2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー
スキーム $X$ に群 $G$ が自己同型で作用するとき、$G$ の作用と両立するエタール層の全体はふたたびトポスをなし、そのコホモロジーは $X$ のエタールコホモロジーと $G$ の群コホモロジーを一つのスペクトル系列で結ぶ。本頁はこの混合エタールコホモロジーの枠組みを原論文の §1・§2 の冒頭に沿って整え、1 の冪根の層と Kummer 列、可逆層の類を作用群つきで定めて、次頁以降で Chern 類を作るための土台とする。
この頁で示すこと
$X$ はスキーム（原論文の約束により分離性を仮定しない）、$X_{\text{ét}}$ はそのエタール景とその上の層のトポス、$G$ は $X$ に自己同型として作用する群（離散群で、有限性を仮定しない。作用は忠実でなくてよい）とする。整数 $n\ge1$ が許容されるとは、$n\cdot1_X$ が $\mathcal O_X$ の可逆な切断であること、すなわち $n$ が $X$ のすべての剰余体の標数と素であることをいう。$\mu_n$ は $X_{\text{ét}}$ 上の 1 の $n$ 乗根の層、$\mathbf G_m$ は乗法群の層である。
本頁の主結果は次の四つである。
- Kummer 列の完全性と 1 の冪根の層（原論文 小節 1.2、(1.1)、印字 p. 233）：$n$ が許容されるなら、$X_{\text{ét}}$ 上の列 $0\to\mu_n\to\mathbf G_m\xrightarrow{\,n\,}\mathbf G_m\to0$ は完全であり、$\mu_n$ とそのテンソル冪 $\mu_n^{\otimes i}$（$i\in\mathbf Z$）はエタール局所的に定数層 $\mathbf Z/n$ と同型である。この列は作用群つきの層の完全列でもある。［条件付き：エタール景の基本を引用］
- 可逆層の類のエタール表示（原論文 (1.2)(1.3)、印字 p. 233）：可逆層の同型類の群 $H^1(X,\mathbf G_m)$ から $H^1(X_{\text{ét}},\mathbf G_m)$ への標準写像は同型であり、作用群つきでは $G$ 線形化された可逆層の同型類が $H^1(X,G;\mathbf G_m)$ と一対一に対応する。したがって第一 Chern 類 $c_1(\mathbb L)=\partial\,cl(\mathbb L)$ は可逆層の同型類だけで決まる。［条件付き：Hilbert 90 と、トポスの $H^1$ によるトルソーの分類を引用］
- 作用群つきのエタール層はトポスをなす（原論文 小節 2.1、印字 p. 244）：$G$ の作用と両立するエタール層の圏 $(X_{\text{ét}},G)$ はトポスであり、作用を忘れる関手は完全で、同型を反映し、左右の随伴をもつ。［条件付き：Giraud の判定を引用］
- 混合コホモロジーのスペクトル系列（原論文 (2.2)、印字 pp. 244–245）：$(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層 $F$ について、収束する第一象限のスペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(X_{\text{ét}},F))\Rightarrow H^{p+q}(X_{\text{ét}},G;F)$ があり、導来圏では $R\Gamma(X,G;F)\cong R\Gamma(G,R\Gamma(X,F))$ である。［条件付き：合成関手のスペクトル系列を引用］
作用を忘れる関手の性質は本頁の補題として閉じ、主結果 3・4 と次頁の射影束公式はこの補題を通して第 0 章の一般論に帰着する。主結果 1・2 はエタール景と Hilbert 90 の標準的な事実を引く。
背景と動機
原論文 Gro68d の序論は、離散群 $G$ の表現の Chern 類を純代数的に定めるには、係数を整数から基礎体の 1 の冪根の群 $\mu_n(k)$ に取り替え、群コホモロジー $H^{2i}(G,\mu_n(k)^{\otimes i})$ に値をとる類を作ればよい、と構想する（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』『1-2 序論の構想と群のトポス』）。第一 Chern 類なら、指標を $H^1(G,k^*)$ の元とみて Kummer 列の余境界を当てれば済む。しかし高次の Chern 類には射影束が要り、射影束は体の上の一点ではなく本物の幾何的対象である。しかも序論の最後の構想では、基礎体を任意の基礎スキームに、表現を $G$ の作用するスキームの上の同変なベクトル束に広げたい。
そこで必要になるのが、スキーム $X$ のエタールコホモロジーと群 $G$ のコホモロジーを同時に扱う枠組みである。原論文の §1（印字 pp. 231–244）はまず、局所環付きトポスの上の Chern 類を「局所環付きトポスのエタールコホモロジー」を経由して素描する。原典はこの理論を「まだ書かれていない」ものとし、§1 は統一原理と動機を与えるだけで、厳密には読まなくてよいと断る（印字 p. 232）。本題は §2（印字 pp. 244–248）で、作用群つきのスキーム $(X,G)$ に対して、$G$ の作用と両立するエタール層のトポスを直接作り、その上で §1 の構成を「転写」する。原典はトポスであることを Giraud の判定から「容易に」従うとし、スペクトル系列 (2.2) の証明は「読者に任せる」と書く（印字 pp. 244–245）。
本頁は、この §2 の冒頭と、§1 のうちスキームについて意味が確定する部分（Kummer 列と可逆層の類）を閉じる。一般の局所環付きトポスの場合は、原典にエタール景の構成が無いので扱わない。
定義と準備
まず作用群つきの層を定め、それが一つの圏をなすことを確かめる。以下、$g\in G$ を $X$ の自己同型 $g\colon X\to X$ と同一視し、積は写像の合成 $gh=g\circ h$ とする。したがって $(gh)^*=h^*g^*$ である。
$X_{\text{ét}}$ 上の層 $F$ に対し、$G$ の作用とは、各 $g\in G$ に対する同型 $\theta_g\colon g^*F\xrightarrow{\sim}F$ の族で、$\theta_e=\mathrm{id}$ かつ
$$\theta_{gh}=\theta_h\circ h^*(\theta_g)\colon\ h^*g^*F\to h^*F\to F\qquad(g,h\in G)$$
を満たすものをいう。組 $(F,\theta)$ を $(X_{\text{ét}},G)$ 上の層、あるいは作用群つきのエタール層と呼ぶ。射 $(F,\theta)\to(F',\theta')$ は、層の射 $u\colon F\to F'$ で $\theta'_g\circ g^*u=u\circ\theta_g$ をすべての $g$ で満たすものである。この圏を $(X_{\text{ét}},G)$ と書き、作用を忘れる関手を $\omega\colon(X_{\text{ét}},G)\to X_{\text{ét}}$ と書く。
