0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群

$X$ をパラコンパクト Hausdorff 空間とする。$X$ 上の複素ベクトル束 $E$（階数は連結成分ごとに一定）に類 $c_i(E)\in H^{2i}(X,\mathbf Z)$（$c_0(E)=1$）が定まり、全 Chern 類を $c(E)=\sum_ic_i(E)$ と書くと、次が成り立つ（Hirzebruch Hir56）。
(1) 関手性：連続写像 $h\colon X'\to X$ について $c_i(h^*E)=h^*c_i(E)$。同型な束は同じ類をもつ。
(2) Whitney の和公式：$c(E'\oplus E'')=c(E')\,c(E'')$。
(3) 正規化：$\mathbf{CP}^1$ の上の $\mathcal O(1)$ の $c_1$ は $H^2(\mathbf{CP}^1,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ の生成元である（どちらの生成元かは向きと符号の約束による。本書『0-6 記号と約束』）。$i>\operatorname{rank}E$ なら $c_i(E)=0$。
性質 (1)〜(3) は Chern 類を一意に定める（下の定理（射影束のコホモロジーと Leray–Hirsch の定理）の (5) の分裂原理による）。
(4) 分類：階数 $n$ の束の同型類は、ホモトピー類 $[X,BU(n)]$（$BU(n)$ は無限 Grassmann 多様体）と一対一に対応する。$U(n)\subset\mathrm{GL}_n(\mathbf C)$ はホモトピー同値なので $B_{\mathrm{GL}_n(\mathbf C)}\simeq BU(n)$ で、$H^*(B_{\mathrm{GL}_n(\mathbf C)},\mathbf Z)=\mathbf Z[c_1,\dots,c_n]$（$c_i$ は普遍束の Chern 類、次数 $2i$）である。極大トーラスへの制限 $H^*(BU(n),\mathbf Z)\to H^*(BT^n,\mathbf Z)=\mathbf Z[x_1,\dots,x_n]$ は単射で、像は対称多項式全体、$c_i$ は $x_j$ の基本対称式に写る。有理係数では $H^*(B_{\mathrm{GL}_n(\mathbf C)},\mathbf Q)=\mathbf Q[c_1,\dots,c_n]$。
(5) 形式的な帰結：直線束について $c_1(L\otimes L')=c_1(L)+c_1(L')$、$c_1(L^\vee)=-c_1(L)$。一般に $c_1(E)=c_1(\det E)$。複素共役束 $\bar E$（Hermite 計量で $E^\vee$ と同型）について $c_i(\bar E)=(-1)^ic_i(E)$。双対・外冪・テンソル積の普遍公式は参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『3-3 双対・外冪・テンソル積』のとおりである。

$X$ をパラコンパクト Hausdorff 空間とし、$\mathcal C$（resp. $\mathcal C^*$）を $X$ 上の複素数値（resp. $0$ にならない複素数値）連続関数の層とする。
(1) 指数列 $0\to\mathbf Z\to\mathcal C\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathcal C^*\to0$ は完全である（$f(x)\ne0$ の近傍で $\log f$ が連続にとれる）。$\mathcal C$ は 1 の分割により細層なので $H^q(X,\mathcal C)=0$（$q>0$）であり、余境界 $\delta_{\exp}\colon H^1(X,\mathcal C^*)\to H^2(X,\mathbf Z)$ は同型である。同じく $n$ 乗写像 $\mathcal C^*\to\mathcal C^*$ は局所的に $\exp(\frac1n\log f)$ で逆がとれるので全射で、核は局所定数層 $\mu_n(\mathbf C)$ である。
