3-1 位相空間の場合の比較
群が作用する位相空間の上の複素ベクトル束には、指数列と射影束から整係数の Chern 類が、Kummer 列と同じ射影束から 1 の冪根を係数とする類が定まる。本頁は原論文の小節 1.8 に沿って二つの類を作り、後者が前者の係数を法 $n$ で還元したものに等しいことを、二つの完全列を結ぶ図式の余境界の自然性で証明する。類はどちらも通常の射影束の上で作り、原論文が区別する「相対スキームとしての射影束」で作った類との一致は未完結として分けて記録する。
この頁で示すこと
$Y$ は Hausdorff かつパラコンパクトな位相空間（原論文の $X_0$）、$G$ は $Y$ の同相写像からなる群（離散群で、有限性を仮定しない。作用は忠実でなくてよく、一点に任意の群が作用する場合を含む）、$\mathcal C$ は $Y$ 上の複素数値連続関数の層、$\mathbb E$ は $G$ の作用つきの階数 $r\ge1$ の局所自由 $\mathcal C$ 加群（$G$ 同変な複素ベクトル束）とする。$f\colon P(\mathbb E)\to Y$ は通常の射影束（ファイバーの直線の空間、$G$ 同変な $\mathbf{CP}^{r-1}$ 束）で、$\varphi\colon\mathbf Z/n\to\mu_n$ は $\varphi(1)=\exp(2\pi i/n)$ で定まる同型である。Hausdorff 性とパラコンパクト性は本書が足した仮定で、主結果 1〜3 のすべて、すなわち原論文 1.8 の三つの主張全体にかかる。
本頁の主結果は次の四つである。
- 作用群つき位相空間での整係数 Chern 類（原論文 (1.28)(1.29)、印字 pp. 241–242）：$Y$ が Hausdorff かつパラコンパクトなら、指数列は $(Y,G)$ の上で完全で、通常の射影束の基本類 $\xi_{\mathbf Z}=\delta_{\exp}cl(\mathcal O(1))$ の冪が射影束公式を与え、$\sum_if^*c_i(\mathbb E)\xi_{\mathbf Z}^{r-i}=0$ により整係数の類 $c_i(\mathbb E)\in H^{2i}(Y,G;\mathbf Z)$ が一意に定まる。$G$ が単位群なら通常の Chern 類で、一般には Borel 構成の上の付随束の Chern 類に一致する（どちらも約束だけで決まる符号 $\varepsilon_2^i$ を除いて）。［条件付き：Leray–Hirsch（ファイバー束の順像の茎と射影空間のコホモロジー）と Borel 構成の比較を引用］
- 位相的な場合の有限係数の類（原論文 (1.30)〜(1.32)、印字 p. 242。通常の射影束で作った形）：$Y$ が Hausdorff かつパラコンパクトなら、Kummer 列はエタール局所化なしに $(Y,G)$ の上で完全で、通常の射影束の $\xi^{(n)}=\partial\,cl(\mathcal O(1))$ により類 $c_i^{(n)}(\mathbb E)\in H^{2i}(Y,G;\mu_n^{\otimes i})$ と、それを $\varphi$ で移した $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0\in H^{2i}(Y,G;\mathbf Z/n)$ が定まる。［条件付き：Leray–Hirsch を引用］
- 算術的類は超越的類の還元（原論文 1.8 の下線の命題と (1.35)、印字 pp. 243–244。通常の射影束で作った形）：$Y$ が Hausdorff かつパラコンパクトなら、すべての $n\ge1$ で $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0=c_i(\mathbb E)\bmod n$ であり、$\varphi$ で係数を同一視した $\ell$ 進の類は $c_i(\mathbb E)$ の $\varprojlim_\nu H^{2i}(Y,G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ への像である。［条件付き：主結果 1 の射影束公式の部分と主結果 2 による（Leray–Hirsch を引用）］
- 原論文の (1.30) の類との一致（原論文 (1.30) の直前と下線の命題の前、印字 pp. 242–243）：原論文の (1.30) は §1 の構成、すなわち相対スキームとしての射影束（作用群つき）のエタールトポスで作った類である。それが主結果 2 の通常の射影束で作った類に一致すること。［未完結：相対スキームとしての射影束のエタールトポスが原論文に構成されていない］
主結果 3 の核心は、可逆層について指数列と Kummer 列を結ぶ図式 (1.35) の余境界の自然性で、これは位相空間に何の仮定も置かずに頁内で閉じる。一般の階数へ移るには射影束公式の一意性が要り、その入力であるファイバー束の順像の計算を Leray–Hirsch として引く。Borel 構成との一致は主結果 1 の最後の部分だけに使い、主結果 2・3 はそれに依らない。
背景と動機
原論文 Gro68d は §1 で、局所環付きトポス $X$ の上の局所自由加群に、1 の冪根の捩れ $\mu_n^{\otimes i}$ を係数とする Chern 類を、Kummer 列と射影束から作る道筋を素描した（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』『2-2 射影束公式』）。§1 の最後の小節 1.8（印字 pp. 240–244）は、この算術的な類を、複素数体の位相を使って作る古典的な整係数のChern類と比べる。原論文の序論が示したとおり（本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』）、体の自己同型で不変な整係数の理論は作れない。したがって比べられるのは、整係数の類を法 $n$ で還元したものと、算術的な類を $\varphi$ で $\mathbf Z/n$ 係数に移したものである。
原論文はまず、指数級数が収束するような環付きトポスなら指数列を Kummer 列の代わりに使って整係数の類が得られるだろうと期待し（印字 p. 240）、位相空間に群が作用する場合には条件が「明らかに」満たされるとして、連続関数の層と通常の射影束から作用群つきの整係数の類 (1.29) を得る。Borel 構成との両立の確認は「容易」として読者に任せる（印字 pp. 241–242）。
比較そのものは短い。原論文は、二つの類が同じ形の関係式で定義されるので可逆層の場合に帰着し、そこでは図式 (1.35) が長完全列の射を与えることから「直ちに」従う、と書く（印字 pp. 243–244）。その際、二つの類の定義の違いを二点挙げる。係数が $\mathbf Z$ か $\mathbf Z/n$ かということと、超越的な類は通常の射影束の上で作り、相対スキームとしての射影束の上では作らないということである。本頁は前者を図式 (1.35) で閉じ、後者、すなわち二種類の射影束で作った算術的な類の一致を、原論文に構成が無い段として分けて記録する。
この比較は、スキームの場合の比較（本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』）の位相的な半分にあたる。
