6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数
群 $G$ がスキームにも係数にも自明に作用するとき、混合エタールコホモロジーはスキームのコホモロジーと群の整係数ホモロジーから、普遍係数定理と同じ形の完全列で計算できる。本頁はこの計算を原論文の小節 5.1 に沿って整え、Künneth 公式、作用群を忘れる写像の意味、$\ell$ 捩れがある場合と $\ell$ 進の極限を扱い、原論文の帰納極限の公式を型 FP 無限大の群に限って証明する。
この頁で示すこと
$k$ は体、$k^{\mathrm s}$ はその分離閉包、$\pi_k=\operatorname{Gal}(k^{\mathrm s}/k)$ とする。$G$ は離散群（有限性を仮定しない）で、本頁を通してスキーム $X$（主結果 1・2 では $X=\operatorname{Spec}k$）に自明に作用する。$F$ は $(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層で、主結果 3 以降では $G$ は $F$ にも自明に作用する（作用の同型 $\theta_g$ がすべて恒等写像）とする。$\ell$ は $X$ 上で可逆な素数、$H^+(G,\mathbf Z)=\bigoplus_{p>0}H^p(G,\mathbf Z)$ は正次数部分、$H^j(X,G;T_\ell^{\otimes i})$ は $\varprojlim_\nu H^j(X,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ である。
本頁の主結果は次の九つである。
- 帰納極限の公式は型 FP 無限大の群で成り立つ（原論文 (5.1) の訂正形、印字 p. 271）：$G$ が型 FP 無限大なら、$\pi_k$ の開正規部分群 $U_i$ の基本系について、膨張は同型 $\varinjlim_iH^*(\pi_k/U_i\times G,M^{U_i})\xrightarrow{\sim}H^*(\operatorname{Spec}k,G;F)$ を与える（$M=F(k^{\mathrm s})$）。［条件付き：Hochschild–Serre のスペクトル系列と射有限群のコホモロジーの帰納極限表示を引用し、本書 2-1 の混合コホモロジーのスペクトル系列による］原論文の形は反例「有理数体の上に可算階数の自由アーベル群が自明に作用する場合」で破れる。
- 群が有限の場合の射有限群による表示（原論文 (5.2)、印字 p. 271）：$G$ が有限なら $\pi_k\times G$ は射有限群で、$H^*(\operatorname{Spec}k,G;F)\cong H^*(\pi_k\times G,M)$ である。［条件付き：体のエタール景と射有限群のコホモロジーを引用］
- Künneth 公式（原論文 (5.3)(5.4)(5.5)、印字 p. 272）：すべての $H_p(G,\mathbf Z)$ が有限生成自由なら、cup 積は同型 $H^*(X,F)\otimes_{\mathbf Z}H^*(G,\mathbf Z)\xrightarrow{\sim}H^*(X,G;F)$ を与え、$\ell$ 進の極限でも同じ形の同型がある。$G\cong\mathbf Z^r$ はこの仮定を満たし、$H^*(G,\mathbf Z)\cong\bigwedge^*\operatorname{Hom}(G,\mathbf Z)$ である。［条件付き：本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の主結果「混合コホモロジーのスペクトル系列」による］
- 作用群を忘れる写像は正次数を法とする還元（原論文 小節 5.1.3 前半、印字 p. 272）：主結果 3 の同型の下で、$G$ を忘れる写像 $H^*(X,G;F)\to H^*(X,F)$ は $H^*(X,F)\otimes H^+(G,\mathbf Z)$ を法とする還元である。［条件付き：3 による］
- 通常の類が 0 なら混合類は正次数の成分に入る（原論文 小節 5.1.3 後半、印字 p. 272）：$G$ が作用する局所自由加群 $\mathbb E$ の通常の $\ell$ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)\in H^{2i}(X,T_\ell^{\otimes i})$ が $0$ なら、混合類は $\bigoplus_{p\ge1}H^{2i-p}(X,T_\ell^{\otimes i})\otimes H^p(G,\mathbf Z)$ に入る。$X$ が局所的（体のスペクトルなど）なら $i\ge1$ の通常の類はいつも $0$ である。［条件付き：4 と加法性（本書 2-3）による］
- ℓ 捩れのないときの Künneth 公式（原論文 小節 5.1.4 前半、印字 pp. 272–273）：$H_p(G,\mathbf Z)$ がすべて有限生成で $\ell$ 捩れをもたず、$F$ が $\ell$ 捩れ層なら、主結果 3 の同型がそのまま成り立つ。［条件付き：本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の主結果「混合コホモロジーのスペクトル系列」による］
- 普遍係数型の完全列（原論文 (5.6) の有限係数の形、印字 p. 273）：任意の $G$ について、自然な完全列 $0\to\bigoplus_{p+q=n}\operatorname{Ext}^1(H_{p-1}(G,\mathbf Z),H^q(X,F))\to H^n(X,G;F)\to\bigoplus_{p+q=n}\operatorname{Hom}(H_p(G,\mathbf Z),H^q(X,F))\to0$ がある。［条件付き：本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の主結果「混合コホモロジーのスペクトル系列」による］
- ℓ 進の極限と有理化した Künneth 公式（原論文 (5.6)〜(5.8)、印字 p. 273）：$H_p(G,\mathbf Z)$ がすべて有限生成なら、cup 積は同型 $H^*(X,\mathbf Q_\ell(i))\otimes_{\mathbf Q}H^*(G,\mathbf Q)\xrightarrow{\sim}H^*(X,G;\mathbf Q_\ell(i))$ を与える。さらに $H^q(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ がすべて有限なら、主結果 7 の完全列は $T_\ell^{\otimes i}$ 係数でも成り立つ。［条件付き：7 による］
- ℓ 進の整数形の一般の場合（原論文 (5.6)、印字 p. 273）：$H^q(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ が有限とは限らないとき、主結果 7 の完全列が $T_\ell^{\otimes i}$ 係数で成り立つこと。［未完結：有限でない群の射影系について、$\varprojlim^1$ の消滅と、剰余をとる操作と射影極限の交換が要る］
本頁の計算はすべて、群の鎖複体とスキームのコホモロジーの複体を組み合わせる一つの補題に帰着する。その補題と主結果 3〜8 は初等的なホモロジー代数で閉じ、混合コホモロジーを群のコホモロジーで書く段だけが本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』のスペクトル系列に依る。主結果 1・2 は射有限群のコホモロジーを引く。
背景と動機
第 4 章までの捩れ定理は、基礎体 $k$ が分離閉な「幾何的」な場合の話であった（本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』）。原論文の §5（印字 pp. 270–284）は分離閉とは限らない体の上の表現を扱い、そこでは Chern 類は混合コホモロジー $H^{2i}(\operatorname{Spec}k,G;\mu_n^{\otimes i})$ に入って、群 $G$ のコホモロジーと体の Galois コホモロジーが同時に現れる。小節 5.1 は、まずこの群を身近な不変量で書く方法を用意する（印字 p. 270）。