$X_{\text{ét}}$ の標準的な層、たとえば構造層から定まる $\mathbf G_a$、$\mathbf G_m$、$\mu_n$、定数層 $\mathbf Z/n$ は、引き戻しとの標準同型 $g^*\mathbf G_m\cong\mathbf G_m$ などを $\theta_g$ として、自然に作用群つきの層になる。以下、これらの層はつねにこの作用で考える。
$(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層 $F$ に対し、$\Gamma^G(F):=\Gamma(X,\omega F)^G$ とおく。ここで $G$ は $\Gamma(X,\omega F)$ に $s\mapsto\theta_g(g^*s)$ で作用する（$g^*s\in\Gamma(X,g^*F)$ は $s$ の引き戻し）。$\Gamma^G$ は定数層 $\mathbf Z$（自明な作用）からの射の群 $\operatorname{Hom}(\mathbf Z,F)$ に等しい。その右導来関手
$$H^i(X_{\text{ét}},G;F):=R^i\Gamma^G(F)$$
を、作用群つきスキーム $(X,G)$ の混合エタールコホモロジーという（原論文 (2.1)）。原論文にならい、混乱のおそれがなければ添字「ét」を省いて $H^i(X,G;F)$ と書く。
上の $G$ の作用 $s\mapsto\theta_g(g^*s)$ は、$\theta$ の条件から $\Gamma(X,\omega F)$ の上の右作用になる。以下では $g$ を $g^{-1}$ で置き換えた左作用として群コホモロジーを考える。どちらで書いても不変部分と群コホモロジーは同じである。
射影束と Chern 類を作用群つきで扱うには、局所自由加群と可逆層にも作用を入れる必要がある。
$\mathbb E$ を $X$ 上の局所自由 $\mathcal O_X$ 加群とする。$G$ の作用（$G$ 線形化）とは、$\mathcal O_X$ 加群の同型 $\theta_g\colon g^*\mathbb E\xrightarrow{\sim}\mathbb E$ の族で、定義（作用群つきのエタール層）と同じ条件を満たすものをいう。$\mathbb E$ から定まるエタール層（$U\mapsto\Gamma(U,\mathbb E\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal O_U)$）はこれにより $(X_{\text{ét}},G)$ 上の $\mathcal O_X$ 加群になる。階数 1 のものを $G$ 線形化された可逆層という。$X$ が体 $k$ のスペクトルで $G$ が自明に作用するとき、$G$ 線形化された局所自由加群は $G$ の $k$ 上の有限次元表現にほかならない。
原論文 2.2（印字 p. 245）は、このような $\mathbb E$ を「$\mathcal O_X$ で環付けたトポス $(X_{\text{ét}},G)$ の局所自由加群」とみてよいと書く。本書は上の直接の定義を採り、その言い換えは使わない。
最後に、作用群つきスキームの射を定める。次頁の射影束はこの意味の射である。
$(X',G')$、$(X,G)$ を作用群つきスキームとする。その射とは、スキームの射 $h\colon X'\to X$ と群準同型 $\gamma\colon G'\to G$ の組で、すべての $g'\in G'$ について $h\circ g'=\gamma(g')\circ h$ となるものをいう。$(X,G)$ 上の層 $F$ の逆像 $h^*F$ には、$g'^*h^*F=h^*\gamma(g')^*F\xrightarrow{h^*\theta_{\gamma(g')}}h^*F$ で作用を入れる。$G'=G$、$\gamma=\mathrm{id}$ のとき、$(X',G)$ 上の層 $F'$ の順像 $h_*F'$ には、$g^*h_*F'\cong h_*g^*F'\xrightarrow{h_*\theta_g}h_*F'$ で作用を入れる。ここで $g^*h_*\cong h_*g^*$ は、$g$ が自己同型なので $g^*=(g^{-1})_*$ であり、$h\circ g^{-1}=g^{-1}\circ h$ から従う。
$\gamma$ が単位群からの包含 $\{e\}\to G$、$h=\mathrm{id}_X$ のとき、逆像は作用を忘れる関手 $\omega$ そのものである。こうして、作用群つきの理論の中に通常のエタールコホモロジーが「作用を忘れる射」による引き戻しとして入る。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SGA4、SGA1、GroT57、Har66、CE56、SerGal64 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。第 0 章の頁『0-2 群のコホモロジーと分類空間』『0-3 エタールコホモロジーと Galois コホモロジー』に要点がある。
- エタール景の基本（SGA 1 I、SGA 4 VII の型）：環 $A$ 上の次数が正のモニック多項式 $P(T)$ について、$P'(T)$ が $A[T]/(P)$ で可逆なら $\operatorname{Spec}A[T]/(P)\to\operatorname{Spec}A$ は有限局所自由かつエタールで、全射である。有限エタールな群スキームが表現するエタール層は局所定数層で、その茎は幾何的な点での点の群である。層の射が同型であることは、幾何的な点での茎で確かめられる。
- 体のエタール景（SGA 4 VIII、SerGal64 の型）：体 $k$ 上のエタール代数は有限個の有限次分離拡大の積である。$k$ が分離閉なら、$F\mapsto F(\operatorname{Spec}k)$ は $\operatorname{Spec}k$ のエタール層の圏と集合の圏の同値で、正の次数のエタールコホモロジーは消える。
- Hilbert 90 と降下（SGA 1 VIII、SGA 4 VII の型）：エタール位相での $\mathbf G_m$ トルソーは可逆層から来る。すなわち可逆層 $\mathbb L$ に $\mathbf G_m$ トルソー $\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ を対応させる関手は、可逆層の圏と $X_{\text{ét}}$ 上の $\mathbf G_m$ トルソーの圏の同値である。とくに体 $k$ では $H^1(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},\mathbf G_m)=0$。
