu)\cong\mathbf Z/\ell^\nu$（$1$ の像で決まる）で、遷移写像は還元なので、
$$H^1\bigl(\mathbf F_q,T_\ell^{\otimes0}\bigr)=\varprojlim_\nu\mathbf Z/\ell^\nu=\mathbf Z_\ell$$
である。一方、環 $\mathbf Z_\ell$ を値とする定数層、すなわち自明な作用の離散加群 $\mathbf Z_\ell$ については、$H^1=\operatorname{Hom}_{\text{cont}}(\widehat{\mathbf Z},\mathbf Z_\ell)$ で、コンパクト群から離散群への連続準同型の像は有限なので、捩れのない $\mathbf Z_\ell$ では $0$ である。記号 $\mathbf Z_\ell$ を文字どおりに読むと、1 次のコホモロジーが消えてしまう。原論文 1.7 が $T_\ell^{\otimes0}$ は定数層でないと念を押すのはこのためである。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- ℓ 進層の形式（SGA5、1977 年刊）：射影系としての ℓ 進層とそのコホモロジーの扱いは、SGA 5 の講義（1965–66 年）で整備された。本書は該当箇所を確かめていない。
- 連続エタールコホモロジー（Jannsen Jan88、1988 年）：射影極限で定めたコホモロジーと、射影系の導来関手として定めたコホモロジーの差は $\varprojlim^1$ の項で測られ、後者は連続エタールコホモロジーと呼ばれる。有限体や数体の上の算術的な応用では後者が標準になった。本書は文献を確かめていない。
- 数体の整数環の K 群の ℓ 進 Chern 類（Soulé Sou79、1979 年）：代数的 K 群からエタールコホモロジーへの ℓ 進 Chern 類が構成され、整数環の K 群の研究に使われた。本書『7-4 消滅結果・整数環・Atiyah 類』の周辺と関わる。本書は確かめていない。
- Tate 捩れ：後代の語では $\mu_n^{\otimes i}$ は $\mathbf Z/n(i)$、$T_\ell^{\otimes i}$ は $\mathbf Z_\ell(i)$ と書かれる。原論文自身はこの記法を使わない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 1.6〜1.7 と 0.4 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（係数の変更の写像）、補題（係数の変更の写像の局所的な形） | (1.17)(1.17 bis)(1.18) | 238 |
| 注意（原論文の (1.17) の「n 乗」は m 乗と読む） | (1.17)、(1.20) の $\alpha(z)=z^m$ | 238–239 |
| 補題（第一 Chern 類の係数の変更） | (1.20) とその直前（Kummer 列の射） | 238–239 |
| 定理（係数を動かしたときの両立）、注意（公理的な特徴づけによる別証） | (1.19) と「定義から、または三つの性質による特徴づけから」 | 238 |
| 定義（ℓ 進の係数と ℓ 進 Chern 類） | (1.21)〜(1.24)、$T_\ell^{\otimes0}$ を $\mathbf Z_\ell$ と書く言葉の濫用 | 239–240 |
| 定理（ℓ 進類と mod n 類の同値） | 1.7 末（ℓ 進類と mod $n$ 類の同値、ℓ 進類の性質） | 240 |
| 注意（ℓ が素数でない場合と原論文の小節 0.4）、例（分離閉体の上の表現の ℓ 進類） | 0.4、(0.12)(0.13) | 219–220 |
| 例（反例：ℓ 進の係数を定数層と読むと 1 次のコホモロジーが消える） | 1.7（定数層ではないとの注意） | 239 |
参考文献
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