(2) 複素直線束 $L$ の同型類は、局所自明化の変換関数の Čech 類 $cl(L)\in H^1(X,\mathcal C^*)$ と一対一に対応し、テンソル積は群演算に当たる。第一 Chern 類は $c_1(L)=\varepsilon_2\,\delta_{\exp}(cl(L))$ で与えられる。$\varepsilon_2\in\{\pm1\}$ は余境界と Chern 類の符号の約束だけで決まる普遍的な符号で、$X$ と $L$ に依らない。とくに $c_1$ は直線束の同型類の群から $H^2(X,\mathbf Z)$ への同型である。
(3) 定数係数との比較：定数層の列 $0\to\mathbf Z\to\mathbf C\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathbf C^*\to0$ も完全で、局所定数関数を連続関数とみる包含は (1) の列への短完全列の射である。余境界の自然性から、変換関数が局所定数にとれる直線束 $L$（定数層の類 $[L]_{\mathrm{const}}\in H^1(X,\mathbf C^*)$ をもつもの）について $\delta_{\exp}(cl(L))=\delta_{\mathrm{const}}([L]_{\mathrm{const}})$ である。
(4) 正則な場合：複素解析空間 $X$ の上では、正則関数の層で $0\to\mathbf Z\to\mathcal O_X\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathcal O_X^*\to0$ が完全で、その余境界は正則直線束の類を、下部の位相的な直線束の $\delta_{\exp}(cl)$ に送る（包含 $\mathcal O_X\subset\mathcal C$ による列の射）。

1. Leray–Hirsch の定理：$f\colon P\to X$ をファイバー $F$ の局所自明な束、$X$ をパラコンパクト Hausdorff 空間（または CW 複体）、$R$ を可換環とし、$H^*(F,R)$ が有限階数の自由 $R$ 加群であるとする。類 $e_1,\dots,e_m\in H^*(P,R)$ の各ファイバーへの制限が $H^*(F,R)$ の基底をなすなら、$(x_j)\mapsto\sum_jf^*(x_j)\cup e_j$ は $H^*(X,R)$ 加群の同型 $H^*(X,R)^{\oplus m}\to H^*(P,R)$ である。
2. 層の形：$f$ のファイバーがコンパクト Hausdorff で $X$ がパラコンパクト Hausdorff なら、$P$ 上のアーベル群の任意の層 $H$ について、制限が定める茎の写像 $(R^qf_*H)_x\to H^q(f^{-1}(x),H|_{f^{-1}(x)})$ は同型である（固有写像の底変換。GodTAF58 第 II 章 4.11）。したがって $H^*(F,\mathbf Z)$ の基底に制限される大域的な類があれば、$R^qf_*\mathbf Z$ はそれらの像を基底とする自由加群の層で、Leray のスペクトル系列は退化する。
3. 射影空間：$H^*(\mathbf{CP}^{r-1},\mathbf Z)=\mathbf Z[h]/(h^r)$ で、$h$ は $c_1(\mathcal O(1))$（超平面の類）である。整係数のコホモロジーが各次数で有限階数の自由加群なので、普遍係数定理により、任意のアーベル群 $M$ について $q$ が奇数か $q>2(r-1)$ なら $H^q(\mathbf{CP}^{r-1},M)=0$、$0\le j\le r-1$ なら $a\mapsto a\cup h^j$ は同型 $M\to H^{2j}(\mathbf{CP}^{r-1},M)$ である。
4. 射影束：$E$ をパラコンパクト Hausdorff 空間 $X$ 上の階数 $r$ の複素ベクトル束とし、$f\colon P(E)\to X$ をファイバーの直線の空間（ファイバー $\mathbf{CP}^{r-1}$ の局所自明な束）、$\mathcal O(-1)\subset f^*E$ を標準的な直線部分束、$\xi=c_1(\mathcal O(1))$ とする。$\xi$ の各ファイバーへの制限は $h$ なので、$1,\xi,\dots,\xi^{r-1}$ は $H^*(P(E),\mathbf Z)$ の $H^*(X,\mathbf Z)$ 上の基底であり、$R^{2i}f_*\mathbf Z$（$0\le i\le r-1$）は $\xi^i$ の像で生成される階数 1 の自由加群、他の次数の $R^qf_*\mathbf Z$ は $0$ である。Chern 類は関係式 $\sum_{i=0}^rf^*c_i(E)\,\xi^{r-i}=0$ を満たす（$f^*E\supset\mathcal O(-1)$ の商 $Q$ について Whitney の和公式から $c(f^*E)=(1-\xi)c(Q)$、$c_r(Q)=0$）。Grothendieck Gro58 はこの関係式で Chern 類を定めた。