原論文の 5.1.1 は、$\operatorname{Spec}k$ 上の作用群つきのエタール層のトポスを、$\pi_k\times G$ が連続に作用する集合の圏と同一視し、そこから帰納極限の公式 (5.1) と、$G$ が有限のときの (5.2) を「ごく容易に」導く（印字 p. 271）。5.1.2 は、$G$ が係数に自明に作用する場合の Künneth 型の公式 (5.3)〜(5.5) を、群の整係数ホモロジーが有限生成自由なときに述べ、Tôhoku 論文 GroT57 の頁を出典に挙げる（印字 p. 272）。5.1.3 は作用群を忘れる写像の意味を述べ、5.1.4 は $\ell$ 捩れがある場合を普遍係数の完全列 (5.6) で扱い、有理化した形 (5.7) にまとめる（印字 pp. 272–273）。
これらの公式は、後の頁で捩れにならない Chern 類を作り（本書『6-2 指標の第一 Chern 類と基礎体』『6-3 Kummer 類の積と捩れでない高次の類』）、コホモロジー次元で類を消す（本書『6-4 コホモロジー次元による消滅』）ための道具である。
定義と準備
本頁の計算の中心にあるのは、群のホモロジーを計算する自由アーベル群の複体である。まずそれを定め、原論文の (5.1) の両辺を正確に書く。
$G$ を離散群とし、$P_\bullet\to\mathbf Z$ を自明な $\mathbf Z[G]$ 加群 $\mathbf Z$ の自由 $\mathbf Z[G]$ 分解とする。$C_\bullet(G):=\mathbf Z\otimes_{\mathbf Z[G]}P_\bullet$ を $G$ の鎖複体という。これは自由アーベル群の複体で、そのホモロジーは群のホモロジー $H_p(G,\mathbf Z)$ である。自明な作用の $G$ 加群 $A$ について $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_\bullet,A)=\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\bullet(G),A)$ で、そのコホモロジーは $H^p(G,A)$ である。$C_\bullet(G)$ は分解の取り方によらずホモトピー同値を除いて一意であり、群の準同型 $\gamma\colon G'\to G$ は鎖写像 $C_\bullet(G')\to C_\bullet(G)$ を（ホモトピーを除いて一意に）誘導する。単位群では $C_\bullet(\{e\})=\mathbf Z$（次数 0）である。
$G$ が型 FP 無限大であるとは、$P_\bullet$ として各項が有限生成自由なものがとれることである（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定義「型 FP 無限大の群」）。このとき $C_\bullet(G)$ の各項は有限生成で、$H_p(G,\mathbf Z)$ はすべて有限生成になる。用語は後代のもので（Brown Bro82）、原論文は「$\mathbf Z$ が有限型自由加群による分解をもつ」と書く。
$G$ は $\operatorname{Spec}k$ に自明に作用するとし、$F$ を $(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層、$M=F(k^{\mathrm s})$ とする。$M$ には $\pi_k$ が連続に（各元の固定部分群が開であるように）作用し、$G$ が作用の同型 $\theta_g$ を通して $\pi_k$ の作用と可換に作用する。$(U_i)_i$ を $\pi_k$ の開正規部分群の基本系（包含について有向）、$\pi_i:=\pi_k/U_i$ とする。$M^{U_i}$ は離散群 $\pi_i\times G$ の加群で、$U_j\subset U_i$ のとき、商 $\pi_j\to\pi_i$ と包含 $M^{U_i}\subset M^{U_j}$ が膨張 $H^*(\pi_i\times G,M^{U_i})\to H^*(\pi_j\times G,M^{U_j})$ を与える。同じく、$M^{U_i}$ を連続な $\pi_k\times G$ 加群 $M$ の中に入れる写像から、膨張
$$\varinjlim_iH^*(\pi_i\times G,M^{U_i})\longrightarrow H^*(\operatorname{Spec}k,G;F)$$
が定まる（引用する事実 1 により、右辺は $M\mapsto M^{\pi_k\times G}$ の導来関手である）。
原論文は $U_i$ を「開部分群の基本系」とだけ書くが、商群 $\pi_i$ をとるので本書は正規部分群に限る。開正規部分群は開部分群の基本系の中で共終なので、極限は変わらない。原論文の (5.1) は右辺の係数を $M^{U_i\times G}$ と印字するが、これは下の注意で扱う。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SerGal64、HS53、CE56、SGA4 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-2 群のコホモロジーと分類空間』『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。
- 体のエタール景（SGA4 VIII、SerGal64 の型）：$F\mapsto F(k^{\mathrm s})$ は $\operatorname{Spec}k$ のエタール層の圏と離散的な $\pi_k$ 集合の圏の同値で、$H^q(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},F)\cong H^q(\pi_k,F(k^{\mathrm s}))$ である（本書『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』の定理「体のエタール景と Galois コホモロジー」）。
- 射有限群のコホモロジー（SerGal64 第 I 章の型）：射有限群 $\Pi$ と離散 $\Pi$ 加群 $M$ について、$H^q(\Pi,M)$ は開正規部分群 $U$ をわたる帰納極限 $\varinjlim_UH^q(\Pi/U,M^U)$（膨張による）に等しい。射有限群と有限群の直積は射有限群で、$\Pi$ の連続な作用と有限群の作用の可換な組は直積の連続な作用と同じである（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定義「射有限群のコホモロジー」）。
- Hochschild–Serre のスペクトル系列（HS53）：群 $\Gamma$ の正規部分群 $N$ と $\Gamma$ 加群 $A$ について、収束する第一象限のスペクトル系列 $H^p(\Gamma/N,H^q(N,A))\Rightarrow H^{p+q}(\Gamma,A)$ があり、導来圏で $R\Gamma(\Gamma,A)\cong R\Gamma(\Gamma/N,R\Gamma(N,A))$ である。これは加群と群の射について自然である（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「合成関手のスペクトル系列と Hochschild–Serre のスペクトル系列」）。
- スペクトル系列の比較と極限：収束する第一象限のスペクトル系列の射が $E_2$ で同型なら、極限でも同型である。アーベル群の有向帰納極限は完全なので、スペクトル系列の有向帰納系の帰納極限はふたたび収束するスペクトル系列で、その極限は極限の帰納極限である。
- 普遍係数とアーベル群のホモロジー代数（CE56）：$\mathbf Z$ は遺伝的で $\operatorname{Ext}^{\ge2}_{\mathbf Z}=0$ である。導来圏 $D(\mathbf Z)$ の対象 $K$ は $\bigoplus_qH^q(K)[-q]$ と（標準的でなく）同型である。有限生成アーベル群は自由部分と有限な捩れ部分の直和である（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「普遍係数定理」）。
