0-6 記号と約束

本書の全頁で共通に使う記号と約束をまとめた頁である。各頁が「記号表のとおり」と書くときはこの頁を指す。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる概念の要点は本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』から『0-5 de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー』までに、読む順序と状態札の読み方は本書『0-1 本書の読み方』にある。

群・体・表現

指標の文字は頁によって違う。第 4 章では $\chi$ を円分指標に使うので、群の指標は $\psi\colon G\to k^*$、1 次元表現は $E_\psi$ と書く（『4-1』）。『1-1』は指標を $\chi$ と書き、円分指標を $u$ と書く。『6-2』は原論文 5.3 に合わせて指標を $\varphi\colon G\to k^*$ と書く。第 7 章と第 8 章は指標を $\chi$ と書く。

スキームと作用群

• スキームは分離性を仮定しない。原論文の §2 以後の「schéma」は旧来の préschéma の意味である（原論文の印字 p. 244 の脚注）。仮定するときは「分離的」「有限型」と明記する。「有限型かつ分離的」は第 3 章の比較の仮定で、原論文の「局所有限型」より強い（本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』）。
• 作用群つきスキーム $(X,G)$ は、スキーム $X$ と、$X$ に自己同型で作用する群 $G$ の組である。その射はスキームの射 $h\colon X'\to X$ と群準同型 $\gamma\colon G'\to G$ の組で $h\circ g'=\gamma(g')\circ h$ を満たすものである。$\{e\}\to G$ と恒等射の組による引き戻しが、作用を忘れる写像 $\omega$ である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）。
• 「体 $k$ が素体上有限型」は素体上有限生成な体であることをいう。
• 標準仮定 (K)：$k$ が $k_0$ の分離閉包であるか、代数閉であること。標数 $0$ では常に成り立つ。「$k$ が $k_0$ 上代数的」には弱められない（本書『4-1 Galois 不変性と円分指標』）。原論文は明記しない仮定で、本書が立てた。
• 性質 (M)：Lie 群 $G$ が性質 (M) をもつとは、標数 $0$ のすべての体 $k$、すべての離散群 $\Gamma$ と準同型 $u\colon\Gamma\to G$ について $B_u^*\colon H^i(B_G,k)\to H^i(B_\Gamma,k)$ が $i>0$ で $0$ になることをいう（本書『8-1 Milnor の定理の一般化：簡約群と可換群』。名前は本書のもの）。

混合コホモロジーと係数

比較の同型の向きは $\mathbf Z/n\to\mu_n$ に固定する。原論文 (0.5) は $\varphi$ を $\mu_\infty(\mathbf C)$ を左に置いた左向きの矢印で書き、(0.6) で $\varphi(q\bmod\mathbf Z)=\exp(2\pi iq)$ と与えるので、$\varphi$ は $\mathbf Q/\mathbf Z$ から $\mu_\infty(\mathbf C)$ への写像であり、本書の向きと同じである。算術的な mod $n$ の類を整係数の類の還元と比べるときは、$(\varphi^{\otimes i})^{-1}$ で $\mathbf Z/n$ 係数へ移してから比べる（本書『3-1 位相空間の場合の比較』）。記号 $\varphi$ は頁によって別の写像にも使う（『6-2』の指標、『7-1』の係数の写像 $H^*(X^{\mathrm{an}},\mathbf Z)\to H^*(X^{\mathrm{an}},\mathbf C)$）。そのときは頁の冒頭で断ってある。
ℓ 進係数のコホモロジーは射影極限で定める。すなわち $H^j(X,G;T_\ell^{\otimes i}):=\varprojlim_\nu H^j(X,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ とし、$\mathbf Q_\ell(i)$ 係数はその $\otimes_{\mathbf Z_\ell}\mathbf Q_\ell$ とする。連続コホモロジーとの差（$\varprojlim^1$ の項）は扱わない。群や射有限群の $\mathbf Z_\ell(i)$ 係数のコホモロジーも同じく $\varprojlim_\nu$ で定める（本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』）。$\varprojlim^1$ の処理が要る段は『6-1 作用が自明なときの Künneth 公式と普遍係数』で未完結に残した。