5. 分裂原理：射影束を繰り返した旗束 $\operatorname{Fl}(E)\to X$ の上で $E$ の引き戻しは直線束を商とするフィルトレーションをもち、(1) により引き戻しはコホモロジーで単射である。したがって Chern 類の間の普遍的な等式は直線束の直和の場合に確かめれば足りる。

$G$ を離散群、$Y$ を $G$ が同相写像で左から作用する位相空間とし、$E_G\to B_G$ を本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の普遍主束とする。$Y_G:=(E_G\times Y)/G$（$g(a,y)=(ag^{-1},gy)$ で割る）を Borel 構成という。
(1) 射影 $Y_G\to B_G$ はファイバー $Y$ の局所自明な束である。$Y$ が一点なら $Y_G=B_G$ で、より一般に $G$ が $Y$ に自明に作用するなら $Y_G=B_G\times Y$ である。$G$ が $Y$ に自由かつ真性不連続に作用するなら、$Y_G\to Y/G$ はファイバー $E_G$（可縮）の束で、コホモロジーの同型を与える。
(2) $G$ 層（各 $g$ に両立する同型 $g^*F\to F$ を与えた $Y$ 上の層）$F$ は、$E_G\times Y$ に引き戻して $G$ で降下させることで $Y_G$ 上の層 $F_G$ を定める。$Y$ が Hausdorff かつパラコンパクトのとき、トポス $(Y,G)$ のコホモロジー（$F\mapsto\Gamma(Y,F)^G$ の導来関手）は $H^*(Y_G,F_G)$ に一致し、スペクトル系列 $H^p(G,H^q(Y,F))\Rightarrow H^{p+q}(Y,G;F)$ は束 $Y_G\to B_G$ の Leray のスペクトル系列に当たる。この同一視は作用群つき空間の射について自然で、cup 積と、$G$ 層の短完全列の余境界に両立する。$Y$ がさらに局所可縮なら、定数係数の層コホモロジーは特異コホモロジーに係数について関手的に等しい。
(3) $G$ 同変な複素ベクトル束 $E\to Y$ は $Y_G$ 上のベクトル束 $E_{Y_G}:=(E_G\times E)/G$ を定める。その Chern 類 $c_i(E_{Y_G})\in H^{2i}(Y_G,\mathbf Z)=H^{2i}(Y,G;\mathbf Z)$ を $E$ の同変 Chern 類という。構成は射影束と両立し、$P(E)$ の Borel 構成は $P(E_{Y_G})$、$\mathcal O_{P(E)}(1)$ の降下は $\mathcal O_{P(E_{Y_G})}(1)$ である。$G$ 同変な直線束 $L$ について、$(Y,G)$ の指数列の余境界 $\delta_{\exp}cl(L)\in H^2(Y,G;\mathbf Z)$ は (2) の同一視で $\varepsilon_2\,c_1(L_{Y_G})$ に移る（$\varepsilon_2$ は上の定理（指数列と第一 Chern 類）の符号）。$Y$ が一点なら $E$ は $G$ の表現で、$E_{Y_G}$ は原論文 (0.1) の付随束 $E_G\times_GE$、その Chern 類は表現の位相的 Chern 類である。

$G$ を位相群（Lie 群を含む）、$X$ を連結で局所可縮な空間（CW 複体や多様体）、$\tilde X$ をその普遍被覆とする。
(1) 定義：主 $G$ 束が平坦であるとは、変換関数が $G$ に値をとる局所定数関数になる局所自明化をもつこと、すなわち構造群を $G$ に離散位相を入れた群に簡約できることをいう。複素ベクトル束（構造群 $\mathrm{GL}_n(\mathbf C)$）についても同じである。