- 射影極限（CE56 の型）：アーベル群の射影系 $(A_\nu)_\nu$ の短完全列から、$\varprojlim$ と $\varprojlim^1$ の 6 項の完全列が得られる。有限群の射影系、あるいは遷移写像が全射である射影系では $\varprojlim^1=0$ である。各 $A_\nu$ が整数 $m$ で消えるなら、$\varprojlim A_\nu$ と $\varprojlim^1A_\nu$ も $m$ で消える。
これで、群の鎖複体を使って混合コホモロジーを書く準備が揃った。次節ではまず、係数が自明な作用をもつ複体の群コホモロジーを分解する補題を示し、主結果をそこから順に導く。
主結果と証明
自明な作用の複体の分解
本頁のほとんどの主張は、次の補題の (2) を特別な場合に当てたものである。補題は、群のコホモロジーを群の鎖複体からの射の複体として書き直し、アーベル群の導来圏で両方の複体をコホモロジーに分解する。
$G$ を離散群、$K$ を下に有界なアーベル群の複体とし、$K$ に $G$ を自明に作用させて $G$ 加群の複体とみる。
- 導来圏で $R\Gamma(G,K)\cong R\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\bullet(G),K)$ であり、この同型は $K$ の射と群の準同型について自然である。
- 各 $n$ について、$R\Gamma(G,K)$ の $n$ 次のコホモロジーの元（鎖写像 $f\colon C_\bullet(G)\to K[n]$ のホモトピー類）に、そのホモロジーへの作用 $H_p(f)\colon H_p(G,\mathbf Z)\to H^{n-p}(K)$ の族を対応させる評価写像
$$\operatorname{ev}\colon H^n(G,K)\longrightarrow\prod_p\operatorname{Hom}\bigl(H_p(G,\mathbf Z),H^{n-p}(K)\bigr)$$
は $K$ と $G$ について自然で、全射であり、その核は $\prod_p\operatorname{Ext}^1(H_p(G,\mathbf Z),H^{n-p-1}(K))$ と同型である。$K$ のコホモロジーが次数 $0$ 以上にしかなければ、積は有限個（$p\le n$）の直和である。 - $G$ がスキーム $X$ と $(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層 $F$ に自明に作用するなら、$R\Gamma(X,G;F)\cong R\Gamma(G,K)$ である。ここで $K$ は $\omega F$ の単射的分解の大域切断の複体（$R\Gamma(X,F)$ を表す）に自明な作用を入れたものである。この同型は $F$ について自然で、$F$ の短完全列の定める三角を三角に送る。
段 1（自明な係数の群コホモロジー）．$P_\bullet$ は射影的加群の上に有界な複体なので、$\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_\bullet,K)$ は任意の $K$ について $R\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(\mathbf Z,K)=R\Gamma(G,K)$ を計算する。$K$ の各項は自明な作用なので、$G$ 線形な射 $P_p\to K^m$ は余不変部分 $\mathbf Z\otimes_{\mathbf Z[G]}P_p=C_p(G)$ からの射と同じで、$\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_\bullet,K)=\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\bullet(G),K)$ である。$C_\bullet(G)$ は自由アーベル群の上に有界な複体なので、右辺は $R\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(C_\bullet(G),K)$ を計算する。準同型 $\gamma\colon G'\to G$ については、$P'_\bullet\to P_\bullet$ を $\gamma$ に沿った分解の射として持ち上げれば、両辺が同じ鎖写像 $C_\bullet(G')\to C_\bullet(G)$ で動く。
段 2（二つの分解）．引用する事実 5 により、自由アーベル群の複体 $C_\bullet(G)$ は $D(\mathbf Z)$ で $\bigoplus_pH_p(G,\mathbf Z)[p]$ と同型で、$K$ は $\bigoplus_qH^q(K)[-q]$ と同型である。後者は各次数に一つの項しかない微分 $0$ の複体なので、直積 $\prod_qH^q(K)[-q]$ とも同じである。したがって
$$R\operatorname{Hom}(C_\bullet(G),K)\cong\prod_{p,q}R\operatorname{Hom}\bigl(H_p(G,\mathbf Z),H^q(K)\bigr)[-p-q]$$
で、$\operatorname{Ext}^{\ge2}_{\mathbf Z}=0$ から、$n$ 次のコホモロジーは $\prod_p\bigl(\operatorname{Hom}(H_p,H^{n-p}(K))\oplus\operatorname{Ext}^1(H_p,H^{n-p-1}(K))\bigr)$ である。この分解の $\operatorname{Hom}$ 成分は、元 $f$ をホモロジーに移したもの、すなわち $\operatorname{ev}(f)$ そのものなので、$\operatorname{ev}$ は全射で核は $\operatorname{Ext}$ 成分である。分解は標準的でないが、$\operatorname{ev}$ はホモロジーをとる関手だけで定義されるので $K$ と $G$ について自然である。
段 3（混合コホモロジーへの適用）．$\omega F$ の $X_{\text{ét}}$ での単射的分解 $J^\bullet$ をとり、各 $J^m$ に自明な作用を入れた $(X_{\text{ét}},G)$ 上の層を $\operatorname{triv}(J^m)$ とする。$G$ は $F$ に自明に作用するので $F=\operatorname{triv}(\omega F)$ で、$F\to\operatorname{triv}(J^\bullet)$ は分解である（完全性は作用を忘れて確かめる）。本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定理「混合コホモロジーのスペクトル系列」の証明の関手 $\Phi(F)=\Gamma(X,\omega F)$ について、$\omega\operatorname{triv}(J^m)=J^m$ は単射的なので $R^q\Phi(\operatorname{triv}J^m)=0$（$q>0$）であり、$R\Phi(F)$ は自明な作用の複体 $K=\Gamma(X,J^\bullet)$ で表される。同じ定理の $R\Gamma(X,G;F)\cong R\Gamma(G,R\Phi(F))$ により主張を得る。$F$ の射と短完全列は $J^\bullet$ の射と、分解の短完全列（馬蹄形補題）に持ち上がるので、自然性と三角の両立が従う。
補題の (2) は、普遍係数定理（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「普遍係数定理」）を、係数が一つの群から複体に替わった場合に述べたものである。(3) の三角との両立により、Kummer 列の余境界もこの分解の上で計算できる。これが本書『6-2 指標の第一 Chern 類と基礎体』で指標の第一 Chern 類を計算するときの足場になる。
帰納極限の公式
原論文の (5.1) は、体の上の混合コホモロジーを有限群と離散群の直積のコホモロジーの帰納極限として書く。これは群 $G$ の側に有限性があるときに正しい。