射影束と Chern 類

本書の規約

原論文は節ごとに射影束の空間と基本類の取り方が違う。本書は全体で次の一つに統一する。

• 階数 $r$ の局所自由加群 $\mathbb E$ に対し $P(\mathbb E):=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(\mathbb E^\vee)$、$f\colon P(\mathbb E)\to X$ とする。点は $\mathbb E$ のファイバーの直線で、EGA の記法では $\mathbb P(\mathbb E^\vee)$ に当たる。第 3 巻『Chern 類の公理的理論』の $P(E)$ と同じである。作用群は関手性で $(P(\mathbb E),\mathcal O(1))$ に作用する。
• $f$ の上に標準的な直線部分束 $\mathcal O(-1)\subset f^*\mathbb E$ があり、その双対が $\mathcal O(1)$ である。基本類を $\xi_{\mathbb E}:=c_1(\mathcal O_{P(\mathbb E)}(1))$ とする。
• Chern 類 $c_i(\mathbb E)$ を $\sum_{i=0}^rf^*c_i(\mathbb E)\,\xi_{\mathbb E}^{\,r-i}=0$、$c_0=1$、$i>r$ で $c_i=0$ により定める。全 Chern 類は $c(\mathbb E)=\sum_ic_i(\mathbb E)$ である。
• $c_1$ は理論ごとに次の余境界で与える。エタールでは $c_1(\mathbb L)=\partial\,cl(\mathbb L)\in H^2(X,G;\mu_n)$、位相的には $c_1(\mathbb L)=\delta_{\exp}cl(\mathbb L)\in H^2(Y,G;\mathbf Z)$、de Rham・Hodge では対数微分 $D(\eta)$ から作る類である（下の「de Rham 型と Hodge 型」）。
  検算を一つ書いておく。階数 1 なら $P(\mathbb L)=X$、$\mathcal O(-1)=\mathbb L$、$\mathcal O(1)=\mathbb L^\vee$ で、$\xi=c_1(\mathbb L^\vee)=-c_1(\mathbb L)$ だから、関係式 $\xi+c_1(\mathbb L)=0$ は正規化を符号なしで与える。$\mathbb E=\bigoplus_jL_j$ なら射影 $\mathcal O(-1)\to f^*L_j$ は $\mathcal O(1)\otimes f^*L_j$ の切断で、零点の共通部分が空なので $\prod_j(\xi+c_1(L_j))=0$、すなわち $c(\mathbb E)=\prod_j(1+c_1(L_j))$ である（本書『2-3 Chern 類の定義と三つの性質』）。
  係数を明示するときは、mod $n$ の類を $c_i^{(n)}(\mathbb E)\in H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$、ℓ 進 Chern 類を $c_i(\mathbb E)(\ell)=(c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E))_\nu\in H^{2i}(X,G;T_\ell^{\otimes i})$（原論文 (1.24)）、整係数の類の有理係数への像を $c_i(\mathbb E)_{\mathbf Q}$ と書く。$\mathbf Z/n$ 係数へ移した類を $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0:=((\varphi^{\otimes i})^{-1})_*c_i^{(n)}(\mathbb E)$ と書く（原論文 (1.32)）。『2-3』『2-4』は Chern 類の値の環を $A_n(X,G):=\prod_iH^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$、$A_\ell(X,G):=\prod_iH^{2i}(X,G;T_\ell^{\otimes i})$ と書き、その次数 $2i$ の成分を $A_n^i$ と書く。

原論文の各節の読み替え

§1 の紙面では、射影束の出典に EGA を挙げながら $\mathcal O(-1)$ を取る段を [17] に倣うと書くので、(a)(b) のどちらかは決まらない。原論文の印字 p. 245 の注意は「[17] の $P(\mathbb E)$ は EGA の $P(\check{\mathbb E})$」と書く。本書は §1 の構成を §2 の規約で書き直し、作用群が単位群の場合を §2 の特別な場合として扱う（本書『2-2 射影束公式』の注意「原論文の §1 の射影束の読み方と符号」）。射影束公式そのものは $\xi$ の符号によらないので、(a)(b) のどちらでも成り立つ。§6 の「§1・§2 と同じく」は §2 の空間の意味で読むと整合する（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。

通常の射影束と相対スキームとしての射影束

原論文 1.8 は、作用群つきの位相空間の上の $G$ 同変な $\mathbf{CP}^{r-1}$ 束を「通常の射影束」と呼び、相対スキームとしての射影束と区別する。本書『3-1 位相空間の場合の比較』の主結果は通常の射影束で作った類についての主張で、原論文 (1.30) の、相対スキームとしての射影束で作った類との一致は未完結に残してある。本書は「原論文の命題を証明した」とは書かない。第 3 章の比較の手順（本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』）は解析化の通常の射影束の上で類を作るので、この留保を受けない。

次数と第 3 巻

本書はコホモロジーの次数 $H^{2i}$ をそのまま使う。第 3 巻『Chern 類の公理的理論』は次数を半分に取って $A^i$ と書く（Grothendieck 1958 の $A^{2i}$）ので、第 3 巻の頁の公式を引くときは $A^i$ を $H^{2i}$（作用群つきのエタールでは $A_n^i=H^{2i}(X,G;\mu_n^{\otimes i})$）と読み替える。第 3 巻の射影束・旗束・一意性・双対・外冪・テンソル積の公式は、同じ射影束の規約で書かれているので、読み替えはこの次数だけである。