定義と準備
まず、作用群つきの層と混合コホモロジーを位相空間の上で定める。形は本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』のエタール層の場合と同じで、エタール景を位相空間の開集合の景に替えるだけである。
$Y$ を位相空間、$G$ を $Y$ の同相写像からなる群とし、$g\in G$ を同相写像 $g\colon Y\to Y$ と同一視して積を合成 $gh=g\circ h$ とする（より一般に、群 $G$ が準同型 $G\to\operatorname{Homeo}(Y)$ で作用する場合も、$g$ の定める同相写像を $g$ と書いて以下はそのまま通る。作用は忠実でなくてよい）。$Y$ 上の層 $F$ に対し、$G$ の作用とは同型 $\theta_g\colon g^*F\xrightarrow{\sim}F$ の族で、$\theta_e=\mathrm{id}$ かつ $\theta_{gh}=\theta_h\circ h^*(\theta_g)$ を満たすものをいう。組 $(F,\theta)$ と、作用と両立する層の射のなす圏を $(Y,G)$ と書き、作用を忘れる関手を $\omega$ と書く。$(Y,G)$ 上の可換群の層 $F$ に対し $\Gamma^G(F):=\Gamma(Y,\omega F)^G$ とおき、その右導来関手 $H^i(Y,G;F):=R^i\Gamma^G(F)$ を混合コホモロジーという（原論文 (1.28) は $F=\mathbf Z$ の場合）。定数層（$\mathbf Z$、$\mathbf Z/n$ など）と連続関数の層 $\mathcal C$、その単数の層 $\mathcal C^*$ には、引き戻しとの標準同型を $\theta_g$ として作用を入れる。
本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の補題「作用を忘れる関手の随伴と単射的対象」、定理「作用群つきのエタール層はトポスをなす」、定理「混合コホモロジーのスペクトル系列」の証明が使ったのは、各 $g^*$ が層の圏の自己同値であること、層の圏がトポスであること、群コホモロジーの一般論だけなので、$X_{\text{ét}}$ を $Y$ の層のトポスに替えてそのまま成り立つ。以下、この三つを位相空間の場合にも同じ名前で引く。とくに、完全性や同型は作用を忘れて確かめてよく、群を動かさない射の高次順像は作用を忘れて計算できる。
次に、原論文が「通常の射影束」と呼ぶものを作用つきで定める。以下では、位相的な直線束も階数 1 の局所自由 $\mathcal C$ 加群として扱う。
$(Y,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群 $\mathbb E$ とは、局所自由 $\mathcal C$ 加群 $\mathbb E$ と $\mathcal C$ 加群の同型 $\theta_g\colon g^*\mathbb E\xrightarrow{\sim}\mathbb E$ の族で、定義（作用群つき位相空間の層と混合コホモロジー）と同じ条件を満たすものをいう。$\mathbb E$ は連続な変換関数で貼り合わされた複素ベクトル束 $V\to Y$ の切断の層で、$\theta$ は $G$ の作用を $V$ への作用（各 $g$ の上のファイバーごとに線形な同相写像）として与える。ファイバー $V_y$ の複素直線の全体を $P(\mathbb E)$ とし、局所自明化から位相を入れると、$f\colon P(\mathbb E)\to Y$ はファイバー $\mathbf{CP}^{r-1}$ の局所自明束であり、$G$ は $V$ への作用を通して $P(\mathbb E)$ に作用して $f$ は $G$ 同変である。これを通常の射影束という。$P(\mathbb E)$ の上には標準的な直線部分束 $\mathcal O(-1)\subset f^*\mathbb E$（点 $\ell\subset V_y$ の上のファイバーが $\ell$ そのもの）があり、$G$ で安定である。その双対を $\mathcal O(1)$ と書く。$\mathcal O(\pm1)$ は $(P(\mathbb E),G)$ 上の階数 1 の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群である。
この $P(\mathbb E)$ は本書の射影束の規約と同じく直線の空間で、スキームの $P(\mathbb E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(\mathbb E^\vee)$ の位相的な類似である。
可逆層の類は本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』と同じく、トルソーの類として定める。
$(Y,G)$ 上の階数 1 の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群 $\mathbb L$ について、$\operatorname{Isom}(\mathcal C,\mathbb L)$ は $\theta$ から定まる作用により $(Y,G)$ の $\mathcal C^*$ トルソーである。その類を $cl(\mathbb L)\in H^1(Y,G;\mathcal C^*)$ と書く。指数列 $0\to\mathbf Z\to\mathcal C\xrightarrow{e}\mathcal C^*\to0$（$e(u)=\exp(2\pi iu)$）の余境界を $\delta_{\exp}$、Kummer完全列 $0\to\mu_n\to\mathcal C^*\xrightarrow{\,n\,}\mathcal C^*\to0$ の余境界を $\partial$ と書く。ここで $\mu_n\subset\mathcal C^*$ は値が 1 の $n$ 乗根である連続関数の層である。通常の射影束 $f\colon P=P(\mathbb E)\to Y$ について
$$\xi_{\mathbf Z}:=\delta_{\exp}cl(\mathcal O_P(1))\in H^2(P,G;\mathbf Z),\qquad \xi^{(n)}:=\partial\,cl(\mathcal O_P(1))\in H^2(P,G;\mu_n)$$
とおき、$\xi_0:=(\varphi^{-1})_*\xi^{(n)}\in H^2(P,G;\mathbf Z/n)$ とする。$\delta_{\exp}$ の列は指数完全列とも呼ぶ。