(2) 分類：準同型 $\varphi\colon\pi_1(X)\to G$ に $P_\varphi:=\tilde X\times_{\pi_1(X)}G$ を対応させると、平坦な主 $G$ 束（局所定数な変換関数を込めた同型類）は $\operatorname{Hom}(\pi_1(X),G)$ の $G$ 共役類と一対一に対応する。$P_\varphi$ の下部の主 $G$ 束の分類写像は、分類写像 $X\to B_{\pi_1(X)}$ と $B_\varphi\colon B_{\pi_1(X)}\to B_G$ の合成とホモトピックである（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』）。連結で局所可縮な空間 $Y$ からの連続写像 $g\colon Y\to X$ について $g^*P_\varphi\cong P_{\varphi\circ g_*}$ である（$g_*\colon\pi_1(Y)\to\pi_1(X)$、基点は適当にとる）。
(3) 離散群の場合：離散群 $\Gamma$ と準同型 $u\colon\Gamma\to G$ について、$B_\Gamma$ 上の平坦束 $P_u$ の分類写像は $B_u$ で、$P_u$ の特性類（$H^*(B_G,k)$ の元の引き戻し）は $B_u^*\colon H^*(B_G,k)\to H^*(B_\Gamma,k)$ の像である。$G=\mathrm{GL}_n(\mathbf C)$ で $u$ が表現 $E$ のとき、$P_u$ に付随するベクトル束は付随束 $E_\Gamma\times_\Gamma E$ で、その Chern 類は $B_u^*c_i$ である。
(4) 局所系：平坦な複素ベクトル束は、茎が $\mathbf C^n$ の局所定数層（局所系）と同じもので、$\pi_1(X)$ の $\mathbf C^n$ への表現（モノドロミー）と対応する。直線束では、平坦直線束の定数層の類 $[L]_{\mathrm{const}}\in H^1(X,\mathbf C^*)$ は、同型 $H^1(X,\mathbf C^*)\cong\operatorname{Hom}(\pi_1(X),\mathbf C^*)$ でモノドロミー指標 $\chi$ の $\chi^{\varepsilon_1}$ に対応する。$\varepsilon_1\in\{\pm1\}$ は付随束の作り方（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の $g(a,x)=(ag^{-1},gx)$）とモノドロミーの向きの約束だけで決まり、$X$ と $\chi$ に依らない。$X=B_\Gamma$ のとき、指標 $\chi\colon\Gamma\to\mathbf C^*$ の付随束 $L_\chi$ の変換関数は、$E_\Gamma\to B_\Gamma$ の局所切断で作った座標のもとで $\chi$ の値の局所定数関数である。
(5) 平坦接続：$X$ が可微分多様体、$G$ が Lie 群なら、平坦（曲率 $0$、可積分）な接続をもつ主 $G$ 束は、そのホロノミー $\pi_1(X)\to G$ の定める $P_\varphi$ と同型である。逆に $P_\varphi$ は $\tilde X\times G$ の自明な接続から降りる平坦接続をもつ（Atiyah Ati57 の命題 14、KN63）。

$K$ を連結なコンパクト Lie 群、$\mathfrak k$ をその Lie 環、$I(K):=S(\mathfrak k_{\mathbf C}^\vee)^K$ を随伴作用で不変な複素係数の多項式の環とする（次数 $m$ の多項式に次数 $2m$ を与える）。
(1) Weil 準同型 $I(K)\to H^*(B_K,\mathbf C)$ は次数付き環の同型である（H. Cartan、Chern CheICM50）。
(2) 可微分多様体 $M$ 上の主 $K$ 束 $P$ に接続を与え、その曲率を $\Omega$（$\operatorname{ad}P$ に値をとる 2 形式）とする。$f\in I(K)$ が次数 $m$ なら $f(\Omega)$ は $M$ 上の閉 $2m$ 形式で、その de Rham 類は接続の取り方に依らず、de Rham の定理（本書『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』）の同型 $H^*_{\mathrm{DR}}(M)\cong H^*(M,\mathbf C)$ で、$P$ の分類写像による (1) の類の引き戻しに一致する。$K=U(n)$ で $f$ を $\det(1+\frac{i}{2\pi}A)$ の次数 $m$ の部分にとると $c_m$ が得られる（$2\pi i$ の因子と符号の約束は文献による）。