- トポスの $H^1$ とトルソー（SGA 4、Giraud の型）：任意のトポスと可換群対象 $A$ について、大域切断関手の 1 次の導来関手 $H^1(A)$ は $A$ トルソーの同型類の集合と、関手的に一対一に対応する。この対応で $H^1(A)$ の和はトルソーの縮約積に当たる。Zariski 位相でも同じで、とくに Zariski 位相の $\mathcal O_X^*$ トルソーは可逆層 $\mathbb L$ の $\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ の形のものに限り、$H^1(X,\mathcal O_X^*)$ は可逆層の同型類の群（Picard 群）である。
- Giraud の判定（SGA 4 IV 1.2）：圏 $\mathcal C$ がトポスであるための必要十分条件は、有限極限と小さな余極限をもち、余極限が普遍的で、直和が交わりなく普遍的、同値関係が有効かつ普遍的で、小さな生成系をもつことである。
- 合成関手のスペクトル系列（GroT57、Har66 の型）：アーベル圏の左完全関手 $\Phi\colon\mathcal A\to\mathcal B$、$\Psi\colon\mathcal B\to\mathcal C$ について、$\mathcal A$、$\mathcal B$ が十分単射的対象をもち、$\Phi$ が単射的対象を $\Psi$ 非輪状な対象に送るなら、$R(\Psi\Phi)\cong R\Psi\circ R\Phi$ で、収束する第一象限のスペクトル系列 $R^p\Psi R^q\Phi\Rightarrow R^{p+q}(\Psi\Phi)$ がある。アーベル群の層の圏と $G$ 加群の圏は十分単射的対象をもつ。導来圏で、すべてのコホモロジー対象の上で同型を誘導する射は同型である。
- 群のコホモロジーの基本（CE56、SerGal64 の型）：余誘導加群 $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(\mathbf Z[G],M)$ は正の次数で非輪状である（Shapiro の補題の特別な場合）。無限巡回群 $\mathbf Z=\langle t\rangle$ には自由分解 $0\to\mathbf Z[\mathbf Z]\xrightarrow{t-1}\mathbf Z[\mathbf Z]\to\mathbf Z\to0$ がある。
これで、作用群つきの層と、そのコホモロジーを計算するための一般論が揃った。まず作用を忘れる関手の性質を調べ、そこから主結果 3・4 を導く。
主結果と証明
作用を忘れる関手
作用群つきの層についての主張の多くは、作用を忘れて $X_{\text{ét}}$ の上で確かめれば済む。それを保証するのが次の補題で、本頁の残りと次頁の射影束公式はすべてこの補題を経由する。
$\mathcal C=(X_{\text{ét}},G)$、$\mathcal T=X_{\text{ét}}$、$\omega\colon\mathcal C\to\mathcal T$ を作用を忘れる関手とする。
- $\mathcal C$ は有限極限と小さな余極限をもち、それらは $\mathcal T$ で計算した極限・余極限に作用を誘導したものである。$\omega$ はこれらと可換で、完全であり、同型を反映する。
- $\operatorname{Ind}(F):=\coprod_{a\in G}a^*F$ と $\operatorname{CoInd}(F):=\prod_{a\in G}a^*F$ に添字の付け替えで作用を入れると、$\operatorname{Ind}$ は $\omega$ の左随伴、$\operatorname{CoInd}$ は $\omega$ の右随伴である。
- 可換群の層について、$\omega$ と $\operatorname{CoInd}$ は単射的対象を単射的対象に送る。$\mathcal C$ の可換群の層の圏は十分単射的対象をもち、その単射的対象 $I$ は $\operatorname{CoInd}(\omega I)$ の直和因子である。
- $\mathcal T$ の可換群の層 $J$ について、$G$ 加群 $\Gamma(X,\omega\operatorname{CoInd}J)$ は余誘導加群 $\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(\mathbf Z[G],\Gamma(X,J))$ に同型である。
- $h\colon(X',G)\to(X,G)$ を群を動かさない作用群つきスキームの射とする。$\omega h_*=h_*\omega$ であり、$h_*\colon(X'_{\text{ét}},G)\to(X_{\text{ét}},G)$ は単射的対象を単射的対象に送り、$\omega R^qh_*F=R^qh_*(\omega F)$ がすべての $q$ で成り立つ。さらに導来圏で $R\Gamma(X',G;-)\cong R\Gamma(X,G;-)\circ Rh_*$ である。
段 1（極限と余極限）．$g$ は自己同型なので $g^*$ は $\mathcal T$ の自己同値であり、極限・余極限と可換である。$\mathcal C$ の図式 $(F_\alpha,\theta_\alpha)$ について、$\mathcal T$ での極限 $L$ の上に $\theta_g\colon g^*L\cong\varprojlim g^*F_\alpha\to\varprojlim F_\alpha=L$ が定まり、条件 $\theta_{gh}=\theta_h\circ h^*\theta_g$ は各成分での条件と極限の普遍性から従う。余極限も同じである。この構成から $\omega$ は極限・余極限と可換で、とくに完全である。$u$ が $\mathcal C$ の射で $\omega u$ が同型なら、その逆射も $\theta$ と両立するので $u$ は同型である。
段 2（二つの随伴）．$\operatorname{Ind}(F)$ の $a$ 成分を $a^*F$ とすると、$h^*\operatorname{Ind}(F)=\coprod_ah^*a^*F=\coprod_a(ah)^*F$ であり、$\theta_h$ を「$a$ 成分を $ah$ 成分へ恒等的に送る射」と定める。条件 $\theta_{gh}=\theta_h\circ h^*\theta_g$ は添字 $a\mapsto ag\mapsto agh$ の書き換えである。$\mathcal T$ の射 $\varphi\colon F\to\omega F'$ に対し、$a$ 成分で $\theta'_a\circ a^*\varphi\colon a^*F\to a^*F'\to F'$ となる射 $\operatorname{Ind}(F)\to F'$ を対応させると、これは作用と両立し、逆は $e$ 成分への制限である。$\operatorname{CoInd}$ も同様で、$\psi\colon\omega F'\to F$ に対し、$a$ 成分が $a^*\psi\circ(\theta'_a)^{-1}\colon F'\to a^*F'\to a^*F$ である射 $F'\to\operatorname{CoInd}(F)$ を対応させ、逆は $e$ 成分への射影との合成である。