$G$ が型 FP 無限大で $\operatorname{Spec}k$ に自明に作用するとし、$F$、$M$、$U_i$、$\pi_i$ を定義（帰納極限の公式の両辺）のとおりとする。このとき膨張は同型
$$\varinjlim_iH^*(\pi_i\times G,M^{U_i})\xrightarrow{\ \sim\ }H^*(\operatorname{Spec}k,G;F)$$
を与える。
段 1（二つのスペクトル系列）．右辺には、本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定理「混合コホモロジーのスペクトル系列」と引用する事実 1 により、$E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(\pi_k,M))$ のスペクトル系列がある。左辺の各 $i$ には、$\pi_i\times G$ の正規部分群 $\pi_i$（商は $G$）についての引用する事実 3 の系列 $E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(\pi_i,M^{U_i}))\Rightarrow H^{p+q}(\pi_i\times G,M^{U_i})$ がある。どちらも「まず $\pi$ の側の不変部分、次に $G$ の不変部分」という合成関手の系列で、膨張は両者の射を与える。
段 2（帰納極限）．引用する事実 4 により、左辺の系列の $i$ についての帰納極限は、$E_2^{p,q}=\varinjlim_iH^p(G,H^q(\pi_i,M^{U_i}))$ から $\varinjlim_iH^{p+q}(\pi_i\times G,M^{U_i})$ へ収束するスペクトル系列である。
段 3（$E_2$ での同型）．$G$ は型 FP 無限大なので、$H^p(G,A)$ は各項が有限生成自由な $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_\bullet,A)$ のコホモロジーで、$\operatorname{Hom}_{\mathbf Z[G]}(P_p,-)$ は有向帰納極限と可換である。有向帰納極限は完全なので、$\varinjlim_iH^p(G,A_i)=H^p(G,\varinjlim_iA_i)$ である。$A_i=H^q(\pi_i,M^{U_i})$ に当てると、引用する事実 2 により $\varinjlim_iA_i=H^q(\pi_k,M)$（$G$ の作用も込めて）なので、$E_2$ の射は同型である。
段 4（結論）．引用する事実 4 の比較により、極限でも同型である。
段 3 が群の有限性を使う唯一の箇所で、次の注意はそこが壊れる例である。
原論文の 5.1.1（印字 p. 271）は、$G$ を離散群とだけ仮定して (5.1) を同型として述べ、その根拠に、作用群つきのトポスが $\pi_k\times G$ の連続な作用の圏であることから「ごく容易に」従う、という理由を添える。近くに群の有限性をつけた正しい形は無い（直後の (5.2) は $G$ が有限の場合の別の特殊化である）。本書はこれを誤植でなく印字の主張の誤りとし、上の定理を訂正した形とする。
反例（有理数体の上に可算階数の自由アーベル群が自明に作用する場合）．$k=\mathbf Q$、$F=\mathbf Z/2$（$=\mu_2$。$\pi_{\mathbf Q}$ にも $G$ にも自明な作用）、$G=\mathbf Z^{(\mathbf N)}$（基底 $e_1,e_2,\dots$ をもつ可算階数の自由アーベル群）とする。$N:=H^1(\mathbf Q,\mathbf Z/2)$ は Kummer 理論により $\mathbf Q^*/\mathbf Q^{*2}$ で、素数の類が一次独立なので無限群である。$\mathbf Q$ の有限次 Galois 拡大は可算個なので、減少列 $U_1\supset U_2\supset\cdots$ を開正規部分群の基本系にとれる。$N_i:=H^1(\pi_i,\mathbf Z/2)$ は有限群 $\pi_i$ の有限係数のコホモロジーなので有限で、膨張 $N_i\to N$ は Hochschild–Serre の低次の完全列により単射、引用する事実 2 により $N=\bigcup_iN_i$（増大列）である。
上の補題の (3) と (1)(2) を、右辺では $K=R\Gamma(\mathbf Q,\mathbf Z/2)$ に、左辺の各 $i$ では引用する事実 3 により $K_i=R\Gamma(\pi_i,\mathbf Z/2)$ に当てる（補題の段 3 と同じく、自明な作用の単射的分解で表す）。$H_1(G,\mathbf Z)=G$ なので、評価写像の $p=1$ の成分は全射 $\operatorname{ev}_1\colon H^2(\operatorname{Spec}\mathbf Q,G;\mathbf Z/2)\to\operatorname{Hom}(G,N)$ で、左辺では $H^2(\pi_i\times G,\mathbf Z/2)\to\operatorname{Hom}(G,N_i)$ である。膨張は複体の射 $K_i\to K$ から来るので、補題の自然性により次の図式は可換である。
$$\varinjlim_iH^2(\pi_i\times G,\mathbf Z/2)\to H^2(\operatorname{Spec}\mathbf Q,G;\mathbf Z/2)\xrightarrow{\operatorname{ev}_1}\operatorname{Hom}(G,N),\qquad\varinjlim_iH^2(\pi_i\times G,\mathbf Z/2)\to\bigcup_i\operatorname{Hom}(G,N_i)\subset\operatorname{Hom}(G,N).$$
各 $m$ で $f(e_m)\in N\smallsetminus N_m$ となる準同型 $f\colon G\to N$ をとると（$N_m$ は有限で $N$ は無限）、$f$ はどの $\operatorname{Hom}(G,N_i)$ にも入らない（入れば $f(e_i)\in N_i$）。$\operatorname{ev}_1$ は全射なので $\operatorname{ev}_1(x)=f$ となる $x$ があるが、$x$ が膨張の像なら $f$ は $\bigcup_i\operatorname{Hom}(G,N_i)$ に入るはずである。よって次数 2 で膨張は全射でなく、(5.1) は成り立たない。
この反例の群は有限生成でないので型 FP 無限大でない（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の「反例：有限生成でない群は型 FP 無限大でない」）。有限生成だが型 FP 無限大でない群で (5.1) が成り立つかは本書は判定せず、型 FP 無限大が最良の条件かも分からない。
原論文の (5.1) は右辺の係数を $M^{U_i\times G}$ と印字する（印字 p. 271）。印字どおりでは係数から $G$ の作用が消え、(5.2) の $H^*(\pi_k\times G,M)$ と合わない。本書は右肩の $\times G$ を誤植とし、$M^{U_i}$ と読む。読み替えた形も、一般の $G$ では上の注意のとおり偽である。
$G$ が有限なら型 FP 無限大なので上の定理が使えるが、原論文の (5.2) はさらに直接の形を述べる。
$G$ が有限で $\operatorname{Spec}k$ に自明に作用するなら、$\pi_k\times G$ は射有限群で、$(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},G)$ は離散的な $\pi_k\times G$ 集合のトポスと同値である。とくに $H^*(\operatorname{Spec}k,G;F)\cong H^*(\pi_k\times G,M)$ である。