(3) 複素化：$K$ の複素化 $K_{\mathbf C}$ は連結な複素簡約群で、包含 $K\subset K_{\mathbf C}$ はホモトピー同値、したがって $B_K\simeq B_{K_{\mathbf C}}$ である。連結な複素簡約群はすべてこの形に書ける（Chevalley Che46）。言い換えると、$\mathbf C$ 上の連結な簡約代数群 $H$ の複素点の群 $H(\mathbf C)$ は、その極大コンパクト部分群 $K$ の複素化 $K_{\mathbf C}$ と複素 Lie 群として同型である。$K_{\mathbf C}$ 不変な多項式の環は $I(K)$ に一致し、主 $K_{\mathbf C}$ 束の接続について (2) と同じことが成り立つ。

有限多面体 $X$ はある $\mathbf R^N$ に埋め込め、$X$ を変形レトラクトとする開近傍 $U$ がある。$U$ は可微分多様体で、包含 $X\subset U$ はホモトピー同値である（とくに $\pi_1(U)=\pi_1(X)$）。有限 CW 複体は有限多面体とホモトピー同値である。

1. 存在と関手性：位相群 $G$ に対し、Milnor Mil56I の構成は普遍主束 $E_G\to B_G$ を $G$ について関手的に与え、パラコンパクト空間 $X$ の上の主 $G$ 束の同型類はホモトピー類 $[X,B_G]$ と一対一に対応する。連続準同型 $f\colon G\to G'$ は $B_f\colon B_G\to B_{G'}$ を誘導する。
2. 極大コンパクト部分群：連結成分が有限個の Lie 群 $G$ は極大コンパクト部分群 $K$ をもち、$K$ は共役を除いて一意で、$G$ は位相空間として $K\times\mathbf R^N$ と同相である（É. Cartan、岩澤 Iwa49、Malcev）。したがって $B_K\to B_G$ はホモトピー同値である。例：$U(n)\subset\mathrm{GL}_n(\mathbf C)$、$SO(2)\subset SL(2,\mathbf R)$、$PSO(2)\subset PSL(2,\mathbf R)$（後の二つは円周）。
3. 可縮な正規部分群：$N\subset G$ が可縮な閉正規部分群なら、$B_G\to B_{G/N}$ はホモトピー同値である。
4. 拡大とファイブレーション：閉正規部分群 $N\subset G$ についてファイブレーション $B_N\to B_G\to B_{G/N}$ があり、Serre のスペクトル系列 $H^p(B_{G/N},\mathcal H^q(B_N,k))\Rightarrow H^{p+q}(B_G,k)$ がある。$G/N$ が連結なら $B_{G/N}$ は単連結で、係数の局所系は定数である。$N$ が有限なら、標数 $0$ の体 $k$ について $H^*(B_N,k)=H^*(\mathrm{pt},k)$（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の転送）。単位成分 $G^0$ について $B_{G^0}\to B_G$ はファイバー $G/G^0$ の被覆で、$G/G^0$ が有限なら有限被覆である。
5. 可換群と積：連結可換 Lie 群は位相群として $\mathbf R^p\times\mathbf T^q$（$\mathbf T=\mathbf R/\mathbf Z$）と同型である。$B_{\mathbf T}\simeq\mathbf{CP}^\infty$ で、$B_{\mathbf T}\to B_{\mathbf C^*}$ はホモトピー同値、$H^*(B_{\mathbf R^p\times\mathbf T^q},\mathbf Z)=\mathbf Z[x_1,\dots,x_q]$（$x_j$ は $j$ 番目の射影の定める円周束の類、次数 2）である。$B_{G\times G'}\simeq B_G\times B_{G'}$ で、各次数で有限型のコホモロジーについて Künneth 公式が成り立つ。