段 3（単射的対象）．アーベル群の層の直和は完全で、各 $a^*$ も完全なので、$\operatorname{Ind}$ は完全である。完全な左随伴をもつ関手は単射的対象を保つので、$\omega$ は単射的対象を保つ。同様に $\operatorname{CoInd}$ は完全な $\omega$ の右随伴なので単射的対象を保つ。$\mathcal C$ の $F$ について、$\mathcal T$ で単射的対象への単射 $\omega F\hookrightarrow J$ をとると、随伴の単位 $F\to\operatorname{CoInd}(\omega F)$（$e$ 成分は恒等写像なので単射）と $\operatorname{CoInd}(\omega F)\hookrightarrow\operatorname{CoInd}(J)$ の合成は単射的対象への単射である。$I$ が単射的なら、単射 $I\to\operatorname{CoInd}(\omega I)$ は分裂し、$I$ は直和因子である。
段 4（余誘導加群）．$a$ は自己同型なので $s\mapsto a^*s$ は同型 $\Gamma(X,J)\cong\Gamma(X,a^*J)$ を与え、$\Gamma(X,\omega\operatorname{CoInd}J)=\prod_a\Gamma(X,a^*J)\cong\prod_{a\in G}\Gamma(X,J)$ である。段 2 の $\theta$ の定義により、$G$ はこの積の添字を移動で置換する。これは写像 $G\to\Gamma(X,J)$ の全体に移動で作用させた加群、すなわち余誘導加群である。
段 5（順像）．$h_*$ の作用は定義（作用群つきスキームの射と順像・逆像）で $\mathcal T$ の順像から誘導したので $\omega h_*=h_*\omega$ である。作用つきの逆像 $h^*$ は $h_*$ の左随伴で（$\mathcal T$ の随伴が作用と両立する）、完全なので、$h_*$ は単射的対象を保つ。$F$ の $(X'_{\text{ét}},G)$ での単射的分解 $I^\bullet$ をとると、段 3 により $\omega I^\bullet$ は $\omega F$ の単射的分解で、$\omega h_*I^\bullet=h_*\omega I^\bullet$ のコホモロジーは左辺が $\omega R^qh_*F$、右辺が $R^qh_*(\omega F)$ である。最後に、$\Gamma(X',\omega F')^G=\Gamma(X,h_*\omega F')^G$ は作用とも両立するので $\Gamma^G_{X'}=\Gamma^G_X\circ h_*$ で、$h_*$ が単射的対象を保つことから引用する事実 6 により導来圏の等式を得る。
段 1 は $\mathcal C$ の中の完全性・同型を作用を忘れて確かめてよいことを、段 5 は順像の高次の層を作用を忘れて計算してよいことを言う。原論文 2.2（印字 p. 246）の「局所化は $G$ の作用を忘れることを含む」という一文を、本頁はこの形で確かめたことになる。
作用群つきのエタール層のトポス
$\mathcal C=(X_{\text{ét}},G)$ はトポスである。その終対象は一点集合の定数層（自明な作用）で、$\mathcal C$ の大域切断関手は $\Gamma^G$ である。作用を忘れる関手 $\omega$ は完全で、同型を反映し、左随伴 $\operatorname{Ind}$ と右随伴 $\operatorname{CoInd}$ をもつ。
段 1（Giraud の判定の極限・余極限の条件）．上の補題の 1 により、$\mathcal C$ は有限極限と小さな余極限をもち、$\omega$ はそれらと可換で同型を反映する。余極限の普遍性（引き戻しとの可換性）、直和の交わりの無さと普遍性、同値関係の有効性と普遍性は、どれも「ある標準的な射が同型である」という形の条件で、その射は $\omega$ で $\mathcal T$ の同じ射に移る。$\mathcal T$ はトポスなのでそれらは同型であり、$\omega$ が同型を反映するので $\mathcal C$ でも同型である。
段 2（生成系）．$\{h_V\}$ を $\mathcal T$ の小さな生成系（エタール $X$ スキーム $V$ の表現する層のうち、集合をなす代表系）とし、$\{\operatorname{Ind}(h_V)\}$ が $\mathcal C$ の生成系であることを示す。$u\neq v\colon F'\to F''$ を $\mathcal C$ の射とすると、$\omega u\neq\omega v$ なので、ある $s\colon h_V\to\omega F'$ で $\omega u\circ s\neq\omega v\circ s$ となるものがある。補題の 2 の随伴で $s$ に対応する $s^\flat\colon\operatorname{Ind}(h_V)\to F'$ について $u\circ s^\flat$ と $v\circ s^\flat$ は、随伴で $\omega u\circ s$、$\omega v\circ s$ に対応するので異なる。
段 3（結論）．引用する事実 5 により $\mathcal C$ はトポスである。終対象と大域切断の記述は定義（混合エタールコホモロジー）の直後に述べたとおりで、残りは補題の 1・2 である。
原論文はこの定理を Giraud の判定から「容易に」従うと書くだけである（印字 p. 244）。上の証明は $G$ の有限性も $X$ の分離性も使っていない。
混合コホモロジーのスペクトル系列
トポスであることが分かったので、その大域切断の導来関手として混合コホモロジーが意味をもつ。これを通常のエタールコホモロジーと群コホモロジーで計算するのが次の定理である。
$(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層 $F$ について、$G$ は $H^q(X_{\text{ét}},\omega F)$ に自然に作用し、収束する第一象限のスペクトル系列
$$E_2^{p,q}=H^p\bigl(G,H^q(X_{\text{ét}},F)\bigr)\Longrightarrow H^{p+q}(X_{\text{ét}},G;F)$$
がある。導来圏では $R\Gamma(X,G;F)\cong R\Gamma\bigl(G,R\Gamma(X,F)\bigr)$ であり、ここで $R\Gamma(X,F)$ は $\omega F$ の単射的分解の大域切断の複体に $G$ の作用を入れた $G$ 加群の複体である。