引用する事実 1 により、$(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},G)$ の対象は、連続な $\pi_k$ 作用をもつ集合に、それと可換な $G$ の作用を与えたものである。$G$ が有限なら、引用する事実 2 によりこれは射有限群 $\pi_k\times G$ の連続な作用と同じで（点の固定部分群は $U\times\{e\}$ の形の開部分群を含む）、射もそれぞれの意味で一致する。大域切断は $M\mapsto M^{\pi_k\times G}$ なので、その導来関手は射有限群のコホモロジーである。
$\pi_k\times G$ の開正規部分群 $U_i\times\{e\}$ は基本系をなすので、引用する事実 2 の帰納極限表示は、上の定理（帰納極限の公式は型 FP 無限大の群で成り立つ）の左辺にそのまま一致する。二つの定理は $G$ が有限のとき同じ同型を与える。次に、係数にも $G$ が自明に作用する場合に進み、補題の分解をもっと具体的な形にする。
Künneth 公式と作用群を忘れる写像
以下、$G$ はスキーム $X$ と層 $F$ に自明に作用する。このとき作用群つきスキームの射 $\mathrm{pr}=(\mathrm{id}_X,G\to\{e\})\colon(X,G)\to(X,\{e\})$ と $\iota=(\mathrm{id}_X,\{e\}\to G)\colon(X,\{e\})\to(X,G)$ があり（$G$ が $X$ に自明に作用するので定義の条件を満たす）、$\mathrm{pr}\circ\iota$ は恒等射である。$\iota^*$ が $G$ を忘れる写像、$\mathrm{pr}^*$ は $X$ のコホモロジーを混合コホモロジーに引き上げる写像である。群の側の類 $b\in H^p(G,\mathbf Z)$ は、係数の写像 $\mathbf Z\to\Gamma(X,\mathbf Z)$ とスペクトル系列の端 $H^p(G,\Gamma(X,\mathbf Z))\to H^p(X,G;\mathbf Z)$ で混合コホモロジーの類とみる。
すべての $p$ で $H_p(G,\mathbf Z)$ が有限生成自由とする。
- 写像 $a\otimes b\mapsto\mathrm{pr}^*(a)\cup b$ は同型
$$\bigoplus_{p+q=n}H^q(X,F)\otimes_{\mathbf Z}H^p(G,\mathbf Z)\xrightarrow{\ \sim\ }H^n(X,G;F)\tag{5.3}$$
を与える。 - $F=\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}$ について $\nu$ の極限をとると、同じ写像が同型 $\bigoplus_{p+q=n}H^q(X,T_\ell^{\otimes i})\otimes H^p(G,\mathbf Z)\xrightarrow{\sim}H^n(X,G;T_\ell^{\otimes i})$（(5.4)）を与える。
- $G\cong\mathbf Z^r$ は仮定を満たし、cup 積は次数付き環の同型 $\bigwedge^*\operatorname{Hom}(G,\mathbf Z)\xrightarrow{\sim}H^*(G,\mathbf Z)$（(5.5)）を与える。
段 1（写像を補題で書く）．上の補題（自明な作用の複体の分解）の (3) により $H^n(X,G;F)=H^n(G,K)$、$K=R\Gamma(X,F)$ である。$a\in H^q(K)$ をコサイクル $\alpha\in K^q$ で、$b$ をコサイクル $\beta\colon C_p(G)\to\mathbf Z$ で表すと、$\mathrm{pr}^*(a)\cup b$ は鎖写像 $c\mapsto\beta(c)\,\alpha$、$C_\bullet(G)\to K[n]$ で表される。要点のみ述べる：群のコホモロジーの cup 積を対角近似 $C_\bullet(G)\to C_\bullet(G)\otimes C_\bullet(G)$ で計算すると、$\mathrm{pr}^*(a)$ は単位群から引き戻された類なので添加写像を通してしか $C_\bullet(G)$ に触れず、対角近似の余単位性により積は上の形になる。
段 2（評価写像）．この鎖写像のホモロジーへの作用は $H_p(G,\mathbf Z)\xrightarrow{\beta_*}\mathbf Z\xrightarrow{\cdot a}H^q(K)$ である。したがって写像 (5.3) と補題の評価写像の合成は、$H^p(G,\mathbf Z)\otimes H^q(K)\to\operatorname{Hom}(H_p(G,\mathbf Z),H^q(K))$ の直和である。$H_{p-1}(G,\mathbf Z)$ は自由なので $H^p(G,\mathbf Z)=\operatorname{Hom}(H_p(G,\mathbf Z),\mathbf Z)$ で（普遍係数）、$H_p(G,\mathbf Z)$ が有限生成自由なのでこの写像は同型である。補題の (2) の $\operatorname{Ext}$ の項は $H_p$ が自由なので消え、評価写像は同型である。よって (5.3) は同型である。
段 3（$\ell$ 進の極限）．$H^p(G,\mathbf Z)$ は有限生成自由なので、$-\otimes H^p(G,\mathbf Z)$ は射影極限と可換で、各次数の和は有限である。(5.3) は係数について自然なので、極限で (5.4) を得る。
段 4（自由アーベル群）．$\mathbf Z^r$ の分類空間はトーラス $T^r$ で、その胞体鎖複体は微分が $0$ の自由な複体 $\bigwedge^\bullet\mathbf Z^r$ である。よって $H_p(\mathbf Z^r,\mathbf Z)=\bigwedge^p\mathbf Z^r$ は有限生成自由で、環の同型は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の定理「巡回群と自由アーベル群のコホモロジー」の (3) である。
原論文は出典に GroT57 の一頁を挙げる（印字 p. 272）。本書はその頁を確かめておらず、上の証明は上の補題から直接出している。
上の定理（Künneth 公式）の仮定の下で、$G$ を忘れる写像 $\iota^*\colon H^*(X,G;F)\to H^*(X,F)$ は、(5.3) の同型で $\sum_pa_p\otimes b_p\mapsto a_0b_0$（$b_0\in H^0(G,\mathbf Z)=\mathbf Z$）に当たる。すなわち $\iota^*$ は $H^*(X,F)\otimes H^+(G,\mathbf Z)$ を法とする還元である。$T_\ell^{\otimes i}$ 係数の (5.4) でも同じである。
$\iota^*(\mathrm{pr}^*(a)\cup b)=(\mathrm{pr}\circ\iota)^*(a)\cup\iota^*(b)=a\cup\iota^*(b)$ である。$\iota^*(b)$ は $b$ を単位群に制限した類で、$H^p(\{e\},\mathbf Z)=0$（$p>0$）なので $p>0$ では $0$、$p=0$ では整数 $b_0$ そのものである。$\ell$ 進の場合は極限をとればよい。
これで、混合類のうち群のコホモロジーの正次数に入る部分が、$G$ を忘れると見えなくなる部分であることが分かった。Chern 類に当てると次のようになる。
上の定理（Künneth 公式）の仮定の下で、$\mathbb E$ を $(X,G)$ 上の作用つき局所自由加群とする。$G$ を忘れた $\mathbb E$ の $\ell$ 進 Chern 類 $c_i(\mathbb E)(\ell)\in H^{2i}(X,T_\ell^{\otimes i})$ が $0$ なら、混合 $\ell$ 進 Chern 類は (5.4) の同型で $\bigoplus_{p\ge1}H^{2i-p}(X,T_\ell^{\otimes i})\otimes H^p(G,\mathbf Z)$ に入る。$X$ が局所スキーム（たとえば体のスペクトル）なら、$G$ を忘れた類はいつも $0$ で、この結論が $i\ge1$ のすべての混合類について成り立つ。