$\mathcal C^*$ トルソー $T$ に $T\times^{\mathcal C^*}\mathcal C$ を対応させる逆があるので、この対応は定義から圏の同値である。作用つきでも、本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の定理「可逆層の類のエタール表示」の証明の段 2・3 で Hilbert 90 をこの同値に替えればそのまま通り、作用つき直線束の同型類の群は $H^1(Y,G;\mathcal C^*)$ と対応して、テンソル積は和に当たる。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に GodTAF58、Hir56、Gro58、GroT57、Bor53 で、該当箇所の番号と仮定の細部は本頁では確認していない。導来圏と cup 積の一般論は本書『2-2 射影束公式』の引用する事実 3 を使う（そこでは $\mathbf Z/n$ 加群の層で述べているが、整数係数の層でも同じ形で使う）。
- ファイバー束の順像の茎（GodTAF58 II 4.11 の型。本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「射影束のコホモロジーと Leray–Hirsch の定理」の (2) は定数層の場合で、ここではそれを一般の層で引く）：$Y$ を Hausdorff かつパラコンパクトな空間、$f\colon P\to Y$ をコンパクトな Hausdorff 空間をファイバーとする局所自明束、$H$ を $P$ 上の可換群の層とすると、制限写像が定める $(R^qf_*H)_y\to H^q(f^{-1}(y),H|_{f^{-1}(y)})$ はすべての $y\in Y$ で同型である。
- 複素射影空間のコホモロジー（Hir56 の型。同じ定理の (3)）：$h:=\delta_{\exp}cl(\mathcal O(1))\in H^2(\mathbf{CP}^{r-1},\mathbf Z)$ とすると、$H^*(\mathbf{CP}^{r-1},\mathbf Z)=\mathbf Z[h]/(h^r)$ である。任意のアーベル群 $M$ について、$q$ が奇数か $q>2(r-1)$ なら $H^q(\mathbf{CP}^{r-1},M)=0$ で、$0\le j\le r-1$ なら $a\mapsto a\cup h^j$ は同型 $M\to H^{2j}(\mathbf{CP}^{r-1},M)$ である（整係数のコホモロジーが有限型自由なので普遍係数による）。
- 位相的 Chern 類の射影束による特徴づけ（Hir56、Gro58 の型。本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「指数列と第一 Chern 類」の (2) と定理「射影束のコホモロジーと Leray–Hirsch の定理」の (4)）：約束だけで決まる普遍的な符号 $\varepsilon_2\in\{\pm1\}$ があって、パラコンパクトな Hausdorff 空間の上の複素直線束 $L$ の通常の第一 Chern 類は $\varepsilon_2\,\delta_{\exp}cl(L)$ である。位相空間 $B$ の上の階数 $r$ の複素ベクトル束 $V$ について、その通常の Chern 類（分類写像による普遍束の類の引き戻し）は $P(V)$ の上で $\sum_{i=0}^rc_i(V)\,c_1(\mathcal O_{P(V)}(1))^{r-i}=0$ を満たす。
- Borel 構成の比較（GroT57 第 V 章、Bor53 の型。本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「Borel 構成と作用群つき位相空間のコホモロジー」の (2)(3)）：$E_G\to B_G$ を普遍主束とし、$Y$ を Hausdorff かつパラコンパクトな空間として $Y_G:=(E_G\times Y)/G$ とおく。作用群つき空間の射について自然で cup 積と両立する同型 $H^*(Y,G;\mathbf Z)\cong H^*(Y_G,\mathbf Z)$ がある。$(Y,G)$ 上の作用つきベクトル束 $V$ に付随束 $V_G:=(E_G\times V)/G\to Y_G$ を対応させると、$P(V)_G=P(V_G)$、$\mathcal O_{P(V)}(1)_G=\mathcal O_{P(V_G)}(1)$ であり、作用つき直線束 $L$ の $\delta_{\exp}cl(L)$ はこの同型で $\varepsilon_2\,c_1(L_G)$ に移る。
これで道具が揃った。まず二つの完全列を作用群つきで確かめ、可逆層の場合の比較を閉じる。
主結果と証明
指数列と Kummer 列
エタールコホモロジーで Kummer 列の全射性のためにエタール位相が要ったのは、$n$ 乗根が Zariski 位相では局所的にとれないからだった（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』）。連続関数では対数が局所的にとれるので、その必要がない。
$Y$ を任意の位相空間、$G$ を $Y$ の同相写像からなる群、$n\ge1$ とする。
- 指数列 $0\to\mathbf Z\to\mathcal C\xrightarrow{e}\mathcal C^*\to0$ は $(Y,G)$ 上の可換群の層の完全列である。
- Kummer 列 $0\to\mu_n\to\mathcal C^*\xrightarrow{\,n\,}\mathcal C^*\to0$ は $(Y,G)$ 上の完全列で、$\mu_n$ は値 $\mu_n(\mathbf C)$ の定数層である。$\varphi\colon\mathbf Z/n\to\mu_n$ は $(Y,G)$ 上の層の同型で、そのテンソル冪 $\varphi^{\otimes i}\colon\mathbf Z/n\to\mu_n^{\otimes i}$ も同型である。
- $\alpha(u):=\exp(2\pi iu/n)$、$\beta(t):=\varphi(t\bmod n)$ とおくと、縦の射を $\beta,\alpha,\mathrm{id}$ とする図式
$$\begin{array}{ccccccccc}0&\to&\mathbf Z&\to&\mathcal C&\xrightarrow{e}&\mathcal C^*&\to&0\\&&\downarrow{\scriptstyle\beta}&&\downarrow{\scriptstyle\alpha}&&\|&&\\0&\to&\mu_n&\to&\mathcal C^*&\xrightarrow{n}&\mathcal C^*&\to&0\end{array}$$
は $(Y,G)$ 上の短完全列の射である（原論文 (1.35)）。
段 1（作用を忘れる）．列の各項と射は関数の値ごとに定まるので、$g^*$ との標準同型と可換であり、$(Y,G)$ の射である。完全性と同型であることは作用を忘れて確かめてよい（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の補題「作用を忘れる関手の随伴と単射的対象」の 1 を位相空間に当てたもの）。