段 1（二つの関手への分解）．$\Phi(F):=\Gamma(X,\omega F)$ に定義（混合エタールコホモロジー）の $G$ の作用を入れたものは、$\mathcal C$ の可換群の層の圏から $G$ 加群の圏への左完全関手で、$\Gamma^G=(-)^G\circ\Phi$ である。
段 2（$\Phi$ の導来関手）．$F$ の $\mathcal C$ での単射的分解 $I^\bullet$ をとると、上の補題の 3 により $\omega I^\bullet$ は $\omega F$ の $\mathcal T$ での単射的分解なので、$R^q\Phi(F)$ の下部のアーベル群は $H^q(X_{\text{ét}},\omega F)$ である。$G$ の作用は $I^\bullet$ の作用から誘導され、$\omega F$ の単射的分解の取り方によらない（二つの分解の比較写像は $\mathcal C$ の中でとれ、ホモトピーを除いて一意である）。
段 3（非輪状性）．$I$ を $\mathcal C$ の単射的対象とする。補題の 3 により $I$ は $\operatorname{CoInd}(\omega I)$ の直和因子なので、$\Phi(I)$ は $\Phi(\operatorname{CoInd}(\omega I))=\Gamma(X,\omega\operatorname{CoInd}(\omega I))$ の直和因子である。補題の 4 によりこれは余誘導加群で、引用する事実 7 により正の次数で非輪状である。直和因子も非輪状なので、$\Phi(I)$ は $(-)^G$ 非輪状である。
段 4（結論）．段 1〜3 と引用する事実 6 により、$R\Gamma^G\cong R\Gamma(G,-)\circ R\Phi$ と、スペクトル系列 $R^p(-)^G\circ R^q\Phi\Rightarrow R^{p+q}\Gamma^G$ を得る。左辺は $H^p(G,H^q(X_{\text{ét}},F))$ である。
原論文は、この系列が GroT57 の 5.2.1 の類似の系列と同じく、あるいは Leray のスペクトル系列の特別な場合として得られるとし、詳細を読者に任せる（印字 pp. 244–245）。上の証明は前者の道である。原典はさらに、商 $X/G$ が存在するときの第二のスペクトル系列にも触れるが、本文で使わないと断っており、本書も扱わない。
上の定理の系列の端写像 $H^n(X,G;F)\to E_2^{0,n}=H^n(X_{\text{ét}},\omega F)^G\subset H^n(X_{\text{ét}},\omega F)$ は、作用を忘れる射 $(\mathrm{id}_X,\{e\}\to G)$ による引き戻し、すなわち $G$ を忘れる写像である。もう一方の端 $H^n(G,\Gamma(X,\omega F))=E_2^{n,0}\to H^n(X,G;F)$ は、$\Gamma(X,\omega F)$ を係数とする群コホモロジーからの写像である。$X$ のエタールコホモロジーが正の次数で消えれば、後者は同型 $H^n(X,G;F)\cong H^n(G,\Gamma(X,\omega F))$ になる。
こうして、混合コホモロジーは $X$ と $G$ の二つのコホモロジーから計算できるようになった。次に、この枠組みの中で Chern 類の原料となる二つのもの、1 の冪根の層と可逆層の類を用意する。
Kummer 列と 1 の冪根の層
$n$ を許容される整数とする。
- $X_{\text{ét}}$ 上で $x\mapsto x^n$ は $\mathbf G_m$ の全射であり、Kummer 列 $0\to\mu_n\to\mathbf G_m\xrightarrow{\,n\,}\mathbf G_m\to0$ は完全である。
- $\mu_n$ は有限エタールな群スキームで表現され、エタール局所的に定数層 $\mathbf Z/n$ と同型である。したがって $\mu_n$ は可逆 $\mathbf Z/n$ 加群の層で、そのテンソル冪 $\mu_n^{\otimes i}$（$i<0$ では $\mu_n^{\otimes(-1)}=\mathcal Hom(\mu_n,\mathbf Z/n)$ の冪）もエタール局所的に $\mathbf Z/n$ と同型である。
- 標準的な作用により、Kummer 列は $(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層の完全列であり、$\mu_n^{\otimes i}$ は $(X_{\text{ét}},G)$ 上の可逆 $\mathbf Z/n$ 加群の層である。
段 1（全射性）．$U\to X$ をエタール、$a\in\mathbf G_m(U)$ とし、$U'=\operatorname{Spec}\mathcal O_U[T]/(T^n-a)$ とおく（$U$ が affine でなければ affine 開被覆の上で同じ構成を貼る）。$P(T)=T^n-a$ の微分 $nT^{n-1}$ は、$n$ が可逆で $T^n=a$ が可逆なので $\mathcal O_{U'}$ で可逆である。引用する事実 1 により $U'\to U$ はエタールかつ全射で、$U'$ の上で $a=T^n$ は $n$ 乗である。よって $n$ 乗写像は層の全射であり、その核は定義により $\mu_n$ である。
段 2（局所定数性）．$\mu_n$ は $\operatorname{Spec}\mathcal O_X[T]/(T^n-1)$ で表現され、段 1 と同じ理由でこれは有限エタールな群スキームである。引用する事実 1 により $\mu_n$ は局所定数層で、幾何的な点 $\operatorname{Spec}\Omega\to X$（$\Omega$ は代数閉体）での茎は $\mu_n(\Omega)$ である。$n$ は $\Omega$ で可逆なので $T^n-1$ は重根をもたず、$\mu_n(\Omega)$ は位数 $n$ の群であり、体の乗法群の有限部分群として巡回群である。よって $\mu_n$ はエタール局所的に $\mathbf Z/n$ と同型である。局所的に $\mathbf Z/n$ と同型な層どうしのテンソル積と $\mathcal Hom(-,\mathbf Z/n)$ はまた局所的に $\mathbf Z/n$ と同型である。
段 3（作用群つき）．$n$ 乗写像と包含 $\mu_n\to\mathbf G_m$ は引き戻しとの標準同型 $g^*\mathbf G_m\cong\mathbf G_m$ と可換なので、$\mathcal C$ の射である。$\mathcal C$ の列の完全性は核と像が $\mathcal T$ で計算されること（上の補題の 1）から $\omega$ で確かめればよく、段 1 に帰する。テンソル冪にも作用が誘導される。
原論文は小節 1.2 の括弧書きで、エタール位相を使うのはまさにこの全射性を得るためだと注意する（印字 p. 233）。Zariski 位相ではこの全射性が破れ、また $n$ が許容されないと $\mu_n$ が局所定数にならないことを、例と反例の節で確かめる。