段 1（還元）．本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「作用群を忘れる写像との両立」と本書『2-4 係数の変更と ℓ 進 Chern 類』の $\ell$ 進類の定義により、$\iota^*$ は混合 $\ell$ 進類を $G$ を忘れた $\mathbb E$ の $\ell$ 進類に移す。上の定理（作用群を忘れる写像は正次数を法とする還元）により、これは混合類の $p=0$ 成分である。
段 2（局所スキーム）．$X$ が局所スキームなら、局所自由加群 $\mathbb E$ は（$G$ を忘れて）自由で $\mathbb E\cong\mathcal O_X^r$ である。加法性（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の定理「加法性」）を完全列 $0\to\mathcal O_X^{r-1}\to\mathcal O_X^r\to\mathcal O_X\to0$ に繰り返し当てると $c(\mathcal O_X^r)=c(\mathcal O_X)^r$ で、正規化により $c(\mathcal O_X)=1+\partial\,cl(\mathcal O_X)=1$ である（自明な可逆層の類は $0$）。よって $i\ge1$ で $c_i(\mathcal O_X^r)=0$ である。
段 2 は加法性に依る（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』の注意「加法性に依る後の主結果」）。体の上の表現の混合 Chern 類は、こうして群のコホモロジーの正次数と体のコホモロジーの積の和に入る。これが次頁以降で、指標の第一 Chern 類を Kummer 類と群の 1 次の類の積として書く出発点である。
ℓ 捩れと ℓ 進の極限
群のホモロジーが自由でないときは、補題の $\operatorname{Ext}$ の項が残る。係数が $\ell$ 捩れで群のホモロジーの捩れが $\ell$ と素なら、その項は消える。
すべての $p$ で $H_p(G,\mathbf Z)$ が有限生成で $\ell$ 捩れをもたず、$F$ が $\ell$ 捩れ層（各局所切断が $\ell$ のある冪で消える層）なら、上の定理（Künneth 公式）の写像 (5.3) は同型である。$F=\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i}$ の極限の (5.4) も同型である。
段 1（$\ell$ と素な捩れの消滅）．$H_p(G,\mathbf Z)=\mathbf Z^{a_p}\oplus T_p$（$T_p$ は位数 $N_p$ が $\ell$ と素な有限群）と書く。$N_p$ は $\ell$ と素なので $F$ の上で $N_p$ 倍は同型であり、したがって $H^q(X,F)$ の上でも同型である。$\operatorname{Hom}(T_p,H^q(X,F))$ と $\operatorname{Ext}^1(T_p,H^q(X,F))$ は $N_p$ 倍で消えるが、$N_p$ 倍は第二成分で同型なので、どちらも $0$ である。同様に $H^p(G,\mathbf Z)=\operatorname{Hom}(H_p,\mathbf Z)\oplus\operatorname{Ext}^1(T_{p-1},\mathbf Z)$ の第二成分は位数が $\ell$ と素な有限群で、$H^q(X,F)$ とのテンソル積は $0$ である。
段 2（比較）．段 1 により、上の補題の評価写像の $\operatorname{Ext}$ の核は消え、評価写像は同型 $H^n(X,G;F)\cong\bigoplus_{p+q=n}\operatorname{Hom}(\mathbf Z^{a_p},H^q(X,F))$ である。一方 (5.3) の左辺は $\bigoplus H^q(X,F)\otimes\operatorname{Hom}(\mathbf Z^{a_p},\mathbf Z)$ で、上の定理の証明の段 2 と同じ計算により評価写像との合成は同型である。極限については、$H^p(G,\mathbf Z)$ の第二成分が $H^q(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ とのテンソル積で消えるので、自由な部分だけを考えればよく、上の定理の証明の段 3 と同じである。
捩れが $\ell$ の冪を含むと、補題の $\operatorname{Ext}$ の項は消えない。そのときの形が原論文の (5.6) で、有限係数では任意の群で成り立つ。
$G$ を任意の離散群とする。すべての $n$ について、$F$ について自然な完全列
$$0\to\bigoplus_{p+q=n}\operatorname{Ext}^1\bigl(H_{p-1}(G,\mathbf Z),H^q(X,F)\bigr)\to H^n(X,G;F)\to\bigoplus_{p+q=n}\operatorname{Hom}\bigl(H_p(G,\mathbf Z),H^q(X,F)\bigr)\to0$$
がある。右の写像は上の補題の評価写像である。
上の補題の (3) により $H^n(X,G;F)=H^n(G,K)$、$K=R\Gamma(X,F)$ で、$K$ のコホモロジーは次数 $0$ 以上にしかない。補題の (2) の積は $p\le n$ の有限和で、$\operatorname{Ext}$ の項の添字 $p$ を $p-1$ に付け替えると主張の形になる。自然性は補題の (2)(3) の自然性による。
有限係数では群の有限性は要らない。$\ell$ 進に移る射影極限で、群のホモロジーの有限生成性とスキームの側の有限性が効いてくる。
すべての $p$ で $H_p(G,\mathbf Z)$ が有限生成とする。$H^j(-;\mathbf Q_\ell(i)):=H^j(-;T_\ell^{\otimes i})\otimes_{\mathbf Z_\ell}\mathbf Q_\ell$ とおく（原論文 (5.8)）。
- 写像 $a\otimes b\mapsto\mathrm{pr}^*(a)\cup b$ に $\mathbf Q$ をテンソルしたものは同型
$$\bigoplus_{p+q=n}H^q(X,\mathbf Q_\ell(i))\otimes_{\mathbf Q}H^p(G,\mathbf Q)\xrightarrow{\ \sim\ }H^n(X,G;\mathbf Q_\ell(i))\tag{5.7}$$
を与える。 - すべての $q$ と $\nu$ で $H^q(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ が有限なら、上の定理（普遍係数型の完全列）の射影極限として、$H^q(X,T_\ell^{\otimes i})$ を係数とする同じ形の完全列がある。
段 1（有限段の列）．$A^q_\nu:=H^q(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ とおく。上の定理（普遍係数型の完全列）は $\nu$ について自然な完全列 $0\to E_\nu\to H^n(X,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})\to D_\nu\to0$ を与える。$E_\nu=\bigoplus\operatorname{Ext}^1(H_{p-1},A^q_\nu)$、$D_\nu=\bigoplus\operatorname{Hom}(H_p,A^q_\nu)$ である。
段 2（捩れの項）．$H_{p-1}$ は有限生成なので $\operatorname{Ext}^1(H_{p-1},A)=\operatorname{Ext}^1(T_{p-1},A)$（$T_{p-1}$ は有限な捩れ部分）で、これはすべての $A$ について $T_{p-1}$ の冪指数 $m$ で消える。引用する事実 6 により $\varprojlim E_\nu$ と $\varprojlim^1E_\nu$ も $m$ で消え、極限の完全列 $0\to\varprojlim E_\nu\to H^n(X,G;T_\ell^{\otimes i})\to\varprojlim D_\nu\to\varprojlim^1E_\nu$ に $\mathbf Q$ をテンソルすると（$\mathbf Q$ は平坦）、$H^n(X,G;T_\ell^{\otimes i})\otimes\mathbf Q\cong(\varprojlim D_\nu)\otimes\mathbf Q$ である。