段 2（対数の局所的な存在）．$U\subset Y$ を開集合、$s\in\mathcal C^*(U)$、$y\in U$ とする。$|s-s(y)|<|s(y)|$ となる点の集合 $W$ は $s$ の連続性から $y$ の開近傍である。$L(w):=\sum_{m\ge1}(-1)^{m-1}w^m/m$ は $|w|<1$ で連続で $\exp L(w)=1+w$ を満たすので、$\log s(y)$ を一つ選び $u:=\frac1{2\pi i}\bigl(\log s(y)+L(s/s(y)-1)\bigr)$ とおくと、$u\in\mathcal C(W)$ で $e(u)=s$ である。よって $e$ は層の全射で、$\alpha(u)^n=e(u)=s$ なので $n$ 乗写像も層の全射である。
段 3（核）．$e(u)=1$ なら $u$ は整数値の連続関数なので局所定数であり、$e$ の核は定数層 $\mathbf Z$ である。$s^n=1$ なら $s$ は離散集合 $\mu_n(\mathbf C)$ に値をとる連続関数なので局所定数であり、Kummer 列の核は定数層 $\mu_n(\mathbf C)$ である。定数層の作用は自明なので、$\varphi$ は作用と両立する層の同型で、テンソル冪も同型である。
段 4（図式）．$\alpha(u)^n=\exp(2\pi iu)=e(u)$ なので右の四角は可換である。$t\in\mathbf Z$ について $\alpha(t)=\exp(2\pi it/n)=\varphi(t\bmod n)=\beta(t)$ なので左の四角も可換である。
位相空間そのものの上で Kummer 列が使える。原論文が位相空間の場合に「$X_{\text{ét}}\to X$ はトポスの同値」と書く（印字 p. 242）のはこの事情を指すと読み、位相空間のエタール景は原論文で定義されていないので、同値そのものは判定しない。
図式 (1.35) から、可逆層の場合の比較は直ちに出る。
$Y$ を任意の位相空間、$G$ を $Y$ の同相写像からなる群、$\mathbb L$ を $(Y,G)$ 上の階数 1 の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群、$n\ge1$ とする。$H^2(Y,G;\mathbf Z/n)$ の中で
$$(\varphi^{-1})_*\,\partial\,cl(\mathbb L)=\delta_{\exp}cl(\mathbb L)\bmod n$$
である。右辺は係数の射 $\mathbf Z\to\mathbf Z/n$ による像である。
上の補題（指数列と Kummer 列の完全性）の 3 の図式は短完全列の射なので、余境界の自然性により、$H^1(Y,G;\mathcal C^*)$ の元 $c$ について $\partial(\mathrm{id}_*c)=\beta_*(\delta_{\exp}c)$ である。$\beta=\varphi\circ(\bmod n)$ なので $\beta_*=\varphi_*\circ(\bmod n)$ で、$c=cl(\mathbb L)$ として $(\varphi^{-1})_*$ を当てれば主張を得る。
この補題は位相空間に何の仮定も置かない。可逆層の場合の比較はこれで閉じた。高次の類へ移るには、両方の類を同じ関係式で定める射影束公式が要る。
通常の射影束の射影束公式
$Y$ を Hausdorff かつパラコンパクトな空間、$\mathbb E$ を $(Y,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群、$f\colon P\to Y$ をその通常の射影束、$F$ を $(Y,G)$ 上の可換群の層とする。
- $q$ が奇数か $q>2(r-1)$ なら $R^qf_*f^*F=0$ であり、$0\le j\le r-1$ なら、切断 $a$ に $f^*a\cup\xi_{\mathbf Z}^j$ を対応させる射 $\kappa_j\colon F\to R^{2j}f_*f^*F$ は $(Y,G)$ の層の同型である。ここで cup 積は $F\otimes\mathbf Z\to F$ についてとる。
- すべての整数 $i$ について、$(a_j)_j\mapsto\sum_{j=0}^{r-1}f^*(a_j)\cup\xi_{\mathbf Z}^j$ は同型 $\bigoplus_{j=0}^{r-1}H^{i-2j}(Y,G;F)\xrightarrow{\sim}H^i(P,G;f^*F)$ である。
- $F$ が $\mathbf Z/n$ 加群の層なら、2 の $\xi_{\mathbf Z}$ を $\xi_0$ に替えても同型である。さらに $\xi^{(n)}$ について、$(a_j)_j\mapsto\sum_jf^*(a_j)\cup(\xi^{(n)})^j$ は同型 $\bigoplus_{j=0}^{r-1}H^{i-2j}(Y,G;F\otimes\mu_n^{\otimes(-j)})\xrightarrow{\sim}H^i(P,G;f^*F)$ である。
段 1（作用を忘れる）．$f$ は群を動かさない作用群つき空間の射なので、本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の補題「作用を忘れる関手の随伴と単射的対象」の 5 を位相空間に当てて、$\omega R^qf_*f^*F=R^qf_*f^*(\omega F)$ であり、層が $0$ であることと射が同型であることは作用を忘れて確かめてよい。$\kappa_j$ は作用を忘れても同じ切断の対応で定まる。以下 $G$ を忘れる。
段 2（茎の計算）．$f$ はファイバー $\mathbf{CP}^{r-1}$ の局所自明束で、$Y$ は Hausdorff かつパラコンパクトなので、引用する事実 1 により $(R^qf_*f^*F)_y\cong H^q(P_y,f^*F|_{P_y})$ である（$P_y:=f^{-1}(y)$）。$f^*F$ の $P_y$ への制限は茎 $F_y$ を値とする定数層である。$V_y$ の基底を一つ選ぶと $P_y\cong\mathbf{CP}^{r-1}$ で、$\mathcal O_P(1)$ の制限は $\mathcal O(1)$ に移る。$cl$ と $\delta_{\exp}$ は引き戻しと可換なので、$\xi_{\mathbf Z}$ の $P_y$ への制限は引用する事実 2 の $h$ であり、$\xi_{\mathbf Z}^j$ の制限は $h^j$ である。
段 3（1 の証明）．引用する事実 2 により、$q$ が奇数か $q>2(r-1)$ なら茎は $0$ である。$0\le j\le r-1$ なら、$\kappa_j$ の茎は段 2 の同型の下で $a\mapsto a\cup h^j\colon F_y\to H^{2j}(\mathbf{CP}^{r-1},F_y)$ で（段 2 の同型は制限写像から来て、cup 積は引き戻しと可換）、引用する事実 2 により同型である。
段 4（2 の証明）．本書『2-2 射影束公式』の定理「導来圏での分解」と定理「射影束公式」の証明を、係数の捩れ $\mu_n^{\otimes(-j)}$ を外し、$\xi$ を $\xi_{\mathbf Z}$ に替えて繰り返す。すなわち $\xi_{\mathbf Z}^j$ との cup 積の随伴が定める射 $\bigoplus_{j=0}^{r-1}F[-2j]\to Rf_*f^*F$ は、1 によりすべてのコホモロジー層の上で同型を誘導するので導来圏の同型であり（本書『2-2 射影束公式』の引用する事実 3）、これに $R\Gamma(Y,G;-)$ を当てて $R\Gamma(P,G;-)=R\Gamma(Y,G;-)\circ Rf_*$ を使えば 2 を得る。