可逆層の類と第一 Chern 類
- 可逆層 $\mathbb L$ に $\mathbf G_m$ トルソー $\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ を対応させる写像は、群の同型 $H^1(X,\mathcal O_X^*)\xrightarrow{\sim}H^1(X_{\text{ét}},\mathbf G_m)$ を与える（原論文 (1.2)）。
- $G$ 線形化された可逆層 $\mathbb L$ について、$\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ は線形化から定まる作用により $(X_{\text{ét}},G)$ の $\mathbf G_m$ トルソーであり、$G$ 線形化された可逆層の同型類の群（積はテンソル積）から $H^1(X,G;\mathbf G_m)$ への写像 $\mathbb L\mapsto cl(\mathbb L)$ は群の同型である。$G$ を忘れる写像はこれを 1 の同型に移す。
- $n$ を許容される整数とし、$c_1(\mathbb L):=\partial\,cl(\mathbb L)\in H^2(X,G;\mu_n)$ とおく。$\partial$ は Kummer 列の余境界である。$c_1$ は同型類だけで決まり、$c_1(\mathbb L\otimes\mathbb M)=c_1(\mathbb L)+c_1(\mathbb M)$、$c_1(\mathbb L^{-1})=-c_1(\mathbb L)$ を満たし、作用群つきスキームの射による逆像と両立する。
段 1（作用のない場合）．引用する事実 4 により、両辺はそれぞれ Zariski 位相の $\mathcal O_X^*$ トルソーとエタール位相の $\mathbf G_m$ トルソーの同型類であり、和は縮約積に当たる。可逆層 $\mathbb L$ について $\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ の縮約積はテンソル積に対応するので、写像は準同型である。引用する事実 3 により、エタールの $\mathbf G_m$ トルソーはすべて可逆層から来て、可逆層の同型はトルソーの同型と一対一に対応するので、写像は全単射である。
段 2（作用つきのトルソー）．$T=\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ の上に、$g^*T=\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,g^*\mathbb L)\xrightarrow{\theta_g\circ-}\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)=T$ で作用を入れる。$\mathbf G_m$ の $T$ への作用はこれと両立するので $\mathcal C$ の射である。$T$ が $\mathcal C$ の中で局所的に切断をもつことを示す。エタール被覆 $U\to X$ で $T(U)\neq\emptyset$ となるものをとり、$V=\operatorname{Ind}(h_U)$ とおくと、$\omega V$ は $h_U$ を直和因子に含むので $V\to1$ は $\mathcal C$ の全射で（全射性は $\omega$ で確かめてよい）、上の補題の 2 の随伴により $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(V,T)=T(U)\neq\emptyset$ である。自由かつ推移的な作用であることは $\omega$ で確かめればよい。よって $T$ は $\mathcal C$ の $\mathbf G_m$ トルソーである。
段 3（全単射）．逆に $\mathcal C$ の $\mathbf G_m$ トルソー $T$ について、$\omega$ は有限極限と全射を保つので $\omega T$ は $X_{\text{ét}}$ の $\mathbf G_m$ トルソーで、引用する事実 3 により $\omega T\cong\operatorname{Isom}(\mathcal O_X,\mathbb L)$ となる可逆層 $\mathbb L$ が同型を除いて一意にある。引用する事実 3 の関手が充満忠実で引き戻しと可換なことから、$T$ の作用 $g^*\omega T\to\omega T$ は $\mathbb L$ の線形化 $g^*\mathbb L\to\mathbb L$ にただ一つの仕方で対応し、条件 $\theta_{gh}=\theta_h\circ h^*\theta_g$ も対応する。よって $G$ 線形化された可逆層の圏と $\mathcal C$ の $\mathbf G_m$ トルソーの圏は同値である。上の定理（作用群つきのエタール層はトポスをなす）により $\mathcal C$ の大域切断は $\Gamma^G$ なので、引用する事実 4 をトポス $\mathcal C$ に当てると、同型類は $H^1(X,G;\mathbf G_m)$ と一対一に対応し、テンソル積は和に当たる。$G$ を忘れると $T$ は $\omega T$ に移るので、段 1 の写像と両立する。
段 4（第一 Chern 類）．上の定理（Kummer 列の完全性と 1 の冪根の層）の 3 により Kummer 列は $\mathcal C$ の完全列で、その余境界 $\partial\colon H^1(X,G;\mathbf G_m)\to H^2(X,G;\mu_n)$ は準同型である。段 3 と合わせて加法性を得る。作用群つきスキームの射 $(h,\gamma)$ による逆像は完全で、Kummer 列を Kummer 列に移すので、δ 関手の普遍性により混合コホモロジーの準同型を誘導して余境界と可換であり、$cl(h^*\mathbb L)=h^*cl(\mathbb L)$ と合わせて $c_1(h^*\mathbb L)=h^*c_1(\mathbb L)$ を得る。
原論文 (1.3) は、作用のない場合にこの $c_1$ を可逆層の第一 Chern 類の定義とし、2.2 の (2.5)(2.6)（印字 p. 246）は、射影束の上の $\mathcal O(1)$ について作用群つきの同じ構成を使う。本書は、次頁以降でもこの $c_1$ を唯一の出発点とし、高次の Chern 類はそれと射影束公式から作る。
原論文の §1 は、$X$ を一般の局所環付きトポスとして、その「エタール景」が定義されていると仮定して書かれている（印字 pp. 232–233）。原典の脚注はその構成を後の文献 Hak72 に送る。本頁の主結果 1・2 の証明はスキームの構造（$T^n-a$ の定めるエタール被覆、有限エタールな群スキーム、Hilbert 90）を使っており、一般の局所環付きトポスには及ばない。一般の場合の状態は本書『2-2 射影束公式』で射影束公式とあわせて記録する。