位相的な類と比較

本書の位相的な Chern 類は、上の射影束の規約と $c_1=\delta_{\exp}cl$ で正規化する。第 3 章と第 7 章の超越的 Chern 類はこの正規化の類で、Hirzebruch Hir56 の意味の通常の Chern 類とは下の符号 $\varepsilon_2$ の冪だけ違う（本書『3-1 位相空間の場合の比較』の定理「作用群つき位相空間での整係数 Chern 類」の 4・5）。de Rham 型の類との比較には $(2\pi i)^{-p}$ の因子が入る（本書『7-1 定義と Hodge–de Rham スペクトル系列』）。

約束だけで決まる符号

普遍符号 ε

本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の定理「位相的第一 Chern 類は指標そのもの」は、離散群 $G$ の指標 $\chi\colon G\to\mathbf C^*$ の付随束について
$$c_1(L_\chi)=\varepsilon\,\delta_{\exp}(\chi)\in H^2(G,\mathbf Z),\qquad\varepsilon=\varepsilon_1\varepsilon_2\in\{\pm1\}$$
と述べる。二つの因子は次の約束で決まり、$G$ にも $\chi$ にも依らない。

• $\varepsilon_1$：平坦直線束 $L_\chi$ の定数層の類が、同型 $H^1(B_G,\mathbf C^*)\cong\operatorname{Hom}(G,\mathbf C^*)$ で $\chi^{\varepsilon_1}$ に対応する符号。付随束の作用は本書で $g(a,x)=(ag^{-1},gx)$ に固定してあるので、残るのはこの同一視の向き（被覆変換の群と基本群の同一視、モノドロミーの向き）の約束である（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「平坦束と基本群の表現」の (4)）。
• $\varepsilon_2$：Hirzebruch の意味の $c_1(L)$ と $\delta_{\exp}cl(L)$ の比。Čech 余境界の符号と、$\mathbf{CP}^1$ の上の $\mathcal O(1)$ の $c_1$ をどちらの生成元にとるか（向き）の約束で決まる（同じ頁の定理「指数列と第一 Chern 類」の (2)）。
  原論文は (0.5)(0.6) の直後（印字 p. 217）で、この一致を「直ちに確かめられる」とだけ書き、符号なしの等号で述べる。付随束の作り方も余境界の符号の約束も紙面にない。
  本書は $\varepsilon$ の値を一つに固定しない。残る約束（同一視の向き、余境界の符号、$\mathcal O(1)$ の $c_1$ の向き）を選び直せば $\varepsilon=1$ にできるが、それは本書が引用する事実（分類空間のコホモロジー、平坦束の分類、指数列による第一 Chern 類）の出典の約束を決めることで、本書はそれらの出典の約束を照合していない。そのかわり、本書の主張はどれも $\varepsilon$ の値に依らないように書いてある。$\varepsilon$ と $\varepsilon_2$ を使う頁と、値に依らない理由は次のとおりである。

  頁	使い方	値に依らない理由
  1-1	主結果で $c_1(L_\chi)=\varepsilon\,\delta_{\exp}(\chi)$ と述べ、整係数の不変な $c_1$ の不可能性を導く	主結果は $\varepsilon$ を含めて述べる。不可能性の証明が使うのは、$c_1(L_\chi)$ の位数と、$\operatorname{Aut}(\mathbf C)$ が指標を $u$ 乗に移すと類が $u$ 倍になることだけで、どちらも $\pm1$ 倍と可換である
  3-1、3-2	作用群つきの整係数の類を $c_1=\delta_{\exp}cl$ で正規化し、Hirzebruch の類との関係を $c_i(\mathbb E)=\varepsilon_2^i\,c_i(V)$ と述べる	本書の類の定義に $\varepsilon_2$ は入らない。Hirzebruch の類との関係は符号を明示した等式である
  5-1	本書『3-1』の類と Borel 構成の類の関係式 $\xi^2+c_1\xi+c_2=0$ を使う	両者は $\xi$ を含めて $\varepsilon_2^i$ だけ違い、関係式の各項で $\varepsilon_2^2=1$ となって打ち消し合う
  7-1	超越的な類との比較 (6.14)	超越的な類は $\delta_{\exp}$ で正規化した類なので $\varepsilon_2$ は入らない
  3-3、4-3、8-3	『1-1』の表示から、1 次元表現の整係数 $c_1$ が捩れか、$0$ か、位数がいくつかを判定する	捩れであること、$0$ であること、位数は $\pm1$ 倍で変わらない
  7-2	可微分多様体の de Rham 変種の類を $(2\pi i\,\epsilon)^i\,\iota\,c_i$ と書く（$\epsilon$ は $\varepsilon_2$ と de Rham の同型の符号をまとめたもの）	主張は「普遍的な符号を除いて」の形で述べる