6. 有限性と計算：連結成分が有限個の Lie 群 $G$ では $H^q(B_G,\mathbf Z)$ は各次数で有限生成で、したがって $H^*(B_G,\mathbf Q)=H^*(B_G,\mathbf Z)\otimes\mathbf Q$ である。$K$ が連結なら $H^*(B_K,\mathbf Q)$ は極大トーラス $T$ の Weyl 群 $W$ の不変式の環 $H^*(B_T,\mathbf Q)^W$ に等しい。$H^*(B_{SO(2)},\mathbf Q)=\mathbf Q[e]$（$e$ は Euler 類、次数 2。$SO(2)=U(1)$ とみて $e=c_1$）、$H^*(B_{SL(2,\mathbf C)},\mathbf Q)=\mathbf Q[c_2]$（次数 4）。
7. 表現による生成：連結な複素簡約群 $H$ について、$H^*(B_H,\mathbf Q)$ は $H$ の複素線形表現 $\rho$ に付随する束の Chern 類 $B_\rho^*c_j$ で環として生成される。原論文の 0.9 の脚注はこれを周知とする。理由の要点：(3)(6) により $H^*(B_H,\mathbf Q)=H^*(B_T,\mathbf Q)^W$ で、表現の Chern 指標の極大トーラスへの制限は $W$ 不変な冪和を張り、それが不変式の環を生成する。本書はこれを文献で確かめていない。

1. 離散群 $\Gamma$ の中心拡大 $1\to\mathbf Z\to\Gamma'\to\Gamma\to1$ は類 $e(\Gamma')\in H^2(\Gamma,\mathbf Z)$ を定め、拡大の同型類は $H^2(\Gamma,\mathbf Z)$ と一対一に対応する。$e(\Gamma')=0$ は拡大が分裂すること、すなわち $\Gamma'\cong\mathbf Z\times\Gamma$ と同値である（CE56）。分類空間では $B_{\mathbf Z}=S^1\to B_{\Gamma'}\to B_\Gamma$ は円周のファイブレーションで、$e(\Gamma')$ はその Euler 類に（符号の約束を除いて）等しい。
2. 引き戻し：準同型 $v\colon\Delta\to\Gamma$ で引き戻した中心拡大 $\Gamma'\times_\Gamma\Delta$ の類は $v^*e(\Gamma')$ である。
3. Lie 群の場合：Lie 群 $\tilde G$ の中心に含まれる離散部分群 $A\cong\mathbf Z$ について $G=\tilde G/A$ とすると、ファイブレーション $B_A\to B_{\tilde G}\to B_G$ がある。$\tilde G$ が可縮なら $B_{\tilde G}$ も可縮で、$B_G\simeq\mathbf{CP}^\infty$、$H^*(B_G,\mathbf Z)=\mathbf Z[c]$（$c$ は次数 2 で、このファイブレーションの類）である。離散部分群 $\Gamma\subset G$ の $\tilde G$ での逆像を $\Gamma'$ とすると、$B_\Gamma\to B_G$ による $c$ の引き戻しは中心拡大 $1\to A\to\Gamma'\to\Gamma\to1$ の類である。
4. 例：$H^2(\mathbf Z^2,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ で、生成元に当たる中心拡大は整数 Heisenberg 群（対角成分が 1 の整数成分の 3 次上三角行列の群）であり、可換でない。

$k$ を完全体とし、代数群は $k$ 上有限型の群スキームを指す。
(1) 滑らかさと単位成分：標数 $0$ の体の上の代数群は滑らかである（Cartier）。滑らかな代数群 $G$ の単位成分 $G^0$ は開かつ閉の連結な正規部分群で、$G/G^0$ は有限である。
(2) Chevalley の分解：滑らかで連結な代数群 $G$ は、滑らかで連結なアフィン正規部分群 $L$ とアーベル多様体 $A$ による完全列 $1\to L\to G\to A\to1$ をもち、$L$ は一意である（Chevalley。Che58）。さらに $G=Z(G)\cdot L$（$Z(G)$ は中心。Rosenlicht）。
(3) 単冪根基：滑らかで連結なアフィン群 $L$ の単冪根基 $R_u(L)$（滑らかで連結な単冪正規部分群のうち最大のもの）は $L$ の特性部分群で、$k$ が完全なので $k$ 上で定義され、$L/R_u(L)$ は簡約群である。完全体の上の滑らかで連結な単冪群は、多様体としてアフィン空間と同型である（SGA3 XVII。原論文はこの段で Lazard Laz55 を引くが、本書は所在を確かめていない）。