本頁の枠組みはこれで揃った。混合コホモロジーは作用を忘れて局所的に計算でき、1 の冪根の層は局所的に定数で、可逆層にはその混合コホモロジーの中で第一 Chern 類が定まる。高次の Chern 類には射影束の混合コホモロジーの構造が要り、それが次頁の主題である。
例と反例
まず、スペクトル系列が一つの行や列に潰れる二つの極端な場合を見る。
$G=\{e\}$ なら $(X_{\text{ét}},G)=X_{\text{ét}}$ で、$H^i(X,\{e\};F)=H^i(X_{\text{ét}},F)$ である。スペクトル系列は $p=0$ の列だけになる。$G$ が $X$ に自明に作用し、$F$ の作用も自明（すべての $\theta_g$ が恒等写像）なら、$G$ の $H^q(X_{\text{ét}},F)$ への作用は $s\mapsto\theta_g(g^*s)=s$ で自明であり、$E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(X_{\text{ét}},F))$ は自明な作用の群コホモロジーである。
$k$ を分離閉体、$X=\operatorname{Spec}k$ とし、$G$ は $X$ に任意に作用する（$k$ の自己同型を通して非自明に作用してよい）とする。引用する事実 2 により $F\mapsto M:=F(\operatorname{Spec}k)$ は $X_{\text{ét}}$ の層と集合の同値で、$\theta_g$ は $M$ への $G$ の作用を与えるので、$(X_{\text{ét}},G)$ は $G$ 集合のトポス（本書『1-2 序論の構想と群のトポス』）と同値になる。正の次数のエタールコホモロジーは消えるので、スペクトル系列は $q=0$ の行に潰れ、
$$H^i(\operatorname{Spec}k,G;F)\cong H^i(G,F(\operatorname{Spec}k))$$
である（上の注意「スペクトル系列の端と忘却写像」の後者の端）。とくに $\mu_n$ については $H^i(\operatorname{Spec}k,G;\mu_n^{\otimes j})=H^i(G,\mu_n(k)^{\otimes j})$ で、$G$ は $\mu_n(k)$ に $k$ への作用を通して働く。原論文の序論が群コホモロジー $H^{2i}(G,\mu_n(k)^{\otimes i})$ に値をとる類を構想したのは、この場合にあたる。
分離閉でない体の上では、体の Galois コホモロジーが $q>0$ の行に現れる。作用が自明な場合に、低い次数で二つの成分を具体的に取り出してみる。
$k$ を任意の体、$X=\operatorname{Spec}k$ とし、$G$ は $X$ に自明に作用するとする。$G$ 線形化された可逆層は $G$ の 1 次元表現で、指標 $\chi\colon G\to k^*$ で与えられる（$L_\chi$ と書く）。スペクトル系列の低次の完全列
$$0\to E_2^{1,0}\to H^1(X,G;\mathbf G_m)\to E_2^{0,1}\to E_2^{2,0}$$
で $E_2^{0,1}=H^1(\operatorname{Spec}k_{\text{ét}},\mathbf G_m)^G=0$（引用する事実 3）なので、$H^1(X,G;\mathbf G_m)\cong H^1(G,k^*)=\operatorname{Hom}(G,k^*)$ である（作用は自明）。上の定理（可逆層の類のエタール表示）の 2 により、この同型は $L_\chi$ の類を $\chi$ に（トルソーとコサイクルの対応の約束によっては $\chi^{-1}$ に）移す。実際、$\operatorname{Isom}(k,L_\chi)$ は $k^*$ に $g$ が $\chi(g)$ 倍で働くトルソーである。よって $c_1(L_\chi)=\pm\partial(\chi)\in H^2(\operatorname{Spec}k,G;\mu_n)$ であり、符号は $k$ と $\chi$ によらない約束だけで決まる。$k$ が分離閉なら、前の例により右辺は $H^2(G,\mu_n(k))$ で、これは原論文 0.3 の mod $n$ の第一 Chern 類の形である。
群が無限巡回群なら、スペクトル系列は二つの列で終わり、混合コホモロジーは直和に分かれる。
$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k$、$G=\mathbf Z=\langle t\rangle$ が $X$ に自明に作用するとし、$F$ を $\theta_t=\mathrm{id}$ となる $(X_{\text{ét}},G)$ 上の可換群の層とする。このとき $F$ について自然で、$F$ の（同じ条件を満たす層の）短完全列の余境界と両立する分解
$$H^m(\operatorname{Spec}k,\mathbf Z;F)\cong H^m(k,F)\oplus H^{m-1}(k,F)$$
がある。証明を書く。$\omega F$ の $X_{\text{ét}}$ での単射的分解 $J^\bullet$ をとり、各 $J^m$ に自明な作用を入れたものを $\operatorname{triv}(J^m)$ とすると、$F\to\operatorname{triv}(J^\bullet)$ は $\mathcal C$ での分解である（完全性は $\omega$ で確かめる）。$\omega\operatorname{triv}(J^m)=J^m$ は単射的なので、定理（混合コホモロジーのスペクトル系列）の証明の $\Phi$ について $R^q\Phi(\operatorname{triv}J^m)=H^q(k,J^m)=0$（$q>0$）であり、$R\Phi(F)$ は複体 $K=\Gamma(k,J^\bullet)$ で表され、$t$ は $K$ の各項に恒等的に働く。引用する事実 7 の自由分解により、$R\Gamma(\mathbf Z,K)$ は写像錐 $\operatorname{cone}(K\xrightarrow{t-1}K)[-1]$ で、$t-1=0$ なので $K\oplus K[-1]$ である。そのコホモロジーが右辺で、この同一視は $K$ について関手的なので余境界と両立する。
$F=\mathbf G_m$ に当てると $H^1(\operatorname{Spec}k,\mathbf Z;\mathbf G_m)\cong H^1(k,\mathbf G_m)\oplus H^0(k,\mathbf G_m)=0\oplus k^*$ で、前の例の $\operatorname{Hom}(\mathbf Z,k^*)=k^*$ と一致する。Kummer 列の余境界は分解と両立するので、指標 $\chi(t)=a$ の $L_\chi$ について $c_1(L_\chi)$ は $H^2(k,\mu_n)\oplus H^1(k,\mu_n)$ の成分 $(0,\pm\kappa(a))$ をもつ。$\kappa(a)$ は $a$ の $H^1(k,\mu_n)$ での Kummer 類である。$k=\mathbf Q$、$a=2$ のとき、この類から $\ell$ 進の類が捩れでない例が得られることを本書『6-2 指標の第一 Chern 類と基礎体』で扱う。