段 3（Hom の項）．$\operatorname{Hom}(H_p,-)$ は射影極限と可換なので $\varprojlim D_\nu=\bigoplus\operatorname{Hom}(H_p,H^q(X,T_\ell^{\otimes i}))$ である。$H_p=\mathbf Z^{a_p}\oplus T_p$ とすると $\operatorname{Hom}(T_p,-)$ は $\mathbf Q$ をテンソルすると消え、$\operatorname{Hom}(\mathbf Z^{a_p},B)\otimes\mathbf Q=\operatorname{Hom}(H_p,\mathbf Q)\otimes_{\mathbf Q}(B\otimes\mathbf Q)$ である。$H^p(G,\mathbf Q)=\operatorname{Hom}(H_p,\mathbf Q)$（普遍係数）で、$\mathbf Z_\ell$ 加群 $B$ について $B\otimes_{\mathbf Z}\mathbf Q=B\otimes_{\mathbf Z_\ell}\mathbf Q_\ell$ なので、両辺は (5.7) の形になる。写像が cup 積から来ることは、各 $\nu$ で上の定理（Künneth 公式）の証明の段 2 と同じ計算による。
段 4（有限な場合の整数形）．$A^q_\nu$ がすべて有限なら $E_\nu$ も有限で、引用する事実 6 により $\varprojlim^1E_\nu=0$ であり、極限の列は短完全である。$\operatorname{Ext}^1(\mathbf Z/m,A_\nu)=A_\nu/m$ の射影極限は、有限群の射影系の極限が完全であることから $(\varprojlim A_\nu)/m=\operatorname{Ext}^1(\mathbf Z/m,\varprojlim A_\nu)$ に等しい。よって $\varprojlim E_\nu=\bigoplus\operatorname{Ext}^1(H_{p-1},H^q(X,T_\ell^{\otimes i}))$ で、主張の列を得る。
原論文は (5.7) を (5.6) に $\mathbf Q$ をテンソルして得るが（印字 p. 273）、上の段 2・3 は整数形の (5.6) を経ずに、スキームの側の有限性なしで有理化した形を閉じている。原論文が続けて言うとおり、上の定理（通常の類が 0 なら混合類は正次数の成分に入る）の証明も (5.4) を (5.7) に替えてそのまま通る。
$H^q(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ が有限とは限らないとき、上の定理の 2 の完全列が $T_\ell^{\otimes i}$ 係数で成り立つかどうかを、本書は判定できない。証明の段 4 で要るのは、$\operatorname{Ext}$ の項の射影系について $\varprojlim^1$ が消えることと、$\varprojlim_\nu(A_\nu/m)$ が $(\varprojlim_\nu A_\nu)/m$ に等しいことで、どちらも有限でない群の射影系では一般には成り立たない。原論文は「極限に移って」とだけ書く（印字 p. 273）。本書はこの場合の証明も反例ももたず、未完結とする。後の頁で使うのは、群のホモロジーが自由な場合の (5.4) と、有理化した (5.7)、それに有限段の完全列だけなので、この未完結は後の主結果に伝わらない。
原論文の (5.6)（印字 p. 273）は、和を $p+q=n$ にわたるとしながら、項を $\operatorname{Ext}^1(H_{i-1}(G,\mathbf Z),H^j(X,T_\ell^{\otimes i}))$、$\operatorname{Hom}(H_i(G,\mathbf Z),H^j(X,T_\ell^{\otimes i}))$ と印字する。添字 $i$ は Tate 捩れの指数と重なり、$j$ も和の添字と合わない。本書は $H_{i-1}$、$H_i$、$H^j$ をそれぞれ $H_{p-1}$、$H_p$、$H^q$ と読む。また (5.4) の右辺の係数は印字が崩れているが、$T_\ell^{\otimes i}$ と読む。5.1.3 の $T_\ell(i)$ は $T_\ell^{\otimes i}$ の略記である。どれも主張の真偽に関わらない読み替えである。
帰納極限の公式は群の有限性に、Künneth 公式は群のホモロジーの自由性に依り、有限係数の列は仮定が要らない。$\ell$ 進では有理化した形が一般に成り立ち、整数形は有限性の下でだけ閉じた。
例と反例
まず、後の頁で繰り返し使う無限巡回群の場合を具体的に書く。
$G=\mathbf Z$ とし、$u_1\in H^1(\mathbf Z,\mathbf Z)=\operatorname{Hom}(\mathbf Z,\mathbf Z)$ を恒等写像とする。$H_0=H_1=\mathbf Z$、$H_p=0$（$p\ge2$）なので上の定理（Künneth 公式）が使え、
$$H^n(X,\mathbf Z;F)\cong H^n(X,F)\oplus H^{n-1}(X,F)\otimes u_1$$
である。これは本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「無限巡回群の自明な作用」の分解と同じもので、第一成分が $G$ を忘れた部分である。$k_0$ を体、$X=\operatorname{Spec}k_0(t)$、係数を $T_\ell$ とすると、次数 2 で
$$H^2(\operatorname{Spec}k_0(t),\mathbf Z;T_\ell)\cong H^2(k_0(t),T_\ell)\oplus H^1(k_0(t),T_\ell)\otimes H^1(\mathbf Z,\mathbf Z)$$
となる（$\ell\ne\operatorname{char}k_0$）。$1\mapsto t$ で定まる 1 次元表現の第一 Chern 類は、上の定理（通常の類が 0 なら混合類は正次数の成分に入る）により第二の直和因子に入る。原論文の (5.18)（印字 p. 278）は左辺と第二の直和因子を「$\simeq$」で結ぶが、直前で原論文が使うと書く (5.4) は上の直和の形なので、本書はこれを誤植とし「直和因子として含む」と読む。印字のままでは有理数体の上で成り立たないこと、この類を Kummer 類で表すことは、本書『6-3 Kummer 類の積と捩れでない高次の類』の注意「印字のままの (5.18) は有理数体の上で成り立たない」と定理「5.3.2 の類と Kummer 類の一致」で扱う。
次の反例は、Künneth 公式と $\ell$ 捩れのない場合の公式の仮定が外せないことを示す。
外す条件は、群のホモロジーが自由であること（上の定理（Künneth 公式））、あるいは $\ell$ 捩れをもたないこと（上の定理（ℓ 捩れのないときの Künneth 公式））である。$k$ を分離閉体、$X=\operatorname{Spec}k$、$G=\mathbf Z/\ell$、$F=\mathbf Z/\ell$ とする。$H_1(G,\mathbf Z)=\mathbf Z/\ell$、$H_2(G,\mathbf Z)=0$ である。分離閉体の上では正の次数のエタールコホモロジーが消えるので、$H^*(X,F)$ は次数 $0$ の $\mathbf Z/\ell$ だけである。次数 1 で、(5.3) の左辺は $H^0(X,F)\otimes H^1(G,\mathbf Z)\oplus H^1(X,F)\otimes H^0(G,\mathbf Z)=\mathbf Z/\ell\otimes0\oplus0=0$ である。右辺は、本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の例「分離閉体の上の点」により $H^1(G,\mathbf Z/\ell)=\operatorname{Hom}(\mathbf Z/\ell,\mathbf Z/\ell)\cong\mathbf Z/\ell$ で、$0$ でない。上の定理（普遍係数型の完全列）では、この右辺は $\operatorname{Hom}(H_1(G,\mathbf Z),H^0(X,F))$ の項に当たる。