段 5（3 の証明）．上の補題（作用つき直線束の二つの類の比較）を $(P,G)$ と $\mathcal O_P(1)$ に当てると $\xi_0=\xi_{\mathbf Z}\bmod n$ である。$F$ が $\mathbf Z/n$ 加群の層なら、cup 積 $F\otimes\mathbf Z\to F$ は $F\otimes\mathbf Z\to F\otimes\mathbf Z/n\to F$ と分解するので、cup 積の係数についての自然性により $b\cup\xi_{\mathbf Z}^j=b\cup\xi_0^j$ である。よって 2 は $\xi_0$ でも成り立つ。$(\xi^{(n)})^j=(\varphi^{\otimes j})_*\xi_0^j$ であり、$F\otimes\mu_n^{\otimes(-j)}$ を $1\otimes(\varphi^{\otimes j})^{-1}$ で $F$ と同一視すれば、$(\xi^{(n)})^j$ との cup 積は $\xi_0^j$ との cup 積に移る。したがって後半も 2 に帰着する。
段 2 の二つの入力は、スキームの場合の固有底変換定理と射影空間のエタールコホモロジー（本書『2-2 射影束公式』）の位相的な対応物である。
整係数の類と有限係数の類
射影束公式が揃ったので、二種類の類を同じ形の関係式で定める。まず整係数の類である。
$Y$ を Hausdorff かつパラコンパクトな空間、$G$ を $Y$ の同相写像からなる群、$\mathbb E$ を $(Y,G)$ 上の階数 $r$ の作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群、$f\colon P\to Y$ をその通常の射影束とする。
- 指数列は $(Y,G)$ 上で完全である。
- $c_0(\mathbb E)=1$ と $\sum_{i=0}^rf^*c_i(\mathbb E)\cup\xi_{\mathbf Z}^{\,r-i}=0$ を満たす $c_i(\mathbb E)\in H^{2i}(Y,G;\mathbf Z)$（$1\le i\le r$）がただ一組ある。$i>r$ では $c_i(\mathbb E):=0$ とする（原論文 (1.29)）。
- 階数 1 なら $c_1(\mathbb L)=\delta_{\exp}cl(\mathbb L)$ である。作用群つき空間の射 $h\colon(Y',G')\to(Y,G)$（$Y'$ も Hausdorff かつパラコンパクト）について $c_i(h^*\mathbb E)=h^*c_i(\mathbb E)$ である。
- $G$ が単位群なら、$\mathbb E$ の定めるベクトル束 $V$ の通常の Chern 類について $c_i(\mathbb E)=\varepsilon_2^i\,c_i(V)$ である（$\varepsilon_2$ は引用する事実 3 の符号）。
- 一般に、Borel 構成の比較の同型 $H^*(Y,G;\mathbf Z)\cong H^*(Y_G,\mathbf Z)$ により、$c_i(\mathbb E)$ は付随束 $V_G\to Y_G$ の通常の Chern 類の $\varepsilon_2^i$ 倍に移る。
段 1（完全性と定義）．1 は上の補題（指数列と Kummer 列の完全性）の 1 である。上の命題（位相的な射影束公式）の 2 を $F=\mathbf Z$、$i=2r$ に当てると、$\xi_{\mathbf Z}^r=\sum_{j=0}^{r-1}f^*(a_j)\cup\xi_{\mathbf Z}^j$ となる $a_j\in H^{2r-2j}(Y,G;\mathbf Z)$ がただ一組ある。$c_{r-j}(\mathbb E):=-a_j$ とおけば 2 の関係式になり、一意性も同じ命題による。
段 2（階数 1 と関手性）．$r=1$ なら $P=Y$、$f=\mathrm{id}$、$\mathcal O(-1)=\mathbb L$、$\mathcal O(1)=\mathbb L^\vee$ で、$\xi_{\mathbf Z}=\delta_{\exp}cl(\mathbb L^\vee)=-\delta_{\exp}cl(\mathbb L)$ である（$cl$ はテンソル積を和に移す）。関係式 $\xi_{\mathbf Z}+c_1(\mathbb L)=0$ から $c_1(\mathbb L)=\delta_{\exp}cl(\mathbb L)$ を得る。$h$ について、$P(h^*\mathbb E)=P(\mathbb E)\times_YY'$ で $\mathcal O(1)$ は引き戻しに移り、$cl$、$\delta_{\exp}$、cup 積は引き戻しと可換なので、$\mathbb E$ の関係式の引き戻しは $h^*\mathbb E$ の関係式になる。一意性から $c_i(h^*\mathbb E)=h^*c_i(\mathbb E)$ である。
段 3（符号の処理）．$\varepsilon:=\varepsilon_2$ とし、類 $b_i$ が $\sum_ib_i\,(\varepsilon\xi_{\mathbf Z})^{r-i}=0$ を満たすとする。$\varepsilon^2=1$ なので、両辺に $\varepsilon^r$ を掛けると $\sum_i\varepsilon^ib_i\,\xi_{\mathbf Z}^{r-i}=0$ で（$\varepsilon^{2r-i}=\varepsilon^i$）、2 の一意性から $\varepsilon^ib_i=c_i(\mathbb E)$ である。
段 4（作用のない場合）．$G$ が単位群のとき、$P(V)$ はパラコンパクトな空間への局所自明な束でファイバーがコンパクトなので Hausdorff かつパラコンパクトであり、引用する事実 3 により $c_1(\mathcal O(1))=\varepsilon\xi_{\mathbf Z}$、$\sum_ic_i(V)(\varepsilon\xi_{\mathbf Z})^{r-i}=0$ である。段 3 により $c_i(\mathbb E)=\varepsilon^ic_i(V)$ である。
段 5（Borel 構成）．$P$ は段 4 と同じ理由で Hausdorff かつパラコンパクトである。引用する事実 4 のBorel構成の同型を $Y$ と $P$ について $\Psi_Y$、$\Psi_P$ と書く。自然性から $\Psi_P\circ f^*=f_G^*\circ\Psi_Y$（$f_G\colon P(V_G)\to Y_G$）であり、$\Psi_P(\xi_{\mathbf Z})=\varepsilon\,c_1(\mathcal O_{P(V_G)}(1))$ である。引用する事実 3 を $Y_G$ 上の $V_G$ に当てた関係式に $\Psi_P^{-1}$ を当てると（$\Psi$ は cup 積と両立する）、$b_i:=\Psi_Y^{-1}(c_i(V_G))$ について $\sum_if^*b_i\cup(\varepsilon\xi_{\mathbf Z})^{r-i}=0$ を得る。段 3 により $\Psi_Y^{-1}(c_i(V_G))=\varepsilon^ic_i(\mathbb E)$ である。