(4) 簡約群：連結な簡約群 $L'$ について、$L'/D(L')$（$D$ は導来群）はトーラス、$L'/Z(L')$ は中心が自明な半単純群で、$L'\to L'/D(L')\times L'/Z(L')$ は同種写像（全射で核が有限）である（SGA3 XII・XXII）。
(5) 可換性：アーベル多様体のトーラスによる連結な拡大は可換である。
(6) 複素点：$k=\mathbf C$ のとき、$G(\mathbf C)$ は通常の位相で複素 Lie 群になる。$\mathbf C$ 上有限型の連結なスキームの $\mathbf C$ 点の空間は古典位相で連結なので、$G^0(\mathbf C)$ は $G(\mathbf C)$ の単位成分で、$G(\mathbf C)/G^0(\mathbf C)$ は有限である。単冪群 $U$ の $U(\mathbf C)$ は $\mathbf C^N$ と同相で可縮である。$\mathbf C$ 上の滑らかな代数群の全射 $G\to G''$ は複素点の上で全射で、滑らかな閉正規部分群 $N$ について $(G/N)(\mathbf C)=G(\mathbf C)/N(\mathbf C)$ である（$\mathbf C$ は代数閉体なので、全射の閉点のファイバーは空でない）。

1. 一意化（Koebe、Poincaré）：単連結な Riemann 面は $\mathbf{CP}^1$、$\mathbf C$、上半平面 $\mathfrak H$ のいずれかと双正則である。種数 $g\ge2$ のコンパクト Riemann 面 $X$ の普遍被覆は $\mathfrak H$ で、$\pi_1(X)$ は $\operatorname{Aut}(\mathfrak H)=PSL(2,\mathbf R)$ の離散部分群として自由に作用し、$X=\pi_1(X)\backslash\mathfrak H$ である。
2. $PSL(2,\mathbf R)$ は $\mathfrak H$ の（双曲計量についての）単位接束に単純推移的に作用する。したがって $PSL(2,\mathbf R)$ は $\mathfrak H$ の単位接束と同相で、$X$ の単位接束は $\pi_1(X)\backslash PSL(2,\mathbf R)$ である。
3. Euler 数：向きづけられた閉曲面 $X$ の単位接束（構造群 $SO(2)$ の円周束）の Euler 類は、$H^2(X,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ で Euler 標数 $\chi(X)=2-2g$ に当たる（Poincaré–Hopf の定理。向きの約束で符号が変わる）。
4. 二重被覆：$SL(2,\mathbf R)\to PSL(2,\mathbf R)$ は核 $\{\pm1\}$ の二重被覆で、極大コンパクト部分群の上では円周の 2 乗写像 $SO(2)\to PSO(2)$ に当たる。$X$ 上の主 $PSL(2,\mathbf R)$ 束が主 $SL(2,\mathbf R)$ 束に持ち上がるための障害は、付随する円周束の Euler 類の mod 2 の像であり、持ち上がるとき、持ち上げた束の Euler 類はもとの Euler 類の半分である。

1. Ehresmann の定理：可微分多様体の固有な沈め込み $f\colon X\to S$ は局所自明なファイバー束である。したがって $R^if_*\mathbf Z$、$R^if_*\mathbf Q$ は局所定数層で、$S$ が連結なら基点 $s_0$ について $\pi_1(S,s_0)$ の $H^i(X_{s_0},\mathbf Q)$ への表現（モノドロミー）を与える。複素多様体の固有な沈め込みにも当てはまる。
2. 楕円曲線：$\mathbf C$ 上の楕円曲線は解析的に $\mathbf C/\Lambda$（$\Lambda$ は格子）と同型で、原点を固定する自己同型は $\rho\Lambda=\Lambda$ を満たす $\rho\in\mathbf C^*$ による $z\mapsto\rho z$ で与えられ、$H_1(\mathbf C/\Lambda,\mathbf Z)=\Lambda$ に $\rho$ 倍で作用する。このような $\rho$ は 1 の冪根で位数は 1、2、3、4、6 のいずれかであり、位数が 3 以上なら $\Lambda$ は $\mathbf Z[i]$ または $\mathbf Z[e^{2\pi i/3}]$ に相似である。