$\ell$ 進に移ると、$H^2(X,G;T_\ell)=\varprojlim_\nu H^2(\mathbf Z/\ell,\mathbf Z/\ell^\nu)$ で、各段は $(\mathbf Z/\ell^\nu)/\ell=\mathbf Z/\ell$、遷移写像は同型なので、極限は $\mathbf Z/\ell$ である。これは $\operatorname{Ext}^1(H_1(G,\mathbf Z),T_\ell(k))$ の項で、捩れ群である。有理化すると消え、$H^*(G,\mathbf Q)$ が次数 $0$ の $\mathbf Q$ だけであることと合わせて (5.7) の両辺は一致する。係数の素数を $\ell'\ne\ell$ に替えれば、上の定理（ℓ 捩れのないときの Künneth 公式）が成り立つ。
有理化した公式 (5.7) には群の側の有限生成性が要る。それを外すと、次のように有理化しても両辺が合わない。
外す条件は、$H_p(G,\mathbf Z)$ の有限生成性（上の定理（ℓ 進の極限と有理化した Künneth 公式）の仮定）である。$k$ を分離閉体、$X=\operatorname{Spec}k$、$G=\mathbf Q$（有理数の加法群、離散）、係数を $T_\ell^{\otimes0}$（$\mathbf Z/\ell^\nu$ の射影系）とする。$H_1(\mathbf Q,\mathbf Z)=\mathbf Q$ は有限生成でない（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の「反例：ホモロジーの有限性を外すと有理化と可換でない」）。次数 1 で、(5.7) の右辺（混合コホモロジー）は $\varprojlim_\nu H^1(G,\mathbf Z/\ell^\nu)\otimes\mathbf Q=\varprojlim_\nu\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf Z/\ell^\nu)\otimes\mathbf Q$ である。$\mathbf Q$ は可除で $\mathbf Z/\ell^\nu$ は有限なので、準同型の像は有限群の可除な部分群、すなわち $0$ で、右辺は $0$ である。(5.7) の左辺は $H^0(X,\mathbf Q_\ell)\otimes_{\mathbf Q}H^1(G,\mathbf Q)=\mathbf Q_\ell\otimes_{\mathbf Q}\operatorname{Hom}(\mathbf Q,\mathbf Q)=\mathbf Q_\ell$ で、$0$ でない。
最後に、有理化した公式と作用群を忘れる写像を組み合わせると、有限群の表現の算術的な類について次のことが分かる。
$k$ を任意の体、$\ell\ne\operatorname{char}k$、$G$ を有限群、$i\ge1$ とし、$E$ を $G$ の $k$ 上の有限次元表現とする。$H_p(G,\mathbf Z)$ は有限生成で、$p\ge1$ では $|G|$ で消える有限群なので、$H^p(G,\mathbf Q)=0$（$p\ge1$）である。上の定理（ℓ 進の極限と有理化した Künneth 公式）の (5.7) により、$H^{2i}(\operatorname{Spec}k,G;\mathbf Q_\ell(i))$ のすべての元は $\mathrm{pr}^*(a)$（$a\in H^{2i}(k,\mathbf Q_\ell(i))$）の形で、$\iota^*\mathrm{pr}^*=\mathrm{id}$ なので $G$ を忘れる写像はこの群の上で単射である。上の定理（通常の類が 0 なら混合類は正次数の成分に入る）の証明の段 2 により、$G$ を忘れた類は $0$ である。よって $c_i(E)(\ell)$ の有理化は $0$、すなわち $c_i(E)(\ell)$ は $H^{2i}(\operatorname{Spec}k,G;T_\ell^{\otimes i})$ の捩れ元である。これは基礎体が分離閉でなくても成り立つ。群の有理係数のコホモロジー次元を使ったこの型の一般の消滅は、本書『6-4 コホモロジー次元による消滅』で扱う。
これらの例のとおり、群のホモロジーの自由性・$\ell$ 捩れ・有限生成性が、Künneth 公式の三つの形をそれぞれ支えている。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果と用語の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 型 FP 無限大の群：群のコホモロジーが係数の帰納極限と可換であるための有限性条件は、後に型 $FP_\infty$ の名で整理された（Brown Bro82 の教科書、1982 年）。上の定理（帰納極限の公式は型 FP 無限大の群で成り立つ）の条件はこれである。有限生成だが型 $FP_\infty$ でない群の上で原論文の (5.1) がどうなるかは、本書は確かめていない。
- 算術群：数体の整数環の上の一般線形群のような算術群は、有限指数の部分群が有限な分類空間をもち、したがって型 $FP_\infty$ である（Borel–Serre BorSer73、1973 年）。本書は確かめていない。
- 連続コホモロジー：本書は $\ell$ 進係数を射影極限 $\varprojlim_\nu H^j(\cdot;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ で定め、$\varprojlim^1$ の項を扱わない。この差を正面から扱う連続エタールコホモロジーの理論は後に整えられた（Jannsen Jan88、1988 年）。上の注意（ℓ 進の整数形の一般の場合）で未完結とした問題がそれで整理されるかは、本書は確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 5.1（5.1.1〜5.1.4）である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機：§5 の設定（分離閉でない体の上の表現と混合コホモロジー） | 小節 5.1 冒頭 | 270 |
| 定義（帰納極限の公式の両辺）、定理（帰納極限の公式は型 FP 無限大の群で成り立つ）、注意（原論文の (5.1) は任意の離散群では成り立たない）、注意（原論文の (5.1) の係数の印字） | 5.1.1、(5.1) | 271 |
| 定理（群が有限の場合の射有限群による表示） | 5.1.1、(5.2) | 271 |
| 補題（自明な作用の複体の分解）、定理（Künneth 公式） | 5.1.2、(5.3)(5.4)(5.5)（出典 [16, p. 192]） | 271–272 |
| 定理（作用群を忘れる写像は正次数を法とする還元）、定理（通常の類が 0 なら混合類は正次数の成分に入る） | 5.1.3 | 272 |
| 定理（ℓ 捩れのないときの Künneth 公式） | 5.1.4 前半 | 272–273 |
| 定理（普遍係数型の完全列）、定理（ℓ 進の極限と有理化した Künneth 公式）、注意（ℓ 進の整数形の一般の場合）、注意（原論文の (5.4) と (5.6) の記号の読み方） | 5.1.4、(5.6)(5.7)(5.8) | 273 |
| 例（無限巡回群と有理関数体）の (5.18) の読み方 | 5.3.2、(5.18) | 278 |
原論文の文献 [16] は Tôhoku 論文 GroT57 である。
参考文献
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