段 5 の比較は、原論文が「容易」として読者に任せた両立の確認（印字 p. 242）にあたる。原論文は符号を書かない。約束を揃えれば $\varepsilon_2=1$ にできるが、本書は本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』と同じく値を定めない。本書はその入力の Borel 構成の比較を引用したので、主結果 1 は条件付きである。一方、Borel 構成を使うのは 5 だけで、以下の主結果 2・3 は 1〜3 の部分にしか依らない。
次に、同じ通常の射影束の上で Kummer 列から有限係数の類を作る。
上の定理（作用群つき位相空間での整係数 Chern 類）と同じ状況で、$n\ge1$ とする。
- Kummer 列は $(Y,G)$ 上で、エタール局所化なしに完全であり、$\varphi\colon\mathbf Z/n\to\mu_n$ は大域的な同型である。
- $c_0^{(n)}(\mathbb E)=1$ と $\sum_{i=0}^rf^*c_i^{(n)}(\mathbb E)\cup(\xi^{(n)})^{r-i}=0$ を満たす $c_i^{(n)}(\mathbb E)\in H^{2i}(Y,G;\mu_n^{\otimes i})$ がただ一組ある（通常の射影束で作った (1.30) の類）。階数 1 なら $c_1^{(n)}(\mathbb L)=\partial\,cl(\mathbb L)$ である。
- $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0:=((\varphi^{\otimes i})^{-1})_*c_i^{(n)}(\mathbb E)\in H^{2i}(Y,G;\mathbf Z/n)$ とおくと（原論文 (1.32)）、これは $\sum_if^*c_i^{(n)}(\mathbb E)_0\cup\xi_0^{\,r-i}=0$ を満たすただ一組の類であり、(1.30) の類と (1.32) の類は互いに決まる。
段 1（完全性）．1 は上の補題（指数列と Kummer 列の完全性）の 2 である。
段 2（定義）．上の命題（位相的な射影束公式）の 3 を $F=\mu_n^{\otimes r}$、$i=2r$ に当てると、$(\xi^{(n)})^r=\sum_{j< r}f^*(a_j)\cup(\xi^{(n)})^j$ となる $a_j\in H^{2r-2j}(Y,G;\mu_n^{\otimes(r-j)})$ がただ一組あり、$c^{(n)}_{r-j}:=-a_j$ とおけばよい。階数 1 の計算は上の定理の証明の段 2 と同じで、$\delta_{\exp}$ を $\partial$ に替えればよい。
段 3（$\mathbf Z/n$ 係数への移行）．$\varphi^{\otimes k}$ は層の同型なので、cup 積の係数についての自然性により $((\varphi^{\otimes r})^{-1})_*\bigl(f^*c_i^{(n)}\cup(\xi^{(n)})^{r-i}\bigr)=f^*c_{i,0}^{(n)}\cup\xi_0^{\,r-i}$ である（$\varphi^{\otimes r}=\varphi^{\otimes i}\otimes\varphi^{\otimes(r-i)}$）。よって 2 の関係式は 3 の関係式に移る。一意性は上の命題の 3 の前半（$F=\mathbf Z/n$）による。$\varphi^{\otimes i}$ は同型なので、二つの類は互いに決まる。
主結果 2 の類は、原論文の §1 の構成を、相対スキームとしての射影束ではなく通常の射影束の上で行ったものである。その違いは主結果 4 として後で扱い、まず二つの類を比べる。
算術的類と超越的類の比較
上の定理（作用群つき位相空間での整係数 Chern 類）と同じ状況で、次が成り立つ。
- すべての $n\ge1$ と $i\ge0$ について、$H^{2i}(Y,G;\mathbf Z/n)$ の中で $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0=c_i(\mathbb E)\bmod n$ である。
- $n'=mn$ とし、$u_{n,n'}\colon\mu_{n'}\to\mu_n$ を $m$ 乗写像とすると、$(u_{n,n'}^{\otimes i})_*c_i^{(n')}(\mathbb E)=c_i^{(n)}(\mathbb E)$ である。
- $\ell$ を素数とする。2 により $(c_i^{(\ell^\nu)}(\mathbb E))_\nu$ は $\varprojlim_\nu H^{2i}(Y,G;\mu_{\ell^\nu}^{\otimes i})$ の元（$\ell$ 進の類）を定め、$\varphi^{\otimes i}$ で係数を $(\mathbf Z/\ell^\nu)_\nu$ と同一視すると、それは $c_i(\mathbb E)$ の $\varprojlim_\nu H^{2i}(Y,G;\mathbf Z/\ell^\nu)$ への像に等しい。
段 1（可逆層）．階数 1 では、上の二つの定理の階数 1 の記述により $c_1^{(n)}(\mathbb L)_0=(\varphi^{-1})_*\partial\,cl(\mathbb L)$、$c_1(\mathbb L)=\delta_{\exp}cl(\mathbb L)$ であり、上の補題（作用つき直線束の二つの類の比較）そのものである。
段 2（一般の階数）．同じ補題を $(P,G)$ の $\mathcal O_P(1)$ に当てると $\xi_0=\xi_{\mathbf Z}\bmod n$ である。係数の環準同型 $\rho\colon\mathbf Z\to\mathbf Z/n$ が誘導する写像は $f^*$ と cup 積に両立する（$\rho_*(a\cup b)=\rho_*a\cup\rho_*b$）。整係数の関係式 $\sum_if^*c_i(\mathbb E)\cup\xi_{\mathbf Z}^{r-i}=0$ に $\rho_*$ を当てると $\sum_if^*(c_i(\mathbb E)\bmod n)\cup\xi_0^{\,r-i}=0$ で、$c_0\bmod n=1$ である。上の定理（位相的な場合の有限係数の類）の 3 の一意性により $c_i^{(n)}(\mathbb E)_0=c_i(\mathbb E)\bmod n$ を得る。$i>r$ では両辺とも $0$ である。