  同じ理由で、本書『0-2 群のコホモロジーと分類空間』の巡回群の $H^2$ の生成元と、本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の $\mathbf{CP}^1$ の上の $c_1(\mathcal O(1))$ については、それが生成元であることだけを使い、どちらの生成元かは決めない。

その他の符号と、同じ文字の別の量

捩れ定理と算術的な場合の記号

de Rham 型と Hodge 型の記号

原論文は Chern 類の通常の形式（加法性など）を 6.3 で「admettrons」として仮定する。本書はこれを原論文の仮定として記録し、それに依る主結果の札に「Chern 類の形式の仮定」と書く。

平坦束と Milnor の定理の記号

第 8 章は付録 §7 の記号に揃え、離散群を $\Gamma$、Lie 群を $G$ と書く。原論文の序論 0.9 は離散群を $G$、Lie 群を $H$ と書く。

原論文の引き方

• 「原論文」は Grothendieck Gro68d、すなわち論文集『Dix exposés sur la cohomologie des schémas』（1968 年）の Exposé VIII を指す。印字頁は 215〜305 で、本書が用いる画像の頁番号に 52 を加えたものである。頁は「印字 p. 262」のように印字頁で引く。
• 節は「§n」、小節は「小節 n.m」、式は「(n.m)」と引く。原論文の §0 は序論で 0.1〜0.11 からなり、§1〜§6 のあとに付録の §7 が続く。番号付きの主張は原論文の番号と語のまま「Proposition 5.5」「Théorème 7.1」「Corollaire 4.11」「Lemme 5.3.1」「Remarques 4.12 b)」のように引く。無番号の主張は「1.8 の下線の命題」「小節 0.2 の否定的主張」のように小節と内容で指す。
• 原論文の文献表の番号は、本書の参考文献のラベルと併記することがある。Grothendieck 1958 は原論文の文献 [17]（本書の Gro58）、準備中の論文とされる Illusie と Giraud はそれぞれ原論文の文献 [24]・[15] である。
• 原論文自身の確信度は、定理（証明または証明の筋がある）、主張（断定形だが証明がない）、期待、予想、仮定（「admettrons」）、問いの語で、各頁の本文に添える。本書の状態札とは別のものである。

頁の読み方の約束

• 第 1 章以後の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』」、別の巻への参照は「参考書『Chern 類の公理的理論』の頁『n-m 名前』」の形で書く。
• 状態札は ［完結］／［条件付き：何を引用したか］／［未完結：何が足りないか］ の三つである。第 0 章の事実や古典的定理を引いた段が一つでもあれば［条件付き］とし、条件は依存する主結果に伝わる。原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、訂正した主張を主結果とし、原論文の形がどの反例で破れるかを札の後に添え、反例をその頁の注意に書く。札の読み方と全体の集計は本書『0-1 本書の読み方』にある。
• 後代の名称（同変エタールコホモロジー、Tate 捩れ、分類スタック、型 FP 無限大、結晶 Chern 類、Deligne による Weil 予想の証明、Deligne–Sullivan の定理、Soulé の ℓ 進 Chern 類など）は説明と「その後の発展」で使い、原論文の主張として帰属させない。「その後の発展」は時点を明記し、本書が文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。
• 用語：site は「景」、topos は「トポス」、groupoid は「亜群」と書く。「例」「反例」を使い、反例ではどの条件を外したかを最初に書く。

原論文の誤植の読み方

本書は、原論文の印字の誤りを二つに分ける。誤りに理由が添えられていない文字・番号・添字の誤りは誤植とし、訂正した形で読んで主結果には数えない。誤りの形に原論文が理由を添えているもの（たとえば (1.12) の和の範囲）は印字の主張の誤りとし、訂正した主張を主結果にして、原論文の形が破れる反例を注意に書く（本書『0-1 本書の読み方』の「状態札の読み方」）。誤植として読んだものは次のとおりで、どれも該当する頁の注意で根拠を述べる。

誤植ではなく、紙面の記号の読み方を本書が決めたものもある。原論文 3.1 の $X^{\mathrm{an}}_{\text{ét}}$ は解析空間の局所同相写像の景と読み（本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』）、§4 の Frobenius の向きの混在は『5-1 有限体上の捩れと特殊化』で一つの向きに揃え、§6 の「§1・§2 と同じく $P(\mathbb E)$」は §2 の空間と読む（上の「原論文の各節の読み替え」）。