次の二つの反例は、主結果 1 の二つの仮定、エタール位相と $n$ の許容性が、どちらも外せないことを示す。
外す条件は、位相としてエタール位相をとることである。$X=\operatorname{Spec}\mathbf Q$、$n=2$ とし、Zariski 位相で考える。$X$ の底空間は一点なので Zariski 位相の層はアーベル群そのもので、$\mathbf G_m$ は $\mathbf Q^*$、2 乗写像 $\mathbf Q^*\to\mathbf Q^*$ は $2$ を像に含まないので全射でない。Zariski 位相では被覆で細かくする余地がないので、Kummer 列は層の列としても右で完全でない。一方エタール位相では、主結果 1 の長完全列と Hilbert 90（引用する事実 3。$H^1(\operatorname{Spec}\mathbf Q_{\text{ét}},\mathbf G_m)=0$）から
$$H^1(\operatorname{Spec}\mathbf Q_{\text{ét}},\mu_2)\cong\mathbf Q^*/\mathbf Q^{*2}$$
であり、これは無限群である。Zariski 位相の $H^1(\operatorname{Spec}\mathbf Q,\mu_2)$ は一点の空間の高次コホモロジーなので $0$ である。係数を 1 の冪根にする理論が体の算術を見るには、エタール位相が要る。
外す条件は、$n$ が許容されること（$n\cdot1_X$ の可逆性）である。$p$ を素数、$K=\mathbf F_p(t)$、$X=\operatorname{Spec}K$、$n=p$ とする。
(a) $\mu_p=0$ である。実際、$X$ 上のエタールな affine スキームは有限次分離拡大の積のスペクトルで（引用する事実 2）、標数 $p$ の体 $L$ で $x^p=1$ なら $(x-1)^p=0$ なので $x=1$。よって $\mu_p$ は $\mathbf Z/p$ と局所的に同型でない。
(b) $p$ 乗写像 $\mathbf G_m\to\mathbf G_m$ は全射でない。全射なら、$t\in\mathbf G_m(X)$ はあるエタール被覆の上で $p$ 乗になり、ある有限次分離拡大 $L/K$ と $s\in L$ で $s^p=t$ となる。$t$ は $K$ で $p$ 乗でないので $K(s)/K$ は次数 $p$ の純非分離拡大であり、分離拡大 $L$ の部分拡大であることに反する。
こうして Kummer 列は $0\to0\to\mathbf G_m\xrightarrow{p}\mathbf G_m\to0$ となり右で完全でない。主結果 1 の 1 は (b) で、2 は (a) で破れ、したがって 3 も成り立たない。標数 $p$ の $p$ 部分を扱うには別の位相や別の係数が要り、原論文も $n$ を許容されるものに限る（印字 p. 233、p. 245）。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果と用語の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 同変エタールコホモロジー：本頁の混合コホモロジー $H^i(X,G;F)$ は、後代の語では同変エタールコホモロジー、あるいは商スタック $[X/G]$ のエタールコホモロジーと呼ばれるものの、離散群の場合にあたる。商スタックの側の文献は本書は確かめていない。
- 局所環付きトポスのエタール景（Hakim Hak72、1972 年）：原論文の §1 が前提とし「まだ書かれていない」とした理論の一部は、原典の脚注が示すとおり、局所環付きトポスと相対スキームの理論として公刊された。原論文の §1 の一般の場合がそれでどこまで閉じるかは、本書は確かめていない。
- トポスとエタールコホモロジーの基礎（SGA4、1972–73 年）：Giraud の判定、トルソーと $H^1$、固有底変換定理を含む。原論文が 1966 年に引いたのはその講義録（1963–64 年）である。
- 標数 $p$ の $p$ 部分：上の反例のとおりエタール位相の Kummer 列は $p$ 部分を捉えない。$p$ 部分の Chern 類は結晶コホモロジーの中で作られた（Berthelot–Illusie BI70、1970 年）。参考書『結晶コホモロジーの構想』が原論文 6.8 の p 進 Chern 類の予想とその後を扱う。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 1.1〜1.2 と 2.1〜2.2 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機：§1 の位置づけ（局所環付きトポスの理論は未執筆、§1 は動機） | 小節 1.1 | 231–232 |
| 定理（Kummer 列の完全性と 1 の冪根の層） | 小節 1.2、(1.1)（NB：エタール位相を使う理由） | 232–233 |
| 定理（可逆層の類のエタール表示）の 1・3 | (1.2)(1.3) | 233 |
| 注意（原論文の §1 の一般の局所環付きトポスの場合） | 小節 1.2 冒頭と脚注（構成は [22] に送られる） | 232–233 |
| 定義（作用群つきのエタール層）、定理（作用群つきのエタール層はトポスをなす） | 小節 2.1（Giraud の判定から「容易に」） | 244 |
| 定義（混合エタールコホモロジー） | (2.1) | 244 |
| 補題（作用を忘れる関手の随伴と単射的対象）、定理（混合コホモロジーのスペクトル系列）、注意（スペクトル系列の端と忘却写像） | (2.2) とその直後（詳細は読者に任される） | 244–245 |
| 定義（作用つき局所自由加群と線形化された可逆層）、定義（作用群つきスキームの射と順像・逆像） | 小節 2.2 冒頭、2.3 (i) | 245、247 |
| 定理（可逆層の類のエタール表示）の 2 | (2.6) とその直後（$\mathcal O_P(1)$ の作用つきの類） | 246 |
| 補題の 5（順像は作用を忘れて計算できる） | 小節 2.2（局所化は作用を忘れることを含む） | 246 |
原論文は小節 2.1 の脚注（印字 p. 244）で、以後「schéma」を旧来の「préschéma」の意味で使い、分離的なものを「schéma séparé」と呼ぶと断る。本頁のスキームもこの意味で、分離性は仮定していない。また小節 2.2 の脚注（印字 p. 246）以後、原論文は混合コホモロジーの記号から添字「ét」を省く。
参考文献
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