段 3（係数の変更）．$u_{n,n'}(\varphi_{n'}(1))=\exp(2\pi im/n')=\varphi_n(1)$ なので $u_{n,n'}\circ\varphi_{n'}=\varphi_n\circ\rho_{n,n'}$（$\rho_{n,n'}\colon\mathbf Z/n'\to\mathbf Z/n$ は還元）であり、テンソル冪でも同じである。したがって 2 は $\rho_{n,n'}(c_i^{(n')}(\mathbb E)_0)=c_i^{(n)}(\mathbb E)_0$ と同値で、1 により両辺はともに $c_i(\mathbb E)\bmod n$ である。
段 4（$\ell$ 進）．3 は 1 と段 3 を $n=\ell^\nu$ に当てて極限をとったものである。
原論文はこの命題を、算術的な類が「(1.24) の形」（$\ell$ 進の類）で超越的な類から $\mathbf Z\to\mathbf Z/n$ により得られる、と $\ell$ 進と法 $n$ を混ぜて述べる（印字 p. 243）。上の定理の 1 と 3 の二つの形で両方が成り立つ。原論文の証明は、図式 (1.35) と、一般の場合を $\mathcal O_P(1)$ に帰着することの二文で、上の段 1・2 はそれを書き下したものである。
こうして、整係数の類を法 $n$ で還元すると有限係数の類になることが、通常の射影束の上では閉じた。ただし原論文の (1.30) が指す類は、もともとこれとは作り方が違う。
原論文の類との関係
原論文は位相空間の場合について、「(1.4) の類」を (1.30) の類とみなしてよい、と書く（印字 p. 242）。(1.4) の類は §1 の構成で作る類で、そこでは射影束は局所環付きトポス $(Y,G;\mathcal C)$ の上の相対スキーム $\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}(\mathbb E^\vee)$（作用群つき）であり、その上のエタールトポスで Kummer 列を使う。比較の命題の前で原論文は、超越的な類との違いの一つを、通常の射影束の上で作業し、相対スキームとしての射影束の上では作業しないことだ、と明記する（印字 p. 243）。そのうえで二つの射影束で作った算術的な類が一致することは論じずに、比較を「直ちに」導く。
相対スキームとしての射影束のエタールトポスは原論文に構成が無い（本書『2-2 射影束公式』の注意「一般の局所環付きトポスの場合」と同じ事情）。したがって本書は、原論文の (1.30) の類が上の定理（位相的な場合の有限係数の類）の類に一致することを証明できず、未完結とする。上の二つの定理（位相的な場合の有限係数の類、算術的類は超越的類の還元）は通常の射影束で作った類についての主張で、原論文の類について 1.8 の命題を証明したものではない。
この留保は、スキームの場合の比較には及ばない。本書『3-2 エタールコホモロジーと古典位相の比較』は、スキームのエタールの類を解析化して、解析空間の通常の射影束の上の類に移してから本頁の主結果 3 を当てるからである。
原論文は 1.8 で任意の位相空間について条件が「明らかに」満たされるとする（印字 p. 241）。本書は、順像を茎で計算するために（引用する事実 1）、$Y$ を Hausdorff かつパラコンパクトとした。この仮定は (1.28)(1.29) の整係数の理論、(1.30)〜(1.32) の有限係数の類、下線の比較の命題の三つ全体（主結果 1〜3）にかかる。二つの補題は仮定なしに成り立つので、可逆層の比較は任意の位相空間で閉じている。一般の位相空間で茎の公式がどこまで成り立つかは、本書は確かめていない。
1.8 の印字には番号の誤りと揺れがいくつかある。(1.31) の直後の「(1.22) の類」（印字 p. 242）は、文脈上 (1.30) の類を $\varphi$ で (1.32) に移すことなので (1.30) と読む。比較の命題の証明の「指数列 (1.17)」（印字 p. 243）は (1.25) と読む（(1.17) は係数の変更の写像の式）。比較の命題の直前の「transcendantes (1.27)」（印字 p. 243）は可逆層の式の番号で、下線の命題の本文は (1.29) を指すので (1.29) と読む。可逆層に帰着する段の「(1.5) resp. (1.27)」（印字 p. 243）は、Kummer 列による $c_1$ の定義 (1.3) と読むのがより正確だが、(1.5) も可逆層の $c_1$ の式なので、誤りとは断定しない。式番号は (1.32) の次が (1.35) で、(1.33)(1.34) は欠番である。どれも本頁の主張には影響しない。
小節 1.8 の冒頭（印字 pp. 240–241）は、構造層が位相的な $\mathbf C$ 代数の層で指数級数が収束するような環付きトポスなら、指数列 (1.25) を手本に整係数の類 (1.26)（可逆層では (1.27)）が得られるだろうと期待する。問題は、射影束も同じ条件を満たし (1.8) の整数版が成り立つような条件の定式化で、原論文は公理化を試みず、脚注でそれは存在するようだと述べる。これは原論文の期待として記録し、主結果には数えない。本頁の主結果 1 は、原論文がその例として挙げた位相空間の場合を、仮定を足して閉じたものである。
例と反例
まず、原論文の序論の場合、すなわち一点の上の群の表現で、本頁の主結果が何を言うかを見る。
$Y$ を一点、$G$ を任意の離散群とすると、$(Y,G)$ は $G$ 集合のトポスで、$H^i(Y,G;M)=H^i(G,M)$ である（本書『2-1 作用群つきスキームの混合エタールコホモロジー』の注意「スペクトル系列の端と忘却写像」で、一点の正の次数のコホモロジーは消える）。作用つき局所自由 $\mathcal C$ 加群は $G$ の有限次元複素表現 $E$ で、通常の射影束は $G$ が線形に作用する $\mathbf{CP}^{r-1}=P(E)$ である。主結果 1 は $c_i(E)\in H^{2i}(G,\mathbf Z)$ を与え、その 5 により、これは符号 $\varepsilon_2^i$ を除いて Borel 構成 $Y_G=B_G$ の上の付随束の Chern 類、すなわち本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の定義「離散群の表現の位相的 Chern 類」の類である（条件付き）。
階数 1 で指標 $\chi\colon G\to\mathbf C^*$ の定める $L_\chi$ を考える。$H^1(Y,G;\mathcal C^*)=H^1(G,\mathbf C^*)=\operatorname{Hom}(G,\mathbf C^*)$ の中で $cl(L_\chi)$ は $\chi$ または $\chi^{-1}$ で（トルソーとコサイクルの対応の約束による）、同じ約束で決まる符号 $\pm$ を除いて $c_1(L_\chi)=\pm\delta_{\exp}(\chi)$、$c_1^{(n)}(L_\chi)=\pm\partial(\chi)$ である。ここで $\delta_{\exp}$、$\partial$ は自明な $G$ 加群の列 $0\to\mathbf Z\to\mathbf C\to\mathbf C^*\to0$、$0\to\mu_n(\mathbf C)\to\mathbf C^*\xrightarrow{n}\mathbf C^*\to0$ の余境界である。主結果 3 はこのとき $(\varphi^{-1})_*\partial(\chi)=\delta_{\exp}(\chi)\bmod n$ と読め、これは $\alpha(u)=\exp(2\pi iu/n)$ による二つの列の射の余境界の自然性から、群のコホモロジーの中で直接確かめられる。本書『1-2 序論の構想と群のトポス』の mod $n$ の第一 Chern 類が位相的な第一 Chern 類の還元であることの、一番短い形である。
還元は情報を失う。その失い方を、有限巡回群で具体的に見る。
$m\ge2$、$G=\mathbf Z/m$、$Y$ を一点、$\chi\colon G\to\mathbf C^*$ を $\chi(1)=\exp(2\pi i/m)$ で定まる忠実な指標とする。本書『1-1 位相的 Chern 類と体の自己同型』の補題「有限群での余境界の同型」により $H^2(G,\mathbf Z)\cong\operatorname{Hom}(G,\mathbf Q/\mathbf Z)\cong\mathbf Z/m$ で、$\delta_{\exp}(\chi)$ は単射準同型 $1\mapsto1/m\bmod\mathbf Z$ に対応するので生成元であり、$c_1(L_\chi)\neq0$ である。
(a) $n$ が $m$ と素なら、$H^2(G,\mathbf Z/n)$ は $m$ でも $n$ でも消えるので $0$ で、$c_1^{(n)}(L_\chi)_0=c_1(L_\chi)\bmod n=0$ である。整係数の類は $0$ でないのに、法 $n$ の類は何も見ない。
(b) $n=m$ なら、$0\to\mathbf Z\xrightarrow{m}\mathbf Z\to\mathbf Z/m\to0$ の長完全列により $H^2(G,\mathbf Z)\to H^2(G,\mathbf Z/m)$ の核は $mH^2(G,\mathbf Z)=0$ で、法 $m$ の類は整係数の類を決める。
この例では、有限個の法 $n$ で整係数の類が戻る。一般には法 $n$ の類の全体からも整係数の類が戻らないことがあり、その部分を本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』で特定する。
最後の反例は、1.8 の条件のうち、環の層として連続関数の層をとることが外せないことを示す。
外す条件は、$Y$ を連続関数の層 $\mathcal C$ で環付けることである。$Y=\mathbf{CP}^1$（2 次元球面）、$G$ を単位群とし、$\mathcal C$ の代わりに局所定数な複素数値関数の層 $\mathbf C^\delta$ で環付ける。$Y$ は局所連結なので、指数列 $0\to\mathbf Z\to\mathbf C^\delta\to\mathbf C^{*\delta}\to0$ は定数層の完全列として成り立つ。しかし階数 1 の局所自由 $\mathbf C^\delta$ 加群は階数 1 の局所系で、$Y$ は単連結なのでそれらはすべて自明であり（本書『0-4 位相的 Chern 類・平坦束・Lie 群と代数群』の定理「平坦束と基本群の表現」の (4)）、その $\delta_{\exp}cl$ はつねに $0$ である。一方、位相的な直線束 $\mathcal O(1)$ の $c_1$ は $H^2(\mathbf{CP}^1,\mathbf Z)\cong\mathbf Z$ の生成元である（引用する事実 2）。$(Y,\mathbf C^\delta)$ の上の理論は $\mathcal O(1)$ を対象としてもたず、射影束の基本類も作れない。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果と用語の紹介である（時点を明記する。本書が文献を開いて確かめていないものはそう書く）。
- 同変コホモロジー：本頁の $H^*(Y,G;\mathbf Z)$ と、それを Borel 構成 $Y_G$ のコホモロジーとみる見方は、後代の語では離散群の同変コホモロジーにあたる。Borel 構成の上の Chern 類を同変 Chern 類と呼ぶ用法の文献は、本書は確かめていない。
- 相対スキームとしての射影束（Hakim Hak72、1972 年）：局所環付きトポスの上の相対スキームとそのエタール景は後に公刊された。上の注意「原論文の (1.30) の類との一致」で未完結とした一致がそれで閉じるかは、本書は確かめていない。
- 平坦束の整係数 Chern 類（Deligne–Sullivan DelSul75、1975 年）：一点の上の表現の類、すなわち平坦束の類について、底が有限 CW 複体なら整係数の類は捩れであることが示された。原論文の側の算術的な方法と底の有限性の仮定の違いは本書『4-3 総括定理と複素表現の有理 Chern 類』で扱う。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Classes de Chern et représentations linéaires des groupes discrets Gro68d の小節 1.8 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 注意（位相的に環付けたトポスでの整係数の理論の期待） | 1.8 冒頭、(1.25)〜(1.27)、脚注（公理化） | 240–241 |
| 定義（作用群つき位相空間の層と混合コホモロジー） | (1.28)（[16] 第 V 章の作用群つき層のトポス） | 241 |
| 定義（作用つき複素ベクトル束と通常の射影束）、定義（作用つき直線束の類と二つの基本類） | 1.8（連続関数の層と通常の射影束） | 241 |
| 補題（指数列と Kummer 列の完全性） | (1.25)、(1.35)（縦の射 $\alpha$、$\beta$） | 240、243–244 |
| 命題（位相的な射影束公式） | 1.8（(1.8) の整数版の条件が「明らか」に満たされる） | 241 |
| 定理（作用群つき位相空間での整係数 Chern 類） | (1.29) とその後（$G$ が単位群なら通常の理論、Borel 構成との両立は「容易」） | 242 |
| 定理（位相的な場合の有限係数の類） | (1.30)〜(1.32)（$X_{\text{ét}}\to X$ はトポスの同値、$\varphi$ は指数関数で決まる） | 242 |
| 補題（作用つき直線束の二つの類の比較）、定理（算術的類は超越的類の還元） | 下線の比較の命題とその証明、(1.35) | 243–244 |
| 注意（原論文の (1.30) の類との一致） | (1.30) の直前、比較の命題の直前（通常の射影束と相対スキームとしての射影束の違い） | 242–243 |
| 注意（原論文の番号の読み方） | (1.31) の直後の「(1.22)」、「exponentielle (1.17)」、「transcendantes (1.27)」、「(1.5) resp. (1.27)」 | 242–243 |
原論文の位相空間 $X_0$ を、本頁は $Y$ と書く（本書『3-3 ℓ 進類から整係数類へ』の記号 $Y_G$ に合わせた）。
参考文献
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